1、 备考 2018 年中考数学一轮基础复习：专题二十七 探索规律问题一、单选题（共 15 题；共 30 分）1.（2017武汉）按照一定规律排列的 n 个数：2 、4、8 、16、32、64 、，若最后三个数的和为 768，则 n 为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 122.（2017黔西南）如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第 8 个图形中小正方形的个数是（ ）A. 71 B. 78 C. 85 D. 893.（2017贺州）将一组数 ，2， ，2 ， ，2 ，按下列方式进行排列：2 6 2 10 10，2， ，2 ， ；2 6 2 102 ， ，4，3 ，2 ；3
2、14 2 5若 2 的位置记为（1，2 ），2 的位置记为（2 ，1），则 这个数的位置记为（ ）3 38A. （5，4） B. （4 ，4） C. （4 ，5） D. （3，5）4.（2017温州）我们把 1，1，2，3 ，5，8，13，21，这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作 90圆弧 ， ， ，得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结 P1P2 ， P1P2 P2P3 P3P4P2P3 ， P3P4 ， 得到螺旋折线（如图），已知点 P1（0 ，1），P 2（1，0），P 3（0， 1），则该折线上的点 P9 的坐标为（ ）A. （6， 24） B. （ 6，25） C
3、. （5 ，24） D. （5 ，25 ）5.（2017随州）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当 n=11 时，芍药的数量为（ ） A. 84 株 B. 88 株 C. 92 株 D. 121 株6.（2017内江）如图，过点 A0（2，0 ）作直线 l：y= x 的垂线，垂足为点 A1 ， 过点 A1 作 A1A2x 轴，33垂足为点 A2 ， 过点 A2 作 A2A3l，垂足为点 A3 ， ，这样依次下去，得到一组线段：A 0A1 ， A1A2 ， A2A3 ， ，则线段 A2016A2107 的长为（ ）A. （ ） 201
4、5 B. （ ） 2016 C. （ ） 2017 D. （ ） 201832 32 32 327.（2017百色）观察以下一列数的特点：0，1 ，4，9 ，16，25，则第 11 个数是（ ） A. 121 B. 100 C. 100 D. 1218.（2017达州）如图，将矩形 ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转 90至图 位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转 90至图位置，以此类推，这样连续旋转 2017 次若 AB=4，AD=3，则顶点 A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为（ ）A. 2017 B. 2034 C. 3024 D. 30269.（2017十堰）如图，10
5、个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如 ，表示 a1=a2+a3 ， 则 a1 的最小值为（ ） A. 32 B. 36 C. 38 D. 4010.（ 2017连云港）如图所示，一动点从半径为 2 的O 上的 A0 点出发，沿着射线 A0O 方向运动到O上的点 A1 处，再向左沿着与射线 A1O 夹角为 60的方向运动到O 上的点 A2 处；接着又从 A2 点出发，沿着射线 A2O 方向运动到 O 上的点 A3 处，再向左沿着与射线 A3O 夹角为 60的方向运动到O 上的点 A4处；按此规律运动到点 A2017 处，则点 A2017 与点 A0 间的距离是（ ）
6、A. 4 B. 2 C. 2 D. 0311.（ 2017日照）观察下面 “品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出 a 的值为（ ）A. 23 B. 75 C. 77 D. 13912.（ 2017黔东南州）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约 13 世纪）所著的详解九章算术一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b） n 的展开式的各项系数，此三角形称为“ 杨辉三角” 根据“ 杨辉三角” 请计算（a+b） 20 的展开式中第三项的系数为（ ） A. 2017 B. 2016 C. 191 D. 19013.（ 2017绵阳）如图所示，将形状、大小完全相同的“
7、”和线段按照一定规律摆成下列图形，第 1 幅图形中“”的个数为 a1 ， 第 2 幅图形中“”的个数为 a2 ， 第 3 幅图形中“”的个数为 a3 ， ，以此类推，则 + + + 的值为（ ）1a1 1a2 1a3 1a19A. B. C. D. 2021 6184 589840 43176014.（ 2017德州）观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成 4 个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图 1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法， 将这种做法继续下去（如图 2，图 3），则图 6 中挖去三角形的个数为（ ） A. 121 B. 362 C. 364
