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2017-2018学年江苏省盐城市响水县九年级上期末数学试卷(含答案解析)

1、2017-2018 学年江苏省盐城市响水县九年级(上)期末数学试卷一、选择题(以下每小题有四个选项,其中只有一个选项正确,请把正确选项的字母选入该题括号内,每小题 3 分,共 18 分)1已知 2x=3y(y0) ,则下面结论成立的是( )A B C D2如图,四边形 ABCD 内接于O,AC 平分BAD,则下列结论正确的是( )AAB=AD BBC=CD C DBCA=DCA3一次数学测试后,随机抽取九年级三班 6 名学生的成绩如下:80,85,86, 88,88,95关于这组数据的错误说法是( )A极差是 15 B众数是 88 C中位数是 86 D平均数是 874一元二次方程 x23x+2

2、=0 的根的情况是( )A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C只有一个实数根 D没有实数根5将抛物线 y=2x2 向右平移 3 个单位,再向下平移 5 个单位,得到的抛物线的表达式为( )Ay=2(x 3) 25 By=2(x+3) 2+5C y=2(x3) 2+5 Dy=2 (x+3) 256小明向如图所示的正方形 ABCD 区域内投掷飞镖,点 E 是以 AB 为直径的半圆与对角线 AC 的交点如果小明投掷飞镖一次,则飞镖落在阴影部分的概率为( )A B C D二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,计 30 分)7若ABC DEF,相似比为 3:2,则对应高的比为 8从

3、,0 ,3.14,6 这五个数中随机抽取一个数,抽到有理数的概率是 9若 1 是方程 x22x+c=0 的一个根,则 c 的值为 10小明数学学科课堂表现及平时作业为 90 分、期中考试为 88 分、期末考试为 96 分,若这三项成绩分别按 30%、30% 、40%的比例计入总评成绩,则小明数学学科总评成绩是 分11若 x1,x 2 是一元二次方程 x2+3x5=0 的两个根,则 x12x2+x1x22 的值是 12如图,四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似,位似中心点是 O, = ,则 = 13经过两次连续降价,某药品销售单价由原来的 50 元降到 32 元,设该药品平均每次降价的百分

4、率为 x,根据题意可列方程是 14已知:如图,在O 中,OA BC,AOB=70,则ADC 的度数为 15为了测量校园内一棵不可攀的树的高度,学校数学应用实践小组做了如下的探索:根据光的反射定律,利用一面镜子和皮尺,设计如图所示的测量方案:把镜子放在离树 AB 的树根 7.2m 的点 E 处,然后观测者沿着直线 BE 后退到点 D,这时恰好在镜子里看到树稍顶点 A,再用皮尺量得 DE=2.4m,观测者目高 CD=1.6m,则树高 AB约是 16二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,以下结论:abc 0;4acb 2; 2a+b0;其顶点坐标为( , 2) ;当 x 时,y 随x 的增

5、大而减小;a+b +c0 中,正确的有 (只填序号)三、解答题(本大题共 11 小题,计 102 分)17 (6 分)解方程:x 24x+1=018 (6 分)如图,AB 为 O 的直径,点 C、D 在O 上,CEAB,DFAB,垂足分别为 E,F,且弧 AC 与弧 BD 相等,问 AE 与 BF 相等吗?为什么?19 (8 分)如图,在边长为 1 的正方形网格中建立平面直角坐标系,已知ABC 三个顶点分别为 A(1,2) 、B(2,1) 、C (4 ,5) (1)画出ABC 关于 x 轴对称的 A 1B1C1;(2)以原点 O 为位似中心,在 x 轴的上方画出A 2B2C2,使A 2B2C2

6、 与ABC 位似,且位似比为 2,并求出A 2B2C2 的面积20 (8 分)在一个不透明的盒子中,装有 3 个分别写有数字 1,2,3 的小球,他们的形状、大小、质地完全相同,搅拌均匀后,先从盒子里随机抽取 1 个小球,记下小球上的数字后放回盒子,搅拌均匀后再随机取出 1 个小球,再记下小球上的数字(1)用列表法或树状图法写出所有可能出现的结果;(2)求两次取出的小球上的数字之和为奇数的概率 P21 (8 分)关于 x 的一元二次方程 x2(k+3)x +2k+2=0(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程有一根小于3,求 k 的取值范围22 (10 分)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛

