高考文科数学命题热点名师解密专题:三角函数的图像与性质易错点

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1、专题 11 三角函数的图像与性质中的易错点一学习目标1理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性2会判断简单三角函数的奇偶性,会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期3理解三角函数的对称性,并能应用它们解决一些问题二方法总结1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致:(1)首先看定义域是否关于原点对称; (2)在满足(1)后,再看 f(x) 与 f(x)的关系.另外三角函数中的奇函数一般可化为 yA sin x 或 yAtan x,偶函数一般可化为 yA cos xb 的形式.2.三角函数的单调性(1)函数 yAsin(x )(A 0,0)的单调区

2、间的确定,其基本思想是把 x 看作一个整体,比如:由 2k x2k (k Z)解出 x 的范围,所得区间即为增区间.2 2若函数 yAsin(x)中 A0, 0,可用诱导公式将函数变为 yAsin( x),则yAsin(x)的增区间为原函数的减区间,减区间为原函数的增区间.对函数 yAcos(x),y A tan(x)等单调性的讨论同上.(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小,而比较三角函数值大小的一般步骤:先判断正负;利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数;再利用单调性比较.3.求三角函数的最值常见类型:(1)yAsin(x )B 或 y Atan(x)B,(

3、2)yA(sin xa) 2B ,(3)ya(sin xcos x)bs in xcos x(其中 A,B ,a,bR ,A 0,a0).三函数图象与性质需要掌握的题型(一)三角函数图象平移(二)三角函数的零点(三)函数的单调性(四)函数的解析式(五)三角函数图象综合(六)三角函数的奇偶性(七)三角函数的对称性(八)三角函数的最值(九)三角函数与数列的综合(十)三角函数的周期性四典例分析(一)三角函数图象平移例 1为了得到函数 的图象,只需将函数 图象上所有的点( )A向左平行移动 个单位长度 B向右平行移动 个单位长度C向左平行移动 个单位长度 D向右平行移动 个单位长度【答案】B【点睛】本

4、题考查的是三角函数的平移问题,首先保证三角函数同名,不是同名通过诱导公式化为同名,在平移中符合左加右减的原则,在写解析式时保证要将 x 的系数提出来,针对 x 本身进行加减和伸缩.练习 1为了得到 的图像,只需把函数 的图像( )A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度【答案】D【解析】【分析】逆用两角和的余弦公式,得 = ,再分析两个函数图象的变换.【详解】因为 ,要得到函数 ,只需将的图象向右平移 个单位长度即可故选 D.【点睛】本题考查了三角函数的图象与变换,考查了两角和的余弦公式的应用;解决三角函数图象的变换问题,首先要把变换前后的两

5、个函数化为同名函数.(二)三角函数的零点例 2函数 的零点个数为A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式,通过函数为 0,转化为两个函数的图象交点个数问题.【详解】由已知,令 ,即 ,在同一坐标系中画出函数 和 的图象,如图所示,两个函数图象有两个不同的交点,所以函数 的零点个数为 2 个,故选 B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用,其中根据三角函数的恒等变换,把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题,在同一坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键,着重考查了转化思想和数形结合思想的应用.练习 1设函数 为定义域为 的奇函数,且 ,当 时

6、, ,则函数在区间 上的所有零点的和为A10 B8 C16 D20【答案】B 【解析】根据函数是定义在 R 上的奇函数得函数 图像关于原点对称,又由 可得函数图像关于直线 对称,故而得出函数 是以 4 为周期的周期函数,然后利用数形结合便可得解。【详解】因为函数 为定义域为 的奇函数,所以 ,又因为 ,所以 ,可得 ,即函数 是周期为 4 的周期函数,且 图像关于直线 对称。故 在区间 上的零点,即方程 的根,分别画出 与 的函数图像,因为两个函数图像都关于直线 对称,因此方程 的零点关于直线 对称,由图像可知交点个数为 8 个,分别设交点的横坐标从左至右依次为 ,则 ,所以所有零点和为 8,