8、D. 72915.（ 2017自贡）填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律 m 的值为（ ）A. 180 B. 182 C. 184 D. 186二、填空题（共 6 题；共 6 分）16.（ 2017赤峰）在平面直角坐标系中，点 P（x，y ）经过某种变换后得到点 P（y+1，x+2），我们把点P（y+1，x+2 ）叫做点 P（x ，y）的终结点已知点 P1 的终结点为 P2 ， 点 P2 的终结点为 P3 ， 点 P3的终结点为 P4 ， 这样依次得到 P1、P 2、P 3、P 4、P n、，若点 P1 的坐标为（2 ，0），则点 P2017 的坐标为_ 17.（ 2017
9、威海）某广场用同一种如图所示的地砖拼图案，第一次拼成形如图 1 所示的图案，第二次拼成形如图 2 所示的图案，第三次拼成形如图 3 所示的图案，第四次拼成形如图 4 所示的图案按照这样的规律进行下去，第 n 次拼成的图案共有地砖_块18.（ 2017阿坝州）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 O 出发，沿着箭头所示方向，每次移动1 个单位，依次得到点 P1（0，1），P 2（1 ，1），P 3（1， 0），P 4（1， 1），P 5（2 ，1），P 6（2，0），则点 P2017 的坐标是 _19.（ 2017淄博）设 ABC 的面积为 1如图 1，分别将 AC，BC 边 2 等分，D 1
10、 ， E1 是其分点，连接 AE1 ， BD1 交于点 F1 ， 得到四边形CD1F1E1 ， 其面积 S1= 13如图 2，分别将 AC，BC 边 3 等分，D 1 ， D2 ， E1 ， E2 是其分点，连接 AE2 ， BD2 交于点 F2 ， 得到四边形 CD2F2E2 ， 其面积 S2= ；16如图 3，分别将 AC，BC 边 4 等分，D 1 ， D2 ， D3 ， E1 ， E2 ， E3 是其分点，连接 AE3 ， BD3 交于点 F3 ， 得到四边形 CD3F3E3 ， 其面积 S3= ；110按照这个规律进行下去，若分别将 AC，BC 边（n+1）等分，得到四边形 CDnF
11、nEn ， 其面积Sn=_20.（ 2017广安）正方形 A1B1C1O，A 2B2C2C1 ， A3B3C3C2按如图所示放置，点 A1、A 2、A 3在直线y=x+1 上，点 C1、C 2、C 3在 x 轴上，则 An 的坐标是_21.（ 2017济宁）如图，正六边形 A1B1C1D1E1F1 的边长为 1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2 ， 如此继续下去，则正六边形 A4B4C4D4E4F4 的面积是_. 三、综合题（共 4 题；共 40 分）22.问题的提出：n 个平面最多可以把空间分割成多少个部分？问题的转化：由 n 上面问题比较复杂，所以我们先来研究跟它类
12、似的一个较简单的问题：n 条直线最多可以把平面分割成多少个部分？如图 1，很明显，平面中画出 1 条直线时，会得到 1+1=2 个部分；所以，1 条直线最多可以把平面分割成2 个部分；如图 2，平面中画出第 2 条直线时，新增的一条直线与已知的 1 条直线最多有 1 个交点，这个交点会把新增的这条直线分成 2 部分，从而多出 2 个部分，即总共会得到 1+1+2=4 个部分，所以，2 条直线最多可以把平面分割成 4 个部分；如图 3，平面中画出第 3 条直线时，新增的一条直线与已知的 2 条直线最多有 2 个交点，这 2 个交点会把新增的这条直线分成 3 部分，从而多出 3 个部分，即总共会得
13、到 1+1+2+3=7 个部分，所以，3 条直线最多可以把平面分割成 7 个部分；平面中画出第 4 条直线时，新增的一条直线与已知的 3 条直线最多有 3 个交点，这 3 个交点会把新增的这条直线分成 4 部分，从而多出 4 个部分，即总共会得到 1+1+2+3+4=11 个部分，所以，4 条直线最多可以把平面分割成 11 个部分；（1 ）请你仿照前面的推导过程，写出“5 条直线最多可以把平面分割成多少个部分”的推导过程（只写推导过程，不画图）； （2 ）根据递推规律用 n 的代数式填空： n 条直线最多可以把平面分割成 _个部分问题的解决：借助前面的研究，我们继续开头的问题；n 个平面最多可
14、以把空间分割成多少个部分？首先，很明显，空间中画出 1 个平面时，会得到 1+1=2 个部分；所以，1 个平面最多可以把空间分割成 2个部分；空间中有 2 个平面时，新增的一个平面与已知的 1 个平面最多有 1 条交线，这 1 条交线会把新增的这个平面最多分成 2 部分，从而多出 2 个部分，即总共会得到 1+1+2=4 个部分，所以，2 个平面最多可以把空间分割成 4 个部分；空间中有 3 个平面时，新增的一个平面与已知的 2 个平面最多有 2 条交线，这 2 条交线会把新增的这个平面最多分成 4 部分，从而多出 4 个部分，即总共会得到 1+1+2+4=8 个部分，所以，3 个平面最多可以