7、,两人在相同条件下各射击 10 次,射击的成绩如图所示根据图中信息,回答下列问题:(1)甲的平均数是 ,乙的中位数是 ;(2)分别计算甲、乙成绩的方差,并从计算结果来分析,你认为哪位运动员的射击成绩更稳定?23 (10 分)如图,在ABC 中,ABC=90 ,C=30,AC 的垂直平分线交 BC 于点D,交 AC 于点 E(1)判断 BE 与DCE 的外接圆O 的位置关系,并说明理由;(2)若 BE= ,BD=1,求DCE 的外接圆O 的直径24 (10 分)如图,王华晚上由路灯 A 下的 B 处走到 C 处时,测得影子 CD 的长为 1 米,继续往前走 3 米到达 E 处时,测得影子 EF

8、的长为 2 米,已知王华的身高是 1.5 米(1)求路灯 A 的高度;(2)当王华再向前走 2 米,到达 F 处时,他的影长是多少?25 (10 分)工人师傅用一块长为 2m,宽为 1.2m 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形 (厚度不计)(1)若长方体底面面积为 1.28m2,求裁掉的正方形边长;(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的 3 倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方米的费用为 50 元,底面每平方米的费用为 200 元,裁掉的正方形边长多大时,总费用最低,最低为多少?26 (12 分)如图,在ABC 中,AC=BC ,点 D 是线段 AB 上一动

9、点,EDF 绕点 D旋转,在旋转过程中始终保持A=EDF,射线 DE 与边 AC 交于点 M,射线 DE 与边 BC 交于点 N,连接 MN(1)找出图中的一对相似三角形,并证明你的结论;(2)如图,在上述条件下,当点 D 运动到 AB 的中点时,求证:在EDF 绕点 D 旋转过程中,点 D 到线段 MN 的距离为定值27 (14 分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y= x2+bx+c 与 y 轴的交于点A(0,3) ,与 x 轴的交于点 B 和 C,点 B 的横坐标为 2点 A 关于抛物线对称轴对称的点为点 D,在 x 轴上有一动点 E(t,0) ,过点 E 作平行于 y 轴的直线与抛物

10、线、直线 AD 的交点分别为 P、Q(1)求抛物线的解析式;(2)当点 P 在线段 AC 的下方时,求APC 面积的最大值;(3)当 t2 时,是否存在点 P,使以 A、P 、Q 为顶点的三角形与AOB 相似若存在,求出此时 t 的值;若不存在,请说明理由2017-2018 学年江苏省盐城市响水县九年级(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(以下每小题有四个选项,其中只有一个选项正确,请把正确选项的字母选入该题括号内,每小题 3 分,共 18 分)1已知 2x=3y(y0) ,则下面结论成立的是( )A B C D【分析】根据比例的性质,把乘积式写成比例式即可;【解答】解:2x=3y

11、(y0) , = ,故选:D【点评】本题考查比例的性质、解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型2如图,四边形 ABCD 内接于O,AC 平分BAD,则下列结论正确的是( )AAB=AD BBC=CD C DBCA=DCA【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可【解答】解:A、ACB 与ACD 的大小关系不确定,AB 与 AD 不一定相等,故本选项错误;B、AC 平分BAD , BAC=DAC,BC=CD,故本选项正确;C、 ACB 与ACD 的大小关系不确定, 与 不一定相等,故本选项错误;D、BCA 与DCA 的大小关系不确定,故本选项错误故选:B【点评】本题考查的是

12、圆心角、弧、弦的关系,在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等3一次数学测试后,随机抽取九年级三班 6 名学生的成绩如下:80,85,86, 88,88,95关于这组数据的错误说法是( )A极差是 15 B众数是 88 C中位数是 86 D平均数是 87【分析】平均数只要求出数据之和再除以总个数即可;对于中位数,按从小到大的顺序排列,只要找出最中间的一个数(或最中间的两个数)即可,本题是最中间的两个数;对于众数是出现频数最大的数据【解答】解:A、极差是 15,故 A 正确;B、众数是 88,故 B 正确;C、中位数是 87,故 C 错误

