1、2018 年辽宁省大连市中山区中考数学模拟试卷一选择题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）1如果|a| a，下列各式成立的是（ ）Aa0 Ba0 Ca0 Da02如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图），这个几何体的表面能展开成下面的哪个平面图形？（ ）A BC D3下列计算正确的是（ ）Aa 3+a2a 5 Ba 3a2a 5 C（2a 2） 36a 6 Da 6a2a 34计算： （ ）A1 B2 C1+ D5已知等腰三角形的一个内角为 40，则它的另外两个角的度数为（ ）A70，70 B40，70C100，40 D70，70 或 100，406面试时，某应聘者的学历、
2、经验和工作态度的得分分别是 70 分、80 分、60 分，若依次按照1：2：2 的比例确定成绩，则该应聘者的最终成绩是（ ）A60 分 B70 分 C80 分 D90 分7一个不透明的袋子里装有质地、大小都相同的 2 个红球和 1 个黑球，随机从中摸出一球，放回充分搅匀后再随机摸出一球，则两次都摸到黑球的概率是（ ）A B C D8如图，在ABC 中，高 AD 和 BE 交于点 H，且1222.5，下列结论：1 3； BD+DHAB ；2AH BH； 若 DFBE 于点 F，则 AEFH DF其中正确的结论是（ ）A B C D二填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）9如图，在
3、 33 的方阵图中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若处于每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的 3 个数之和都相等，则这个方阵图中 x 的值为 10已知 m6，则关于 x 的不等式（6m ）x m6 的解集为 11如果点（m，2m）在双曲线 上，那么双曲线在 象限12如图，在圆 O 中有折线 ABCO，BC6，CO4，BC60，则弦 AB 的长为 13已知关于 x 的二次函数 yax 2+（a 21）xa 的图象与 x 轴的一个交点的坐标为（m，0），若 3m4，则 a 的取值范围是 14如图，在一笔直的东西走向的沿湖道路上有 A，B 两个游船码头，观光岛屿 C
4、 在码头 A 北偏东60的方向，在码头 B 北偏西 45的方向，AC4km，则 BC km15如图，已知圆锥的母线 SA 的长为 4，底面半径 OA 的长为 2，则圆锥的侧面积等于 16一次函数 ykx2 的函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是 三解答题（共 4 小题，满分 39 分）17（9 分）计算：（1） +（2）（ ）（ + ）+（ 1） 218（9 分）解方程：x 25x+3019（9 分）已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AECF，且分别交对角线 BD 于点E，F 求证： AECF20（12 分）某校为了解九年级学生体育测试情况，以九年级（1）班学
5、生的体育测试成绩为样本，按 A，B ，C ，D 四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A 级：90 分100 分；B 级：75 分89 分；C 级：60 分74 分；D 级：60 分以下）（1）请把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中 D 级所在的扇形的圆心角度数是多少？（3）若该校九年级有 600 名学生，请用样本估计体育测试中 A 级学生人数约为多少人？四解答题（共 3 小题，满分 28 分）21（9 分）松滋临港贸易公司现有 480 吨货物，准备外包给甲、乙两个车主来完成运输任务，已知甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用
6、 10 天，而乙车主每天运输的吨数是甲车主的 1.5 倍，公司需付甲车主每天 800 元运输费，乙车主每天运输费 1200 元，同时公司每天要付给发货工人 200 元工资（1）求甲、乙两个车主每天各能运输多少吨货物？（2）公司制定如下方案，可以单独由甲乙任意一个车主完成，也可以由两车主合作完成请你通过计算，帮该公司选择一种既省钱又省时的外包方案22（9 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ykx+b（k0）与双曲线 y 相交于点A（m， 6）和点 B（3，n），直线 AB 与 y 轴交于点 C（1）求直线 AB 的表达式；（2）求 AC：CB 的值23（10 分）如图，AB 为 O
7、的直径，P 在 BA 的延长线上，C 为圆上一点，且PCAB（1）求证：PC 与O 相切；（2）若 PA4，O 的半径为 6，求 BC 的长五解答题（共 3 小题，满分 35 分）24（11 分）将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合，折痕交 AD 于 E，交 BC于 F，边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G（如图）（1）如果 M 为 CD 边的中点，求证： DE：DM：EM3：4：5；（2）如果 M 为 CD 边上的任意一点，设 AB2a，问CMG 的周长是否有与点 M 的位置关系？若有关，请把CMG 的周长用含 CM 的长 x 的代数式表示；若无关，请说明理由
