中考数学热点难点突破:第3.1讲探求规律题(解析版)
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1、 专题专题 0101 探求规律题探求规律题 考纲要求考纲要求: 探索规律型问题:指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形或是给出与图形有关的操作、变化过 程,要求通过观察、分析、推理,探求其中所隐含的规律,进而归纳或猜想出一般性的结论 基础知识回顾基础知识回顾: 1数字猜想型:在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系,先猜想,然后通过适当的计算回答问 题 2数式规律型:通过观察、分析、归纳、验证,然后得出一般性的结论,以列代数式即函数关系式为主要 内容 3图形规律型:图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点,分析其联系和区别,用相应 的算式描述其中的规律,注意对应思想和数形
2、结合 4数形结合猜想型:首先要观察图形,从中发现图形的变化方式,再将图形的变化以数或式的形式反映出 来,从而得出图形与数或式的对应关系 5动态规律型:要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较,明确哪些结果发生了变化,哪些结果没有 发生变化,从而逐步发现规律 应用举例应用举例: 类型一、类型一、数字猜想型 【例【例 1】一个自然数的立方,可以分裂成若干个连续奇数的和,例如:23,33和 43分别可以按如图所示的 方式“分裂”,则 63“分裂”出的奇数中,最大的奇数是_ 【答案】41 【解析】 23有 3、5 共 2 个奇数,33有 7、9、11 共 3 个奇数,43有 13、15、17、19 共
3、 4 个奇数, , 63共有 6 个奇数, 到 63“分裂”出的奇数为止,一共有奇数:2+3+4+5+6=20, 又3 是第一个奇数, 第 20 个奇数为 20 2+1=41, 即 63“分裂”出的奇数中,最大的奇数是 41. 故答案为:41. 类型二、类型二、数式规律型 【例【例 2】观察下面三行数 (1)第行数的第 n 个数是 . (2)请将第行数中的每一个数分别减去第行数中对应位置的数,并找出规律,根据你得到的结论,直接 写出第行数的第 n 个数是 ; 同理,直接写出第行数的第 n 个数是 . (3)取每行的第 k 个数,这三个数的和能否等于-509?如果能,请求出 k 的值;如果不能,
4、请说明理由. 【答案】(1)(-2)n;(2)(-2)n+2;-(-2)n+1;(3)能;k=9. 【解析】 【分析】 (1)第一组,各数后一项是前一项的-2 倍, (2)第二组,各数依次相加了+6,-12,+24,-48,+96,总结规律得第 n 个数是(-2)n+2,同理,第三组 第 n 个数是-(-2)n+1, (3)根据前两问将第 k 个数表示出来,解关于 k 的方程即可。 【详解】 (1)(-2)n; (2)(-2)n+2; (3)能; (-2)k+(-2)k+2+-(-2)k+1=-509, 所以(-2)k=-512, 解得 k=9. 类型三、类型三、图形规律型: 【例【例 3】
5、把三角形按如图所示的规律拼图案, 其中第个图案中有 4 个三角形, 第个图案中有 6 个三角形, 第个图案中有 8 个三角形,按此规律排列下去,则第个图案中三角形的个数为( ) A 12 B 14 C 16 D 18 【答案】C 【解析】【分析】观察第 1 个、第 2 个、第 3 个图案中的三角形个数,从而可得到第 n 个图案中三角形的 个数为 2(n+1),由此即可得. 类型四、数形结合猜想型: 【例【例 4】如图,在平面直角坐标系中,四边形 ABOC 是正方形,点 A 的坐标为(1,1),是以点 B 为 圆心,BA 为半径的圆弧;是以点 O 为圆心,OA1为半径的圆弧,是以点 C 为圆心,
6、CA2为半 径的圆弧,是以点 A 为圆心,AA3为半径的圆弧,继续以点 B、O、C、A 为圆心按上述作法得到的 曲线 AA1A2A3A4A5称为正方形的“渐开线”,那么点 A5的坐标是_,点 A2018的坐标是_ 【答案】(6,0)(0,2016) 【解析】 【详解】 解:观察,找规律:A(1,1),A1(2,0),A2(0,2),A3(3,1),A4(1,5),A5(6,0), A6(0,6),A7(7,1),A8(1,9), A4n=(1,4n+1),A4n+1=(4n+2,0),A4n+2=(0,(4n+2),A 4n+3=(4n+3),1) 5=4+1,2016=504 4+2, A5
7、的坐标为(64+2,0)=(6,0),A2016的坐标为(0,2016) 故答案为:(6,0);(0,2016) 类型五、动态规律型: 【例【例 5】如图,将矩形 ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转 90 至图位置,继续绕右下角的顶点按 顺时针方向旋转 90 至图位置,以此类推,这样连续旋转 2017 次若 AB=4,AD=3,则顶点 A 在整个旋 转过程中所经过的路径总长为( ) A2017 B2034 C3024 D3026 【答案】D 【解析】 考点:1轨迹;2矩形的性质;3旋转的性质;4规律型;5综合题 方法、规律归纳方法、规律归纳: 数字规律: 标序数(1,2,3,n); 找
8、规律,观察: 当所给的一组数字是整数时: A.数字与序数的关系;B.数字的符号规律,若为正负号交替,则用或表示符号; 代数式规律: 标序数(1,2,3,n); 找规律,观察:A.系数、代数式字母的指数与序数的关系;B.符号规律方法同“数字规律”时. 图形规律: (1)基础图形固定累加: 标序号:记每组图形的序数为“1,2,3,n”; 数图形个数:数出每组图形的个数; 寻找第 n 项(某项)的个数与序数 n 的关系:将后一个 图形的个数与前一个图形的个数进行对比,通常作差 来观察累加个数,然后按照定量变化推导出关系式; 验证:代入序号验证所归纳的式子是否正确 (2)基础图形递变累加: 标序号:记
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