1、广东省 14 市 2019 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择、填空题1、（东莞市 2019 届高三上学期期末）已知直线 ykxl 与曲线 yln x 相切，则 kA、 B、 C、 D、2e1e22、（广州市 2019 届高三 12 月调研考试）已知过点 作曲线 的切线有(,0)Aa:xCe且仅有两条，则实数 的取值范围是aA B,40+， 0+，C D1， ,13、（惠州市 2019 届高三第三次调研考试）已知偶函数 满足 且fx4fxf，当 时, ，关于 的不等式0f04xln2fx在 上有且只有 200 个整数解，则实数 的取值2faf,0a范围为（ ）AB 1l
2、n6,23 1ln2,l63CDl,l,l4、（清远市 2019 届高三上期末）对于三次函数 （dcxbaxf23)(）有如下定义：设 是函数 的导函数， 是函数0,aRdcbff的导函数，若方程 =0 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”xf xf mf,xfy。若点 是函数 523bag的“拐点”,也是函数 图像上的点，3,1R, g则函数 的最大值是_.xxaxh2cos1sin5、（汕头市 2019 届高三上学期期末）设曲线 f x ex 2x （e 为自然对数的底数） 上任意一点处的切线为 l1 ， 总存在曲线g x ax sin x 上某点处的切线 l2 ， 使得 l1 l2 ，
3、 则实数 a 的取值范围为A.1, 2 B、( 1,2) C、( ，1) D. ,16、（韶关市 2019 届高三上学期期末）巳知定义域为 R 的函数 f（x）满足 2，(1)f是 f（x）的导函数），且 yf（x1）的图象关于直线 x1 对2()6()fxff称则不等式 的解集为213xA、x1x0 或 0x 1 B、 x2x0 或 0x2 C、xx2 或 x2 D、 xx1 或 x1 7、（韶关市 2019 届高三上学期期末）已知直线 l 是曲线 ylnx 在点(1 ，0）处的切线，则直线 l 的方程为 8、（肇庆市 2019 届高三上学期期末）已知 是 的23exfa极小值点，则实数 的
4、取值范围是aA B C D1， 1， 1， 1，9、（珠海市 2019 届高三上学期期末）函数 在点（0，f（0）处的切线()ln)fx方程为（ ）A、yx1 B、yx C、y2x1 D、y2x10、（东莞市 2019 届高三上学期期末）已知奇函数 f (x)的导函数为 f (x)，且 f (1)0，当 x0 时 f (x)xf (x)0 恒成立，则使得 f (x) 0 成立的 x 的取值范围为A、（0，l）（1，0） B、（1，）（0，1） C、（1，）（1 ，0） D、（1，）（，1） 参考答案一、填空题1、A 2、A 3、D 4、 5、D126、D 7、yx1 8、D 9、B 10、C二
5、、解答题1、（东莞市 2019 届高三上学期期末） 己知函数 ，函数ln()xfb2()gxfx（1)求函数 f(x)的单调区间；（2)设 x1，x 2 (x1x 2）是函数 g(x)的两个极值点，若 b ，求 g(xl )一 g(x2)的最13小值2、（广州市 2019 届高三 12 月调研考试）已知函数 R.21ln,xfxaa（1）讨论 的单调性；fx（2）若 有两个零点，求实数 的取值范围a3、（惠州市 2019 届高三第三次调研考试）设函数 ln2axf aR（1）当曲线 在点 处的切线与直线 垂直时，求实数 的值；yfx1f， y（2）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围。24a
6、Ffa4、（江门市 2019 届普通高中高三调研）已知函数 ， 是常数且 ()lnfxaR（1）若曲线 在 处的切线经过点 ，求 的值；()yfx11,0（2）若 （ 是自然对数的底数），试证明：函数 有两个零点，函数0ae ()fx的两个零点 满足 ()fx12x、 12xe5、（揭阳市 2019 届高三上学期期末）已知函数 （ ， ）.1()kxfeR0k（1）讨论函数 的单调性；()fx（2）当 时， ，求 k 的取值范围.lnk6、（雷州市 2019 届高三上学期期末）已知函数 （ ）axxf1ln)( 0（I）求函数 的单调区间；)(xf（II）若存在 ，使 成立，求整数 的最小值1
