1、七、数列（一）试题细目表地区+题号 类 型 考 点 思 想 方 法2018南通泰州期末8 填 空 等比数列2018无锡期末9 填 空 等差数列2018镇江期末7 填 空 等比数列2018扬州期末9 填 空 等比数列、等差数列2018常州期末8 填 空 等比数列2018南京盐城期末10 填 空 等差数列前 n 项和2018苏州期末8 填 空 等比数列2018苏北四市期末11 填 空 等差数列2018南通泰州期末20 解答 数列综合、新定义2018无锡期末19 解答 数列综合、存在性2018镇江期末20 解答 数列综合、恒成立2018扬州期末20 解答 数列综合、存在性2018常州期末19 解答
2、数列综合、存在性2018南京盐城期末19 解答 数列综合、存在性2018苏州期末19 解答 数列综合、存在性2018苏北四市期末20 解答 数列综合（二）试题解析1.（2018南通泰州期末8）在各项均为正数的等比数列 中，若 ， ，则 的值为 .na21864a3a【答案】 32.（2018 无锡期末9）已知等比数列 满足 ，且 ， ， 成等差数列，则na253a4572a的最大值为 12a 【答案】10243.（2018 镇江期末7）设等比数列 an 的前 n 项和 Sn ，若 a1 2, S6 9S3 , 则 a5 的值为 【答案】 324.（2018 扬州期末9）已知各项都是正数的等比数
3、列a n的前 n 项和为 Sn，若 4a4,a3,6a5 成等差数列，且a3=3a22，则 S3=_.【答案】 175.（2018 常州期末8）各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 的最小值为 na234234aa3【答案】 36.（2018 南京盐城期末10）. 设 为等差数列 的前 项和，若 的前 2017 项中的奇数项和为 2018，nSnana则 的值为 2017【答案】40347.（2018 苏州期末8）已知等比数列 的前 n 项和为 ，且 ， ，则 的值为 nanS6319842158a3a【答案】 948.（2018 苏北四市期末11）已知等差数列 满足 ， ，则 的值为 na1
4、3579+10a2836a1a【答案】 11.（2018南通泰州期末20）若数列 同时满足：对于任意的正整数 ， 恒成立；对于给定的正整数 ，nan1ank对于任意的正整数 恒成立，则称数列 是“ 数列”.2k()kna()R（1）已知 判断数列 是否为“ 数列” ，并说明理由；,na为 奇 数 ,为 偶 数 na(2)（2）已知数列 是“ 数列” ，且存在整数 ，使得 ， ， ，nb(3)R1p3pb13pb成等差数列，证明： 是等差数列.3pbn【答案】 【解】 （1）当 为奇数时， ，所以 .12()0nan1na.2na(2)1()2(1)nna当 为偶数时， ，所以 .0an1.2n
5、()()4所以，数列 是“ 数列”.n2R（2）由题意可得： ，3nbb则数列 ， ， ， 是等差数列，设其公差为 ，147 1d数列 ， ， ， 是等差数列，设其公差为 ，2b38 2数列 ， ， ， 是等差数列，设其公差为 .69 3因为 ，所以 ，1n31234nnbb所以 ，21()bdd所以 ， .1()221d若 ，则当 时，不成立；210d12bnd若 ，则当 时，不成立；21112若 ，则和都成立，所以 .0d12d同理得： ，所以 ，记 .13123d3d设 ，33ppbb1pb则 1213()()nnnp.3pd同理可得： ，所以 .313nnbbd1nbd所以 是等差数列
6、.【另解】 ， 313p23(1)(2)pp23b，31pb1212()bpddb，313以上三式相加可得： ，所以 ，2dd所以 ，321()nb1(3)bn，312nd1()d1(3)dbn，()bbn所以 ，所以 ，13n 13b所以，数列 是等差数列.nb2.（2018 无锡期末19）已知数列 满足 ， ， 是数列 的前 项的na121()()naa *NnSna和.（1 ）求数列 的通项公式；n（2 ）若 ， ， 成等差数列， ，18， 成等比数列，求正整数 的值；pa30qSpaqS,pq（3 ）是否存在 ，使得 为数列 中的项？若存在，求出所有满足条*kN16kna件的 的值；若
7、不存在，请说明理由.【答案】解：（1）因为 ， ，121()()naa *N所以当 时， ， ，n11当 时，2由 和 ，12()a ()na121()()naa两式相除可得， ，即1na1(2)na所以，数列 是首项为 2，公差为 1 的等差数列.n于是， .1a（2）因为 ，30， 成等差数列， ，18， 成等比数列，pqSpaqS所以 ，于是 ，或 .26018qpa654pq546q当 时， ，解得 ，54qS(3)29当 时， ，无正整数解，6pqa154()6q所以 ， .59（3 ）假设存在满足条件的正整数 ，使得 ，k*16()kmaN则 ，(1)261km平方并化简得， ，2
