1、第 4 章 因式分解42 提取公因式法知识点 1 多项式的公因式一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式1多项式6m 3n3m 2n212m 2n3的公因式为( )A3mn B3m 2nC3mn 2 D3m 2n2知识点 2 提取公因式法分解因式如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解这种分解因式的方法，叫做提取公因式法注意 当多项式的某项恰为公因式时，提公因式后，另一个因式中不要漏掉“1”或“1” 2把下列各式分解因式：(1)x25x；(2)2x2y24y 3z；(3)5a 225a；(4)14x2y21xy 27xy.知识点 3
2、添括号法则括号前面是“”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“”号，括到括号里的各项都变号3添括号：12a(_)；a 22abb 2(_)探究 一 用提取公因式法处理较复杂的因式分解题教材例 2 变式题分解因式：(1)x2(y2)x(2y)；(2)2(a3) 2a3.归纳总结 提取公因式法分解因式的关键是确定多项式中各项的公因式，尤其需要注意的是公因式可以是数，也可以是单项式和多项式探究 二 提取公因式法的简单应用教材补充题 5235 21能被 120 整除吗？反思 分解因式：6ab 29a 2b3b.解：6ab 29a 2b3b(6ab 29a 2b3b)(3b2ab3b3a 23b)3
3、b(2ab3a 2)(1)找错：从第_步开始出现错误；(2)纠错：一、选择题12015武汉把 a22a 分解因式，正确的是( )Aa(a2) Ba(a2)Ca(a 22) Da(2a)2在把多项式 5xy225x 2y 提取公因式时，被提取的公因式为( )A5 B5x C5xy D25xy3下列多项式中，能用提取公因式法进行因式分解的是( )Ax 2y Bx 22xCx 2y 2 Dx 2xyy 24下列各式用提公因式因式分解正确的是( )Aa 2b7abbb(a 27a)B3x 2y3xy6y3y(x 2x2)C4x 42x 3yx 3(4x2y)D2a 24ab6ac2a(a2b3c)5若
4、 mn1，则(mn) 22m2n 的值是( )A3 B2 C1 D16. (8) 2017能被下列数整除的是( )( 8)2018 A3 B5 C7 D9二、填空题72016丽水分解因式：am3a_8在括号前面添上“”或“”号或在括号内填空(1)ab_(ab)；(2)m 22m5(_)；(3)(xy) 3_(yx) 3.9因式分解：m(xy)n(xy)_10已知 xy6，xy3，则 x2yxy 2_11计算 22016(2) 2017的结果为_12已知(2x21)(3x7)(3x7)(x13)可分解因式为(3xa)(xb)，其中 a，b均为整数，则 a3b_三、解答题13用提取公因式法将下列各
5、式分解因式：(1)6xyz3xz 2；(2)x4yx 3z；(3)x(mx)(my)m(xm)(ym)14.边长分别为 a，b 的长方形，它的周长为 14，面积为 10，求 a2bab 2的值15.已知 2xy6，x3y1，求 7y(x3y) 22(3yx) 3的值16试说明：对于任意自然数 n，2 n4 2 n都能被 5 整除17如图 421，长方形的长为 a，宽为 b，试说明：长方形中带有阴影的三角形的面积之和等于该长方形面积的一半图 42118三角形 ABC 的三边长分别为 a，b，c，且 a2abc2bc，请判断三角形 ABC 的形状，并说明理由阅读下列因式分解的过程，解答下列问题：1
6、xx(x1)x(x1) 2(1x)1xx(x1)(1x) 2(1x)(1x) 3.(1)上述分解因式的方法是_，共应用了_次(2)若分解 1xx(x1)x(x1) 2x(x1) 2017，则需要应用上述方法_次，结果是_(3)分解因式：1xx(x1)x(x1) 2x(x1) n(n 为正整数)详解详析教材的地位和作用本节所学的提取公因式法是因式分解最基本、最常用的方法，是因式分解的基础，也为以后学习因式分解的其他方法及利用因式分解解整式方程(如一元二次方程)打下坚实的基础，从而也提高了学生的运算能力知识与技能1.在具体情境中认识公因式；2.通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式