7、xf1)( a7、 （茂名市 2019 届高三上期末）已知函数 在 x1 处的切线与直1()ln()fxaRx线 x2y+10 平行。（I）求实数 a 的值，并判断函数 f（x）的单调性；（II）若函数 f（x）m 有两个零点 x1，x 2，且 x1x 2，求证： x1x 21。8、（清远市 2019 届高三上期末）已知函数 ln)(af（I）讨论 的单调性；)(f（II）当 ，是否存在实数 ，使得 ，都有1akR21,x)21x？若存在求出 的取值范围；若不存在，请说明理由kxff21)(9、（汕头市 2019 届高三上学期期末）已知函数 （aR ）.21()lnfxx(1)讨论 f (x)
8、 的单调性；(2)若 x1 ， x2 是 f (x) 的两个极值点， 证明： .12()ffx10、（汕尾市 2019 届高三上学期期末） 函数 。()1lnxfea（）若函数 在点 处的切线过点 ，求 的值；()fx2,()f,0（）若不等式 在定义域上恒成立，求 的取值范围。0a11、（韶关市 2019 届高三上学期期末）已知函数 （其中 e2.718是自然对数()xf的底数）（1）证明：当 x（，）时， ；()1fx当 x（，0）时， ；2f（2）是否存在最大的整数 a，使得函数 在其定义域上是增()ln(1)0agxfx函数？若存在，求 a 的值；若不存在，请说明理由。12、（肇庆市
9、2019 届高三上学期期末）已知函数 在 上单调lnxaf0，递减.（1）求 的取值范围；a（2）若 的图象在 的切线斜率相同，证明：lngxx122,x（i） ；1256A（ii） .28lx13、（珠海市 2019 届高三上学期期末）已知函数 且2()ln(1),0afxxa的导函数为 。()fx()fx（1）求函数 的极大值；（2）若函数 有两个零点 ，求 a 的取值范围。()fx12,x（3）在（2）的条件下，求证： ()0f14、（佛山市 2019 届高三上学期期末）参考答案二、解答题1、2、解：(1) 的定义域为 ，fx0,. 1 分233()12()1xafxa(i)当 时， 恒
10、成立，020x时， ()f， 在 上单调递增；,xfx0,2时， ， 在 上单调递减； 22分(ii) 当 时，由 得， （舍去），0a()0fx1231,xa当 ，即 时， 恒成立， 在 (0,)上单调递增；312x4ff分当 ，即 时，121a或 时， 恒成立， 在 ， 单调0,x,x()0fxfx10,a2,递增；时， 恒成立， 在 上单调递减；4 分1,2xa()0fxfx1,2a当 即 时，1214或 时， 恒成立， 在 单调递,xa0,2x()0fxfx1(0,2),a增；时， 恒成立， 在 上单调递减；5 分12,x()fxfx12,a综上，当 时， 单调递增区间为 ，单调递减区
11、间为 ；0af0, 2,当 时， 单调递增区间为 ，无单调递减区间；14x当 时， 单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；af 10,a2, 1,2a当 时， 单调递增区间为 ，单调递减区间为 104fx(,),6 分(2)由(1)知，当 0a时， 单调递增区间为 (0,2)，单调递减区间为 (2,)，fx又因为 ， 7 分1f取 0ma,5x，令 1()lnfxx， 21()fx，则 1()0fx在 (2,)成立，故 2单调递增，10ln(ln)fx，0002200011()2lfaxaxxx，（注：此处若写“当 时， ”也给分）f所以 有两个零点等价于 1(2)ln2)04fa，得 ，f
12、x 18ln2a所以 8 分108lna当 时， 2()xf，只有一个零点，不符合题意； 当 14a时， 在 (0,)单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；9f分当 0且 时， 有两个极值，fx1(2)ln2)04fa， ，2lnfa记 lgxx， 10 分11()2(ln)lnx，令 ，则 .()lhxx33221hxx当 14时， ， ()g在 单调递增；()01,4当 104x时， ， ()gx在 单调递减()0hx10,4故 ， ()在 ,)单调递增()2lng0x时， ()0x，故 11 分12ln0fa又 (2)ln2)4fa，由(1)知， 至多只有一个零点，不符合题意fx综上，
