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上海市普陀区2019届高三3月模拟练习(二模)数学试题(含答案解析)

1、第 1 页,共 14 页上海市普陀区 2019 届高三 3 月模拟练习(二模)数学试题一、选择题(本大题共 4 小题,共 20.0 分)1. 已知球 O 的半径为 1,A、B、C 三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为 ,2则球心 O 到平面 ABC 的距离为 ( )A. B. C. D. 13 33 23 63【答案】B【解析】解:显然 OA、OB、OC 两两垂直,如图,设 为 ABC 所在平面截球所得圆的圆心,1,且 ,=1 =2为 的中心 1 .1=63由 ,可得 21+12=2 1=33故选:B先确定内接体的形状,确定球心与平面 ABC 的关系,然后求解距离本题考查球的内接体问题,球

2、心与平面的距离关系,考查空间想象能力,是中档题2. 在 中, , , ,若将 绕直线 BC 旋转一=2 =1.5=120 周,则所形成的旋转体的体积是 ( )A. B. C. D. 92 72 52 32【答案】D【解析】解:如图: 中,绕直线 BC 旋转一周,则所形成的几何体是以 ACD 为轴截面的圆锥中挖去了一个以 ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分, , ,=2 =1.5=120,=60=3,=60=1, ,1=132=52 2=132=,=12=32故选:D第 2 页,共 14 页所形成的几何体是以 ACD 为轴截面的圆锥中挖去了一个以 ABD 为轴截面的小圆锥后剩余的部分,故用大圆锥

3、的体积减去小圆锥的体积,即为所求本题考查圆锥的体积公式的应用,判断旋转体的形状是解题的关键3. 将函数 图象上的点 向左平移 个单位,得到点 ,若=(12) (4,) (0) 位于函数 的图象上,则 =2 ( )A. ,s 的最小值为 B. ,s 的最小值为=12 12 =32 6C. ,s 的最小值为 D. ,s 的最小值为=12 6 =32 12【答案】C【解析】解:将 代入得: ,进而求出平移后 的坐标,=4 =6=12 将函数 图象上的点 向左平移 个单位,=(12) (4,) (0)得到点 ,若 位于函数 的图象上, =2则 ,(2+2)=2=12则 , ,2=3+2则 , ,=6+

4、由 得:当 时,s 的最小值为 ,0 =06故选:C将 代入得: ,进而求出平移后 的坐标,进而得到 s 的最小值=4 =12 本题考查的知识点是函数 的图象和性质,难度中档=(+)(0,0)4. 已知 x, ,且 ,则存在 ,使得 成立 3+43300 +1=0的 构成的区域面积为 (,) ( )A. B. C. D. 436 433 2 34+6【答案】A【解析】解:作出不等式组对应的平面区域如图:对应的区域为三角形 OAB,若存在 ,使得 成立, +1=0则 ,2+2( 2+2+ 2+2)=1令 ,则 ,=2+2 = 2+2则方程等价为 ,2+2(+)=1第 3 页,共 14 页即 ,(

5、+)=12+2存在 ,使得 成立, +1=0,即 ,|12+2|1 2+21则对应的区域为单位圆的外部,由 ,解得 ,即 ,3+=433=0 =2=23 (2,23),则三角形 OAB 的面积 ,(4,0) =12423=43直线 的倾斜角为 ,=33则 ,即扇形的面积为 ,=3 6则 构成的区域面积为 ,(,) =436故选:A作出不等式组对应的平面区域,求解 成立的等价条件,利用数+1=0形结合求出对应的面积即可得到结论本题主要考查线性规划的应用,根据条件作出对应的图象,求出对应的面积是解决本题的关键 综合性较强.二、填空题(本大题共 12 小题,共 54.0 分)5. 已知集合 , ,则

6、 _=|1|3= =【答案】 2,4【解析】解: 或 或 ,=|1|3=|13 14 0则 ,|=|,=|=34,11=22=33=341+2+31+2+3=34故答案为: 34由平面向量的数量积求得 、 的夹角 , =0得出 ,计算 的值,即可求得 = 11=22=33=1+2+31+2+3=本题考查了空间向量的坐标运算与数量积运算问题,是基础题16. 已知函数 ,若存在唯一的整数 x,使得不等式()= 41,042+8,0成立,则实数 a 的取值范围是() 0_【答案】 0,34,15【解析】解:根据题意,函数,其图象如图:()= 41,042+8,0分 2 种情况讨论:第 8 页,共 1

