1、2017-2018 学年江苏省盐城市响水县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（以下每小题有四个选项,其中只有一个选项正确,请把正确选项的字母选入该题括号内,每小题 3 分,共 18 分)1已知 2x=3y（y0） ，则下面结论成立的是（ ）A B C D2如图，四边形 ABCD 内接于O，AC 平分BAD，则下列结论正确的是（ ）AAB=AD BBC=CD C DBCA=DCA3一次数学测试后，随机抽取九年级三班 6 名学生的成绩如下：80，85，86， 88，88，95关于这组数据的错误说法是（ ）A极差是 15 B众数是 88 C中位数是 86 D平均数是 874一元二次方程 x23x+2
2、=0 的根的情况是（ ）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C只有一个实数根 D没有实数根5将抛物线 y=2x2 向右平移 3 个单位，再向下平移 5 个单位，得到的抛物线的表达式为（ ）Ay=2（x 3） 25 By=2（x+3） 2+5C y=2（x3） 2+5 Dy=2 （x+3） 256小明向如图所示的正方形 ABCD 区域内投掷飞镖，点 E 是以 AB 为直径的半圆与对角线 AC 的交点如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）A B C D二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，计 30 分）7若ABC DEF，相似比为 3：2，则对应高的比为 8从
3、，0 ，3.14，6 这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是 9若 1 是方程 x22x+c=0 的一个根，则 c 的值为 10小明数学学科课堂表现及平时作业为 90 分、期中考试为 88 分、期末考试为 96 分，若这三项成绩分别按 30%、30% 、40%的比例计入总评成绩，则小明数学学科总评成绩是 分11若 x1，x 2 是一元二次方程 x2+3x5=0 的两个根，则 x12x2+x1x22 的值是 12如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，位似中心点是 O， = ，则 = 13经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的 50 元降到 32 元，设该药品平均每次降价的百分
4、率为 x，根据题意可列方程是 14已知：如图，在O 中，OA BC，AOB=70，则ADC 的度数为 15为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树 AB 的树根 7.2m 的点 E 处，然后观测者沿着直线 BE 后退到点 D，这时恰好在镜子里看到树稍顶点 A，再用皮尺量得 DE=2.4m，观测者目高 CD=1.6m，则树高 AB约是 16二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，以下结论：abc 0；4acb 2； 2a+b0；其顶点坐标为（ ， 2） ；当 x 时，y 随x 的增
5、大而减小；a+b +c0 中，正确的有 （只填序号）三、解答题（本大题共 11 小题，计 102 分）17 （6 分）解方程：x 24x+1=018 （6 分）如图，AB 为 O 的直径，点 C、D 在O 上，CEAB，DFAB，垂足分别为 E，F，且弧 AC 与弧 BD 相等，问 AE 与 BF 相等吗？为什么？19 （8 分）如图，在边长为 1 的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知ABC 三个顶点分别为 A（1，2） 、B（2，1） 、C （4 ，5） （1）画出ABC 关于 x 轴对称的 A 1B1C1；（2）以原点 O 为位似中心，在 x 轴的上方画出A 2B2C2，使A 2B2C2
6、 与ABC 位似，且位似比为 2，并求出A 2B2C2 的面积20 （8 分）在一个不透明的盒子中，装有 3 个分别写有数字 1，2，3 的小球，他们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取 1 个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出 1 个小球，再记下小球上的数字（1）用列表法或树状图法写出所有可能出现的结果；（2）求两次取出的小球上的数字之和为奇数的概率 P21 （8 分）关于 x 的一元二次方程 x2（k+3）x +2k+2=0（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于3，求 k 的取值范围22 （10 分）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛
7、，两人在相同条件下各射击 10 次，射击的成绩如图所示根据图中信息，回答下列问题：（1）甲的平均数是 ，乙的中位数是 ；（2）分别计算甲、乙成绩的方差，并从计算结果来分析，你认为哪位运动员的射击成绩更稳定？23 （10 分）如图，在ABC 中，ABC=90 ，C=30，AC 的垂直平分线交 BC 于点D，交 AC 于点 E（1）判断 BE 与DCE 的外接圆O 的位置关系，并说明理由；（2）若 BE= ，BD=1，求DCE 的外接圆O 的直径24 （10 分）如图，王华晚上由路灯 A 下的 B 处走到 C 处时，测得影子 CD 的长为 1 米，继续往前走 3 米到达 E 处时，测得影子 EF
