1、第 1 页，共 14 页上海市普陀区 2019 届高三 3 月模拟练习（二模）数学试题一、选择题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）1. 已知球 O 的半径为 1，A、B、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 ，2则球心 O 到平面 ABC 的距离为 ( )A. B. C. D. 13 33 23 63【答案】B【解析】解：显然 OA、OB、OC 两两垂直，如图，设 为 ABC 所在平面截球所得圆的圆心，1，且 ，=1 =2为 的中心 1 .1=63由 ，可得 21+12=2 1=33故选：B先确定内接体的形状，确定球心与平面 ABC 的关系，然后求解距离本题考查球的内接体问题，球
2、心与平面的距离关系，考查空间想象能力，是中档题2. 在 中， ， ， ，若将 绕直线 BC 旋转一=2 =1.5=120 周，则所形成的旋转体的体积是 ( )A. B. C. D. 92 72 52 32【答案】D【解析】解：如图： 中，绕直线 BC 旋转一周，则所形成的几何体是以 ACD 为轴截面的圆锥中挖去了一个以 ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分， ， ，=2 =1.5=120，=60=3，=60=1， ，1=132=52 2=132=，=12=32故选：D第 2 页，共 14 页所形成的几何体是以 ACD 为轴截面的圆锥中挖去了一个以 ABD 为轴截面的小圆锥后剩余的部分，故用大圆锥
3、的体积减去小圆锥的体积，即为所求本题考查圆锥的体积公式的应用，判断旋转体的形状是解题的关键3. 将函数 图象上的点 向左平移 个单位，得到点 ，若=(12) (4,) (0) 位于函数 的图象上，则 =2 ( )A. ，s 的最小值为 B. ，s 的最小值为=12 12 =32 6C. ，s 的最小值为 D. ，s 的最小值为=12 6 =32 12【答案】C【解析】解：将 代入得： ，进而求出平移后 的坐标，=4 =6=12 将函数 图象上的点 向左平移 个单位，=(12) (4,) (0)得到点 ，若 位于函数 的图象上， =2则 ，(2+2)=2=12则 ， ，2=3+2则 ， ，=6+
4、由 得：当 时，s 的最小值为 ，0 =06故选：C将 代入得： ，进而求出平移后 的坐标，进而得到 s 的最小值=4 =12 本题考查的知识点是函数 的图象和性质，难度中档=(+)(0,0)4. 已知 x， ，且 ，则存在 ，使得 成立 3+43300 +1=0的 构成的区域面积为 (,) ( )A. B. C. D. 436 433 2 34+6【答案】A【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形 OAB，若存在 ，使得 成立， +1=0则 ，2+2( 2+2+ 2+2)=1令 ，则 ，=2+2 = 2+2则方程等价为 ，2+2(+)=1第 3 页，共 14 页即 ，(
5、+)=12+2存在 ，使得 成立， +1=0，即 ，|12+2|1 2+21则对应的区域为单位圆的外部，由 ，解得 ，即 ，3+=433=0 =2=23 (2,23)，则三角形 OAB 的面积 ，(4,0) =12423=43直线 的倾斜角为 ，=33则 ，即扇形的面积为 ，=3 6则 构成的区域面积为 ，(,) =436故选：A作出不等式组对应的平面区域，求解 成立的等价条件，利用数+1=0形结合求出对应的面积即可得到结论本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键 综合性较强.二、填空题（本大题共 12 小题，共 54.0 分）5. 已知集合 ， ，则
6、 _=|1|3= =【答案】 2,4【解析】解： 或 或 ，=|1|3=|13 14 0则 ，|=|，=|=34，11=22=33=341+2+31+2+3=34故答案为： 34由平面向量的数量积求得 、 的夹角 ， =0得出 ，计算 的值，即可求得 = 11=22=33=1+2+31+2+3=本题考查了空间向量的坐标运算与数量积运算问题，是基础题16. 已知函数 ，若存在唯一的整数 x，使得不等式()= 41,042+8,0成立，则实数 a 的取值范围是() 0_【答案】 0,34,15【解析】解：根据题意，函数，其图象如图：()= 41,042+8,0分 2 种情况讨论：第 8 页，共 1
7、4 页，当 时， ， 0 ()(1)=4若存在唯一的整数 x，使得不等式 成立，即 有唯一的整数解，() 0 ()0又 ，则此时有 (2)=0 00 ()0) 1,4求 a 的值及 的解析式；(1) ()设 ，若不等式 在 上有解，求实数 t 的取值范(2)()=() (3)30 0,2围【答案】解： ， ，(1)()=22=2(1)(0)令 ，解得： ，()0 1令 ，解得： ，()0即 ，22+12又 ， ，1+2=422+1 12=2(21)22+1，|=1+2 (1+2)2412=1+22222+1222+1点 O 到直线 l 的距离为 ， =|1+2又=12|=21+2 22+122
