【期末专题】人教版数学九年级上《第22章二次函数》解答题培优试题(含答案)

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1、【期末专题】 二次函数 解答题培优试题1某商品现在的售价为每件 60元,每星期可卖出 300件,市场调查反映:如调整价格,每涨价 1元,每星期要少卖出 10件已知商品的进价为每件 40元(1)若每件涨价 x元,每周卖出 y件,求 y与 x的函数关系式;(2)若每周可获利 w元,求 w与 x的函数关系式;(3)如何定价才能使利润最大?并求出最大利润2如图,已知抛物线过点 A(4,0) , B(2,0) , C(0,4) (1)求抛物线的解析式;(2)如图,点 M是抛物线 AC段上的一个动点,当图中阴影部分的面积最小值时,求点 M的坐标3某公司计划安排 25人生产甲、乙两种产品,已知每人每天生产

2、25件甲或15件乙,甲产品每件利润 18元,当参与生产乙产品的工人少于 10人时,乙产品每件利润为 40元,在 4人的基础上每增加 1人,每件乙产品的利润下降 1元,设每天安排 x人生产甲产品,且不少于 4人生产乙产品(1)请根据以上信息完善下表:产品 工人数(人) 每天产量(件) 每件利润(元)甲 x 18乙 (2)请求出销售甲乙两种产品每天的总利润 y关于 x的表达式;(3)请你设计合理的工人分配方案,使得每天的利润最大化,并求出这个最大利润4某水晶厂生产的水晶工艺品非常畅销,某网店专门销售这种工艺品成本为30元/件,每天销售 y(件)与销售单价 x(元)之间存在一次函数关系,当x40 时

3、, y300;当 x55 时, y150(1)求 y与 x之间的函数关系式;(2)如果规定每天工艺品的销售量不低于 240件,当销售单价为多少元时,每天获取的利润最大,最大利润是多少?(3)该网店店主热心公益事业,决定从每天的销售利润中捐出 150元给希望工程,为了保证捐款后每天剩余利润不低于 3600元,试确定该工艺品销售单价的范围5如图 1,抛物线 C1: y ax2+bx+1的顶点坐标为 D(1,0)且经过点(0,1) ,将抛物线 C1向右平移 1个单位,向下平移 1个单位得到抛物线 C2,直线y x+c,经过点 D交 y轴于点 A,交抛物线 C2于点 B,抛物线 C2的顶点为P(1)求

4、抛物线 C1的解析式;(2)如图 2,连结 AP,过点 B作 BC AP交 AP的延长线于 C,设点 Q为抛物线上点 P至点 B之间的一动点,连结 BQ并延长交 AC于点 F,当点 Q运动到什么位置时, S PBDS BCF 8?连接 PQ并延长交 BC于点 E,试证明: FC( AC+EC)为定值6在平面直角坐标系中,已知抛物 线 y1 x24 x+4的顶点为 A,直线y2 kx2 k( k0) ,(1)试说明直线是否经过抛物线顶点 A;(2)若直线 y2交抛物线于点 B,且 OAB面积为 1时,求 B点坐标;(3)过 x轴上的一点 M( t,0) (0 t2) ,作 x轴的垂线,分别交 y

5、1, y2的图象于点 P, Q,判断下列说法是否正确,并说明理由:当 k0 时,存在实数 t(0 t2)使得 PQ3当2 k0.5 时,不存在满足条件的 t(0 t2)使得 PQ37随着人们生活水平的提高,短途旅行日趋火爆我市某旅行社推出“辽阳葫芦岛海滨观光一日游”项目,团队人均报名费用 y(元)与团队报名人数x(人)之间的函数关系如图所示,旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元旅行社收到的团队总报名费用为 w(元) (1)直接写出当 x20 时, y与 x之间的函数关系式及自变量 x的取值范围;(2)儿童节当天旅行社收到某个团队的总报名费为 3000元,报名旅游的人数是多少?(3)当一个团

6、队有多少人报名时,旅行社收到的总报名费最多?最多总报名费是多少元?8如图,抛物线 y ax2+3x+c经过 A(1,0) , B(4,0)两点,与 y轴交于点 C(1)求抛物线的解析式;(2)若点 P在第一象限的抛物线上,且点 P的横坐标为 t,过点 P向 x轴作垂线交直线 BC于点 Q,设线段 PQ的长为 m,求 m与 t之间的函数关系式,并求出 m的最大值;(3)在 x轴上是否存在点 E,使以点 B, C, E为顶点的三角形为等腰三角形?如果存在,直接写出 E点坐标;如果不存在,请说明理由9某企业投资 1000万元引进一条农产品生产线,若 不计维修、保养费用,预计投产后每年可创 330万元