8、的长为 2 米，已知王华的身高是 1.5 米（1）求路灯 A 的高度；（2）当王华再向前走 2 米，到达 F 处时，他的影长是多少？25 （10 分）工人师傅用一块长为 2m，宽为 1.2m 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形 （厚度不计）（1）若长方体底面面积为 1.28m2，求裁掉的正方形边长；（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的 3 倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方米的费用为 50 元，底面每平方米的费用为 200 元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？26 （12 分）如图，在ABC 中，AC=BC ，点 D 是线段 AB 上一动
9、点，EDF 绕点 D旋转，在旋转过程中始终保持A=EDF，射线 DE 与边 AC 交于点 M，射线 DE 与边 BC 交于点 N，连接 MN（1）找出图中的一对相似三角形，并证明你的结论；（2）如图，在上述条件下，当点 D 运动到 AB 的中点时，求证：在EDF 绕点 D 旋转过程中，点 D 到线段 MN 的距离为定值27 （14 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= x2+bx+c 与 y 轴的交于点A（0，3） ，与 x 轴的交于点 B 和 C，点 B 的横坐标为 2点 A 关于抛物线对称轴对称的点为点 D，在 x 轴上有一动点 E（t，0） ，过点 E 作平行于 y 轴的直线与抛物
10、线、直线 AD 的交点分别为 P、Q（1）求抛物线的解析式；（2）当点 P 在线段 AC 的下方时，求APC 面积的最大值；（3）当 t2 时，是否存在点 P，使以 A、P 、Q 为顶点的三角形与AOB 相似若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由2017-2018 学年江苏省盐城市响水县九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（以下每小题有四个选项,其中只有一个选项正确,请把正确选项的字母选入该题括号内,每小题 3 分,共 18 分)1已知 2x=3y（y0） ，则下面结论成立的是（ ）A B C D【分析】根据比例的性质，把乘积式写成比例式即可；【解答】解：2x=3y
11、（y0） ， = ，故选：D【点评】本题考查比例的性质、解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型2如图，四边形 ABCD 内接于O，AC 平分BAD，则下列结论正确的是（ ）AAB=AD BBC=CD C DBCA=DCA【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可【解答】解：A、ACB 与ACD 的大小关系不确定，AB 与 AD 不一定相等，故本选项错误；B、AC 平分BAD ， BAC=DAC，BC=CD，故本选项正确；C、 ACB 与ACD 的大小关系不确定， 与 不一定相等，故本选项错误；D、BCA 与DCA 的大小关系不确定，故本选项错误故选：B【点评】本题考查的是
12、圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等3一次数学测试后，随机抽取九年级三班 6 名学生的成绩如下：80，85，86， 88，88，95关于这组数据的错误说法是（ ）A极差是 15 B众数是 88 C中位数是 86 D平均数是 87【分析】平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；对于中位数，按从小到大的顺序排列，只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的两个数；对于众数是出现频数最大的数据【解答】解：A、极差是 15，故 A 正确；B、众数是 88，故 B 正确；C、中位数是 87，故 C 错误
13、；D、平均数是 87，故 D 正确故选：C【点评】本题重点考查平均数，中位数，众数及极差的概念及求法4一元二次方程 x23x+2=0 的根的情况是（ ）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C只有一个实数根 D没有实数根【分析】先求出“ ” 的值，再判断即可【解答】解：x 23x+2=0，= （ 3） 2412=10，所以方程有两个不相等的实数根，故选：B【点评】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键5将抛物线 y=2x2 向右平移 3 个单位，再向下平移 5 个单位，得到的抛物线的表达式为（ ）Ay=2（x 3） 25 By=2（x+3） 2+5C y=2（x3）