8、2+1 |1+2=2 22+1222+1 |，即=22 2 22+1222+1 |=22整理得 ，22+1=22此时 ，21+22=(1+2)2212=(422+1)222(21)22+1=2；21+22=(11221)+(11222)=212(21+22)=1综上所述 ， 结论成立21+22=2 21+22=1.椭圆 C 上不存在三点 D，E，G，使得 ，(3) =22证明：假设存在 ， ， ，使得(,)(1,1) (2,2) =22由 得 ， ， ； ， ，(2)2+21=2 2+22=2 21+22=2 2+21=1 2+22=1 21+22=1解得 ； 2=21=22=1 2=21=2
9、2=12因此 u， ， 只能从 中选取，1 2 1v， ， 只能从 中选取，1 2 22因此点 D，E，G，只能在 这四点中选取三个不同点，(1,22)而这三点的两两连线中必有一条过原点，与 矛盾=22所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D，E，G 【解析】 根据点到直线的距离公式即可求出(1)分情况讨论，根据已知设出直线 l 的方程，利用弦长公式求出 的长，利用点到(2) |直线的距离公式求点 O 到直线 l 的距离，根据三角形面积公式，即可求得 和21+22均为定值；21+22假设存在 ， ， ，使得 由 得(3) (,)(1,1) (2,2) =22 (2)第 13 页，共 14 页，
10、 ， ； ， ， ，从而2+21=2 2+22=2 21+22=2 2+21=1 2+22=1 21+22=1求得点 D，E，G，的坐标，可以求出直线 DE、DG、EG 的方程，从而得到结论本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力 其中问题 是一个开放性问题，考. (3)查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，属于难题21. 已知无穷数列 的各项都不为零，其前 n 项和为 ，且满足 ，数列 满足 ，其中 t 为正整数+1=() =+求 ；(1)2018若不等式 对任意 都成立，求首项 的取值范围；(
11、2) 2+2+1+1 1若首项 是正整数，则数列 中的任意一项是否总可以表示为数列 中的(3) 1 其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由【答案】解： 令 时， ，(1)=1 12=1由于：无穷数列 的各项都不为零，所以： ，2=1由： ，+1=所以： ，+1+2=+1两式相减得： ，+2=1所以：数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列2则： 2018=2+(201821)=1009由 知，数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，(2)(1) 2数列 的首项 ，公差为 1 的等差数列21 1故： ，=1+(+121)=1+12 (为奇数 )2 (为偶数 )所以： =
12、+121+214 (为奇数 )21+24 (为偶数 )当 n 为奇数时， ， 2+2+1+1即： ，(1+12)2+(+12)2+121+214+121+(+1)24 即： 对任意的正奇数 n 都恒成立，212112所以： ，21210即： 012当 n 为偶数时， ， 2+2+1+1即： ，(2)2+(1+2)212+24+221+(+1)214 第 14 页，共 14 页即： 对任意的正偶数恒成立，21212所以： ，21211即： ，152 11+52综合 得： 011+52数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，数列 的首项 ，公差为 1 的等(3) 2 21 1差数列得知：数列的各项都为正值设 =则：+=+ +取 ，则： ，=+2 =1故： ，=(+2+)不妨设 为偶数 ,则2=(+2+)一定为整数当 n 为偶数时，方程 的一组解是： ，= =+2=(2+1)当 n 为奇数时，方程 的一组解是： ，= =+2=2(1+12)(1+12+)故：数列 中的任意一项总可以表示为数列 中的其他两项之积 【解析】 直接利用赋值法求出结果(1)利用分类讨论法确定数列的首项的范围(2)利用构造数列法求出数列的各项，进一步确定结果(3)本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前 n 项和的应用
