1、【考向解读】 求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与 x 轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力【命题热点突破一】函数零点的存在性定理1零点存在性定理如果函数 yf(x )在区间 a，b 上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a)f(b)0， 1x，xa，)_【答案】 （1）B （2） （ ，0）（1，） 【解析】 （1）作出函数 f（x）与 g（x）的图像如图所示，易知两个函数的图像有 3 个交点，所以函数
2、yf（x）g（x）有 3 个零点 .（2）令 （x）x 3（xa） ，h（x）x 2（xa） ，函数 g（x）f（x）b 有两个零点，即函数 yf （x）的图像与直线 yb 有两个交点.结合图像，当 aa）的图像与直线yb 有两个交点；当 a0 时，必须满足 （a）h（a） ，即 a3a2，解得 a1.综上得 a（，0）（1，）.【感悟提升】函数的零点、方程的根的问题都可以转化为函数图像的交点问题，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数问题的 有效方法在解决函数零点问题时，既要利用函数的图像，也要利用函数零点的存在性定理、函数的性质等，把数与形紧密结合起来【变式探究】已
3、知函数 f(x) |xa|(aR)在1，1 上的最大值为 M(a)，则函数 g(x)M(x) |x 21|的零点的个数为( ) 络的发展，网校教育越来越受到广大学生的喜爱，它已经成 为学生们课外学习的一种趋势假设某网校每日的套题销售量 y(单位：万套) 与销售价格 x(单位：元/套)满足关系式 y 4(x6)mx 22，其中 20，函数 f（x）单调递增，在 上，f（x）0，函数 f（x）单调递减，所以 x 是函数(103，6) 103f（x）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当 x 3.3 时，函数 f（x）取得最大值，即当销103售价格为 3.3 元/套时，网校每日销售套题所获得
4、的利润最大.【感悟提升】 函数建模首先要会根据题目的要求建立起求解问题需要的函数关系式(数学模型) ，然后通过求解这个函数模型(求单调性、最值、特殊的函数值等 )，对实际问题作出合乎要求的解释需要注意实际问题中函数的定义域要根据实际意义给出，不是单纯根据函数的解析式得出【变式探究】调查发现，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度 v（单位：千米/小时）是关于车流密度 x（单位：辆/ 千米）的连续函数.当桥上的车流密度达到200 辆/千米时，会造成堵塞，此时车流速度为 0 千米/ 小时；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为60 千米/小时.研
5、究表明：当 20x200 时，车流速度 v 是关于车流密度 x 的一次函数.（1）当 0x200 时，求函数 v（x）的解析式；（2）当车流密度 x 为多少时，车流量（每小时通过桥上某观测点的车辆数）f（x）xv （x）可以达到最大，并求出最大值.（精确到 1 辆/小时）【解析】解：（1）由题意知，当 0x20 时，v（x）60 ；当 20x200 时，设 v（x）axb，由已知得解得 故所求函数 v（x）的解析式为 v（x）200a b 0，20a b 60，) a 13，b 2003.) 60，0x20，13（200 x），20x200.)（2）由（1）可知 v（x） 当 0x20 时，f
6、（x）60x 为增函数，故当 x2060，0x20，13（200 x），20x200.)时，其最大值为 60201200；当 20x200 时，f（x） x（200x） （x 2200x）13 13 （x100） 2 ，当 x100 时，f（x）取得最大值 3333.综上可知，当车流密度为 10013 10 0003 10 0003辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333 辆/ 小时 .【高考真题解读】1. （2018 年全国 I 卷理数） 已知函数 若 g（x）存在 2 个零点，则 a的取值范围是A. 1，0） B. 0，+） C. 1，+） D. 1，+）【答案】C【解析】画出
7、函 数 的图像， 在 y 轴右侧的去掉，再画出直线 ，之后上下移动，可以发现当直线过点 A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程 有两个解，也就是函数 有两个零点，此时满足 ，即 ，故选 C.2. （2018 年浙江卷）已知 R ，函数 f(x)= ，当 =2 时，不等式 f(x)0 的解集是_若函数 f(x)恰有 2 个零点，则 的取值范围是_ 【答案】 (1). (1,4) (2). 【 解析】由题意得 或 ，所以 或 ，即 ，不等式 f(x)0 的解集是 当 时， ，此时 ，即在 上有两个零点；当时， ，由 在 上只能有一个零点