14、2+5 Dy=2 （x+3） 25【分析】先确定抛物线 y=2x2 的顶点坐标为（0，0 ） ，再利用点平移的坐标规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（3，5） ，然后根据顶点式写出平移得到的抛物线的解析式【解答】解：抛物线 y=2x2 的顶点坐标为（0，0） ，点（ 0，0）向右平移 3 个单位，再向下平移 5 个单位所得对应点的坐标为（3，5） ，所以平移得到的抛物线的表达式为 y=2（x3） 25故选：A【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系
15、数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式6小明向如图所示的正方形 ABCD 区域内投掷飞镖，点 E 是以 AB 为直径的半圆与对角线 AC 的交点如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）A B C D【分析】直接利用正方形的性质结合转化思想得出阴影部分面积=S CEB ，进而得出答案【解答】解：如图所示：连接 BE，可得，AE=BE，AEB=90，且阴影部分面积=S CEB = SABC = S 正方形 ABCD，故小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为： 故选：B【点评】此题主要考查了几何概率，正确利用正方形性质得出阴影部分面积=S CEB 是解题关键二
16、、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，计 30 分）7若ABC DEF，相似比为 3：2，则对应高的比为 3：2 【分析】直接利用相似三角形对应高的比等于相似比进而得出答案【解答】解：ABCDEF，相似比为 3：2，对应高的比为：3：2故答案为：3：2【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确记忆相关性质是解题关键8从 ，0 ，3.14，6 这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是 【分析】直接利用概率公式计算得出答案【解答】解：从 ，0，3.14 ，6 这五个数中随机抽取一个数，有理数有0，3.14，6 共 3 个，抽到有理数的概率是： 故答案为： 【点评】此题主要考查了概率
17、公式，正确得出有理数的个数是解题关键9若 1 是方程 x22x+c=0 的一个根，则 c 的值为 2 【分析】把 x=1 代入方程 x22x+c=0 得（1 ） 22（1 ）+c=0，然后解关于 c 的方程【解答】解：把 x=1 代入方程 x22x+c=0 得（1 ） 22（1 ）+c=0，解得 c=2故答案为2【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解10小明数学学科课堂表现及平时作业为 90 分、期中考试为 88 分、期末考试为 96 分，若这三项成绩分别按 30%、30% 、40%的比例计入总评成绩，则小明数学学科总评成绩是 91.8
18、分【分析】根据加权平均数的计算方法可以求得小明数学学科总评成绩，从而可以解答本题【解答】解：由题意可得，9030%+8830%+9640%=91.8（分） ，故答案为：91.8【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法11若 x1，x 2 是一元二次方程 x2+3x5=0 的两个根，则 x12x2+x1x22 的值是 15 【分析】由根与系数的关系可求得（x 1+x2）与 x1x2 的值，代入计算即可【解答】解：x 1，x 2 是一元二次方程 x2+3x5=0 的两个根，x 1+x2=3，x 1x2=5，x 12x2+x1x22=x1x2（x 1+x2）=5（ 3）=
19、15 ，故答案为：15【点评】本题主要考查根与系数的关系，由根与系数的关系求得（x 1+x2）与 x1x2 的值是解题的关键12如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，位似中心点是 O， = ，则 = 【分析】直接利用位似图形的性质得出OEFOAB，OFGOBC，进而得出答案【解答】解：如图所示：四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，OEFOAB，OFGOBC， = = ， = = 故答案为： 【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键13经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的 50 元降到 32 元，设该药品平均每次降价的百分率为 x，根据题意可列方程是 50
20、（1x） 2=32 【分析】根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来 50 元降到 32 元，平均每次降价的百分率为 x，可以列出相应的方程即可【解答】解：由题意可得，50（1 x） 2=32，故答案为：50（1x） 2=32【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程14已知：如图，在O 中，OA BC，AOB=70，则ADC 的度数为 35 【分析】根据垂径定理得到 = ，根据圆周角定理解答即可【解答】解：OABC， = ，ADC= AOB=35，故答案为：35 【点评】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周
