1、十、应用题（一）试题细目表地区+题号 类 型 考 点 思 想 方 法2018南通泰州期末18 解 答 直线、圆、三角函数的定义、基本不等式建模思想2018无锡期末17 解 答 2018镇江期末17 解 答 2018扬州期末17 解 答 2018常州期末17 解 答 2018南京盐城期末17 解 答 2018苏州期末17 解 答 2018苏北四市期末17 解 答 （二）试题解析1.（2018南通泰州期末18）如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为 的正方形 ，另一部80cmABCD分是以 为直径的半圆，其圆心为 .规划修建的 条直道 ， ， 将广场分ADO3P割为 个区域：、为绿化区域
2、（图中阴影部分） ，、为休闲区域，其中6点 在半圆弧上， 分别与 ， 相交于点 ， .（道路宽度忽略不计） PPBCEF【答案】 【解】以 所在直线为 轴，以线段 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系.ADxADy（1）直线 的方程为 ，PB2y半圆 的方程为 ，O240x()由 得 .22,40(),yxy165所以，点 到 的距离为 .PADm（2）由题意，得 .(40cos,in)P直线 的方程为B，sin280()co1yx令 ，得.s40in2Ex8cos40ini2直线 的方程为 ，PC()cs1yx令 ，得 .0y8o04in2Fx8cos40ini2所以， 的长度为E， .()FE
3、fx8sin20,区域、的面积之和为，180si2n2S640sin2区域的面积为，240siSEF180si4si2n2160sin所以 .21260sin40S()2设 ，则 ，sint3t.21260()40St.8()t1(28)60(21)当且仅当 ，即 时“ ”成立.tsin所以，休闲区域、的面积 的最小值为 .12S2640(1)m答：当 时，绿化区域、的面积之和最大.sin22.（2018 无锡期末17）如图，点 为某沿海城市的高速公路出入口，直线 为海岸线， ，CBD3CAB， 是以 为圆心，半径为 的圆弧型小路.该市拟修建一条从 通往海ABDA1km岸的观光专线 ，其中 为
4、 上异于 的一点， 与 平行，设PQC,PQ.（1 ）证明：观光专线 的总长度随 的增大而减小；ACPQ（2 ）已知新建道路 的单位成本是翻新道路 的单位成本的 2 倍.当 取何值时，观ACP光专线 的修建总成本最低？请说明理由.A【答案】解：（1）由题意， ，所以 ，3CAPA3CP又 ，cos1sPQAB所以观光专线的总长度， ，()s3fcos1303因为当 时， ，0()inf所以 在 上单调递减，()f,即观光专线 的总长度随 的增大而减小.ACPQ（2 ）设翻新道路的单位成本为 ，(0)a则总成本 ， ，()2cos3ga(2cos)303，1sin令 ，得 ，因为 ，所以 ，()
5、02036当 时， ，当 时， .6()g6()0g所以，当 时， 最小.答：当 时，观光专线 的修建总成本最低.ACPQ3.（2018 镇江期末17）如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆 AC 与 BD 焊接而成，焊接点 D 把杆 AC 分成 AD, CD 两段，其中两固定点 A，B 间距离为 1 米，AB 与杆 AC 的夹角为 60 ，杆 AC 长为 1 米，若制作 AD 段的成本为 a 元/米，制作 CD 段的成本是 2a 元/米，制作杆 BD 成本是 4a 元/米. 设 ADB ，则制作整个支架的总成本记为 S 元.（1）求 S 关于 的函数表达式，并求出 的取值范围；（2）问 A
6、D 段多长时， S 最小？【答案】在ABD 中,由正弦定理得 ，12sinisin()3BDA所以 ，3co,2sin2siBDA则co1313()()4()i in2sinSaa，43s()2in2a由题意得(,)（2 ）令 ，设214cos30inSa01cos40(,)3002()3，cos1,42141,4S 0 单调递减 极大值 单调递增所以当 时，S 最小，1cos4此时153cos15sin,42in0AD答：（1）S 关于 的函数表达式为 ，且 ；43cos3()2in2Sa2(,)3（2 ）当 时 S 最小.510AD4.（2018 扬州期末17）如图，射线 OA 和 OB
7、均为笔直的公路，扇形 OPQ 区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中P、Q 分别在射线 OA 和 OB 上。经测量得，扇形 OPQ 的圆心角（即POQ ）为 、半径32为 1 千米。为了方便菜农经营，打算在扇形 OPQ 区域外修建一条公路 MN，分别与射线OA、OB 交于 M、N 两点，并要求 MN 与扇形弧 PQ 相切于点 。设POS= （单位：弧度） ，假设所有公路的宽度均忽略不计.(1) 试将公路 MN 的长度表示为 的函数，并写出 的取值范围： (2) 试确定 的值，使得公路 MN 的长度最小，并求出其最小值.【答案】解：因为 MN 与扇形弧 PQ 相切于点 S，所以 OSMN.在 OSM
8、 中，因为 OS=1，MOS= ，所以 SM= ，RTAtan在 OSN 中，NOS= ，所以 SN= ，232()3所以 ， .4 分ta1tan()nMN其中 6 分62 因为 ，所以 ，3ta10令 ，则 ，3tan103tan(1)t所以 ， . .8 分4(2)MNt由基本不等式得 ， 10 分3()23t当且仅当 即 时取“=” . .12 分4t2t此时 ，由于 ，故 . . .13 分tan363答： ，其中22(tan1)tan()MN62当 时， 长度的最小值为 千米 .14 分33注：第问中最小值对但定义域不对的扣 2 分5.（2018 常州期末17）已知小明（如图中 A