15、把空间分割成 8 个部分；空间中有 4 个平面时，新增的一个平面与已知的 3 个平面最多有 3 条交线，这 3 条交线会把新增的这个平面最多分成 7 部分，从而多出 7 个部分，即总共会得到 1+1+2+4+7=15 个部分，所以，4 个平面最多可以把空间分割成 15 个部分；空间中有 5 个平面时，新增的一个平面与已知的 4 个平面最多有 4 条交线，这 4 条交线会把新增的这个平面最多分成 11 部分，而从多出 11 个部分，即总共会得到 1+1+2+4+7+11=26 个部分，所以，5 个平面最多可以把空间分割成 26 个部分； （3 ）请你仿照前面的推导过程，写出“6 个平面最多可以把
16、空间分割成多少个部分？”的推导过程（只写推导过程，不画图）； （4 ）根据递推规律填写结果：10 个平面最多可以把空间分割成_个部分； （5 ）设 n 个平面最多可以把空间分割成 Sn 个部分，设 n1 个平面最多可以把空间分割成 Sn1 个部分，前面的递推规律可以用 Sn1 和 n 的代数式表示 Sn；这个等式是 Sn=_ 23.（ 2017内江）观察下列等式： 第一个等式： a1=21+32+222= 12+1- 122+1第二个等式： a2=221+322+2(22)2= 122+1- 123+1第三个等式： a3=231+323+2(23)2= 123+1- 124+1第四个等式： a
17、4=241+324+2(24)2= 124+1- 125+1按上述规律，回答下列问题： （1 ）请写出第六个等式：a 6=_=_； （2 ）用含 n 的代数式表示第 n 个等式：a n=_=_； （3 ） a1+a2+a3+a4+a5+a6=_（得出最简结果）； （4 ）计算：a 1+a2+an 24.（ 2017云南）观察下列各个等式的规律：第一个等式： =1，第二个等式： =2，第三个等式： =322-12-12 32-22-12 42-32-12请用上述等式反映出的规律解决下列问题： （1 ）直接写出第四个等式； （2 ）猜想第 n 个等式（用 n 的代数式表示），并证明你猜想的等式是正
18、确的 25.问题提出：用水平线和竖直线将平面分成若干个面积为 1 的小长方形格子，小长方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形设格点多边形的面积为 S，它各边上格点的个数和为 x，多边形内部的格点数为 n，S 与 x，n 之间是否存在一定的数量关系呢？ （1 ）问题探究：如图 1，图中所示的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请填写下表并写出 S 与 x 之间的关系式 S=_多边形的序号 多边形的面积 S 2 2.5 3 4 各边上格点的个数和 x 4 _ _ _ （2 ）在图 2 中所示的格点多边形，这些多边形内部都有且只有 2 个格点
19、探究此时所画的各个多边形的面积 S 与它各边上格点的个数和 x 之间的关系式 S=_ （3 ）请继续探索，当格点多边形内部有且只有 n（n 是正整数）个格点时，猜想 S 与 x，n 之间的关系式S=_（用含有字母 x，n 的代数式表示） （4 ）问题拓展：请在正三角形网格中的类似问题进行探究：在图 3、4 中正三角形网格中每个小正三角形面积为 1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，图是该正三角形格点中的两个多边形根据图中提供的信息填表：格点多边形各边上的格点的个数 格点多边形内部的格点个数 格点多边形的面积多边形 1（图 3） 8 1 8多边形 2（图 4） 7 3
20、11 一般格点多边形 a b S则 S 与 a，b 之间的关系为 S=_（用含 a，b 的代数式表示） 答案解析部分一、单选题1.【答案】B 2.【答案】D 3.【答案】B 4.【答案】B 5.【答案】B 6.【答案】B 7.【答案】B 8.【答案】D 9.【答案】D 10.【 答案】A 11.【 答案】B 12.【 答案】D 13.【 答案】C 14.【 答案】C 15.【 答案】C 二、填空题16.【 答案】（2，0 ） 17.【 答案】2n 2+2n 18.【 答案】（672，1） 19.【 答案】 2(n+1)(n+2)20.【 答案】（2 n11，2 n1） 21.【 答案】 318
21、三、综合题22.【 答案】（1）解：根据规律得，平面中画出第 5 条直线时，新增的一条直线与已知的 4 条直线最多有4 个交点，这 4 个交点会把新增的这条直线分成 5 部分，从而多出 5 个部分，即总共会得到1+1+2+3+4+5=16 个部分，所以， 5 条直线最多可以把平面分割成 16 个部分（2 ） 1+ n(n+1)2（3 ）解：根据规律得，空间中有 6 个平面时，新增的一个平面与已知的 5 个平面最多有 5 条交线，这 5条交线会把新增的这个平面最多分成 16 部分，而从多出 16 个部分，即总共会得到 1+1+2+4+7+11+16=42个部分，所以，6 个平面最多可以把空间分割
22、成 42 个部分（4 ） 176（5 ） Sn1+1+ n(n-1)223.【 答案】（1） ； 261+326+2(26)2 126+1 127+1（2 ） ； 2n1+32n+2(2n)2 12n+1 12n+1+1（3 ）1443（4 ）解：原式= + + = = 24.【 答案】（1）解：由题目中式子的变化规律可得，第四个等式是： 52-42-12 =4（2 ）解：第 n 个等式是： ，理由如下：(n+1)2-n2-12 =n (n+1)2-n2-12= (n+1)+n(n+1)-n-12= 2n+1-12= 2n2=n，第 n 个等式是： (n+1)2-n2-12 =n25.【 答案】（1） x；5；6；812（2 ） x+112（3 ） 12x+(n+1)（4 ） a+2b2