8、25（12 分）如图，将边长为 6 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 AB 边的点 E 处，折痕为 FH，点 C 落在 Q 处，EQ 与 BC 交于点 G，若 tanAEF（1）求证：AEFBGE；（2）求EBG 的周长26（12 分）如图，已知抛物线 yx 2+bx+c 与一直线相交于 A（1，0）、C（2，3）两点，与y 轴交于点 N，其顶点为 D（1）求抛物线及直线 AC 的函数关系式；（2）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求APC 的面积的最大值及此时点 P 的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点 M，使ANM 的周长最小若存在，请求出 M 点的坐标和ANM 周
9、长的最小值；若不存在，请说明理由2018 年辽宁省大连市中山区中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一选择题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）1如果|a| a，下列各式成立的是（ ）Aa0 Ba0 Ca0 Da0【分析】由条件可知 a 是绝对值等于本身的数，可知 a 为 0 或正数，可得出答案【解答】解：|a| a，a 为绝对值等于本身的数，a0，故选：C【点评】本题主要考查绝对值的计算，掌握绝对值等于它本身的数有 0 和正数（即非负数）是解题的关键2如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图），这个几何体的表面能展开成下面的哪个平面图形？（ ）A BC D【分析】由主视图和左视
10、图可得此几何体为柱体，根据俯视图是圆可判断出此几何体为圆柱，进一步由展开图的特征选择答案即可【解答】解：主视图和左视图都是长方形，此几何体为柱体，俯视图是一个圆，此几何体为圆柱，因此图 A 是圆柱的展开图故选：A【点评】此题由三视图判断几何体，用到的知识点为：三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个视图确定其具体形状3下列计算正确的是（ ）Aa 3+a2a 5 Ba 3a2a 5 C（2a 2） 36a 6 Da 6a2a 3【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别计算得出答案【解答】解：A、a 3+a2，无法计算，故此选项错误；B、a 3a2a 5
11、，正确；C、（2a 2） 38a 6，故此选项错误；D、a 6a2a 4，故此选项错误；故选：B【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算和积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键4计算： （ ）A1 B2 C1+ D【分析】按同分母分式的减法法则计算即可【解答】解：法一、1故选：A法二、 + 1故选：A【点评】本题考查了分式的减法掌握同分母分式的减法法则是解决本题的关键5已知等腰三角形的一个内角为 40，则它的另外两个角的度数为（ ）A70，70 B40，70C100，40 D70，70 或 100，40【分析】已知给出了一个内角是 40，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还需
12、用三角形内角和定理去验证每种情况是不是都成立【解答】解：分情况讨论：（1）若等腰三角形的顶角为 40时，另外两个内角（18040）270；（2）若等腰三角形的底角为 40时，它的另外一个底角为 40，顶角为 1804040100故选：D【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键6面试时，某应聘者的学历、经验和工作态度的得分分别是 70 分、80 分、60 分，若依次按照1：2：2 的比例确定成绩，则该应聘者的最终成绩是（ ）A60 分 B70 分 C80 分 D90 分【分析】根据题目
13、中的数据和加权平均数的计算方法可以解答本题【解答】解：70 +80 +6014+32+2470（分），故选：B【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法7一个不透明的袋子里装有质地、大小都相同的 2 个红球和 1 个黑球，随机从中摸出一球，放回充分搅匀后再随机摸出一球，则两次都摸到黑球的概率是（ ）A B C D【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黑球的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：画树状图得：共有 9 种等可能的结果，两次都摸到黑球的有 1 种情况，两次都摸到黑球的概率是 ，故选：C【点评】本题考查的是用列表法或