21、角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键15为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树 AB 的树根 7.2m 的点 E 处，然后观测者沿着直线 BE 后退到点 D，这时恰好在镜子里看到树稍顶点 A，再用皮尺量得 DE=2.4m，观测者目高 CD=1.6m，则树高 AB约是 4.8m 【分析】如图容易知道 CDBD ，AB BE，即CDE=ABE=90 由光的反射原理可知CED=AEB ，这样可以得到 CED AEB，然后利用对应边成比例就可以求出AB【解答】解：由题意知CED=
22、AEB，CDE= ABE=90 ，CEDAEB = ， = ，AB=4.8 米故答案为：4.8m【点评】考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果16二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，以下结论：abc 0；4acb 2； 2a+b0；其顶点坐标为（ ， 2） ；当 x 时，y 随x 的增大而减小；a+b +c0 中，正确的有 （只填序号）【分析】根据图象可判断，由 x=1 时， y0，可判断【解答】解由图象可得，a0，c0 ，b 0，=b 24ac0 ，对称轴为 x=abc0，4acb 2，当 x 时，y 随 x 的增大而减
23、小故正确 = 12a+b0故正确由图象可得顶点纵坐标小于2，则错误当 x=1 时，y=a+b+c0故错误故答案为【点评】本题考查了二次函数图象与系数关系，利用函数图象解决问题是本题的关键三、解答题（本大题共 11 小题，计 102 分）17 （6 分）解方程：x 24x+1=0【分析】根据配方法可以解答此方程【解答】解：x 24x+1=0x24x+4=3（x2） 2=3x2=x 1=2+ ，x 2=2 ；【点评】本题考查解一元二次方程配方法，解答本题的关键是会用配方法解方程的方法18 （6 分）如图，AB 为 O 的直径，点 C、D 在O 上，CEAB，DFAB，垂足分别为 E，F，且弧 AC
24、 与弧 BD 相等，问 AE 与 BF 相等吗？为什么？【分析】欲证 AE 与 BF 相等，先知 OE、OF 关系连接 OC、OD，证明OCEODF即可【解答】解：AE=BD 因为：连接 OC、OD弧 AC 与弧 BD 相等COE=DOF 又 CEAB ，DFAB，OC=ODOCEODFOE=OFAE=BF【点评】此题难度中等，考查全等三角形的判定和性质及圆心角、弧、弦的关系19 （8 分）如图，在边长为 1 的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知ABC 三个顶点分别为 A（1，2） 、B（2，1） 、C （4 ，5） （1）画出ABC 关于 x 轴对称的 A 1B1C1；（2）以原点 O 为
25、位似中心，在 x 轴的上方画出A 2B2C2，使A 2B2C2 与ABC 位似，且位似比为 2，并求出A 2B2C2 的面积【分析】 （1）画出 A、B、C 关于 x 轴的对称点 A1、 B1、C 1 即可解决问题；（2）连接 OB 延长 OB 到 B2，使得 OB=BB2，同法可得 A2、C 2，A 2B2C2 就是所求三角形；【解答】解：（1）如图所示，A 1B1C1 就是所求三角形（2）如图所示，A 2B2C2 就是所求三角形如图，分别过点 A2、C 2 作 y 轴的平行线，过点 B2 作 x 轴的平行线，交点分别为 E、F，A（1 ，2） ，B（2 ，1） ，C （4 ，5） ，A 2
26、B2C2 与 ABC 位似，且位似比为 2，A 2（2 ，4） ，B 2（4 ，2） ，C 2（8，10） ， =810 62 48 610=28【点评】本题考查作图位似变换，作图轴对称变换等知识，解题的关键是理解位似变换、轴对称变换的定义，属于中考常考题型20 （8 分）在一个不透明的盒子中，装有 3 个分别写有数字 1，2，3 的小球，他们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取 1 个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出 1 个小球，再记下小球上的数字（1）用列表法或树状图法写出所有可能出现的结果；（2）求两次取出的小球上的数字之和为奇数的概率 P【分
27、析】 （1）根据题意列出所有的可能性；（2）根据（1）中的结果可以得到两次取得的数字之和为奇数的次数，从而可以解答本题【解答】解：（1）列表得，（2）两次取出的小球上的数字之和为奇数的共有 4 种，P 两次取出的小球上数字之和为奇数的概率 P= 【点评】此题考查了列表法与树状图法，概率=所求情况数与总情况数之比21 （8 分）关于 x 的一元二次方程 x2（k+3）x +2k+2=0（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于3，求 k 的取值范围【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得=（k 1） 20，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可