9、B 所示）身高 1.8 米，路灯 OM 高 3.6 米，AB ，OM 均垂直于水平地面，分别与地面交于点 A，O 点光源从 M 发出，小明在地面上的影子记作 AB（1）小明沿着圆心为 O，半径为 3 米的圆周在地面上走一圈，求 扫过的图形面积；（2）若 米，小明从 A 出发，以 1 米/ 秒的速度沿线段 走到 ， ，且3 1A31O米 秒时，小明在地面上的影子长度记为 （单位：米） ，求 的表达式与10At )(tf )(tf最小值 （第 17 题）【答案】解：（1）由题意 ， ， ，所以 ，ABOM1.8362AB3OA6B小明在地面上的身影 扫过的图形是圆环，其面积为 ； 27()平 方
10、米（2）经过 秒，小明走到了 处，身影为 ，由（1）知 ，所以t00AB01M，200 0() cosftABOAO化简得 ， ，当 时， 的最小值为2()39,10fttt 237()4ft32t()ft，32答： ，当 （秒）时， 的最小值为 （米） 2()39,01fttt 32t()ft326.（2018 南京盐城期末17）. 有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计） ，一边 长为 6 分米，另一边足够长现从中AB截取矩形 （如图甲所示） ，再剪去图中阴影部分，用剩 下的部分恰好能折卷成ABCD一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计） ，其中 是以OEMF为圆心、 的扇形，
11、且弧 , 分别与边 , 相切于点 ,O120EFEFGHCADN（1）当 长为 1 分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？B【答案】解：（1）在图甲中，连接 交 于点 设 ，MOEFTOEFMR在 中，因为 ，所以 ，则RtOET1602T22M从而 ，即 . 2 分BRBE故所得柱体的底面积 OFSS扇 形A DCBEGFOM NH第 17 题 -图甲NE FG H第 17 题 -图乙MNA DCBEGFOM NHT. 4 分214sin1033R又所得柱体的高 ，EG所以 .VS6答：当 长为 1 分米时，折 卷成的包装盒的容积B为 立方分米
12、. 6 分643（2 ）设 ，则 ，所以所得柱体的 底面积Ex2Rx. OEFSS扇 形 2214sin0(3)x又所得柱体的高 ，6G所以 ，其中 .10 分V328()()x令 ，则由 ，32(),0fxx263(2)0fxx解得 . 12 分列表如下： (,) (,)()fx 0 增 极大值 减所以当 时， 取得最大值.2f答：当 的长为 2 分米时，折卷成的包装盒的容积最大. 14 分BE7.（2018 苏州期末17）如图，B,C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C 之间的距离为 100km，海岛 A 在城市 B 的正东方 50 处从海岛 A 到城市 C，先
13、乘船按北偏西 角（km，其中锐角 的正切值为 ）航行到海岸公路 P 处登2 12陆，再换乘汽车到城市 C已知船速为 25km/h，车速为 75km/h. （1 ）试建立由 A 经 P 到 C 所用时间与 的函数解析式；（2 ）试确定登陆点 P 的位置，使所用时间最少，并说明理由【答案】解（1）由题意，轮船航行的方位角为 ，所以 ， ，90BAP50B则 ， 50cos(9)sinAP5sin()cos50tan(9)coinBP 4 分co1CB（注：AP，BP 写对一个给 2 分）BCP东北A由 A 到 P 所用的时间为 ，125sinAPt由 P 到 C 所用的时间为 ， 6 分20co4
14、cos73int 所以由 A 经 P 到 C 所用时间与 的函数关系为 8 分124cos62s()sin3iitf 函数 的定义域为 ，其中锐角 的正切值为 . (,212（2 ）由（1） ， ， ，6co4()3sinf(,，令 ，解得 ， 10 分2()9if()0f1cos3设 0 ，使,01cos3(,)0 0(,)2)f0 (减函数 极小值 增函数12 分所以，当 时函数 f()取得最小值，此时 BP= 17.68 ，0 05cos2inkm答：在 BC 上选择距离 B 为 17.68 处为登陆点，所用时间最少 14 分km（注：结果保留根号，不扣分）8.（2018 苏北四市期末1
15、7）某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图 1为了便于设计 ，可 将该礼品看成是由圆 O 及其内接等腰三角形 ABC 绕底边 BC 上的高所在直线 AO 旋转 180而成，如图 2已知圆 O 的半径为 10 cm，设BAO=， ，圆锥的侧面积为 S cm202求 S 关于 的函数关系式；为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积 S 最大求 S 取得最大值时腰 AB 的长度来源:Z.xx.k.ComAB COAB CO图 1 图 2（第 17 题）【答案】 （1）设 交 于点 ，过 作 ，垂足AOBCDOEAB为 ， E在 中， ， ，10cosE20cosA2 分在 中， ，Dinsin4 分所以 20sico20S， 6 分40sin()（2）要使侧面积最大，由（1）得：8 分23ico40sin)S设 3(),(1)fxx则 ，由 得：2 20fx当 时， ，当 时，(0,)3x()x3(,1)()0fx所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，f, ,所以 在 时取得极大值，也是最大值；()x3所以当 时，侧面积 取得最大值， 11 分sinS此时等腰三角形的腰长 2230620cos1sin01()AB答：侧面积 取得最大值时，等腰三角形的腰 的长度为 14 分SABcmDAB COE