7、故选 B。练习 2设 ,则函数A有极值 B有零点 C是奇函数 D是增函数【答案】D【解析】由 x0,求得导数判断符号,可得单调性;再由三次函数的单调性,可得 x0 的单调性,即可判断正确结论【详解】由 x0,f(x)=xsinx,导数为 f(x)=1cosx,且 f(x)0,f(x)递增,f(x)0;又 x0,f (x) =x3+1 递增,且 f(0)=1 0 sin0,故 f(x)在 R 上递增;f(x)无极值和无零点,且不为奇函数.故答案为:D练习 3已知 ,若函数 在 上有两个不同零点 ,则_【答案】【解析】通过两角和的正弦公式得到函数的解析式,再通过换元结合正弦函数的图像得到两根之和,

8、进而得到结果.【详解】已知 = ,令 ,函数 在 上有两个不同零点,即函数 和 y=m 两个图像有两个不同的交点,做出函数 y=sint,和 y=m 的图像,通过观察得到 进而得到 = 故答案为: . (五)三角函数图象综合例 5函数 在, 上的图象大致为( )A B C D【答案】D【解析】由题易得函数 f(x)是奇函数,所以其图象关于原点对称,排除选项 B、C,当 0x 时,f(x)0,排除选项 A.故选 D.练习 1函数 的图像大致是( )A BC D【答案】A 【解析】因为函数 y=f(x)= 2sin1可化简为 f(x)= 2sin1可知函数为奇函数关于原点对称,可排除答案C;同时有

9、 y=f(x)= =故函数在 x(0, 2)时 f(x)0,则 x(0, 2)上单调递增,排除答案 B 和 D,故选:A.点睛:识图常用的方法(1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升( 或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题;(2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题;(3)函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题练习 2函数 在 ,2上的图像大致为( )【答案】C【解析】试题分析:因为函数 fx的定义域为 ,2,关于原点对称,且,所以函数 fx的图像 关于原点对称,排除 A、B 选项,在同一直角坐标系中,作出函数 2yx,

10、tan在 ,2的图像,由图可知故在 0x时,靠近 y轴的部分满足2tanx,比较选项 C、D 可得答案 C 正确.(六)三角函数的奇偶性例 6已知函数 f(x)s in(2x)在 x 时有极大值,且 f(x)为奇函数,则 , 的一组可能值依次为( )A B C D【答案】D【解析】依题意得 2 2k 1 ,即 2k 1 ,k 1Z,A,B 均不正确由 f(x) 是奇函数得f(x )f( x),即 f(x )f(x)0,函数 f(x)的图象关于点(,0) 对称,f ()0,sin(2 )0,sin(2)0,2k 2,k 2Z,结合选项 C,D 取 得 , k2Z,故选 D.练习 1设函数 的最小

11、正周期为 ,且,则( ) A fx在 0,2单调递减 B fx在 3,4单调递减C f在 ,单调递增 D f在 ,单调递增【答案】A考点:函数 的解析式,函数的奇偶性,单调性(七)三角函数的对称性例 7函数 f(x)2cos( x )(0)对任意 x 都有 ,则 等于( )A2 或 0 B2 或 2 C0 D2 或 0【答案】B【解析】由 f f 得 x 是函数 f(x)的一条对称轴,所以 f 2,故选 B.练习 1已知函数 对任意 都有 则 6f等于( )A 2 B 0 C 2或 D 2【答案】C【解析】因为函数 对任意 x都有所以 fx关于直线 6对称.则 6f为 的最大值或最小值,即 2

12、6f或 .故选 C.(八)三角函数的最值例 8已知函数 f(x)Asin(x)(A , 均为正的常数 )的最小正周期为 ,当 23x时,函数 f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )Af(2) f(2)f(0) Bf(0)f(2) f( 2)Cf(2) f(0)f(2) Df(2)f(0) f(2)【答案】A【解析】因为函数 的最小正周期为 ,所以 2,又当 3x时,函数 fx取得最小值,则 23x是经过函数 fx最小值的一条对称轴, 是经过函数 f最大值的一条对称轴,因为 ,所以,且 ,所以 ,即;故选 A.点睛:本题考查三角函数的性质;比较三角函数值的大小时,往往将角转化到同一个单调区

