1、2016-2017 学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1 （5 分）tan = 2 （5 分）2lg2+lg25 的值等于 3 （5 分）若幂函数 f（x）=x a 的图象过点（4 ，2） ，则 f（9）= 4 （5 分）已知角 的终边经过点 P（2，m） （m0） ，且 cos= ，则 m= 5 （5 分）在用二分法求方程 x32x1=0 的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为 6 （5 分）某扇形的圆心角为 2 弧度，周长为 4cm，则该扇形面
2、积为 cm27 （5 分）若 a+b=3，则代数式 a3+b3+9ab 的值为 8 （5 分）已知 a=log0.65，b=2 ，c=sin1 ，将 a，b ，c 按从小到大的顺序用不等号“”连接为 9 （5 分）将正弦曲线 y=sinx 上所有的点向右平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变） ，则所得到的图象的函数解析式y= 10 （5 分）已知函数 f（ x）为偶函数，且 f（x+2） =f（x） ，当 x（0，1）时，f（x）= （ ） x，则 f（ ）= 11 （5 分）已知 f（x ）= 在2，+）上是单调增函数，则实数 a 的取值范围为 12 （5 分
3、）如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AB=4，AD=3 ，E 是边 CD 的中点， = ，若 =4，则 sinBAD= 13 （5 分）已知 f（x ）= ，若对任意 0， ，不等式f（cos 2+sin ）+ 0 恒成立，整数 的最小值为 14 （5 分）已知函数 f（ x）=ln（a ） （aR） 若关于 x 的方程 ln（4a ）x+2a5f（x）=0 的解集中恰好有一个元素，则实数 a 的取值范围为 二、解答题：（本大题共 6 道题，计 90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15 （14 分）已知全集 U=R，集合 A=x|2x 7，B=x|0log 3x2，C=x
4、|axa+1（1）求 AB， （ UA）B ；（2）如果 AC=，求实数 a 的取值范围16 （14 分）已知： 为第一象限角， =（sin（） ，1） ， =（sin（ ） ， ） ，（1）若 ，求 的值；（2）若| + |=1，求 sin+cos 的值17 （14 分）某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为 P 和 Q（万元） ，它们与投入资金 m（万元）的关系有经验公式 P= m+65，Q=76+4 ，今将 150 万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投资金额不低于25 万元（1）设对乙产品投入资金 x 万元，求总利润 y（万元）关于 x 的函数关系式及其定义域；（2
5、）如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？18 （16 分）已知函数 y= sin（x+ ） （0） （1）若 = ，求函数的单调增区间和对称中心；（2）函数的图象上有如图所示的 A，B ，C 三点，且满足 ABBC求 的值；求函数在 x0，2）上的最大值，并求此时 x 的值19 （16 分）已知函数 f（ x）= （e 为自然对数的底数，e=2.71828） （1）证明：函数 f（x）为奇函数；（2）判断并证明函数 f（x ）的单调性，再根据结论确定 f（m 2m+1）+f （ ）与 0 的大小关系；（3）是否存在实数 k，使得函数 f（x ）在定义域a ，b上的值域为kea
6、，ke b若存在，求出实数 k 的取值范围；若不存在，请说明理由20 （16 分）设函数 f（x）=|ax x2|+2b（a，b R） （1）当 a=2，b= 时，解方程 f（2 x）=0；（2）当 b=0 时，若不等式 f（x）2x 在 x0，2上恒成立，求实数 a 的取值范围；（3）若 a 为常数，且函数 f（x ）在区间0，2上存在零点，求实数 b 的取值范围2016-2017 学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1 （5 分）tan = 【解答】解：tan =tan（
