1、2.三角函数与解三角形1.已知 为锐角，cos .( 4) 55(1)求 tan 的值；( 4)(2)求 sin 的值.(2 3)解 (1)因为 ，所以 ，(0， 2) 4 ( 4， 34)所以 sin ，( 4) 1 cos2( 4) 255所以 tan 2.( 4)sin( 4)cos( 4)(2)因为 sin(2 2)sin 2 2sin cos ，( 4) ( 4) ( 4) 45cos cos 2 2cos 2 1 ，(2 2) ( 4) ( 4) 35所以 sin sin(2 3) (2 2) 6sin cos cos sin .(2 2) 6 (2 2) 6 43 3102.已知
2、 ABC 中， AC2， A ， cosC3sin B.23 3(1)求 AB；(2)若 D 为 BC 边上一点，且 ACD 的面积为 ，求 ADC 的正弦值.334解 (1)因为 A ，所以 B C，23 3由 cosC3sin B 得，cos C sin ，3 3 ( 3 C)所以 cosC cosC sin C，3(32cos C 12sin C) 32 32所以 cosC sin C，即 tan C .12 32 33又因为 C ，(0， 3)所以 C ，从而得 B C ，所以 AB AC2. 6 3 6(2)由已知得 ACCDsin ，所以 CD ，12 6 334 332在 ACD
3、 中，由余弦定理得， AD2 AC2 CD22 ACCDcosC ，即 AD ，74 72由正弦定理得， ，ADsin C ACsin ADC故 sin ADC .ACsin CAD 2773.已知函数 f(x) Asin (A0， 0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，( x 3)且经过点 .( 3， 32)(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若角 满足 f( ) f 1， (0，)，求角 的值.3 ( 2)解 (1)由条件知周期 T2，即 2，所以 1，即 f(x) Asin .2 (x 3)因为 f(x)的图象经过点 ，( 3， 32)所以 Asin ，所以 A1，23 32所以 f
4、(x)sin .(x 3)(2)由 f( ) f 1，3 ( 2)得 sin sin 1，( 3) 3 ( 3 2)即 sin cos 1，( 3) 3 ( 3)所以 2sin 1，( 3) 3即 sin .12因为 (0，)，所以 或 . 6 564.在 ABC 中， a， b， c 分别为内角 A， B， C 的对边，且 bsin 2C csinB.(1)求角 C 的大小；(2)若 sin ，求 sin A 的值.(B 3) 35解 (1)由 bsin 2C csinB，根据正弦定理得2sin BsinCcosCsin CsinB.因为 sin B0，sin C0，所以 cosC .12又
5、 C(0，)，所以 C . 3(2)因为 C ，所以 B ， 3 (0， 23)所以 B ， 3 ( 3， 3)又 sin ，(B 3) 35所以 cos .(B 3) 1 sin2(B 3) 45又 A B ，即 A B，23 23所以 sin Asin sin(23 B) 3 (B 3)sin cos cos sin 3 (B 3) 3 (B 3) .32 45 12 35 43 3105.已知向量 a(2cos ，sin 2 )， b(2sin ， t)， .(0， 2)(1)若 a b ，求 t 的值；(25， 0)(2)若 t1，且 ab1，求 tan 的值.(2 4)解 (1)方法
6、一 因为向量 a(2cos ，sin 2 )， b(2sin ， t)，且 a b ，(25， 0)所以 cos sin ， tsin 2 .15由 cos sin ，得(cos sin )2 ，15 125即 12sin cos ，从而 2sin cos .125 2425所以(cos sin )212sin cos .4925因为 ，所以 cos sin ，(0， 2) 75所以 sin ，cos sin cos sin 2 35从而 tsin 2 .925方法二 因为向量 a(2cos ，sin 2 )， b(2sin ， t)，且 a b ，所以 cos sin ， tsin 2 .(
7、25， 0) 15又 sin2 cos 2 1，所以 sin2 21，(sin 15)整理得 50sin2 10sin 240，解得 sin 或 sin .45 35因为 ，所以 sin 0，所以 sin ，(0， 2) 35从而 tsin 2 .925(2)方法一 因为 t1，且 ab1，所以 4sin cos sin 2 1，即 4sin cos cos 2 .因为 ，所以 cos 0，从而 tan .(0， 2) 14所以 tan 2 .2tan 1 tan2 815从而 tan .(2 4)tan 2 tan 41 tan 2 tan 4815 11 815 237方法二 因为 t1，
8、且 ab1，所以 4sin cos sin 2 1，即 4sin cos cos 2 .所以 2sin 2 ，即 4sin 2 cos 2 1，1 cos 22又 sin22 cos 22 1，所以 sin22 (4sin 2 1) 21，整理得 17sin22 8sin 2 0，解得 sin 2 或 sin 2 0.817因为 ，所以 2 (0，)，所以 sin 2 0，(0， 2)所以 sin 2 ，代入 4sin 2 cos 2 1，得 cos 2 ，817 1517因为 tan 2 ，sin 2cos 2 815从而 tan .(2 4)tan 2 tan 41 tan 2 tan 4
9、815 11 815 2376.已知函数 f(x)2 sin2 2sin cos .3 ( 4 x) ( 4 x) ( 4 x)(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且角 A 满足 f(A) 1，若3a3， BC 边上的中线长为 3，求 ABC 的面积 S.解 (1) f(x)2 sin2 2sin cos3 ( 4 x) ( 4 x) ( 4 x) sin31 cos( 2 2x) ( 2 2x) sin 2xcos 2 x 2sin .3 3 (2x 6) 3令 2 k2 x 2 k， kZ， 2 6 2得 k x
10、 k， kZ， 3 6所以函数 f(x)的单调递增区间为 ， kZ. 3 k ， 6 k (2)由 f(A)2sin 1，(2A 6) 3 3得 sin ，(2A 6) 12因为 A(0，)，所以 2A(0,2)，2 A ， 6 ( 6， 136 )所以 2A ，则 A ，又 BC 边上的中线长为 3，所以| |6， 6 56 3 AC AB 所以| |2| |22 36，AC AB AC AB 即 b2 c22 bccos A36，所以 b2 c2 bc36， 由余弦定理 a2 b2 c22 bccos A，得 b2 c2 bc9， 由得， bc ，272所以 S bcsinA .12 2738