28、得出 x1=2、x 2=k+1，根据方程有一根小于3，即可得出关于 k 的一元一次不等式，解之即可得出 k 的取值范围【解答】 （1）证明：在方程 x2（k+3）x+2k+2=0 中，= （ k+3） 241（2k+2）=k 22k+1=（k 1） 20，方程总有两个实数根；（2）解：x 2（k+3）x+2k+2=0 ，（x2） （xk1）=0，x 1=2，x 2=k+1方程有一根小于3，k+1 3，解得： k4，k 的取值范围为 k 4【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当0 时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元
29、二次方程结合方程一根小于3，找出关于 k 的一元一次不等式22 （10 分）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人在相同条件下各射击 10 次，射击的成绩如图所示根据图中信息，回答下列问题：（1）甲的平均数是 8 ，乙的中位数是 7.5 ；（2）分别计算甲、乙成绩的方差，并从计算结果来分析，你认为哪位运动员的射击成绩更稳定？【分析】 （1）根据平均数和中位数的定义解答即可；（2）计算方差，并根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定解答【解答】解：（1）甲的平均数= =8，乙的中位数是 7.5；故答案为：8；7.5；（2） ； = ，
30、= ， ，乙运动员的射击成绩更稳定【点评】此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定23 （10 分）如图，在ABC 中，ABC=90 ，C=30，AC 的垂直平分线交 BC 于点D，交 AC 于点 E（1）判断 BE 与DCE 的外接圆O 的位置关系，并说明理由；（2）若 BE= ，BD=1，求DCE 的外接圆O 的直径【分析】 （1）连接 OE，由 DE 是 AC 的垂直平分线，得到 BE=CE，根据等腰三角形
31、的性质得到EBC=C=30，由三角形的内角和得到 BEC=120，由 OE=OC，得到OEC=C=30 ，求得BEO=90，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据切割线定理得到 BE2=BDBC，代入数据即可得到结论【解答】解：（1）连接 OE，DE 是 AC 的垂直平分线，BE=CE ，EBC=C=30 ，BEC=120 ，OE=OC，OEC=C=30，BEO=90，BE 是O 的切线；（2）BE 是O 的切线，BE 2=BDBC，即（ ） 2=1BC，BC=3，CD=2，DCE 的外接圆的直径是 2【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，切割线定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌
32、握有关知识是解题的关键24 （10 分）如图，王华晚上由路灯 A 下的 B 处走到 C 处时，测得影子 CD 的长为 1 米，继续往前走 3 米到达 E 处时，测得影子 EF 的长为 2 米，已知王华的身高是 1.5 米（1）求路灯 A 的高度；（2）当王华再向前走 2 米，到达 F 处时，他的影长是多少？【分析】设 BC=x 米，AB=y 米，此题容易得到ABDMCD ，ABFNEF，然后利用它们的对应边成比例可以得到关于 x、y 的方程组，从而求出结果【解答】解：（1）设 BC=x 米，AB=y 米，由题意得，CD=1 米，CE=3 米，EF=2 米，身高 MC=NE=1.5 米，ABD
33、MCD，ABFNEF， ， ， ，解得 ，路灯 A 的高度为 6 米（2）如图，连接 AG 交 BF 延长线于点 H，ABHGFH ，GF=1.5 米，BH=3 +3+2+FH=8+FH， ，解得 （米） 答：当王华再向前走 2 米，到达 F 处时，他的影长是 米【点评】此题主要是把实际问题抽像成相似三角形的问题，然后利用对应边成比例可以求出结果25 （10 分）工人师傅用一块长为 2m，宽为 1.2m 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形 （厚度不计）（1）若长方体底面面积为 1.28m2，求裁掉的正方形边长；（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的 3 倍，
34、并将容器进行防锈处理，侧面每平方米的费用为 50 元，底面每平方米的费用为 200 元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？【分析】 （1）设裁掉的正方形的边长为 xm，根据底面矩形的面积公式列出一元二次方程，解之可得；（2）先根据长不大于宽的 3 倍得出 x 的取值范围，再根据总费用= 侧面的总费用+底面的总费用列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得【解答】解：（1）设裁掉的正方形的边长为 xm，根据题意，得：（22x） （1.2 2x）=1.28 ，解得：x 1=0.2 或 x2=1.4（舍） ，所以裁掉的正方形边长为 0.2m；（2）长不大于宽的 3 倍，2