14、画树状图法求概率注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件注意概率所求情况数与总情况数之比8如图，在ABC 中，高 AD 和 BE 交于点 H，且1222.5，下列结论：1 3； BD+DHAB ；2AH BH； 若 DFBE 于点 F，则 AEFH DF其中正确的结论是（ ）A B C D【分析】根据角平分线、高、等腰直角三角形的性质依次判断即可得出答案【解答】解：1222.5，又AD 是高，2+C3+C，13， 12 22.5，ABDBAD，ADBD ，又23，ADBADC，BDH ADC ，DHCD，ABB
15、C，BD+ DHAB，无法证明，可以证明，故选：C【点评】本题主要考查了角平分线、高、等腰直角三角形的性质，比较综合，难度适中二填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）9如图，在 33 的方阵图中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若处于每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的 3 个数之和都相等，则这个方阵图中 x 的值为 5 【分析】根据题意得出 x+2+2x+102+（1）+（2x+10 ），进而求出答案【解答】解：由题意可得：x+2+2x +102+（1）+（ 2x+10），整理得：3x+122x +7，解得：x5，故答案为：5【点评】此题主要考
16、查了有理数的加法，正确得出关于 x 的等式是解题关键10已知 m6，则关于 x 的不等式（6m ）x m6 的解集为 x1 【分析】根据题意判断出 6m 的正负，求出不等式的解集即可【解答】解：m6，6m0，不等式解集为 x1，故答案为：x1【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键11如果点（m，2m）在双曲线 上，那么双曲线在 第二、四 象限【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特征：图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即 xyk 可得 k2m 20，根据反比例函数的性质可得答案【解答】解：点（m，2 m）在双曲线 （k0）上，m（2m）k ，解得：k2m
17、2，2m 20，双曲线在第二、四象限故答案为：第二、四【点评】此题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，以及反比例函数的性质，关键是掌握图象上的点（x，y ）的横纵坐标的积是定值 k，即 xyk12如图，在圆 O 中有折线 ABCO，BC6，CO4，BC60，则弦 AB 的长为 10 【分析】作 ODAB 垂足为 D，利用垂径定理得 AB2BD，作 OEAB 交 BC 于 E，构造等边COE，过 E 点作 EFAB，垂足为 F，得 RtBEF，而B60，可得 BF BE，再根据BDBF+DF 求 BD【解答】解：如图，作 ODAB 垂足为 D，OE AB 交 BC 于 E，过 E 点作 E
18、FAB，垂足为F，OEAB，COE 为等边三角形，OECEOC4，ODAB，EFAB，DFOE 4，BE BCCE2，在 Rt BEF 中，B 60 ，BF BE1，BDBF+DF1+45，由垂径定理，得 AB2BD 10故答案为：10【点评】本题考查了垂径定理，等边三角形的性质关键是通过作辅助线，得出等边三角形，30的直角三角形，利用垂径定理求 AB13已知关于 x 的二次函数 yax 2+（a 21）xa 的图象与 x 轴的一个交点的坐标为（m，0），若 3m4，则 a 的取值范围是 a 或4a3 【分析】先用 a 表示出抛物线与 x 轴的交点，再分 a0 与 a0 两种情况进行讨论即可【
19、解答】解：yax 2+（a 21）x a（ax1）（x+a ），当 y0 时，x 1 ，x 2a，抛物线与 x 轴的交点为（ ，0）和（a，0）抛物线与 x 轴的一个交点的坐标为（m ，0）且 3m 4，当 a0 时，3 4，解得 a ；当 a0 时，3a4，解得4a3故答案为： a 或4a3【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，关键是在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解14如图，在一笔直的东西走向的沿湖道路上有 A，B 两个游船码头，观光岛屿 C 在码头 A 北偏东60的方向，在码头 B 北偏西 45的方向，AC4km，则 BC 2 km 【分析】作 CDAB 于点 D，在 RtA
20、CD 中利用三角函数求得 CD 的长，然后在 RtBCD 中求得 BC 的长【解答】解：作 CDAB 于点 B在 RtACD 中，CAD 906030，CDACsinCAD4 2（km ），RtBCD 中， CBD90 ，BC CD2 （km ），故答案是：2 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，转化为直角三角形的计算，求得 BC 的长是关键15如图，已知圆锥的母线 SA 的长为 4，底面半径 OA 的长为 2，则圆锥的侧面积等于 8 【分析】圆锥的侧面积就等于母线长乘底面周长的一半依此公式计算即可【解答】解：侧面积4428 故答案为 8【点评】本题主要考查了圆锥的计算，正确理解