7、）=tan = 故答案为： 2 （5 分）2lg2+lg25 的值等于 2 【解答】解：lg25+2lg2=2lg5+2lg2=2（lg5+lg2）=2故答案为：23 （5 分）若幂函数 f（x）=x a 的图象过点（4 ，2） ，则 f（9）= 3 【解答】解：幂函数 f（x ）=x a 的图象经过点（4，2） ，4 a=2；解得 a= 故 f（x）= ，则 f（9）=3，故答案为：34 （5 分）已知角 的终边经过点 P（2，m） （m0） ，且 cos= ，则 m= 1 【解答】解：角 的终边经过点 P（2，m） （m0） ，且 cos= = ，则 m=1，故答案为：15 （5 分）在用
8、二分法求方程 x32x1=0 的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为 （ ，2） 【解答】解：令 f（x）=x 32x1，则 f（1）=20，f （2）=30，f（ ）= 0，由 f（ ）f （ 2）0 知根所在区间为（ ，2） 故答案为：（ ，2） 6 （5 分）某扇形的圆心角为 2 弧度，周长为 4cm，则该扇形面积为 1 cm2【解答】解：设该扇形的半径为 r，根据题意，有 l=r+2r4=2r+2rr=1S 扇形 = r2= 212=1故答案为：17 （5 分）若 a+b=3，则代数式 a3+b3+9ab 的值为 27 【解答】解：a+b=
9、3，代数式 a3+b3+9ab=（a+b） （a 2+b2ab）+9ab=3（a 2+b2ab）+9ab=3（a+b） 23ab+9ab=3（9 3ab）+9ab=27故答案为：278 （5 分）已知 a=log0.65，b=2 ，c=sin1 ，将 a，b ，c 按从小到大的顺序用不等号“”连接为 acb 【解答】解：a=log 0.65log 0.61=0，b=2 2 0=1，0c=sin1 1 ，a cb故答案为：acb9 （5 分）将正弦曲线 y=sinx 上所有的点向右平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变） ，则所得到的图象的函数解析式y= 【解答】解
10、：由题意，将函数 y=sinx 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度，利用左加右减，可所函数图象的解析式为 y=sin（x ） ，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变） ，利用 x 的系数变为原来的 3 倍进行横向变换，可得图象的函数解析式是 故答案为： 10 （5 分）已知函数 f（ x）为偶函数，且 f（x+2） =f（x） ，当 x（0，1）时，f（x）= （ ） x，则 f（ ）= 【解答】解：当 x（0，1）时，f（x）= （ ） x，f（ ）=f（ ）= ，又f（ x+2）=f（x） ，f（ x+4）= f（x+2）=f（x） ，f（ ） =f（ ）= ，故答案为：
11、11 （5 分）已知 f（x ）= 在2，+）上是单调增函数，则实数 a 的取值范围为 ，+） 【解答】解：f（x）= =ax+ +1，函数的导数 f（x ）=a ，f（ x）在2，+）上是单调增函数，f（x）=a 0 在2， +）上恒成立，即 a ， ，a ，即实数 a 的取值范围是 ，+） ，故答案为： ，+）12 （5 分）如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AB=4，AD=3 ，E 是边 CD 的中点， = ，若 =4，则 sinBAD= 【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，AB=4，AD=3 ，E 是边 CD 的中点， =， = + = + ， = = ， =（ + ）（ ）=