13、;D、平均数是 87,故 D 正确故选:C【点评】本题重点考查平均数,中位数,众数及极差的概念及求法4一元二次方程 x23x+2=0 的根的情况是( )A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C只有一个实数根 D没有实数根【分析】先求出“ ” 的值,再判断即可【解答】解:x 23x+2=0,= ( 3) 2412=10,所以方程有两个不相等的实数根,故选:B【点评】本题考查了根的判别式,能熟记根的判别式的内容是解此题的关键5将抛物线 y=2x2 向右平移 3 个单位,再向下平移 5 个单位,得到的抛物线的表达式为( )Ay=2(x 3) 25 By=2(x+3) 2+5C y=2(x3)

14、2+5 Dy=2 (x+3) 25【分析】先确定抛物线 y=2x2 的顶点坐标为(0,0 ) ,再利用点平移的坐标规律得到点(0,0)平移后所得对应点的坐标为(3,5) ,然后根据顶点式写出平移得到的抛物线的解析式【解答】解:抛物线 y=2x2 的顶点坐标为(0,0) ,点( 0,0)向右平移 3 个单位,再向下平移 5 个单位所得对应点的坐标为(3,5) ,所以平移得到的抛物线的表达式为 y=2(x3) 25故选:A【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变,故 a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系

15、数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式6小明向如图所示的正方形 ABCD 区域内投掷飞镖,点 E 是以 AB 为直径的半圆与对角线 AC 的交点如果小明投掷飞镖一次,则飞镖落在阴影部分的概率为( )A B C D【分析】直接利用正方形的性质结合转化思想得出阴影部分面积=S CEB ,进而得出答案【解答】解:如图所示:连接 BE,可得,AE=BE,AEB=90,且阴影部分面积=S CEB = SABC = S 正方形 ABCD,故小明投掷飞镖一次,则飞镖落在阴影部分的概率为: 故选:B【点评】此题主要考查了几何概率,正确利用正方形性质得出阴影部分面积=S CEB 是解题关键二

16、、填空题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,计 30 分)7若ABC DEF,相似比为 3:2,则对应高的比为 3:2 【分析】直接利用相似三角形对应高的比等于相似比进而得出答案【解答】解:ABCDEF,相似比为 3:2,对应高的比为:3:2故答案为:3:2【点评】此题主要考查了相似三角形的性质,正确记忆相关性质是解题关键8从 ,0 ,3.14,6 这五个数中随机抽取一个数,抽到有理数的概率是 【分析】直接利用概率公式计算得出答案【解答】解:从 ,0,3.14 ,6 这五个数中随机抽取一个数,有理数有0,3.14,6 共 3 个,抽到有理数的概率是: 故答案为: 【点评】此题主要考查了概率

17、公式,正确得出有理数的个数是解题关键9若 1 是方程 x22x+c=0 的一个根,则 c 的值为 2 【分析】把 x=1 代入方程 x22x+c=0 得(1 ) 22(1 )+c=0,然后解关于 c 的方程【解答】解:把 x=1 代入方程 x22x+c=0 得(1 ) 22(1 )+c=0,解得 c=2故答案为2【点评】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解10小明数学学科课堂表现及平时作业为 90 分、期中考试为 88 分、期末考试为 96 分,若这三项成绩分别按 30%、30% 、40%的比例计入总评成绩,则小明数学学科总评成绩是 91.8

18、分【分析】根据加权平均数的计算方法可以求得小明数学学科总评成绩,从而可以解答本题【解答】解:由题意可得,9030%+8830%+9640%=91.8(分) ,故答案为:91.8【点评】本题考查加权平均数,解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法11若 x1,x 2 是一元二次方程 x2+3x5=0 的两个根,则 x12x2+x1x22 的值是 15 【分析】由根与系数的关系可求得(x 1+x2)与 x1x2 的值,代入计算即可【解答】解:x 1,x 2 是一元二次方程 x2+3x5=0 的两个根,x 1+x2=3,x 1x2=5,x 12x2+x1x22=x1x2(x 1+x2)=5( 3)=

