1、题型四 规律探索题类型一 数式规律探索1. (2018 霍邱县一模)如下数表是由 1 开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答：(1)第 9 行的最后一个数是_；(2)第 n 行的第一个数是_，第 n 行共有_个数；第 n 行各数之和为_2. (2018 安庆二模)观察下列等式：(1)1 1；12 112(2) ；12 14 134 13(3) ；13 16 156 15根据上述规律解决下列问题：(1)写出第(4)个等式：(_)(_)(_)(_)；(2)写出你猜想的第(n)个等式，并证明3. 观察下列等式： ；11 12 12 11 ；13 14 112 12 ；15 16 130 1
2、3 ；17 18 156 14(1)请根据以上规律写出第 5 个等式：_ ；(2)猜想并写出第 n 个等式，并验证其正确性4. 观察下列由连续的正整数组成的宝塔形等式：第 1 层 123；第 2 层 45678；第 3 层 9101112131415；第 4 层 161718192021222324；(1)填空：第 6 层等号右侧的第一个数是_，第 n 层等号右侧的第一个数是_(用含 n 的式子表示， n 是正整数) ，数字 2017 排在第几层？请简要说明理由；(2)求第 99 层右侧最后三个数字的和5. (2018 太和县模拟)观察下列等式：123；45678；9101112131415；
3、161718192021222324；(1)试写出第五个等式；(2)根据你的发现，试说明 145 是第几行的第几个数？ 6. 按如下方式排列正整数，第 1 行有 1 个数，第 2 行有 3 个数，第 3，4 行分别有 7个、13 个数依此规律，解答下列问题：12 3 43 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 1015 16(1)第 10 行有_个数，第 n 行有_个数( 结果用含 n 的式子表示)；(2)第 2，3，4 行都含有数 4，其中第 2 行最先出现 4，那么 2019 最先出现在第几行？7. 已知下列等式：3 21 28，5 23 216，7 25 224，(1)请仔细观察
4、，写出第 4 个式子；(2)根据以上式子的规律，写出第 n 个式子，并用所学知识说明第 n 个等式成立；(3)利用(2)中发现的规律计算：81624792800.8. 【问题提出】观察下列图形，回答问题：第 8 题图由此可以得出第 1 个图形中所有线段的长度的和是 1，第 2 个图形中所有线段的长度的和是 4，第 3 个图形中所有线段的长度的和是 10，第 4 个图形中共有_条线段，所有线段的长度的和是_；【规律探索】在计算第 1，2，3 个图形中所有线段的长度的和的时候，得出了下列等式：11 ；12361221 ；2346132231 ；3456第 4 个等式为_；【问题解决】求第 n 个图
5、形中所有线段的长度的和9. (2017 安徽 19 题)我们知道，123n ，那么 122 23 2n 2n（n 1）2结果等于多少呢？在图所示三角形数阵中，第 1 行圆圈中的数为 1，即 12；第 2 行两个圆圈中数的和为 22，即 22；第 n 行 n 个圆圈中数的和为 nnn,s do4(n 个 n)，即 n2.这样，该三角形数阵中共有 个圆圈，所有圆圈中数的和为 122 23 3n 2.n（n 1）2第 9 题图【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第 n 1 行的第一个圆圈中的数分别为 n1，2，n) ，发现每个位置
6、上三个圆圈中数的和均为_由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3(122 23 2n 2)_，因此，1 22 23 2 n 2_第 9 题图【解决问题】根据以上发现，计算 的结果为_12 22 32 201721 2 3 2017类型二 图形规律探索1. 下列各图形中的“ ”的个数和“”的个数是按照一定规律摆放的：第 1 题图(1)观察图形，填写下表：第 n 个图形 1 2 3 4 n“ ”的个数 3 6 9 12 _“”的个数 1 3 6 10 _(2)当 n_时， “”的个数是“ ”的个数的 2 倍2. 用同样大小的“ ”按如图所示的规律摆放：第 2 题图(1)第 5 个图形有多
