1、七、数列(一)试题细目表地区+题号 类 型 考 点 思 想 方 法2018南通泰州期末8 填 空 等比数列2018无锡期末9 填 空 等差数列2018镇江期末7 填 空 等比数列2018扬州期末9 填 空 等比数列、等差数列2018常州期末8 填 空 等比数列2018南京盐城期末10 填 空 等差数列前 n 项和2018苏州期末8 填 空 等比数列2018苏北四市期末11 填 空 等差数列2018南通泰州期末20 解答 数列综合、新定义2018无锡期末19 解答 数列综合、存在性2018镇江期末20 解答 数列综合、恒成立2018扬州期末20 解答 数列综合、存在性2018常州期末19 解答
2、数列综合、存在性2018南京盐城期末19 解答 数列综合、存在性2018苏州期末19 解答 数列综合、存在性2018苏北四市期末20 解答 数列综合(二)试题解析1.(2018南通泰州期末8)在各项均为正数的等比数列 中,若 , ,则 的值为 .na21864a3a【答案】 32.(2018 无锡期末9)已知等比数列 满足 ,且 , , 成等差数列,则na253a4572a的最大值为 12a 【答案】10243.(2018 镇江期末7)设等比数列 an 的前 n 项和 Sn ,若 a1 2, S6 9S3 , 则 a5 的值为 【答案】 324.(2018 扬州期末9)已知各项都是正数的等比数
3、列a n的前 n 项和为 Sn,若 4a4,a3,6a5 成等差数列,且a3=3a22,则 S3=_.【答案】 175.(2018 常州期末8)各项均为正数的等比数列 中,若 ,则 的最小值为 na234234aa3【答案】 36.(2018 南京盐城期末10). 设 为等差数列 的前 项和,若 的前 2017 项中的奇数项和为 2018,nSnana则 的值为 2017【答案】40347.(2018 苏州期末8)已知等比数列 的前 n 项和为 ,且 , ,则 的值为 nanS6319842158a3a【答案】 948.(2018 苏北四市期末11)已知等差数列 满足 , ,则 的值为 na1
4、3579+10a2836a1a【答案】 11.(2018南通泰州期末20)若数列 同时满足:对于任意的正整数 , 恒成立;对于给定的正整数 ,nan1ank对于任意的正整数 恒成立,则称数列 是“ 数列”.2k()kna()R(1)已知 判断数列 是否为“ 数列” ,并说明理由;,na为 奇 数 ,为 偶 数 na(2)(2)已知数列 是“ 数列” ,且存在整数 ,使得 , , ,nb(3)R1p3pb13pb成等差数列,证明: 是等差数列.3pbn【答案】 【解】 (1)当 为奇数时, ,所以 .12()0nan1na.2na(2)1()2(1)nna当 为偶数时, ,所以 .0an1.2n
5、()()4所以,数列 是“ 数列”.n2R(2)由题意可得: ,3nbb则数列 , , , 是等差数列,设其公差为 ,147 1d数列 , , , 是等差数列,设其公差为 ,2b38 2数列 , , , 是等差数列,设其公差为 .69 3因为 ,所以 ,1n31234nnbb所以 ,21()bdd所以 , .1()221d若 ,则当 时,不成立;210d12bnd若 ,则当 时,不成立;21112若 ,则和都成立,所以 .0d12d同理得: ,所以 ,记 .13123d3d设 ,33ppbb1pb则 1213()()nnnp.3pd同理可得: ,所以 .313nnbbd1nbd所以 是等差数列
6、.【另解】 , 313p23(1)(2)pp23b,31pb1212()bpddb,313以上三式相加可得: ,所以 ,2dd所以 ,321()nb1(3)bn,312nd1()d1(3)dbn,()bbn所以 ,所以 ,13n 13b所以,数列 是等差数列.nb2.(2018 无锡期末19)已知数列 满足 , , 是数列 的前 项的na121()()naa *NnSna和.(1 )求数列 的通项公式;n(2 )若 , , 成等差数列, ,18, 成等比数列,求正整数 的值;pa30qSpaqS,pq(3 )是否存在 ,使得 为数列 中的项?若存在,求出所有满足条*kN16kna件的 的值;若
7、不存在,请说明理由.【答案】解:(1)因为 , ,121()()naa *N所以当 时, , ,n11当 时,2由 和 ,12()a ()na121()()naa两式相除可得, ,即1na1(2)na所以,数列 是首项为 2,公差为 1 的等差数列.n于是, .1a(2)因为 ,30, 成等差数列, ,18, 成等比数列,pqSpaqS所以 ,于是 ,或 .26018qpa654pq546q当 时, ,解得 ,54qS(3)29当 时, ,无正整数解,6pqa154()6q所以 , .59(3 )假设存在满足条件的正整数 ,使得 ,k*16()kmaN则 ,(1)261km平方并化简得, ,2