7、,该生产线投产后,从第一年到第 x年的维修、保养费用累计为 y(万元) ,且 y ax2+bx( a0) ,若第一年的维修、保养费为 20万元,第二年的为 40万元(1)求 y与 x之间的函数表达式;(2)投产后,这个企业在第几年就能收回投资?10某文具店购进一批纪念册,每本进价为 20元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 y(本)与每本纪念册的 售价 x(元)之间满足一次函数关系:当销售单价为 22元时,销售量为 36本;当销售单价为 24元时,销售量为32本(1)求出 y与 x的函数关系式;(2)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 w元,将该纪念册销售单价定为多少元时,才能使文

8、具店销售该纪念册所获利润最大?最大利润是多少?11瓦子街是上杭城关老城区改造的商业文化购物步行街,瓦子街某商场经营的某个品牌童装,购进时的单价是 60元,根据市场调查,在一段时间内,销售单价是 80元时,销售量是 200件,销售单价每降低 1元,就可多售出20件(1)求出销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间的函数关系式;(2)求出销售该品牌童装获得的利润 w(元)与销售单价 x(元)之间的函数关系式;(3)若童装厂规定该品牌童装的销售单价不低于 76元且不高于 80元,则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少?12某商场以每件 30元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量 m(

9、件)与每件的销售价 x(元)满足一次函数关系 m1623 x(1)请写出商场卖这种商品每天的销售利润 y(元)与每件销售价 x(元)之间的函数关系式(2)商场每天销售这种商品的销售利润能否达到 500元?如果能,求出此时的销售价格;如果不能,说明理由13已知,抛物线 y ax2+2ax+c与 y轴交于点 C,与 x轴交于 A, B两点,点 A在点 B左侧点 B的坐标为(1,0) , OC3 OB(1)求抛物线的解析式;(2)当 a0 时,如图所示,若点 D是第三象限方抛物线上的动点,设点 D的横坐标为 m,三角形 ADC的面积为 S,求出 S与 m的函数关系式,并直接写出自变量 m的取值范围;

10、请问当 m为何值时, S有最大值?最大值是多少14定义:点 Q到图形 W上每一个点的距离的最小值称为点 Q到图 形 W的距离例如,如图 1,正方形 ABCD满足 A(1,0) , B(2,0) , C(2,1) , D(1,1) ,那么点 O(0,0)到正方形 ABCD的距离为 1(1)如果 P是以(3,4)为圆心,2 为半径的圆,那么点 O(0, 0)到 P的距离为 ;(2)求点 M(3,0)到直线了 y x+4的距离:如果点 N(0, a)到直线 y x+4的距离为 2,求 a的值;(3)如果点 G(0, b)到抛物线 y x2的距离为 3,请直接写出 b的值15服装厂批发某种服装,每件成

11、本为 65元,规定不低于 10件可以批发,其批发价 y(元/件)与批发数量 x(件) ( x为正整数)之间所满足的函数关系如图所示(1)求 y与 x之间所满足的函数关系式,并写出 x的取值范围;(2)设服装厂所获利润为 w(元) ,若 10 x50( x为正整数) ,求批发该种服装多少件时,服装厂获得利润最大?最大利润是多少元?16如图,已知二次函数 y ax2+bx+c的图象与 x轴相交于 A(1,0) ,B(3,0)两点,与 y轴相交于点 C(0,3)(1)求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标;(2)若 P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一 点, PH x轴于点 H,与BC交于点

12、M,连接 PC设点 P的横坐标为 t求线段 PM的最大值; S PBM: S MHB1:2 时,求 t值;当 PCM是等腰三角形时,直接写点 P的坐标参考答案1解:(1)根据题意得: y30010 x;(2)根据题意得: w(6040+ x) (30010 x)10 x2+100x+600010( x5) 2+6250;(3) w(6040+ x) (30010 x)10 x2+100x+600010( x5) 2+6250;当 x5 时, y有最大值,最大值为:6250此时售价为:60+565 元答:每件定价为 65元时利润最大,最大利润为 6250元2解:(1)设抛物线解析式为 y a(