19、15 ,故答案为:15【点评】本题主要考查根与系数的关系,由根与系数的关系求得(x 1+x2)与 x1x2 的值是解题的关键12如图,四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似,位似中心点是 O, = ,则 = 【分析】直接利用位似图形的性质得出OEFOAB,OFGOBC,进而得出答案【解答】解:如图所示:四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似,OEFOAB,OFGOBC, = = , = = 故答案为: 【点评】此题主要考查了位似变换,正确得出相似比是解题关键13经过两次连续降价,某药品销售单价由原来的 50 元降到 32 元,设该药品平均每次降价的百分率为 x,根据题意可列方程是 50

20、(1x) 2=32 【分析】根据某药品经过连续两次降价,销售单价由原来 50 元降到 32 元,平均每次降价的百分率为 x,可以列出相应的方程即可【解答】解:由题意可得,50(1 x) 2=32,故答案为:50(1x) 2=32【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,解题的关键是明确题意,找出题目中的等量关系,列出相应的方程14已知:如图,在O 中,OA BC,AOB=70,则ADC 的度数为 35 【分析】根据垂径定理得到 = ,根据圆周角定理解答即可【解答】解:OABC, = ,ADC= AOB=35,故答案为:35 【点评】本题考查的是垂径定理和圆周角定理,掌握同弧或等弧所对的圆周

21、角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键15为了测量校园内一棵不可攀的树的高度,学校数学应用实践小组做了如下的探索:根据光的反射定律,利用一面镜子和皮尺,设计如图所示的测量方案:把镜子放在离树 AB 的树根 7.2m 的点 E 处,然后观测者沿着直线 BE 后退到点 D,这时恰好在镜子里看到树稍顶点 A,再用皮尺量得 DE=2.4m,观测者目高 CD=1.6m,则树高 AB约是 4.8m 【分析】如图容易知道 CDBD ,AB BE,即CDE=ABE=90 由光的反射原理可知CED=AEB ,这样可以得到 CED AEB,然后利用对应边成比例就可以求出AB【解答】解:由题意知CED=

22、AEB,CDE= ABE=90 ,CEDAEB = , = ,AB=4.8 米故答案为:4.8m【点评】考查了相似三角形的应用,本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中,利用相似三角形的性质就可以求出结果16二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,以下结论:abc 0;4acb 2; 2a+b0;其顶点坐标为( , 2) ;当 x 时,y 随x 的增大而减小;a+b +c0 中,正确的有 (只填序号)【分析】根据图象可判断,由 x=1 时, y0,可判断【解答】解由图象可得,a0,c0 ,b 0,=b 24ac0 ,对称轴为 x=abc0,4acb 2,当 x 时,y 随 x 的增大而减

23、小故正确 = 12a+b0故正确由图象可得顶点纵坐标小于2,则错误当 x=1 时,y=a+b+c0故错误故答案为【点评】本题考查了二次函数图象与系数关系,利用函数图象解决问题是本题的关键三、解答题(本大题共 11 小题,计 102 分)17 (6 分)解方程:x 24x+1=0【分析】根据配方法可以解答此方程【解答】解:x 24x+1=0x24x+4=3(x2) 2=3x2=x 1=2+ ,x 2=2 ;【点评】本题考查解一元二次方程配方法,解答本题的关键是会用配方法解方程的方法18 (6 分)如图,AB 为 O 的直径,点 C、D 在O 上,CEAB,DFAB,垂足分别为 E,F,且弧 AC

24、 与弧 BD 相等,问 AE 与 BF 相等吗?为什么?【分析】欲证 AE 与 BF 相等,先知 OE、OF 关系连接 OC、OD,证明OCEODF即可【解答】解:AE=BD 因为:连接 OC、OD弧 AC 与弧 BD 相等COE=DOF 又 CEAB ,DFAB,OC=ODOCEODFOE=OFAE=BF【点评】此题难度中等,考查全等三角形的判定和性质及圆心角、弧、弦的关系19 (8 分)如图,在边长为 1 的正方形网格中建立平面直角坐标系,已知ABC 三个顶点分别为 A(1,2) 、B(2,1) 、C (4 ,5) (1)画出ABC 关于 x 轴对称的 A 1B1C1;(2)以原点 O 为

