1、17.5 一元二次方程的应用,第17章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,学习目标,1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题.(重点） 2.掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义,检验结果的合理性. （重点、难点）,导入新课,问题引入,小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？,讲授新课,填空： 1. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650 元，则下降率是 .如果保持这个下降率，则现在生
2、产1吨甲种药品的成本是 元.,探究归纳,7%,4324.5,下降率=,下降前的量-下降后的量,下降前的量,2. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元.,下降率x,第一次降低前的量,5000(1-x),第一次降低后的量,5000,下降率x,第二次降低后的量,第二次降低前的量,5000(1-x)(1-x),5000(1-x)2,5000(1-x),5000(1-x)2,例1 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元
3、，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？,解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得,5 000 ( 1x )2 = 3000，,解方程，得,x10.225，x21.775.,根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5.,下降率不可为负，且不大于1.,例2 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率,解：设这个增长率为x.根据题意，得,答：这个增长率为50%.,200+200(1+x) +200(1+x)2=950,整理方程，得,4x2+12x-7=0，,解这个方程得,x1=
4、-3.5（舍去），x2=0.5.,增长率不可为负，但可以超过1.,方法归纳,建立一元二次方程模型,分析数量关系设未知数,检 验,运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？,例3 要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）,27cm,21cm,分析:这本书的长宽之比 ： 正中央的矩形长宽之比 ： ，上下边衬与左右边衬之比 ： .,9,9,27cm,21cm,解：设中央长方形的长和宽分别为9a和7a由此得到上下边衬宽度之比为
5、：,9,7,7,7,27cm,21cm,解:设上下边衬的9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得,解方程得,故上下边衬的宽度为:,故左右边衬的宽度为:,方程的哪个根合乎实际意义? 为什么?,试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？,解:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm.依题意得,27cm,21cm,解得,故上下边衬的宽度为:,故左右边衬的宽度为:,主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;,方法点拨,例4 如图所示，在ABC中，C=90， AC=6
6、cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使PCQ的面积为9cm？,根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm,解：若设点P，Q出发xs后可使PCQ的面积为9cm,整理，得,解得 x1= x2=3,答：点P，Q出发3s后可使PCQ的面积为9cm.,例5：如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？,解：设水渠宽为xm，将
7、所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为 (922x)m, 宽(60-x)m. (92-2x)(60-x)= 6885.,解得 x1=105(舍去），x2=1.,注意：结果应符合实际意义,答：水渠宽应挖1m.,我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.,方法点拨,例6 一组学生组织春游，预计共需费用120元.后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元.问原来这组学生的人数是多少?,分析：设原来这组学生的人数是x人，则把体重信息整理成下表：,解：设原来这组学生的人数是x人
8、，由题意得，,两边同乘以x(x+2)，整理，得，,x2+2x80=0.,解这个方程，得，,x1=-10，x2=8.,经检验x1=-10，x2=8都是原方程的根，但x1=-10不符合题意，所以取x=8.,答：原来这组学生是8人.,解分式方程应用题时，所得根不仅要检验根是否为增根，还要考虑它是否符合题意.,方法点拨,当堂练习,1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( ) A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500 2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年
9、的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为 .,B,2(1+x)+2(1+x)2=8,3. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ） Ax2+130x-1400=0 Bx2+65x-350=0 Cx2-130x-1400=0 Dx2-65x-350=0,B,4.青山村种的水稻去年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率.,解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x, 根据题意，得
10、 系数化为1得， 直接开平方得， 则,答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.,7200(1+x)2=8712,(1+x)2=1.21,1+x=1.1,1+x=-1.1,x1=0.1,x2=-1.1,5. 如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.,解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为(32-x)米，列方程得,(20-x)(32-x)=540，,整理得 x2-52x+100=0，,解得 x1=50(舍去），x2=2.,答：道路宽为2米.,能力提升 菜农李伟种植的某蔬菜，计
11、划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售. （1）求平均每次下调的百分率；,解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1x)2=3.2，解得 x1=20%，x2=1.8 （舍去）平均每次下调的百分率为20%.,（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.,解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下： 方案一所需费用为：3.20.95000=14400（元）； 方案二所需费用为：3.250002005=15000（元）， 1440015000， 小华选择方案一购买更优惠.,课堂小结,一元二次方程的应用,增长率,a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.,降低率,a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.,平均变化率问题,几何图形,常见几何图形面积是等量关系.,其他类型问题,