13、x+2) ( x4) ,把 C(0,4)代入得 a2(4)4,解得 a ,抛物线解析式为 y ( x+2) ( x4) ,即 y x2 x4;(2)连接 AC,则 AC与抛物线所围成的图形的面积为定值,当 ACM的面积最大时,图中阴影部分的面积最小值,作 MN y轴交 AC于 N,如图甲,设 M( x, x2 x4) ,由 A(4,0) , C(0,4)知线段 AC所在直线解析式为 y x4,则 N( x, x4) , MN x4( x2 x4) x2+2x, S ACM S MNC+S MNA 4MN x2+4x( x2) 2+4,当 x2 时, ACM的面积最大,图中阴影部分的面积最小值,

14、此时 M点坐标为(2,4) 3解:(1)请根据以上信息完善下表:产品 工人数(人) 每天产量(件) 每件利润(元)甲 x 25x 18乙 25 x 15(25 x) 19+x(2) y1825 x+15 (25 x) (19+ x)15 x2+540x+7125(3) y15 x2+540x+712515( x18) 2+11985,当 x18 时, y取得最大值,最大值为 11985,分配 18个人生产甲产品,7 人生产乙产品时,可以获得最大利润 11985元4解:(1)设 y与 x之间的函数关系式: y kx+b,由题意得: ,解得: y与 x之间的函数关系式为: y10 x+700;(2

15、)由题意,得10 x+700240,解得 x46设利润为 w( x30) y( x30) (10 x+700)10 x2+1000x2100010( x50) 2+4000,100, x50 时, w随 x的增大而增大, x46 时, w 大 10(4650) 2+40003840,答:当销售单价为 46元时,每天获取的利润最大,最大利润是 3840元(3) w15010 x2+1000x210001503600,10( x50) 2250,解得: x155, x245, a100,当 45 x55 时,捐款后每天剩余利润不低于 3600元5解:(1)把顶点坐标为 D(1,0)和点(0,1)坐

16、标代入 y ax2+bx+1,解得:抛物线的方程为: y x22 x+1;(2)抛物线 C1向右平移 1个单位,向下平移 1个单位得到抛物抛物线 C1向右平移 1个单位,向下平移 1个单位得到抛物线 C2,则抛物线 C2的方程为: y( x2) 21 x24 x+3,此时顶点 P坐标为(2,1) , A(0,1) 、 B(4,3) ,则: S PBD3, S BCF ,设点 Q( m, m24 m+3) ,把 Q、 B点坐标代入一次函数表达式,解得: BQ所在的直线方程为: y mx+(34 m) ,则: F( ,1) , S BCF FC( yB yC) ,则 m3,点 Q坐 标为:(3,0

17、) ,即:点 Q运动到 x轴时, S PBDSBCF8;如下图所示,过 Q点分别作 AC、 BC的垂线 QM、 QN,设: Q( t, t24 t+3) ,则 QM CN( t2) 2, MC QN4 t, QM CE, ,则: ,解得: EC2 t4, QN FC, ,则: FC ,而 AC4, FC( AC+EC) (4+2 t4)8,为定值6解:(1) y1 x24 x+4( x2) 2,顶点 A的坐标为(2,0) 当 x2 时, y22 k2 k0,直线经过抛物线顶点 A(2)依照题意画出图形,如图 1所示设点 B的坐标为( m, n) ( n0) , S OAB ABn1, n1,

18、m24 m+41,解得: m11, m23,点 B的坐标为(1,1)或(3,1) (3)点 M( t,0) ,点 P的坐标为( t, t24 t+4) ,点 Q的坐标为( t, kt2 k) 当 k0 时:0 t2 时,点 P在点 Q上方,如图 2所示 PQ3, t24 t+4( kt2 k)3,整理得: t2(4+ k) t+(1+2 k)0 b24 ac(4+ k) 24(1+2 k) k2+120,此方程有解又 t1+t24+ k0, t1t21+2 k0,有两个正根又( t12)( t22)30,有一个正根2,在0,2上存在满足条件的 t正确当 k0 时:( i)若点 P在点 Q下方,