7、少枚“ ”？(2)第几个图形有 2018 枚“ ”？请说明理由3. 如图，图中小黑点的个数记为 a14，图中小黑点的个数记为 a28，图中小黑点的个数记为 a313，第 3 题图根据以上图中的规律完成下列问题：(1)图中小黑点的个数记为 a4，则 a4_；(2)图 n 中小黑点的个数记为 an，则 an_( 用含 n 的式子表示)；(3)第几个图形中的小黑点的个数为 43 个？ 4. (1)观察下列图与等式的关系，并填空：放置方式放置方式放置方式中圆圈的个数12 3322234 963234569421845678_ n(n1)_(2)一堆按“放置方式”放置的圆圈，小明数得共有 165 个圆圈
8、，请你计算最上面有几个圆圈？5. (2018 安徽名校大联考)如图，下列每个图案均是由若干边长为 1 的小正方形按一定的规律堆叠而成，探究规律，解答问题第 5 题图(1)请根据你的探究直接写出：第 10 个图案中共有_ 个小正方形，第 n 个图案中共有_个小正方形；(2)是否存在有 37 个小正方形的图案？若存在，请求出是第几个图案；若不存在，请说明理由6. 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：(1)认真观察图，并填写出第 4 个点阵图相应的等式第 6 题图(2)结合(1)观察图，并填写出第 5 个点阵图相应的等式第 6 题图(3)通过猜想，直接写出(2) 中与第 n 个点阵图相对应
9、的等式7. (2018 怀远县模拟)如图，正方形 ABCD 内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD 的顶点 A、B 、C 、D 把原正方形分割成一些三角形( 互相不重叠) ：第 7 题图(1)填写下表：正方形 ABCD内点的个数1 2 3 4 n分割成的三角形的个数4 6 _ _ _(2)原正方形能否被分割成 2008 个三角形？若能，求此时正方形 ABCD 内部有多少个点？若不能，请说明理由. 8. (2018 合肥包河区一模)如图，每个图形可以看成由上下左右 4 个等腰梯形组成或者是由外围大正方形减去正中间的正方形(阴影部分) 所得，而每个等腰梯形又由若干个更小的全等正方形和全等等腰直
10、角三角形组成，且等腰直角三角形的面积正好是小正方形面积的一半，设小正方形的面积为 1，则第 1 个图形的面积为 4(214 )16，第 2 个图12形的面积为 4(515 )30，第 3 个图形的面积为 4(916 )48，12 12根据上述规律，解答下列问题：(1)第 4 个图形的面积为：4(_ 1_ )_，12(2)第 n 个图形的面积为：4_ 1_ (用含 n 的式子填空)；12(3)上面的图形还可看成一个大正方形再减去中间 1 个小正方形组成，这时，第 1 个图形的面积为(3 )22，第 2 个图形的面积为(4 )22，第 3 个图形的面积为(5 )22，2 2 2再根据这个规律，完成
11、下列问题：按此规律，第 n 个图形的面积为：_ 22( 用含 n 的式子填空)；比较两个猜想，写出你发现的结论并验证第 8 题图 9. (2016 安徽)(1)观察下列图形与等式的关系，并填空：第 9 题图(2)观察下图，根据(1) 中结论，计算图中黑球的个数，用含有 n 的代数式填空：135(2n1)(_)(2n1) 53 1_第 9 题图类型一 数式规律探索1. 解：(1)81；【解法提示】根据题意，观察发现：第 1 行的最后一个数为 121，第 2 行的最后一个数为 224，第 3 行的最后一个数为 329，第 4 行的最后一个数为 4216，第 5 行的最后一个数为 5225，第 6
12、行的最后一个数为 6236，第 n 行的最后一个数为 n2，第 9 行的最后一个数是 81.(2)(n1) 21，2n1, (n 2n 1)(2 n1)【解法提示】观察发现：第 1 行的第一个数为(11) 21 1，第 2 行的第一个数为(21) 212，第 3 行的第一个数为(31) 215，第 4 行的第一个数为(4 1) 2110，第 5 行的第一个数为(51) 2117，第 6 行的第一个数为 (61) 2126，第 n 行第一个数为(n1) 21；观察发现：第 1 行共有 1 个数，第 2 行共 3 个数，第 3 行共 5 个数，第 4 行共 7 个数，第 5 行共 9 个数，第 6