13、实数 的取值范围为 . 12 分1,08l3、（1）由题意知，函数 的定义域为 ， 1 分fx+， 2 分2ln1axf ，解得 . 3 分f 2a（2）若函数 有两个零点，4Fxfx则方程 恰有两个不相等的正实根， 4 分2ln0aa即方程 恰有两个不相等的正实根.+2(2)+24=0设函数 ，定义域为 5 分 ()=+2(2)+24 0+， . 6 分()=+2(2) 1xaxa当 时， 恒成立，则函数 在 上是增函数，0a0gxg0,函数 最多一个零点，不合题意，舍去； 7 分当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，0a0gx2ax0gx2ax则函数 在 内单调递减，在 上单调递增. 8 分
14、gx0,2a,2a易知 时， 恒成立，又因为 单调递增，所以 时， 成立，()=+2(2) x0gx要使函数 有 2 个正零点，则 的最小值 ， 9 分gxg2a即 ，即 ， 10 分2ln044aaln0 ， ，解得 ， 11 分0l12e实数 的取值范围为 . 12 分a,4、（1） ，切线的斜率 1 分1()(0)fxa(1)kfa，所以切线方程为 2 分()f (1)yax将 代入，得 ，解得 3 分,02()2（2）解 ，得 4 分1()0fxa当 时， ；当 时， a1x()0fx所以 在 处取得最大值 5 分()fx1lnfa，因为 ，所以 ， 在区间 有零点 10fae1l0f
15、()fx1,a6 分，因为 在区间 单调递增，所以， 在区间 有唯一零点 ()fx0,()f,7 分由幂函数与对数函数单调性比较及 的单调性知， 在区间 有唯一零点，()fx()fx1,a从而函数 有两个零点 8 分()fx不妨设 ，作函数 120a22(),0Fxfxa则 ， ，所以函数 在区间 上单调递增，10Fa2(1)0ax ()Fx20,a9 分所以 ，即 10 分1()x11()fxfa，又 ，所以 11 分112ffa12ff12()fxf因为 ，所以 ，因为 在区间 单调递减，20x,xaf1,a所以 ，又 ，所以 12 分11,a0,ea12xe5、解：（1） -1 分2(1
16、)()kxkxef kxe()kx若 ，当 时， ， 在 上单调递增；0k(,)k()0f()f2,)当 时， ， 在 上单调递减-3 分2,xxk若 ，当 时， ， 在 上单调递减；k(,)k()f()fx,)当 时， ， 在 上单调递增,x0x2k当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；0k()f2,)k(,)当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增-5xk分（2） （ ），1()lnxfke1当 时，上不等式成立，满足题设条件；-6 分0当 时， ，等价于 ，()lnxfke1ln0xke设 ，则 ，1()l1)xg2()xg2xke设 （ ），则 ，2xhke(1)0xh 在 上单调
17、递减，得 -9 分()x1,)()xke当 ，即 时，得 ， ，0kee0()g 在 上单调递减，得 ，满足题设条件；-10 分()gx1,)()10gx当 ，即 时， ，而 ，0ke1keh2()ke ， ，又 单调递减，(,2)x(hx()x当 ， ，得 ，010g 在 上单调递增，得 ，不满足题设条件；()gx, ()1x综上所述， 或 -12 分ke6、解：（I）由题意可知，定义域为 ， ，),0(221(xaxaf 1 分方程 对应的 ， 02axa411当 ，即 时，当 时， ，4),0(x0)(xf 在 上单调递减2)(xf),分2当 ，即： 时， ，041a014a方程 的两根
18、为 ， ，且 ，x21x24ax210x3 分此时， 在区间 上 ，函数 单调递增，在 和 上)(xf),(21x0(f)(xf ),(1x),(2，函数 单调递减4 分0f综上：当 时， 单调递增区间为 ，单调递减区间4a)(xf )2,41(a为 和 ；)21,0(),21(a当 时， 的单调递减区间为 . 54axf ,0(分（II）原式等价于 ，12ln)1(xax即存在 ，使 成立. 6分设 （ ），则 .712ln)(xgx2)1(ln)xg分设 ，则 ，2ln)(h01)(xh 在 上单调递增. 8 分x),1又 ， ，03l)(4ln)(根据零点存在定理，可知 在 上有唯一零点