8、2()(3)k则 ，(5mk所以 ，或 ，或 ，26125213km25917mk解得： ， 或 ， ， ， （舍去） ，54k综上所述， 或 14.33.（2018 镇江期末20）已知数列 an 的前 n 项和 Sn ，对任意正整数 n ，总存在正数 p, q, r 使得恒成立：数列 bn 的前 n 项和 ，且对任意正整数 n，rqSpn,1 nT恒成立.bT2（1）求常数 p, q, r 的值；（2）证明数列 bn 为等差数列；（3）若 ，记 ，是2 nnnnn ababaP 1232142 否存在正整数 k ，使得对任意正整数 n ， Pn k 恒成立，若存在，求正整数 k 的最小值，若
9、不存在，请说明理由.【答案】因为 ，所以 ， （ ）nSqr1nSqr2得： ，即 ， （ ） ，11nn na又 ，所以 ， （ ） ，1nap2时， ， 时，22q33pq又 p, q 为 正数 ,解得 p q 2，又因为 ， ，且 ，所以1a1Sr1aS1r（2 ）因为 ，当 时， nbT112()nnTb得： ，即 ，1()n()又 ，+得： ，1()nb112()nnnbb即 ， （ ） ，所以数列 bn 为等差数列.12nn(3)因为 ，又 ，由（ 2）知数列 bn 为等差数列，所以 .0b2 2nb又由（1）知 ，1na所以 ，123242nnnnP又 ，124n所以 ，1212
10、14nnn令 得 ，0P0所以 ，解得612342nn1所以 时， ，即 ，10nP210P时，因为 ， ，所以 ，即 ，n6132nn240n此时 ，即 ，1n234所以 的最大值为 ，P2+7=若存在正整数 k ，使得对任意正整数 n ， Pn k 恒成立，则 ，max72kP所以正整数 k 的最小值为 4.4.（2018 扬州期末20）已知各项都是正数的数列a n的前 n 项和为 Sn，且 2Sn=an2+an，数列 bn满足b1= ，2b n+1=bn+ .a(1) 求数列a n、b n的通项公式；(2) 设数列c n满足 cn= ，求和 c1+c2+cn；S2(3)是否存在正整数 p
11、,q,r(pq r)，使得 bp,bq,br 成等差数列？若存在，求出所有满足要求的 p,q,r，若不存在，请说明理由。【答案】解：（1） ， ，2nnSa211nnSa- 得： ，即112na()()0因为 是正数数列，所以 ，即 ，0n1n所以 是等差数列，其中公差为 1，n在 中，令 ，得2nSaa所以 2 分n由 得 ，1nba12nb所以数列 是等比数列，其中首项为 ，公比为 ，n 12所以 . 5 分1(),2nnb即注：也可累乘求 的通项（2） ，裂项得7 分21()nncS 112()nnc所以 9 分12 1nn（3）假设存在正整数 ，使得 成等差数列，则 ，即,()pqr,
12、pqrb2prqb，2prq因为 ，所以数列 从第二项起单调递减，1112nnnbn当 时， ，rq若 ，则 ，此时无解；q2r若 ，则 ，因为 从第二项起递减，故 ，所以 符合要314rnb4r1,34pqr求11 分若 ，则 ，即 ，不符合要求，此时无解；q142qb1q当 时，一定有 ，否则若 ，则 ，即2pp2p2421pqPbp，矛盾，pqb所以 ，此时 ，令 ，则 ，所以 ，12rp1rm1mr1mp，2m综上得：存在 或 ， ， 满足要求16,34pq1212q12r分5.（2018 常州期末19）已知各项均为正数的无穷数列 的前 项和为 ，且满足 （其中 为常数） ，nanS1
13、a数列 满足 1()(1)nnS*Nnb21n(*)N（1）证明数列 是等差数列，并求出 的通项公式；nana（2）若无穷等比数列 满足：对任意的 ，数列 中总存在两个不同的项 ，c*Nnbsb（ ） ，使得 ，求 的公比 tb*,sNsntb ncq【答案】解：（1）方法一：因为 ，1()(1)S所以 ，21()()()2nnS由-得， ，1()2()nnS即 ，又 ，21(1)()()nnS 10则 ，即 SS21na在 中令 得， ，即 1()()nn21a21a综上，对任意 ，都有 ，*N1n故数列 是以 2 为公差的等差数列na又 ，则 1a方法二：因为 ，所以 ，又 ，则数列1()
14、(1)nnS1nS1Sa是以 为首项， 为公差的等差数列， na因此 ，即 12(1)nSan当 时， ，又 也符合上式，2n 1n1a故 ，a(*)N故对任意 ，都有 ，即数列 是以 2 为公差的等差数列12nan（2）令 ，则数列 是递减数列，所以 1nee21nea考察函数 ，因为 ，所以 在 上递yx()210xyyx(,)增 因此 ，从而 1422()nea 42,)nnbea(因为对任意的 ，总存在数列 中的两个不同项 ， ，使得 ，所以*Nnstbsntcb 对任意的 都有 ，明显 42,)nca(0q若 ，当 时，有 ，不1qlog1q 11422)nnca(符合题意，舍去；若