21、圆锥的侧面积的计算可以转化为扇形的面积的计算，理解圆锥与展开图之间的关系16一次函数 ykx2 的函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是 k0 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，利用一次函数的性质可知：当一次函数的系数小于零时，一次函数的函数值 y 随着自变量 x 的增大而减小，即可得到答案【解答】解：一次函数 ykx2，y 随 x 的增大而减小，所以一次函数的系数 k0，故答案为：k0【点评】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，正确记忆一次函数的性质是解题关键三解答题（共 4 小题，满分 39 分）17（9 分）计算：（1） +（2）（ ）（ + ）+（ 1）
22、 2【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减可得【解答】解：（1）原式4 3 + ；（2）原式52+42 72 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则18（9 分）解方程：x 25x+30【分析】找出 a，b，c 的值，计算出根的判别式的值大于 0，代入求根公式即可求出解【解答】解：这里 a1，b5，c3，251213，x ，则 x1 ，x 2 【点评】此题考查了解一元二次方程公式法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出 a，b 及 c 的值，然后当根的判别
23、式大于等于 0 时，代入求根公式即可求出解19（9 分）已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AECF，且分别交对角线 BD 于点E，F 求证： AECF【分析】由 AE 与 CF 平行，得到一对内错角相等，可得出领补角相等，由四边形 ABCD 为平行四边形，得到 AD 与 BC 平行且相等，利用 AAS 得到三角形 ADE 与三角形 CBF 全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证【解答】解：四边形 ABCD 为平行四边形，ADBC，ADBC，ADECBF，AECF，AEF CFE，AEDCFB，ADECBF，AECF【点评】此题考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练
24、掌握各自的性质是解本题的关键20（12 分）某校为了解九年级学生体育测试情况，以九年级（1）班学生的体育测试成绩为样本，按 A，B ，C ，D 四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A 级：90 分100 分；B 级：75 分89 分；C 级：60 分74 分；D 级：60 分以下）（1）请把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中 D 级所在的扇形的圆心角度数是多少？（3）若该校九年级有 600 名学生，请用样本估计体育测试中 A 级学生人数约为多少人？【分析】（1）根据 A 等人数为 10 人，占扇形图的 20%，求出总人数，可以得出 D
25、 的人数，即可画出条形统计图；（2）根据 D 的人数即可得出所占百分比，进而得出所在的扇形的圆心角度数；（3）利用总体人数与 A 组所占比例即可得出 A 级学生人数【解答】解：（1）总人数是：1020%50，则 D 级的人数是：5010 23125条形统计图补充如下：；（2）D 级的学生人数占全班学生人数的百分比是： 146%20%24%10%；D 级所在的扇形的圆心角度数是 36010%36；（3）A 级所占的百分比为 20%，A 级的人数为：60020%120（人）【点评】此题主要考查了条形图的应用以及用样本估计总体和扇形图统计图的应用，利用图形获取正确信息以及扇形图与条形图相结合是解决问
26、题的关键四解答题（共 3 小题，满分 28 分）21（9 分）松滋临港贸易公司现有 480 吨货物，准备外包给甲、乙两个车主来完成运输任务，已知甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用 10 天，而乙车主每天运输的吨数是甲车主的 1.5 倍，公司需付甲车主每天 800 元运输费，乙车主每天运输费 1200 元，同时公司每天要付给发货工人 200 元工资（1）求甲、乙两个车主每天各能运输多少吨货物？（2）公司制定如下方案，可以单独由甲乙任意一个车主完成，也可以由两车主合作完成请你通过计算，帮该公司选择一种既省钱又省时的外包方案【分析】（1）设甲车主每天能运输 x 吨货物，则乙车主每天能运
27、输 1.5x 吨货物，根据工作时间工作总量工作效率结合甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用 10 天，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）根据工作时间工作总量工作效率及总费用每日所需费用运输天数，分别求出甲车主单独完成、乙车主单独完成及甲、乙两车主合作完成所需时间及总费用，比较后即可得出结论【解答】解：（1）设甲车主每天能运输 x 吨货物，则乙车主每天能运输 1.5x 吨货物，根据题意得： 10，解得：x16，经检验，x16 是原方程的解，且符合题意，1.5x24答：甲车主每天能运输 16 吨货物，乙车主每天能运输 24 吨货物（2）甲车主单独完成所需时间