12、 = | | |cosBAD=688cosBAD=4，cosBAD= ，sin BAD= ，故答案为：13 （5 分）已知 f（x ）= ，若对任意 0， ，不等式f（cos 2+sin ）+ 0 恒成立，整数 的最小值为 1 【解答】解：f（x）= ，令 f（x） ，解得：x ，若对任意 0， ，不等式 f（cos 2+sin ）+ 0 恒成立，则对任意 0， ，cos 2+sin 恒成立，即 1sin2+sin 恒成立，当 =0 时，不等式恒成立，当 0 时，1sin 2+sin 可化为： =sin ，当 = 时， sin 取最大值 ，故 ，故整数 的最小值为 1，故答案为：114 （5
13、分）已知函数 f（ x）=ln（a ） （aR） 若关于 x 的方程 ln（4a ）x+2a5f（x）=0 的解集中恰好有一个元素，则实数 a 的取值范围为 （1，23，4 【解答】解：由 ln（4a）x+2a 5f（x）=0 ，得 ln（ 4a）x+2a5=ln （a ） ，即 a =（4a）x+2a50，则（a 4）x 2（a5 ）x 1=0，即（x1）（a4）x+1=0，当 a=4 时，方程的解为 x=1，代入，成立；当 a=3 时，方程的解为 x=1，代入，成立；当 a4 且 a3 时，方程的解为 x=1 或 x= ，若 x=1 是方程的解，则 a =a10，即 a1 ，若 x= 是方
14、程 的解，则 a =2a40，即 a2，则要使方程有且仅有一个解，则 1a2综上，关于 x 的方程 ln（4 a）x +2a5f（x ）=0 的解集中恰好有一个元素，则 a 的取值范围是 1a2，或 a=3 或 a=4，故答案为：（1，23，4二、解答题：（本大题共 6 道题，计 90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15 （14 分）已知全集 U=R，集合 A=x|2x 7，B=x|0log 3x2，C=x|axa+1（1）求 AB， （ UA）B ；（2）如果 AC=，求实数 a 的取值范围【解答】解：（1）由 0log 3x2，得 1x9B=（1，9） ，A=x|2x7
15、=2，7） ，AB=（1，9）UA=（，2）7，+） ，（ UA）B= （1，2）7，9）（2）C=x|axa+1=（a，a +1）AC=，a +12 或 a7 ，解得：a1 或 a716 （14 分）已知： 为第一象限角， =（sin（） ，1） ， =（sin（ ） ， ） ，（1）若 ，求 的值；（2）若| + |=1，求 sin+cos 的值【解答】解：（1） =（ sin（ ） ，1） ， =（sin（ ） ， ） ， ， sin（）=sin （ ） ，可得： sin=cos又 为第一象限角，可得：tan=2， = =5（2）| + |=1， + =（cossin ， ） ，（cos
16、 sin） 2+（ ） 2=1，解得：2sincos= ，sin+cos= = 17 （14 分）某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为 P 和 Q（万元） ，它们与投入资金 m（万元）的关系有经验公式 P= m+65，Q=76+4 ，今将 150 万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投资金额不低于25 万元（1）设对乙产品投入资金 x 万元，求总利润 y（万元）关于 x 的函数关系式及其定义域；（2）如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？【解答】解：（1）根据题意，对乙种商品投资 x（万元） ，对甲种商品投资（150x ） （万元） （25x125） 所
17、以 y= （150x）+65+76+4 （4 分）其定义域为25，125（6 分）（2）令 t= ，因为 x25，125，所以 t5，5 ，有 y= +203（12 分）所以当 t=6 时，即 x=36 时，y max=203（14 分）答：当甲商品投入 114 万元，乙商品投入 36 万元时，总利润最大为 203 万元 （16 分）18 （16 分）已知函数 y= sin（x+ ） （0） （1）若 = ，求函数的单调增区间和对称中心；（2）函数的图象上有如图所示的 A，B ，C 三点，且满足 ABBC求 的值；求函数在 x0，2）上的最大值，并求此时 x 的值【解答】解：（1）= 时，函数