8、2()(3)k则 ,(5mk所以 ,或 ,或 ,26125213km25917mk解得: , 或 , , , (舍去) ,54k综上所述, 或 14.33.(2018 镇江期末20)已知数列 an 的前 n 项和 Sn ,对任意正整数 n ,总存在正数 p, q, r 使得恒成立:数列 bn 的前 n 项和 ,且对任意正整数 n,rqSpn,1 nT恒成立.bT2(1)求常数 p, q, r 的值;(2)证明数列 bn 为等差数列;(3)若 ,记 ,是2 nnnnn ababaP 1232142 否存在正整数 k ,使得对任意正整数 n , Pn k 恒成立,若存在,求正整数 k 的最小值,若
9、不存在,请说明理由.【答案】因为 ,所以 , ( )nSqr1nSqr2得: ,即 , ( ) ,11nn na又 ,所以 , ( ) ,1nap2时, , 时,22q33pq又 p, q 为 正数 ,解得 p q 2,又因为 , ,且 ,所以1a1Sr1aS1r(2 )因为 ,当 时, nbT112()nnTb得: ,即 ,1()n()又 ,+得: ,1()nb112()nnnbb即 , ( ) ,所以数列 bn 为等差数列.12nn(3)因为 ,又 ,由( 2)知数列 bn 为等差数列,所以 .0b2 2nb又由(1)知 ,1na所以 ,123242nnnnP又 ,124n所以 ,1212
10、14nnn令 得 ,0P0所以 ,解得612342nn1所以 时, ,即 ,10nP210P时,因为 , ,所以 ,即 ,n6132nn240n此时 ,即 ,1n234所以 的最大值为 ,P2+7=若存在正整数 k ,使得对任意正整数 n , Pn k 恒成立,则 ,max72kP所以正整数 k 的最小值为 4.4.(2018 扬州期末20)已知各项都是正数的数列a n的前 n 项和为 Sn,且 2Sn=an2+an,数列 bn满足b1= ,2b n+1=bn+ .a(1) 求数列a n、b n的通项公式;(2) 设数列c n满足 cn= ,求和 c1+c2+cn;S2(3)是否存在正整数 p
11、,q,r(pq r),使得 bp,bq,br 成等差数列?若存在,求出所有满足要求的 p,q,r,若不存在,请说明理由。【答案】解:(1) , ,2nnSa211nnSa- 得: ,即112na()()0因为 是正数数列,所以 ,即 ,0n1n所以 是等差数列,其中公差为 1,n在 中,令 ,得2nSaa所以 2 分n由 得 ,1nba12nb所以数列 是等比数列,其中首项为 ,公比为 ,n 12所以 . 5 分1(),2nnb即注:也可累乘求 的通项(2) ,裂项得7 分21()nncS 112()nnc所以 9 分12 1nn(3)假设存在正整数 ,使得 成等差数列,则 ,即,()pqr,
12、pqrb2prqb,2prq因为 ,所以数列 从第二项起单调递减,1112nnnbn当 时, ,rq若 ,则 ,此时无解;q2r若 ,则 ,因为 从第二项起递减,故 ,所以 符合要314rnb4r1,34pqr求11 分若 ,则 ,即 ,不符合要求,此时无解;q142qb1q当 时,一定有 ,否则若 ,则 ,即2pp2p2421pqPbp,矛盾,pqb所以 ,此时 ,令 ,则 ,所以 ,12rp1rm1mr1mp,2m综上得:存在 或 , , 满足要求16,34pq1212q12r分5.(2018 常州期末19)已知各项均为正数的无穷数列 的前 项和为 ,且满足 (其中 为常数) ,nanS1
13、a数列 满足 1()(1)nnS*Nnb21n(*)N(1)证明数列 是等差数列,并求出 的通项公式;nana(2)若无穷等比数列 满足:对任意的 ,数列 中总存在两个不同的项 ,c*Nnbsb( ) ,使得 ,求 的公比 tb*,sNsntb ncq【答案】解:(1)方法一:因为 ,1()(1)S所以 ,21()()()2nnS由-得, ,1()2()nnS即 ,又 ,21(1)()()nnS 10则 ,即 SS21na在 中令 得, ,即 1()()nn21a21a综上,对任意 ,都有 ,*N1n故数列 是以 2 为公差的等差数列na又 ,则 1a方法二:因为 ,所以 ,又 ,则数列1()
14、(1)nnS1nS1Sa是以 为首项, 为公差的等差数列, na因此 ,即 12(1)nSan当 时, ,又 也符合上式,2n 1n1a故 ,a(*)N故对任意 ,都有 ,即数列 是以 2 为公差的等差数列12nan(2)令 ,则数列 是递减数列,所以 1nee21nea考察函数 ,因为 ,所以 在 上递yx()210xyyx(,)增 因此 ,从而 1422()nea 42,)nnbea(因为对任意的 ,总存在数列 中的两个不同项 , ,使得 ,所以*Nnstbsntcb 对任意的 都有 ,明显 42,)nca(0q若 ,当 时,有 ,不1qlog1q 11422)nnca(符合题意,舍去;若