25、位似中心,在 x 轴的上方画出A 2B2C2,使A 2B2C2 与ABC 位似,且位似比为 2,并求出A 2B2C2 的面积【分析】 (1)画出 A、B、C 关于 x 轴的对称点 A1、 B1、C 1 即可解决问题;(2)连接 OB 延长 OB 到 B2,使得 OB=BB2,同法可得 A2、C 2,A 2B2C2 就是所求三角形;【解答】解:(1)如图所示,A 1B1C1 就是所求三角形(2)如图所示,A 2B2C2 就是所求三角形如图,分别过点 A2、C 2 作 y 轴的平行线,过点 B2 作 x 轴的平行线,交点分别为 E、F,A(1 ,2) ,B(2 ,1) ,C (4 ,5) ,A 2

26、B2C2 与 ABC 位似,且位似比为 2,A 2(2 ,4) ,B 2(4 ,2) ,C 2(8,10) , =810 62 48 610=28【点评】本题考查作图位似变换,作图轴对称变换等知识,解题的关键是理解位似变换、轴对称变换的定义,属于中考常考题型20 (8 分)在一个不透明的盒子中,装有 3 个分别写有数字 1,2,3 的小球,他们的形状、大小、质地完全相同,搅拌均匀后,先从盒子里随机抽取 1 个小球,记下小球上的数字后放回盒子,搅拌均匀后再随机取出 1 个小球,再记下小球上的数字(1)用列表法或树状图法写出所有可能出现的结果;(2)求两次取出的小球上的数字之和为奇数的概率 P【分

27、析】 (1)根据题意列出所有的可能性;(2)根据(1)中的结果可以得到两次取得的数字之和为奇数的次数,从而可以解答本题【解答】解:(1)列表得,(2)两次取出的小球上的数字之和为奇数的共有 4 种,P 两次取出的小球上数字之和为奇数的概率 P= 【点评】此题考查了列表法与树状图法,概率=所求情况数与总情况数之比21 (8 分)关于 x 的一元二次方程 x2(k+3)x +2k+2=0(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程有一根小于3,求 k 的取值范围【分析】 (1)根据方程的系数结合根的判别式,可得=(k 1) 20,由此可证出方程总有两个实数根;(2)利用分解因式法解一元二次方程,可

28、得出 x1=2、x 2=k+1,根据方程有一根小于3,即可得出关于 k 的一元一次不等式,解之即可得出 k 的取值范围【解答】 (1)证明:在方程 x2(k+3)x+2k+2=0 中,= ( k+3) 241(2k+2)=k 22k+1=(k 1) 20,方程总有两个实数根;(2)解:x 2(k+3)x+2k+2=0 ,(x2) (xk1)=0,x 1=2,x 2=k+1方程有一根小于3,k+1 3,解得: k4,k 的取值范围为 k 4【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式,解题的关键是:(1)牢记“当0 时,方程有两个实数根”;(2)利用因式分解法解一元

29、二次方程结合方程一根小于3,找出关于 k 的一元一次不等式22 (10 分)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,两人在相同条件下各射击 10 次,射击的成绩如图所示根据图中信息,回答下列问题:(1)甲的平均数是 8 ,乙的中位数是 7.5 ;(2)分别计算甲、乙成绩的方差,并从计算结果来分析,你认为哪位运动员的射击成绩更稳定?【分析】 (1)根据平均数和中位数的定义解答即可;(2)计算方差,并根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定解答【解答】解:(1)甲的平均数= =8,乙的中位数是 7.5;故答案为:8;7.5;(2) ; = ,