13、间上,而本题中将 2,0难以转化到同一个单调区间上,而是利用对称性和开口方向进行比较.练习 1已知函数 在区间 2,3上是增函数,且在区间 0,上恰好取得一次最大 值,则 的取值范围是( )A 0,1 B 30,4 C 1, D 1,24【答案】D【解析】 ,又函数 fx在区间 2,3上是增函数,且在区间0,上恰好取得一次最大值, ,解得: 1324故选:D练习 2已知函数 ,若存在实数 0x,使得对任意的实数 x,都有0fx f 恒成立,则 的最小值为( )A 126 B 14032 C 106 D 14032【答案】B【解析】 ,所以周期 T,存在实数 0x,使得对任意的实数 x,都有 0

14、fx f 恒成立,则 ,解得: 1432,故选 B.(九)三角函数与数列的综合例 9若 ,则 中值为 0的有( )个A200 B201 C402 D403【答案】C【解析】不难发现 ,在 10 个位一组里面有两个值为 0,那么在 中有故答案选 C练习 1函数 ,若对任意 10,4x,存在 20,4x,使得 成立,则实数 m的取值范围是( )A 1,3 B 2,1 C 2,13 D 4,3【答案】D【解析】当 0,4x时, ,f(x) 1,2,对于 (m0),当 0,4x时, , 对任意 1,,存在 20,4x,使得 成立, 解得实数 m 的取值范围是 1,3.故选:D.点睛:函数中的方程有解问

15、题:(1)若为一元方程,通常有两个方法:要么画函数的图象,研究图象与 x轴的交点即可;要么将方程整理成两个函数相等,画两个函数的图象求解即可;(2)若为二元方程,通常是转成研究方程左右两边的函数的值域的包含关系即可.练习 2函数 ( )的图象与 轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列,若要得到函数 的图象,只要将 的图象( )个单位A向左平移 B向右平移 C向左平移 D向右平移【答案】D【解析】正弦函数图象与 轴相邻交点横坐标相差为半个周期,即 ,又因为 ,所以,则 ,所以只要将函数 的图象向右平移 个单位就能得到的图象,故选 A考点:1、三角函数的图象与性质;2、三角函数图象的平移变

16、换(十)三角函数的周期性例 10函数 的最小正周期为( )A B C D【答案】C【解析】化简 ,利用周期公式可得结果.【详解】因为函数,所以 最小正周期为 ,故选 C【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系、二倍角的正弦公式,以及正弦函数的周期公式,属于中档题. 函数 的最小正周期为 .练习 1给出以下命题:若 均为第一象限角,且 ,且 ;若函数 的最小正周期是 ,则 ;函数 是奇函数;函数 的周期是 ;函数 的值域是0,2其中正确命题的个数为( )A3 B2 C1 D0【答案】D【解析】利用三角函数周期公式,奇偶性以及图像即可得出结果.若函数 的周期是 ,由周期定义 知 ,故函数 的周期不是

17、 ,故不正确. = ,当 时, ,可知函数的值域为 故不正确;综上可知:都不正确 .故选:D练习 2 (2018 年全国卷文)函数 的最小正周期为A B C D【答案】C【解析】将函数 进行化简即可详解:由已知得的最小正周期故选 C.练习 3下列函数的周期为 的是( ) ; ; ; .A B C D【答案】D【解析】利用 , 的周期不是 ,可排除选项 ;利用,排除 ,从而可得结果.【详解】设 ,则 ,不是 的周期,不合题意,排除 ,设 ,则 ,故 是 的周期,符合题意,排除 ,故选 D.【点睛】用特例代替题设所给的一般性条件,得出特殊结论,然后对各个选项进行检验,从而做出正确的判断,这种方法叫

18、做特殊法. 若结果为定值,则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略,排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法,这种方 法即可以提高做题速度和效率,又能提高准确性.练习 4函数 是( )A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为 的奇函数 D最小正周期为 的偶函数【答案】D 【解析】由题意,因为 ,所以 为偶函数,故排除A,C,由诱导公式得,即函数 的最小正周期为 ,所以正确答案为 D.点睛:引题主要考查三角函数的奇偶性、周期性等性质,以及三角函数诱导公式的应用等有关方面的知识与技能,属于中低档题型,也是常考考点.在此类问题中,函数解析式相对特殊,直接法求解不容易算,采用三角函数的性质去判断,反而会使问题简单化,以达到四两拔千斤的效果.

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