13、 行共 11 个数，第 n 行共(2n 1) 个数；由(1)知第 n 行的最后一个数为 n2，第 n 行的各数之和为 (2n1) (n 2n1)(2n1) （n 1）2 1 n222. 解：(1) ， ，；1418 17817【解法提示】观察上述等式发现：第(1)个等式：1 1；121 11（1 1） 121 1第(2)个等式： ；12 122 1（22 1）（22） 122 1 13第(3)个等式： ；13 123 1（23 1）（23） 123 1 15第(4)个等式为： .即 14 124 1（24 1）（24） 124 1 17 14 18 .178 17参考答案(2)第(n)个等式为
14、 .1n 12n 12n（2n 1） 12n 1证明：左边 右边2（2n 1） （2n 1） 12n（2n 1） 4n 2 2n 1 12n（2n 1） 12n 1原式成立3. 解：(1) ；19 110 190 15【解法提示】观察发现：第个等式： ；第个等式： 121 1 121 1（21 1）（21） 11 122 1 122 ；第个等式： ；1（22 1）（22） 12 123 1 123 1（23 1）（23） 13第个等式： ；第个等式：124 1 124 1（24 1）（24） 14 ，即 ；125 1 125 1（25 1）（25） 15 19 110 190 15(2)根据上
15、述规律，得第 n 个等式为 .12n 1 12n 12n（2n 1） 1n证明：左边 右边，2n 2n 1 12n（2n 1） 2（2n 1）2n（2n 1） 1n等式成立4. (1)43，n 2n1；2017 排在第 44 层，理由略；(2)第 99 层右侧最后三个数字的和为 29994.5. 解：(1) 根据题意可得，第五个等式为2526272829303132333435；(2)根据已知等式得，第 n 行的第 1 个数为 n2，12 2144，145 是第 12 行的第 2 个数. 6. 解：(1)91，n 2n1；【解法提示】根据题意可知，第 2 行最后一个数为 42 2，数字个数是
16、221；第 3 行最后一个数为 93 2，数字个数是 322；第 4 行最后一个数为 164 2，数字个数是 423；，第 10 行最后一个数为 102100，数字个数是 102991；第 n 行最后一个数为 n2，数字个数是 n2(n1) n 2n 1.(2)第 44 行最后一个数是 4421936，第 45 行第一个数字是 45，而最后一个数字是 4522025，4520192025，2019 最先出现在第 45 行7. 解：(1)第 1 个式子为：3 21 2(2 11) 2(211) 281；第 2 个式子为：5 23 2(2 21) 2(221) 282；第 3 个式子为：7 25
17、2(2 31) 2(231) 283；第 4 个式子为：(241) 2(241) 29 27 28432；即第 4 个式子为：9 27 232；(2)由(1)的推理过程可得，第 n 个式子为：(2n1) 2(2n1) 28n；证明：左边4n 24n14n 24n18n右边，所写等式成立；(3)816247928003 21 25 23 27 25 2201 2199 2201 2140400.8. 解：【问题提出】10，20；【规律探索】14233241 ；4566【问题解决】 .n（n 1）（n 2）69. 解：【规律探究】2n1，n（n 1）（2n 1）2；n（n 1）（2n 1）6【解法
18、提示】第 n1 行的第一个圆圈中的数分别为 n1，2，n，则n12n2n1；3(1 22 23 2n 2)(123n)(2n1) ；1 22 23 2n 2 n（n 1）（2n 1）2 n（n 1）（2n 1）2 13 .n（n 1）（2n 1）6【解决问题】1345.【解法提示】12 22 32 201721 2 3 20172017（2017 1）（22017 1）62017（2017 1）2 1345.22017 13类型二 图形规律探索1. 解：(1)完成表格如下：第 n 个图形 1 2 3 4 n“ ”的个数 3 6 9 12 3n “”的个数 1 3 6 10 n（n 1）2(2)