7、4 页,当 时, , 0 ()(1)=4若存在唯一的整数 x,使得不等式 成立,即 有唯一的整数解,() 0 ()0又 ,则此时有 (2)=0 00 ()0) 1,4求 a 的值及 的解析式;(1) ()设 ,若不等式 在 上有解,求实数 t 的取值范(2)()=() (3)30 0,2围【答案】解: , ,(1)()=22=2(1)(0)令 ,解得: ,()0 1令 ,解得: ,()0即 ,22+12又 , ,1+2=422+1 12=2(21)22+1,|=1+2 (1+2)2412=1+22222+1222+1点 O 到直线 l 的距离为 , =|1+2又=12|=21+2 22+122

8、2+1 |1+2=2 22+1222+1 |,即=22 2 22+1222+1 |=22整理得 ,22+1=22此时 ,21+22=(1+2)2212=(422+1)222(21)22+1=2;21+22=(11221)+(11222)=212(21+22)=1综上所述 , 结论成立21+22=2 21+22=1.椭圆 C 上不存在三点 D,E,G,使得 ,(3) =22证明:假设存在 , , ,使得(,)(1,1) (2,2) =22由 得 , , ; , ,(2)2+21=2 2+22=2 21+22=2 2+21=1 2+22=1 21+22=1解得 ; 2=21=22=1 2=21=2

9、2=12因此 u, , 只能从 中选取,1 2 1v, , 只能从 中选取,1 2 22因此点 D,E,G,只能在 这四点中选取三个不同点,(1,22)而这三点的两两连线中必有一条过原点,与 矛盾=22所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D,E,G 【解析】 根据点到直线的距离公式即可求出(1)分情况讨论,根据已知设出直线 l 的方程,利用弦长公式求出 的长,利用点到(2) |直线的距离公式求点 O 到直线 l 的距离,根据三角形面积公式,即可求得 和21+22均为定值;21+22假设存在 , , ,使得 由 得(3) (,)(1,1) (2,2) =22 (2)第 13 页,共 14 页,

10、 , ; , , ,从而2+21=2 2+22=2 21+22=2 2+21=1 2+22=1 21+22=1求得点 D,E,G,的坐标,可以求出直线 DE、DG、EG 的方程,从而得到结论本题考查了直线与椭圆的位置关系,弦长公式和点到直线的距离公式,是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力 其中问题 是一个开放性问题,考. (3)查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力,属于难题21. 已知无穷数列 的各项都不为零,其前 n 项和为 ,且满足 ,数列 满足 ,其中 t 为正整数+1=() =+求 ;(1)2018若不等式 对任意 都成立,求首项 的取值范围;(

11、2) 2+2+1+1 1若首项 是正整数,则数列 中的任意一项是否总可以表示为数列 中的(3) 1 其他两项之积?若是,请给出一种表示方式;若不是,请说明理由【答案】解: 令 时, ,(1)=1 12=1由于:无穷数列 的各项都不为零,所以: ,2=1由: ,+1=所以: ,+1+2=+1两式相减得: ,+2=1所以:数列 是首项为 1,公差为 1 的等差数列2则: 2018=2+(201821)=1009由 知,数列 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,(2)(1) 2数列 的首项 ,公差为 1 的等差数列21 1故: ,=1+(+121)=1+12 (为奇数 )2 (为偶数 )所以: =

12、+121+214 (为奇数 )21+24 (为偶数 )当 n 为奇数时, , 2+2+1+1即: ,(1+12)2+(+12)2+121+214+121+(+1)24 即: 对任意的正奇数 n 都恒成立,212112所以: ,21210即: 012当 n 为偶数时, , 2+2+1+1即: ,(2)2+(1+2)212+24+221+(+1)214 第 14 页,共 14 页即: 对任意的正偶数恒成立,21212所以: ,21211即: ,152 11+52综合 得: 011+52数列 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,数列 的首项 ,公差为 1 的等(3) 2 21 1差数列得知:数列的各项都为正值设 =则:+=+ +取 ,则: ,=+2 =1故: ,=(+2+)不妨设 为偶数 ,则2=(+2+)一定为整数当 n 为偶数时,方程 的一组解是: ,= =+2=(2+1)当 n 为奇数时,方程 的一组解是: ,= =+2=2(1+12)(1+12+)故:数列 中的任意一项总可以表示为数列 中的其他两项之积 【解析】 直接利用赋值法求出结果(1)利用分类讨论法确定数列的首项的范围(2)利用构造数列法求出数列的各项,进一步确定结果(3)本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,数列的前 n 项和的应用