15、 ,当 时,有 ,01q2logqan 11422)nncqqa( 不符合题意,舍去;故 16.(2018 南京盐城期末19). 设数列 满足 ,其中 ,且 , 为常数.na2211()nnaanN(1 )若 是等差数列,且公差 ,求 的值;0d(2 )若 ,且存在 ,使得 对任意的 都成123,43,7rnmar*n立,求 的 最小值;m(3 ) 若 ,且数列 不是常数列,如果存在正整数 ,使得 对任意的0naTnTa均成立. 求所有满足条件的数列 中 的最小值.*nNna【答案】解:(1)由题意,可得 ,2 2()dd化简得 ,又 ,所以 . 4 分2(1)d01(2 )将 代入条件,可得
16、 ,解得 ,3,4a40所以 ,所以数列 是首项为 1,公比 的等比数列,所以21nnnaq. 6 分1n欲存在 ,使得 ,即 对任意 都成立,,7r12mr12nm*N则 ,所以 对任意 都成立. 8 分12n7n*N令 ,则 ,1nb1168nnnb所以当 时, ;当 时, ;当 时, 89b1nb所以 的最大值为 ,所以 的最小值为 . 10 分n982m28(3 )因为数列 不是常数列,所以 aT若 ,则 恒成立,从而 , ,所以2T2n31a42a,2112()a所以 ,又 ,所以 ,可得 是常数列矛盾10a21n所以 不合题意. 12 分T若 ,取 (*) ,满足 恒成立14 分3
17、,32(),nkN3na由 ,得 21321()aa7则条件式变为 nn由 ,知 ;2)7223131()kkaa由 ,知 ;(1由 ,知 21(3)72231321()kkaa所以,数列(* )适合题意所以 的最小值为 . 16 分T7.(2018 苏州期末19)已知各项是正数的数列 的前 n 项和为 anS(1 )若 (nN*,n2) ,且 213nS12a 求数列 的通项公式;a 若 对任意 恒成立,求实数 的取值范围;12nn (2 )数列 是公比为 q( q0, q1)的等比数列,且a n的前 n 项积为 若存在10nT正整数 k,对任意 nN*,使得 为定值,求首项 的值()knT
18、1【答案】解(1)当 时,由 221,3nnaS则 11,3nnaS-得 ,即 , 2 分211()nna13na2n当 时,由知 ,即 ,22121210解得 或 (舍) ,5a2所以 ,即数列 为等差数列,且首项 ,213na13a所以数列 的通项公式为 . 5 分n31(注:不验证 扣 1 分)21由知, ,所以 ,3na2()3nnS由题意可得 对一切 恒成立,21nn *N记 ,则 , ,23nc2113()()nnc2所以 , , 8 分214nn当 时, ,当 时, ,且 , , ,41nc4136c35c2781c所以当 时, 取得最大值 ,3n2nc156所以实数 的取值范围
19、为 . 11 分15,)6(2 )由题意,设 ( ) , ,两边取常用对数,1naq0,1210nTa 12lglgnT令 ,1nb则数列 是以 为首项, 为公差的等差数列, 13 分lalq若 为定值,令 ,则 ,(1)knT(1)knT1()1()lglg2lknknaq即 对 恒成立,22 1()lg()(lg)0kqkq*nN因为 ,问题等价于0,1q221,().ka或将 代入 ,解得 .k()0k或因为 ,所以 ,*N,1所以 ,又 故 .16 分21aqnaq8.(2018 苏北四市期末20)已知数列 ,其前 项和为 ,满足 , ,其中 ,nnS12a1nnSa2, , .NR若
20、 , , ( ) ,求证:数列 是等比数列;041nnba+Nnb若数列 是等比数列,求 , 的值;na若 ,且 ,求证:数列 是等差数列.2332na【答案】 (1)证明:若 ,则当 ( ),=0,4 14S2所以 ,11()nnnaSa即 ,1所以 , 2 分12nb又由 , ,214得 , ,即 ,2136a0anb所以 ,nb故数列 是等比数列4 分(2)若 是等比数列,设其公比为 ( ) ,naq0当 时, ,即 ,得2n21Sa21aa, q当 时, ,即 ,得3321232, q当 时, ,即 ,得4n43Sa12343aa, 21+q ,得 , q2 ,得 , 3解得 , 代入式,得 8 分0此时 ( ),nSa2所以 , 是公比为的等比数列,1n故 10 分 ,(3)证明:若 ,由 ,得 ,23121aa562又 ,解得 12 分 ,由 , , ,代入 得 ,1a2 1nnS34a所以 , , 成等差数列,3由 ,得 ,1nnS112nnSa两式相减得: 1na即 11()()0nn所以 212相减得: 1()20nnnna所以 2111()aa所以21-2()()nnnnnna, 14 分1321() 因为 ,所以 ,120a0nnaa即数列 是等差数列.16 分n