19、11.【解法提示】根据题意知 23n，n（n 1）2解得 n0(舍去)或 n11, 当 n11 时， “”的个数是“ ”的个数的 2 倍2. 解：(1)图有 2 枚“ ”，221 2，图有 8 枚“ ”，822 2，图有 18 枚“ ”，1823 2，图有 25250，第五个图形有 50 枚“ ”；(2)由(1)可得第 n 个图形有(2n 2)枚“ ”，令 2n22018，此方程无整数解，没有哪个图形有 2018 枚“ ”3. 解：(1)19；【解法提示】根据题意知 a412345419.(2) n2 n1；12 52【解法提示】a n123nn1n 2n1 n2 n1.n（n 1）2 12
20、52(3)当 n2 n143 时，12 52解得：n7(负值舍去)，第 7 个图形中的小黑点的个数为 43 个. 4. 解：(1) ，30，2n， ；1252 3n（n 1）2(2)由题意得， 165，解得 n110，n 211( 舍去)，即最上面有 10 个圆3n（n 1）2圈5. 解：(1)56， 1(或 )；n（n 1）2 n2 n 22【解法提示】观察发现：第 1 个图案有 112 个小正方形；第 2 个图案有 1214 个小正方形；第 3 个图案有 12317 个小正方形；第 4 个图案有 1234111 个小正方形；第 10 个图案有 123410156 个小正方形；第 n 个图案
21、有 1234n1 1 个小正方形. n（n 1）2(2)存在理由如下：令 137，n（n 1）2解得 n9(舍去)，或 n8，存在有 37 个小正方形的图案，是第 8 个图案6. 解：(1)1234 10；（1 4）42(2)10155 2；(3)由(1)(2)可知， n 2.n（n 1）2 n（n 1）2【解法提示】可以将(2)中点阵图分为两部分，一部分与(1)的点阵图完全相同，剩余部分与(1)中前一部分的点阵图完全相同，因此可以得出(2)中第 n 个点阵图等于(1)中第 n 个点阵图和 n1 个点阵图之和，n 2 .n（n 1）2 n（n 1）27. 解：(1)填写下表：正方形ABCD 内
22、的点的个数1 2 3 4 n分割成的三角形的个数4 6 8 10 2n2【解法提示】观察图形发现：有 1 个点时，内部分割成 4 个三角形；有 2 个点时，内部分割成 426 个三角形；有 3 个点时，内部分割成 4228 个三角形；有 4 个点时，内部分割成 42310 个三角形；有 n 个点时，内部分割成 42(n1) (2n2) 个三角形；(2) 能令 2n22008，解得 n1003.即此时正方形 ABCD 内部有 1003 个点8. 解：(1)14，7，70；(2)(23 4 nn1)(形式不唯一)，n3；(3)(n 2) ；2【解法提示】观察图形可知，第 1 个图形的面积为(12)
23、 22(3 )22；第 2 个2 2图形的面积为(2 2) 22 (4 )22，第 3 个图形的面积为(32) 22(5 )2 2 2 222，第 n 个图形的面积为(n2) 22.2 4(234nn1) 1 (n3)( n2) 22.12 2证明：右边2n 28n6；左边4 2(n3)(n1) 2n 28n6，n（n 3）2 n 32左边右边即 4(234nn1) 1 (n3)( n2) 22.12 29. 解：(1)4 2；n 2；【解法提示】观察每一行图形变换，可以发现，当小球有 4 行时，小球的总个数444 2(个)，第一个空填“4 2”；根据此规律可知，当小球有 n 行时，小球的总数n n n2，第二个空填“n 2”(2)2n1；2n 22n1.【解法提示】在连续的奇数中，2n1 后边的数是 2n1，第一个空填“2n1” ；由第(1)小题的结论可知，在等式的左边的数中， “2n1”前面的所有数之和等于 n2，后面的所有的数之和也等于 n2，总和n 2(2n1) n 22n 2 2n1，等式的右边填“2n22n1”