28、为 4801630（天），乙车主单独完成所需时间为 4802420（天），甲、乙两车主合作完成所需时间为 480（16+24）12（天），甲车主单独完成所需费用为 30（800+200）30000（元），乙车主单独完成所需费用为 20（1200+200）28000（元），甲、乙两车主合作完成所需费用为 12（800+1200+200） 26400（元）300002800026400，302012，该公司选择由两车主合作完成既省钱又省时【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）分别求出三种外包方案所需时间及总费用22（9 分）如图，在平面直角坐标
29、系 xOy 中，直线 ykx+b（k0）与双曲线 y 相交于点A（m， 6）和点 B（3，n），直线 AB 与 y 轴交于点 C（1）求直线 AB 的表达式；（2）求 AC：CB 的值【分析】（1）根据反比例函数的解析式可得 m 和 n 的值，利用待定系数法求一次函数的表达式；（2）作辅助线，构建平行线，根据平行线分线段成比例定理可得结论【解答】解：（1）点 A（m ，6）和点 B（3，n）在双曲线 ，6m6，3n6，m1，n2点 A（1，6），点 B（3，2）（2 分）将点 A、B 代入直线 ykx+ b，得 ，解得 （4 分）直线 AB 的表达式为：y 2x +4（5 分）（2）分别过点
30、A、B 作 AMy 轴，BNy 轴，垂足分别为点 M、N （6 分）则AMOBNO90，AM1，BN3，（7 分）AMBN， （8 分） （10 分）【点评】本题是一次函数和反比例函数的综合问题，考查了反比例函数和一次函数的交点问题，将点的坐标代入解析式中可得交点坐标，对于交点问题：可利用方程组的解来求两函数的交点坐标；本题还考查了平行线分线段成比例定理23（10 分）如图，AB 为 O 的直径，P 在 BA 的延长线上，C 为圆上一点，且PCAB（1）求证：PC 与O 相切；（2）若 PA4，O 的半径为 6，求 BC 的长【分析】（1）连接 OC，如图，利用圆周角定理得2+390，再证明1
31、3，则1+290，然后根据切线的判定定理可得到 PC 与O 相切；（2）先利用勾股定理得到 PC8，再证明PACPCB，利用相似比得 ，然后在RtABC 中，利用勾股定理得到 BC2+BC212 2，从而解 BC 的方程即可【解答】（1）证明：连接 OC，如图，AB 为O 的直径，ACB90，即2+3 90，1B，3B，13，1+290，即PCO90，OCPC，PC 与O 相切；（2）解：在 RtPOC 中，PC 8，CPABPC，1B，PACPCB， ，在 Rt ABC 中，AC 2+BC2AB 2， BC2+BC212 2，BC 【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这
32、条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”也考查了圆周角定理五解答题（共 3 小题，满分 35 分）24（11 分）将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合，折痕交 AD 于 E，交 BC于 F，边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G（如图）（1）如果 M 为 CD 边的中点，求证： DE：DM：EM3：4：5；（2）如果 M 为 CD 边上的任意一点，设 AB2a，问CMG 的周长是否有与点 M 的位置关系？若有关，请把CMG 的周长用含 CM 的长
33、x 的代数式表示；若无关，请说明理由【分析】（1）正方形的证明题有时用计算方法证明比几何方法简单，此题设正方形边长为a，DE 为 x，则根据折叠知道 DM ，EM EAax，然后在 RtDEM 中就可以求出 x，这样 DE，DN，EM 就都用 a 表示了，就可以求出它们的比值了；（2）CMG 的周长与点 M 的位置无关设 CMx，DEy，则 DM2ax ，EM2ay，然后利用正方形的性质和折叠可以证明DEMCMG ，利用相似三角形的对应边成比例可以把CG，MG 分别用 x，y 分别表示，CMG 的周长也用 x，y 表示，然后在 RtDEM 中根据勾股定理可以得到 4axx 24ay ，结合 C
34、MG 的周长，就可以判断CMG 的周长与点 M 的位置无关【解答】（1）证明：设正方形边长为 a，DE 为 x，则 DM ，EMEAax在 Rt DEM 中，D90 ，DE 2+DM2EM 2x2+（ ） 2（ax） 2xEMDE：DM：EM3：4：5；（2）解：CMG 的周长与点 M 的位置无关证明：设 CMx，DE y，则 DM2ax，EM2ay，EMG90，DME+CMG90 度DME+DEM 90，DEMCMG，又DC90DEMCMG ， 即CGCMG 的周长为 CM+CG+MG在 Rt DEM 中，DM 2+DE2EM 2即（2ax） 2+y2（2ay ） 2整理得 4axx 24a