19、如图 3所示 PQ3, t2(4+ k) t+(4+2 k)3, t2(4+ k) t+7+2k0 b24 ac(4+ k) 24(7+2 k) k212,当存在 PQ3 时, k2120, k2 或 k2 (舍去) 当2 k0.5 时,不存在满足条件的 t;( ii)若点 P在点 Q上方,如图 4所示 PQ3, t2(4+ k) t+(4+2 k)3, t2(4+ k) t+(1+2 k)0 k2+120,此方程有解又 t1+t24+ k0, t1t21+2 k0,有一正一负两根又( t12)( t22)30,正根2,在0,2上不存在满足条件的 t综上所述:正确7解:(1)设 y kx+b,

20、把(20,120)和(32,96)代入得: ,解得: ,y与 x之间的函数关系式为: y2 x+160;旅行社规定团队人均报名费用不能低于 88元,当 y88 时,2 x+16088,x36, y与 x之间的函数关系式为: y2 x+160(20 x36) ;(2)2012024003000,由题意得: w xy x(2 x+160)3000,2 x2+160x30000,x280 x+15000,( x50) ( x30)0,x50 或 30,当 x50 时, y 60,不符合题意,舍去,当 x30 时, y 10088,符合题意,答:报名旅游的人数是 30人;(3) w xy x(2 x+

21、160)2 x2+160x2( x280 x+16001600)2( x40) 2+3200,20, x40, w随 x的增大而增大, x36 时, w有最大值为:2(3640) 2+32003168,当一个团队有 36人报名时,旅行社收到的总报名费最多,最多总报名费是3168元8解:(1)抛物线 y ax2+3x+c经过 A(1,0) , B(4,0) ,把 A、 B两点坐标代入上式,解得: a1, c4,故:抛物线 y x2+3x+4;(2)将 x0 代入抛物线的解析式得: y4, C(0,4) ,把将 B(4,0) , C(0,4)代入抛物线方程,解得:直线 BC的解析式为: y x+4

22、过点 P作 x的垂线 PQ,如图所示:点 P的横坐标为 t, P( t, t2+3t+4) , Q( t, t+4) PQ t2+3t+4( t+4) t2+4t m t2+4t( t2) 2+4(0 t4) 当 t2 时, m的最大值为 4;(3)存在如图所示:当 EC BE时, E在原点 O,此时点 E(0,0) ,当 BC CE时, E在点 B关于 y轴对称点,此时点 E(4,0) ,当 BC BE时, BE4 ,此时 E(44 ,0)即: E(4.0)或(0,0)或(44 ,0) 9解:(1)由题意, x1 时, y20;x2 时, y20+4060,分别代入 y ax2+bx得解得:

23、 y10 x2+10x;(2)设总利润为 W元,则: W330 x100010 x210 x,则 W10 x2+320x100010( x16) 2+1560,由于当 1 x16 时, W 随的增大而增大,且当 x1、2、3 时, W的值均小于0, x4 时, W1012 2+15601200,即投产 后该企业在第四年就能收回投资10解:(1)设 y与 x的关系式为 y kx+b,把(22,36)与(24,32)代入,得: ,解得: ,则 y2 x+80;(2)由题意可得:w( x20) (2 x+80)2 x2+120x16002( x30) 2+200,此时当 x30 时, w最大,即当

24、x30 时, w 最大 2(3030) 2+200200(元) ,答:该纪念册销售单价定为 3 0元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大,最大利润是 200元11解:(1)根据题意得, y200+(80 x)2020 x+1800,所以销售量 y件与销售单价 x元之间的函数关系式为y20 x+1800(60 x80) ;(2) w( x60) y( x60) (20 x+1800)20 x2+3000x108000,所以销售该品牌童装获得的利润 w元与销售单价 x元之间的函数关系式w20 x2+3000x108000;(3)根据题意得 76 x80,w20 x2+3000x108000 的

25、对称轴为 x 75, a200,抛物线开口向下,当 76 x80 时, w随 x的增大而减小, x76 时, w有最大值,最大值(7660) (2076+1800)4480(元)所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是 4480元12解:(1)由题意得,每件商品的销售利润为( x30)元,那么 m件的销售利润为 y m( x30) ,又 m1623 x, y( x30) (1623 x) ,即 y3 x2+252x4860, x300, x30又 m0,1623 x0,即 x5430 x54所求关系式为 y3 x2+252x4860(30 x54) (2)由(1)得 y3 x2+252x4860