30、= , ,乙运动员的射击成绩更稳定【点评】此题主要考查了方差和平均数,关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定23 (10 分)如图,在ABC 中,ABC=90 ,C=30,AC 的垂直平分线交 BC 于点D,交 AC 于点 E(1)判断 BE 与DCE 的外接圆O 的位置关系,并说明理由;(2)若 BE= ,BD=1,求DCE 的外接圆O 的直径【分析】 (1)连接 OE,由 DE 是 AC 的垂直平分线,得到 BE=CE,根据等腰三角形

31、的性质得到EBC=C=30,由三角形的内角和得到 BEC=120,由 OE=OC,得到OEC=C=30 ,求得BEO=90,根据切线的判定定理即可得到结论;(2)根据切割线定理得到 BE2=BDBC,代入数据即可得到结论【解答】解:(1)连接 OE,DE 是 AC 的垂直平分线,BE=CE ,EBC=C=30 ,BEC=120 ,OE=OC,OEC=C=30,BEO=90,BE 是O 的切线;(2)BE 是O 的切线,BE 2=BDBC,即( ) 2=1BC,BC=3,CD=2,DCE 的外接圆的直径是 2【点评】本题考查了切线的判定,等腰三角形的性质,切割线定理,线段垂直平分线的性质,熟练掌

32、握有关知识是解题的关键24 (10 分)如图,王华晚上由路灯 A 下的 B 处走到 C 处时,测得影子 CD 的长为 1 米,继续往前走 3 米到达 E 处时,测得影子 EF 的长为 2 米,已知王华的身高是 1.5 米(1)求路灯 A 的高度;(2)当王华再向前走 2 米,到达 F 处时,他的影长是多少?【分析】设 BC=x 米,AB=y 米,此题容易得到ABDMCD ,ABFNEF,然后利用它们的对应边成比例可以得到关于 x、y 的方程组,从而求出结果【解答】解:(1)设 BC=x 米,AB=y 米,由题意得,CD=1 米,CE=3 米,EF=2 米,身高 MC=NE=1.5 米,ABD

33、MCD,ABFNEF, , , ,解得 ,路灯 A 的高度为 6 米(2)如图,连接 AG 交 BF 延长线于点 H,ABHGFH ,GF=1.5 米,BH=3 +3+2+FH=8+FH, ,解得 (米) 答:当王华再向前走 2 米,到达 F 处时,他的影长是 米【点评】此题主要是把实际问题抽像成相似三角形的问题,然后利用对应边成比例可以求出结果25 (10 分)工人师傅用一块长为 2m,宽为 1.2m 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形 (厚度不计)(1)若长方体底面面积为 1.28m2,求裁掉的正方形边长;(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的 3 倍,

34、并将容器进行防锈处理,侧面每平方米的费用为 50 元,底面每平方米的费用为 200 元,裁掉的正方形边长多大时,总费用最低,最低为多少?【分析】 (1)设裁掉的正方形的边长为 xm,根据底面矩形的面积公式列出一元二次方程,解之可得;(2)先根据长不大于宽的 3 倍得出 x 的取值范围,再根据总费用= 侧面的总费用+底面的总费用列出函数解析式,配方成顶点式,利用二次函数的性质求解可得【解答】解:(1)设裁掉的正方形的边长为 xm,根据题意,得:(22x) (1.2 2x)=1.28 ,解得:x 1=0.2 或 x2=1.4(舍) ,所以裁掉的正方形边长为 0.2m;(2)长不大于宽的 3 倍,2

35、 2x3(1.22x) ,解得:0x0.4,设总费用为 w,根据题意,得:w=502x(3.2 4x)+200(2 2x) (1.22x)=400x2960x+480=400(x1.2) 296,对称轴 x=1.2 且开口向上,当 0x0.4 时,w 随 x 的增大而减小,当 x=0.4 时, w 取得最小值,最小值为 160 元,答:裁掉的正方形边长为 0.4m 时,总费用最低,最低为 160 元【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用函数和方程的思想解答26 (12 分)如图,在ABC 中,AC=BC ,点 D 是线段 AB