35、yCM+MG+CG 4a所以CMG 的周长为 4a，与点 M 的位置无关【点评】正方形的有些题目有时用代数的计算证明比用几何方法简单，甚至几何方法不能解决的用代数方法可以解决本题综合考查了相似三角形的应用和正方形性质的应用25（12 分）如图，将边长为 6 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 AB 边的点 E 处，折痕为 FH，点 C 落在 Q 处，EQ 与 BC 交于点 G，若 tanAEF（1）求证：AEFBGE；（2）求EBG 的周长【分析】（1）根据同交的余角相等证明AFEBEG，则可以根据两角对应相等的两个三角形相似即可证得；（2）根据 tanAEF 可得 AF：AE3：4，则
36、设 AF3x，AE4x，则 EFDF5x ，根据AD6 即可求得 x 的值则 BE 即可求得，然后根据AEFBGE ，求得EBG 的边长，从而求解【解答】解：（1）由折叠可知：FEQD 90，EF DFAEF +AFE90， AEF+BEG90AFE BEG，又AB90，AEF BGE；（2）在 RtAEF 中，tan AEFAF：AE3：4 设 AF3x，AE4x，则 EFDF5x3x+5x6AF ，AE3，EF AEF BGE， 即 ，BG4，GE5EBG 的周长为 3+4+512 【点评】本题考查了图形的折叠与相似三角形的判定与性质，以及三角函数的定义，正确求得x 的值是本题的关键26（
37、12 分）如图，已知抛物线 yx 2+bx+c 与一直线相交于 A（1，0）、C（2，3）两点，与y 轴交于点 N，其顶点为 D（1）求抛物线及直线 AC 的函数关系式；（2）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求APC 的面积的最大值及此时点 P 的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点 M，使ANM 的周长最小若存在，请求出 M 点的坐标和ANM 周长的最小值；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据点 A，C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线 AC 的函数关系式；（2）过点 P 作 PEy 轴交 x 轴于点 E，交直线 AC 于点 F，过点 C 作 CQy 轴交 x 轴
38、于点 Q，设点 P 的坐标为（x ，x 2 2x+3）（2x1），则点 E 的坐标为（x ，0），点 F 的坐标为（x，x+1），进而可得出 PF 的值，由点 C 的坐标可得出点 Q 的坐标，进而可得出 AQ 的值，利用三角形的面积公式可得出 SAPC x2 x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点 N 的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点 C，N 的坐标可得出点 C，N 关于抛物线的对称轴对称，令直线 AC 与抛物线的对称轴的交点为点 M，则此时ANM 周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点 M 的坐标，以及利用两点间
39、的距离公式结合三角形的周长公式求出ANM 周长的最小值即可得出结论【解答】解：（1）将 A（1，0），C（2，3）代入 yx 2+bx+c，得：，解得： ，抛物线的函数关系式为 yx 22x +3；设直线 AC 的函数关系式为 ymx +n（m 0），将 A（1，0），C（2，3）代入 ymx +n，得：，解得： ，直线 AC 的函数关系式为 yx+1（2）过点 P 作 PEy 轴交 x 轴于点 E，交直线 AC 于点 F，过点 C 作 CQy 轴交 x 轴于点 Q，如图 1 所示设点 P 的坐标为（x ，x 2 2x+3）（2x1），则点 E 的坐标为（x ，0），点 F 的坐标为（x，x+
40、1），PEx 22x +3，EF x+1，EFPEEF x 22x+3（x+1）x 2x+2点 C 的坐标为（2，3），点 Q 的坐标为（2，0），AQ1（2）3，S APC AQPF x2 x+3 （x+ ） 2+ 0，当 x 时，APC 的面积取最大值，最大值为 ，此时点 P 的坐标为（ ， ）（3）当 x0 时，y x 2 2x+33，点 N 的坐标为（0，3）yx 22x +3（x+1 ） 2+4，抛物线的对称轴为直线 x1点 C 的坐标为（2，3），点 C，N 关于抛物线的对称轴对称令直线 AC 与抛物线的对称轴的交点为点 M，如图 2 所示点 C，N 关于抛物线的对称轴对称，MNC
41、M，AM+MNAM +MCAC，此时ANM 周长取最小值当 x1 时，y x +12，此时点 M 的坐标为（1， 2）点 A 的坐标为（1，0），点 C 的坐标为（2，3），点 N 的坐标为（0，3），AC 3 ，AN ，C ANM AM+MN+ANAC+AN 3 + 在对称轴上存在一点 M（ 1，2），使ANM 的周长最小，ANM 周长的最小值为 3 +【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线 AC 的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出 SAPC x2 x+3；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点 M 的位置