15、 ，当 时，有 ，01q2logqan 11422)nncqqa( 不符合题意，舍去；故 16.（2018 南京盐城期末19）. 设数列 满足 ，其中 ，且 ， 为常数.na2211()nnaanN（1 ）若 是等差数列，且公差 ，求 的值；0d（2 ）若 ，且存在 ，使得 对任意的 都成123,43,7rnmar*n立，求 的 最小值；m（3 ） 若 ，且数列 不是常数列，如果存在正整数 ，使得 对任意的0naTnTa均成立. 求所有满足条件的数列 中 的最小值.*nNna【答案】解：（1）由题意，可得 ，2 2()dd化简得 ，又 ，所以 . 4 分2(1)d01（2 ）将 代入条件，可得
16、 ，解得 ，3,4a40所以 ，所以数列 是首项为 1，公比 的等比数列，所以21nnnaq. 6 分1n欲存在 ，使得 ，即 对任意 都成立，,7r12mr12nm*N则 ，所以 对任意 都成立. 8 分12n7n*N令 ，则 ，1nb1168nnnb所以当 时， ；当 时， ；当 时， 89b1nb所以 的最大值为 ，所以 的最小值为 . 10 分n982m28（3 ）因为数列 不是常数列，所以 aT若 ，则 恒成立，从而 ， ，所以2T2n31a42a，2112()a所以 ，又 ，所以 ，可得 是常数列矛盾10a21n所以 不合题意. 12 分T若 ，取 （*） ，满足 恒成立14 分3
17、,32(),nkN3na由 ，得 21321()aa7则条件式变为 nn由 ，知 ；2)7223131()kkaa由 ，知 ；(1由 ，知 21(3)72231321()kkaa所以，数列（* ）适合题意所以 的最小值为 . 16 分T7.（2018 苏州期末19）已知各项是正数的数列 的前 n 项和为 anS（1 ）若 （nN*，n2） ，且 213nS12a 求数列 的通项公式；a 若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围；12nn （2 ）数列 是公比为 q（ q0， q1）的等比数列，且a n的前 n 项积为 若存在10nT正整数 k，对任意 nN*，使得 为定值，求首项 的值()knT
18、1【答案】解（1）当 时，由 221,3nnaS则 11,3nnaS-得 ，即 ， 2 分211()nna13na2n当 时，由知 ，即 ，22121210解得 或 （舍） ，5a2所以 ，即数列 为等差数列，且首项 ，213na13a所以数列 的通项公式为 . 5 分n31（注：不验证 扣 1 分）21由知， ，所以 ，3na2()3nnS由题意可得 对一切 恒成立，21nn *N记 ，则 ， ，23nc2113()()nnc2所以 ， ， 8 分214nn当 时， ，当 时， ，且 ， ， ，41nc4136c35c2781c所以当 时， 取得最大值 ，3n2nc156所以实数 的取值范围
19、为 . 11 分15,)6（2 ）由题意，设 （ ） ， ，两边取常用对数，1naq0,1210nTa 12lglgnT令 ，1nb则数列 是以 为首项， 为公差的等差数列， 13 分lalq若 为定值，令 ，则 ，(1)knT(1)knT1()1()lglg2lknknaq即 对 恒成立，22 1()lg()(lg)0kqkq*nN因为 ，问题等价于0,1q221,().ka或将 代入 ，解得 .k()0k或因为 ，所以 ，*N,1所以 ，又 故 .16 分21aqnaq8.（2018 苏北四市期末20）已知数列 ，其前 项和为 ，满足 ， ，其中 ，nnS12a1nnSa2， ， .NR若
20、 ， ， （ ） ，求证：数列 是等比数列；041nnba+Nnb若数列 是等比数列，求 ， 的值；na若 ，且 ，求证：数列 是等差数列.2332na【答案】 （1）证明：若 ，则当 ( ),=0,4 14S2所以 ，11()nnnaSa即 ，1所以 ， 2 分12nb又由 ， ，214得 ， ，即 ，2136a0anb所以 ，nb故数列 是等比数列4 分（2）若 是等比数列，设其公比为 （ ） ，naq0当 时， ，即 ，得2n21Sa21aa， q当 时， ，即 ，得3321232， q当 时， ，即 ，得4n43Sa12343aa， 21+q ，得 ， q2 ，得 ， 3解得 , 代入式，得 8 分0此时 ( )，nSa2所以 ， 是公比为的等比数列，1n故 10 分 ，（3）证明：若 ，由 ，得 ，23121aa562又 ，解得 12 分 ，由 ， ， ，代入 得 ，1a2 1nnS34a所以 ， ， 成等差数列，3由 ，得 ，1nnS112nnSa两式相减得： 1na即 11()()0nn所以 212相减得： 1()20nnnna所以 2111()aa所以21-2()()nnnnnna， 14 分1321() 因为 ，所以 ，120a0nnaa即数列 是等差数列.16 分n