7、法，并能熟练地运用提取公因式法分解因式过程与方法1.树立学生“化零为整” “化归”的数学思想，使学生能完整地、辩证地看问题；2.树立学生全面分析问题、认识问题的思想，提高学生分析问题及逆向思维的能力教学目标 情感、态度与价值观在数学活动中通过观察、对比、交流和讨论，发掘知识，使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性重点 用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则难点 添括号法则及换元思想在因式分解中的应用教学重点难点 易错 点 提取公因式时，易漏项或符号改变时出错，求“公因式”和“因式分解” 的填空题易错【预习效果检测】1解析 B 因为首项系数为负，各项系数的最大公约数是 3，字母 m 的最低次幂
8、是2，字母 n 的最低次幂是 1，所以公因式是3 m2n.2解析 在用提取公因式法分解因式时，关键是确定公因式，然后用多项式除以这个公因式，所得的商即为另一个因式解：(1) x25 x x(x5)(2)2x2y24 y3z2 y2(x22 yz)(3)5 a225 a5 a(a5)(4)14x2y21 xy27 xy7 xy(2x3 y1)312 a a22 ab b2【重难互动探究】例 1 解析 (1)显然只需将 2y 变形后，即可提取公因式 x(y2)(2)首先把2(a3) 2a3 变为 2(a3) 2(a3)，再将 a3 看成整体提取公因式即可解：(1)原式x 2(y2)x(y2)x(y
9、2)(x1)(2)原式2(a3) 2(a3)(a3)(2a7)例 2 解：原式5 20(535)5 20120，5 235 21能被 120 整除【课堂总结反思】反思 (1)(2)6ab 29a 2b3b(6ab 29a 2b3b)(3b2ab3b3a 23b)3b(2ab3a 21)【作业高效训练】课堂达标1 A 2. C 3. B4解析 B A 选项括号内的多项式的项数漏掉了一项 C 选项括号内的多项式中仍有公因式 D 选项提取负号后括号里有一项没有改变符号5 A6解析 C 原式8 20188 20178 2017(81)8 20177.故能被 7 整除7答案 a(m3)8答案 (1) (
10、2)m 22m5 (3)9答案 (xy)(mn)10答案 1811答案 2 2016解析 2 2016(2) 20172 201622 20162 2016(12)2 2016.12答案 3113解析 (1)(2)题直接提取公因式分解因式即可，(3)题要进行适当地变形后再运用提取公因式法分解因式解：(1)6xyz3xz 23xz(2yz)(2)x4yx 3zx 3(xyz)(3)x(mx)(my)m(xm)(ym)x(mx)(my)m(mx)(my)(mx)(my)(xm)(mx) 2(my)14解析 先可得 ab 和 ab 的值，然后将 a2bab 2分解因式即可得到答案解：由题意得 ab1
11、0，ab7，所以 a2bab 2ab(ab)10770.15解析 先提取公因式分解因式，然后代入求值解：原式7y(x3y) 22(x3y) 3(x3y) 27y2(x3y)(x3y) 2(2xy)1 266.16解：2 n4 2 n2 n(241)2 n152 n35，2 n4 2 n一定能被 5 整除17解：S 阴影 a1b a2b a3b a4b12 12 12 12 b(a1a 2a 3a 4)12 ab S 长方形12 12即长方形中带有阴影的三角形的面积之和等于该长方形面积的一半18解：三角形 ABC 是等腰三角形理由：a2abc2bc，(ac)2b(ac)0，(ac)(12b)0.故 ac 或 12b0，显然 b ，故 ac.12三角形 ABC 为等腰三角形数学活动解：(1)上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了 2 次(2)需应用上述方法 2017 次，结果是(1x) 2018.(3)原式(1x)1xx(x1)x(x1) 2x(x1) n1 (1x) 21xx(x1)x(x1) 2x(x1) n2 (1x) 31xx(x1)x(x1) 2x(x1) n3 (1x) n(1x)(1x) n1 .