35、 2x3（1.22x） ，解得：0x0.4，设总费用为 w，根据题意，得：w=502x（3.2 4x）+200（2 2x） （1.22x）=400x2960x+480=400（x1.2） 296，对称轴 x=1.2 且开口向上，当 0x0.4 时，w 随 x 的增大而减小，当 x=0.4 时， w 取得最小值，最小值为 160 元，答：裁掉的正方形边长为 0.4m 时，总费用最低，最低为 160 元【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答26 （12 分）如图，在ABC 中，AC=BC ，点 D 是线段 AB
36、 上一动点，EDF 绕点 D旋转，在旋转过程中始终保持A=EDF，射线 DE 与边 AC 交于点 M，射线 DE 与边 BC 交于点 N，连接 MN（1）找出图中的一对相似三角形，并证明你的结论；（2）如图，在上述条件下，当点 D 运动到 AB 的中点时，求证：在EDF 绕点 D 旋转过程中，点 D 到线段 MN 的距离为定值【分析】 （1）根据相似三角形的判定解答即可；（2）作 DGMN，DHAM，利用相似三角形的判定和性质解答即可【解答】解：（1）ADMBND，理由如下：AC=BC，A=B，A+AMD= EDF+BDN，A=EDF ，AMD=BDN ，ADMBND；（2）证明：作 DGMN
37、 于 G，DH AM 于 H，如图，由（1）得，ADMBND， = ，AD=BD， = ，又A=EDF，ADMDNM，AMD=NMD，又 DGMN，DHAM，DG=DH，即在EDF 绕点 D 旋转过程中，点 D 到线段 MN 的距离为定值【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、角平分线的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键27 （14 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= x2+bx+c 与 y 轴的交于点A（0，3） ，与 x 轴的交于点 B 和 C，点 B 的横坐标为 2点 A 关于抛物线对称轴对称的点为点 D，在 x 轴上有一动点 E（t，0） ，过点 E 作平
38、行于 y 轴的直线与抛物线、直线 AD 的交点分别为 P、Q（1）求抛物线的解析式；（2）当点 P 在线段 AC 的下方时，求APC 面积的最大值；（3）当 t2 时，是否存在点 P，使以 A、P 、Q 为顶点的三角形与AOB 相似若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由【分析】 （1）由点 A、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 C 的坐标，由点 A、C 的坐标利用待定系数法可求出直线 AC 的解析式，设直线 l 与直线 AC 的交点为 F，则点 F 的坐标为（t ， t+3） 结合点 P 的坐标即可得出 PF 的值，由 S
39、APC =SAPF +SCPF 可得出 SAPC= （t 3） 2+ ，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）由AOB=AQP=90，可分AOBAQP 和 AOBPQA 两种情况考虑，利用相似三角形的性质可得出关于 t 的方程，解之即可得出结论【解答】解：（1）将 A（0，3） 、B （2，0）代入 y= x2+bx+c，得：，解得： ，抛物线的解析式为 y= x22x+3（2）当 y=0 时，有 x22x+3=0，解得：x 1=2， x2=6，点 C 的坐标为（ 6，0 ） 设直线 AC 的解析式为 y=mx+n（m0） ，将 A（0，3 ） 、C （6，0）代入 y=mx+n，得：，
40、解得： ，直线 AC 的解析式为 y= x+3设直线 l 与直线 AC 的交点为 F，如图 1 所示，则点 F 的坐标为（t ， t+3） 点 P 的坐标为（ t， t22t+3） ，PF= t+3（ t22t+3）= t2+ t，S APC =SAPF +SCPF ，= OEPF+ CEPF，= OCPF，= 6（ t2+ t） ，= （t3） 2+ ，a= 0，当 t=3 时，APC 的面积取最大值，最大值为 （3）假设存在，AOB=AQP=90，分AOBAQP 和AOBPQA 两种情况考虑A（0，3 ） ， B（2，0 ） ，Q （t，3） ，P（t ， t22t+3） ，AO=3，BO
41、=2，AQ=t，PQ=| t22t|当AOBAQP 时，有 = ，即 = ，解得：t 1=0（舍去） ，t 2= ，t 3= ，经检验，t 2= 、t 3= 是所列分式方程的解；当AOBPQA 时，有 = ，即 = ，解得：t 4=0（舍去） ，t 5=2（舍去） ，t 6=14，经检验，t 6=14 是所列分式方程的解综上所述：当 t2 时，存在点 P，使以 A、P 、Q 为顶点的三角形与AOB 相似，此时t 的值为 或 或 14【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质以及相似三角形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用三角形的面积公式找出 SAPC= （t 3） 2+ ；（3）分 AOBAQP 和AOBPQA 两种情况，利用相似三角形的性质求出 t 值