26、3( x42) 2+432,所以可得售价定为 42元时获得的利润最大,最大销售利润是 432元500432,商场每天销售这种商品的销售利润不能达到 500元13解:(1)点 B的坐标为(1,0) , OC3 OB,点 C的坐标为(0,3)或(0,3) ,将点 B(1,0) 、 C(0,3)或(0,3)代入 y ax2+2ax+c,或 ,解得: 或 ,抛物线的解析式为 y x22 x+3或 y x2+2x3(2)过点 D作 DE x轴,交 AC于点 E,如图所示 a1,抛物线的解析式为 y x2+2x 3,点 C的坐标为(0,3) 当 y0 时,有 x2+2x30,解得: x13, x21,点

27、A的坐标为(3,0) ,利用待定系数法可求出线段 AC所在直线的解析式为 y x3点 D的横坐标为 m,点 D的坐标为( m, m2+2m3) ,点 E的坐标为( m, m3) , DE m3( m2+2m3) m23 m, S DE|30| ( m2+3m) (3 m0) 0,且 S ( m2+3m) ( m+ ) 2+ ,当 m 时, S取最大值,最大值为 14解:(1)连接 OP交圆于点 Q,由题意得: OQ为点 O(0,0)到 P的距离,点 P(3,4)则 OP5,则 PQ523,故答案是 3;(2)如下图所示,设:直线为 l的方程为: y x+4,直线与 x轴、 y轴交点的坐标分别为

28、(3,0) 、 (0,4) ,tan M AM ,过点 M作 M M直线 l,则 M M为 M到直线 l的距离,M M MAsin M AM6 ,由题意得:当 N在直线 l下方时,N N2, BN ,则 a4 ,当 N在直线 l上方时, a则 a4+ ,即 a 或 ;(3)当 G在原点下方时, b3,当 G在原点上方时, ,整理得: x4+(12 b) x2+b290,(12 b) 24( b29)0,解得: b ,故 b3 或 15解:(1)当 10 x50 时,设 y与 x的函数关系式为 y kx+b,得 ,当 10 x50 时, y与 x的函数关系式为 y0.5 x+105,当 x50

29、时, y80,即 y与 x的函数关系式为: y ;(2)由题意可得,w(0.5 x+10565) x0.5 x2+40x0.5( x40) 2+800,当 x40 时, w取得最大值,此时 w800, y0.540+10585,答:批发该种服装 40件时,服装厂获得利润最大,最大利润是 800元16解:(1)将 A(1,0) , B(3,0) , C(0,3)代入 y ax2+bx+c,得:, 解得: ,二次函数的表达式为 y x2+2x+3 y x2+2x+3( x1) 2+4,二次函数图象的顶点坐标为(1,4) (2)设直线 BC的表达式为 y mx+n( m0) ,将 B(3,0) ,

30、C(0,3)代入 y mx+n,得:,解得: ,直线 BC的表达式为 y x+3点 P的横坐标为 t(0 t3) ,点 P的坐标为( t, t2+2t+3) ,点 M的坐标为( t, t+3) , PM t2+2t+3( t+3) t2+3t( t ) 2+ ,线段 PM的最大值为 点 P的坐标为( t, t2+2t+3) ,点 M的坐标为( t, t+3) ,点 H的坐标为( t,0) , PM t2+2t+3( t+3) t2+3t, MH t+3 PBM和 MHB等高, S PBM: S MHB1:2, MH2 PM,即 t+32 t2+6t,解得: t1 , t23(不合题意,舍去)

31、,当 S PBM: S MHB1:2 时, t的值为 点 P的坐标为( t, t2+2t+3) ,点 M的坐标为( t, t+3) ,点 C的坐标为(0,3) , PM t2+2t+3( t+3) t2+3t, CM t, PC t 当 PM PC时,有 t2+3t t ,0 t3,原方程可整理为:2 t40,解得: t2,点 P的坐标为(2,3) ;当 PM CM时,有 t2+3t t,解得: t10(舍去) , t23 ,点 P的坐标为(3 ,2+4 ) ;当 CM PC时,有 t t ,0 t3,原方程可整理为: t24 t+30,解得: t11, t23(舍去) ,点 P的坐标为(1,4) 综上所述:当 PCM是等腰三角形时,点 P的坐标为(2,3)或(3 ,2+4 )或(1,4)

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