19、，设该零点为 ，9xh),10x分则 ，且 ，即： ，)4,3(0x 02ln)(00ln2x . 11 分112ln0mi xxg由题意可知： ，又 ， 是整数， 的最小值为 12a)4,3(0a5分7、解：() ()fx函 数 的 定 义 域 ： （ ,+） ，1分 1(),2fa解 得，2分 1()ln2fxx， 211()xf3分令 ()0,fx解 得12x，故1()02fx在 （ ， ） 上 是 单 调 递 减 ；4 分令 (),f解 得x，故1()2fx在 （ ,+） 上 是 单 调 递 增 .5 分（ I）由 12,x为函数 ()fxm的两个零点，得121ln,ln,6 分两式相
20、减，可得1212l 0,xx7 分122x即 ln，112xln， 因此12xln，122xl8 分令122,1.xt t由 得 0则 121ln2lnttx，9 分构造函数()ln(0)htt，10 分则221)()tt所以函数 (0)ht在 ， 上 单 调 递 增 ， 故 ()1,ht11 分即12lntt，可知12lnt.故 12.x命题得证. 12 分8、解：（I） 的定义域为 1 分)(axf),0(2 分)0(21)( xxaxf当 ，则 ， 在 为增函数 3 分0a0)(f)f,，令 ，解得 或 （舍去） 4 分 xfax2a2所以，当 ， ， 在 为增函数；)2,0(a0(f)
21、(xf),当 ， ， 在 为减函数 5 分x),(xf)(f),2a综上所述，当 ， 在 为增函数；0a)f,当 ， 在 为增函数，在 为减函数 6 分)(xf2, ),2(a（II）不妨设 ，则 ，1021x假设存在实数 ，使得 ，都有 ， 7 分kR21,)(21kxff21)(则 恒成立，2121)(xxff即 恒成立，（*） 8 分kk设 ，即（*）等价于 在 为单调递增xxfxh2ln)( )(xh),0等价于 在 恒成立， 9 分0),等价于 在 恒成立，21kx(等价于 在 恒成立， 10 分), ，当且仅当 取等号， 11 分212xx 2x ， 的取值范围为 12 分kk,9
22、、10、11、12、解：（1） , 21lnxaf1 分因为 在 上单调递减，所以 ，得fx0， 0fx1ln02xa令 ，则 2 分ln12hamaxh，当 时， ， 单调递增；当 时，4x060hx16x， 单调递减，所以当 时， 取得最大值h1xln3ha由 得 4 分ln163a4ln2（2） ，依题意有12gxx，化简整理得 ，因为 ，所以122xx12212xx12x 6 分因为 ，当且仅当 时，等号成立成立，即1124122xxx12x，即 ，又因为 ，所以 8 分421256156A，结合式得1 2122lnllngxxxxx，令 ，则1221l12t56由（1）可知 在 上单
23、调递减，所以nhxxa6,在 上单调递增， 10l2yt16,分所以当 时，5t1ln256ln8l22yt即 12128gx分13、解： 1 分()21(1)ln(1)()a xafxxfax当 时， ，当 时， ， 在 单调递增0a100()f,当 时， ， 在 单调递减3x()fx()f,)分所以当 时， 有极大值 ，.4 分0a()f(1)2af当 时，由 知 在 单调递增，在 单调递减， 有极大值(2)1x0,(1,)()fx，故若 有两个零点，则必有 5 分1f()f 02fa令 ，则 在 单调递增，所以 ，1()lngxgx()gx,()10gx所以 ，则当 时，l12a()ln2(1)ln20fa，又 111()ln()0222aafa(1)02af所以 在 和 各有一个零点，所以 的取值范围为 .7 分x(0,),不妨设 ,则 ，8 分(3)12x121212()()xaxf2111 212112222()ln()0(ln)()()0afx xxaxx9 分112 11212 1212()ln()lnaxafxx所以 .10 分12121211122 2()()()lnlxf xx令 .11 分212()()(0,)l)0xt tthth所以 在 单调递减 ，所以 .12 分t,()10t12()xf14、