36、 上一动点,EDF 绕点 D旋转,在旋转过程中始终保持A=EDF,射线 DE 与边 AC 交于点 M,射线 DE 与边 BC 交于点 N,连接 MN(1)找出图中的一对相似三角形,并证明你的结论;(2)如图,在上述条件下,当点 D 运动到 AB 的中点时,求证:在EDF 绕点 D 旋转过程中,点 D 到线段 MN 的距离为定值【分析】 (1)根据相似三角形的判定解答即可;(2)作 DGMN,DHAM,利用相似三角形的判定和性质解答即可【解答】解:(1)ADMBND,理由如下:AC=BC,A=B,A+AMD= EDF+BDN,A=EDF ,AMD=BDN ,ADMBND;(2)证明:作 DGMN

37、 于 G,DH AM 于 H,如图,由(1)得,ADMBND, = ,AD=BD, = ,又A=EDF,ADMDNM,AMD=NMD,又 DGMN,DHAM,DG=DH,即在EDF 绕点 D 旋转过程中,点 D 到线段 MN 的距离为定值【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、角平分线的性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键27 (14 分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y= x2+bx+c 与 y 轴的交于点A(0,3) ,与 x 轴的交于点 B 和 C,点 B 的横坐标为 2点 A 关于抛物线对称轴对称的点为点 D,在 x 轴上有一动点 E(t,0) ,过点 E 作平

38、行于 y 轴的直线与抛物线、直线 AD 的交点分别为 P、Q(1)求抛物线的解析式;(2)当点 P 在线段 AC 的下方时,求APC 面积的最大值;(3)当 t2 时,是否存在点 P,使以 A、P 、Q 为顶点的三角形与AOB 相似若存在,求出此时 t 的值;若不存在,请说明理由【分析】 (1)由点 A、B 的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;(2)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 C 的坐标,由点 A、C 的坐标利用待定系数法可求出直线 AC 的解析式,设直线 l 与直线 AC 的交点为 F,则点 F 的坐标为(t , t+3) 结合点 P 的坐标即可得出 PF 的值,由 S

39、APC =SAPF +SCPF 可得出 SAPC= (t 3) 2+ ,再利用二次函数的性质即可解决最值问题;(3)由AOB=AQP=90,可分AOBAQP 和 AOBPQA 两种情况考虑,利用相似三角形的性质可得出关于 t 的方程,解之即可得出结论【解答】解:(1)将 A(0,3) 、B (2,0)代入 y= x2+bx+c,得:,解得: ,抛物线的解析式为 y= x22x+3(2)当 y=0 时,有 x22x+3=0,解得:x 1=2, x2=6,点 C 的坐标为( 6,0 ) 设直线 AC 的解析式为 y=mx+n(m0) ,将 A(0,3 ) 、C (6,0)代入 y=mx+n,得:,

40、解得: ,直线 AC 的解析式为 y= x+3设直线 l 与直线 AC 的交点为 F,如图 1 所示,则点 F 的坐标为(t , t+3) 点 P 的坐标为( t, t22t+3) ,PF= t+3( t22t+3)= t2+ t,S APC =SAPF +SCPF ,= OEPF+ CEPF,= OCPF,= 6( t2+ t) ,= (t3) 2+ ,a= 0,当 t=3 时,APC 的面积取最大值,最大值为 (3)假设存在,AOB=AQP=90,分AOBAQP 和AOBPQA 两种情况考虑A(0,3 ) , B(2,0 ) ,Q (t,3) ,P(t , t22t+3) ,AO=3,BO

41、=2,AQ=t,PQ=| t22t|当AOBAQP 时,有 = ,即 = ,解得:t 1=0(舍去) ,t 2= ,t 3= ,经检验,t 2= 、t 3= 是所列分式方程的解;当AOBPQA 时,有 = ,即 = ,解得:t 4=0(舍去) ,t 5=2(舍去) ,t 6=14,经检验,t 6=14 是所列分式方程的解综上所述:当 t2 时,存在点 P,使以 A、P 、Q 为顶点的三角形与AOB 相似,此时t 的值为 或 或 14【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质以及相似三角形的性质,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)利用三角形的面积公式找出 SAPC= (t 3) 2+ ;(3)分 AOBAQP 和AOBPQA 两种情况,利用相似三角形的性质求出 t 值