8、得 .综上， 的取值范围为 。3. （2018 年江苏卷）若函数 在 内有且只有一个零点，则 在 上的最大值与最小值的和为_【答案】3【解析】由 得 ，因为函数 在 上有且仅有一个零点且 ，所以，因此 从而函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以， 4. （2018 年全国卷理数）函数 在 的零点个数为_【答案】【解析】 由题可知 ，或解得 ,或故有 3 个零点。 零件数，点 Bi的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.记 Q1 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1，Q 2，Q 3 中最大的是_.记 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时
9、加工的零件数，则 p1，p 2，p 3 中最大的是_.【答案】 ；1Q2.p【解析】作图可得 中点的纵坐标比 中点的纵坐标大，所以 Q1，Q 2，Q 3 中最大的是 ， 1AB23,AB 1分别作 关于原点的对称点 ，比较直线 的斜率（即为第 i 名工人在这123, 1,一天中平均每小时加工的零件数） ，可得 最大，所以 p1，p 2，p 3 中最大的是 2 2.p2.【2017 课标 3，理 15】设函数 则满足 的 x 的取值范围是_.【答案】 1,4写成分段函数的形式： ，函数 在区间 三段区间内均单调递增，gx且： ，据此 x 的取值范围是： .1,43.【2017 课标 1，理 21
10、】已知函数 .（1）讨论 的单调性；()fx（2）若 有两个零点，求 a 的取值范围.【答案】 （1）见解析；（2） .0,1【解析】 （1） 的定义域为 ， ，fx,（）若 ，则 ，所以 在 单调递减.0afx,（）若 ，则由 得 .0fxlna当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递f 0fxfx,lna减，在 单调递增 .ln,a（2） （）若 ，由（1）知， 至多有一个零点 .0fx（）若 ，由（1）知，当 时， 取得最小值，最小值为 .alnaf当 时，由于 ，故 只有一个零点；fx当 时，由于 ，即 ，故 没有零点；1,afx当 时， ，即 . 0,1a又 ，故 在 有一个零点.f
11、x,lna设正整数 满足 ，则 .0n由于 ，因此 在 有一个零点.fxln,a综上， 的取值范围为 .a0,11.【2016 高考新课标 1 卷】函数 在 2,的图像大致为 （A） （B）（C） （D）【答案】D2.【2016 高考山东理数】已知函数 其中 0m，若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_.【答案】 3, 【解析】画出函数图象如下图所示：由图所示，要 fxb有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得 3m。3、 【2016 高考上海理数】已知点 (3,9)在函数 的图像上，则.【答案】 2log(x1)【解析】
12、将点（3，9）代入函数 中得 2a，所以 ，用 y表示 x得，所以 .4.【2016 高考上海理数】已知 aR，函数 .（1）当 5a时，解不等式 ()0fx；（2）若关于 x的方程 的解集中恰好有一个元素，求 a的取值范围；（3）设 0，若对任意 1,2t，函数 ()fx在区间 ,1t上的最大值与最小值的差不超过 1，求 a的取值范围.【答案】 （1） （2） （3） 2,【解析】（1）由 ，得 15x，解得 （2） ， ，当 4a时， 1x，经检验，满足题意当 3时， 2，经检验，满足题意当 且 时， 14xa， 21x， 2x1x是原方程的解当且仅当 10，即 a；2是原方程的解当且仅当
13、 2x，即 1于是满足题意的 1,a综上， 的取值范围为 （3）当 120x时， ， ，所以 f在 ,上单调递减函数 x在区间 t上的最大值与最小值分别为 ft， 1ft即 ，对任意1,2t成立因为 0a，所以函数 在区间 1,2上单调递增， 12t时， y有最小值 3142，由 0a，得 3a故 a的取值范围为 2,35.【2016 高考上海理数】设 ()fx、 g、 ()hx是定义域为 R的三个函数，对于命题：若()fxg、 ()fxh、 均为增函数，则 ()fx、 g、 ()hx中至少有一个增函数；若 、 、 ()x均是以 T为周期的函数，则 f、 、 ()x均是以 T为周期的函数，下列
14、判断正确的是（ ）A、 和均为真命题 B、和均为假命题C、 为真命题，为假命题 D、为假命题，为真命题 【答案】D【解析】不成立，可举反例, , 前两式作差，可得结合第三式，可得 , 也有正确故选 D. 【答案】 .【解析】分析题意可知，问题等价于方程 与方程 的根的个数和为 2，若两个方程各有一个根：则可知关于 b的不等式组ab31有解， 23ba，从而 1；若方程 无解，方程 有 2 个根：则可知关于 b的不等式组 3有解，从而 0a，综上，实数 a的取值范围是 .7.【2015 高考浙江，理 10】已知函数 ，则 (3)f ， ()fx的最小值是 【答案】 0， 3-2.【解析】 ，当 1x时， ，当且仅当 2x时，等号成立，当1x时， )(xf，当且仅当 0时，等号成立，故 )(xf最小值为 3.学-科网8.【2015 高考四川，理 13】某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储存温度 x（单位： C）满足函数关系bkxey（ 718.2为自然对数的底数， k、b 为常数） 。若该食品在 0 的保鲜时间设计 192 小时，在 22 C的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 C的保鲜时间是 小时。【答案】24【解析】由题意得： ，所以 3x时，.9.【2015 高考上海，理 10】设 1fx为 ， 0,2x的反函数，则的最大值为 【答案】4