18、 y= sin（ x+ ） ，令 +2k x+ +2k，kZ，解得：3+8k x1+8k ，k Z，函数 y 的单调增区间为3+8k，1+8k， （k Z） ；（4 分）令 x+ =k，kZ ，解得 x=1+4k，kZ，函数 y 的对称中心为（1+4k，0） ， （k Z） ；（8 分）（2）由图知：点 B 是函数图象的最高点，设 B（x B， ） ，设函数最小正周期为 T，则 A（x B ，0） ，C（x B+ ，0） ； =（ ， ） ，=（ ， ） ，（10 分）由 ，得 = T23=0，解得：T=4，= = ； （12 分）由 x0，2得 x+ ， ，sin （ x+ ） ，1，函数
19、y 在0，2上的最大值为 ，（14 分）此时 x+ = +2k，kZ，则 x= 4k，kZ；又 x0，2，x= （16 分）19 （16 分）已知函数 f（ x）= （e 为自然对数的底数，e=2.71828） （1）证明：函数 f（x）为奇函数；（2）判断并证明函数 f（x ）的单调性，再根据结论确定 f（m 2m+1）+f （ ）与 0 的大小关系；（3）是否存在实数 k，使得函数 f（x ）在定义域a ，b上的值域为kea，ke b若存在，求出实数 k 的取值范围；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）证明：函数 f（x ）定义域为 R，（1 分）对于任意的 xR，都有 f（ x）= =
20、 =f（ x） ，所以函数 f（x）为奇函数 （4 分）（2）f（x ）= 在 R 上为增函数，理由如下：f（x）= 0 恒成立，f（ x）= 在 R 上为增函数， （7 分）f（ m2m+1）f（ ）=f（ ） ，f（ m2m+1）+f（ ）0（10 分）（3）f（x ）为 R 上的增函数且函数 f（x ）在定义域 a，b上的值域为kea，ke bk0 且 ，=kex 在 R 上有两个不等实根；（12 分）令 t=ex，t0 且单调增，问题即为方程 kt2+（k 1）t +1=0 在（0，+）上有两个不等实根，设 h（t）=kt 2+（k1 ）t +1，则 ，解得：0k32 （16 分）20
21、 （16 分）设函数 f（x）=|ax x2|+2b（a，b R） （1）当 a=2，b= 时，解方程 f（2 x）=0；（2）当 b=0 时，若不等式 f（x）2x 在 x0，2上恒成立，求实数 a 的取值范围；（3）若 a 为常数，且函数 f（x ）在区间0，2上存在零点，求实数 b 的取值范围【解答】解：（1）当 a=2，b= 时，f（x ）=|x 2+2x|15，所以方程即为：|2x（ 2x+2）|=15解得：2 x=3 或 2x=5（舍） ，所以 x= ；（3 分）（2）当 b=0 时，若不等式：x |ax|2x在 x0，2上恒成立；当 x=0 时，不等式恒成立，则 aR；（5 分）
22、当 0x2 时，则|ax| 2，在0，22 上恒成立，即2xa2 在（0，2上恒成立，因为 y=xa 在（ 0，2上单调增，y max=2a，y min=a，则 ，解得：0a 2 ；则实数 a 的取值范围为0.2；（8 分）（3）函数 f（x）在0，2上存在零点，即方程 x|ax|=2b 在0，2上有解；设 h（x）=当 a0 时，则 h（x）=x 2ax，x 0，2，且 h（x）在0，2上单调增，所以 h（x） min=h（0）=0，h（x） max=h（2）=42a，则当 02b42a 时，原方程有解，则 a2b0；（10 分）当 a0 时，h（x）= ，h（x）在0， 上单调增，在 上单
23、调减，在 a，+）上单调增；当 ，即 a4 时，h（x） min=h（0）=0，h（x） max=h（2）=42a ，则当则当 02b2a 4 时，原方程有解，则 2ab0；当 ，即 2a4 时，h（x） min=h（0）=0，h （x） max=h（ ）= ，则当 02b 时，原方程有解，则 ；当 0a2 时，h（x） min=h（0）=0，h（x） max=maxh（2） ，h（ ）=max42a， 当 ，即当4+4 a2 时，h （x ） max=，则当 02b 时，原方程有解，则 ；当 ，即则 0 时，h（x） max=42a，则当 02b 42a 时，原方程有解，则 a2b0；（14 分）综上，当 0a4+4 时，实数 b 的取值范围为a 2，0；当4 +4 a4 时，实数 b 的取值范围为 ；当 a4 时，实数 b 的取值范围为 2a，0；
