1、课题9 变量、函数及其图象,基础知识梳理,中考题型突破,易混易错突破,河北考情探究,考点一 平面直角坐标系与点的坐标,基础知识梳理,1.平面直角坐标系 在平面内,两条互相垂直且具有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系,其 中,水平方向的数轴叫做x轴或横轴,竖直方向的数轴叫做y轴或纵轴,x轴和y轴 的公共点叫做原点,建立的平面直角坐标系的平面称为坐标平面.,2.点的坐标:设点A为平面内一点,过点A分别向x轴和y轴作垂线,垂足在x轴和y 轴上对应的点表示的实数分别是x0,y0,则有序实数对(x0,y0)叫做点A的坐标.其 中,x0叫做点A的横坐标,y0叫做点A的纵坐标. 坐标平面上的点与有序实数对是
2、一一对应的关系,即坐标平面上任意一个点 P都可以用一对 有序实数 来表示,反过来,任意一对有序实数(x,y)都可 以表示平面上唯一的点. 温馨提示 在书写点的坐标时,要按照横坐标在前、纵坐标在后的顺序书 写,两个坐标之间用逗号隔开,并用小括号把两个坐标值括起来.,3.各象限内或坐标轴上点的坐标的符号特征:,4.对称点的坐标特征:点P(x,y)关于x轴的对称点的坐标为 (x,-y) ;点 P(x,y)关于y轴的对称点的坐标为 (-x,y) ;点P(x,y)关于原点的对称点的 坐标为 (-x,-y) .,5.线段与坐标轴平行时端点坐标的特征:设点A(xA,yA),点B(xB,yB),当ABx轴时,
3、 xAaxB,yA=yB;当ABy轴时,xA=xB,yAyB.反之,亦然.,6.图形的平移与坐标变化 (1)点的平移与坐标变化:设点P(x,y), 点P向右平移a个单位(a0),向上平移b个单位(b0)点P的对应点的坐标为 (x+a,y+b); 点P向左平移a个单位(a0),向下平移b个单位(b0)点P的对应点的坐标为 (x-a,y-b). (2)因为图形可看做是由若干个点组成的,所以点的平移与点的坐标变化规律 也适用于图形的平移.,7.点到坐标轴的距离与点到原点的距离:设点P(x,y),则点P到x轴的距离为|y|, 到y轴的距离为|x|;点P到原点的距离为OP= .,考点二 函数及其图象,1
4、.函数的概念:在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定x的一个值,就能 相应的 确定 y的一个值,那么就说y是x的函数,x是 自变量 .,2.函数的表示方法:函数有三种表示方法,分别是 列表法 、 图象法 、 解析式法 ,这三种方法各有优缺点,为此,在解决一些与函数有关 的问题时,有时可以同时用两种或两种以上的方法来表示函数.,3.函数图象的画法 一般来说,画函数图象的方法可以概括为 列表 、 描点 、 连线 三步,通常称为描点法. 温馨提示 用描点法画函数图象时,由于描出的点只是函数图象中有限的 几个点,因此连接所描出的点时,一定要注意用“平滑”的曲线,并且这条曲 线要超出第一个点与最后
5、一个点,以表示函数图象无限延伸的特点.,考点三 自变量的取值范围,1.对于一个函数,自变量的取值都有一定的范围,超出这个范围函数将失去意 义,这个范围叫做自变量的取值范围.,2.几种常见函数中自变量的取值范围,温馨提示 若函数表达式兼具上述两种或两种以上的结构特点,则先按上 述方法分别求其取值范围,再求它们的公共部分.在实际问题中,自变量的取 值必须使实际问题有意义.,题型一 考查自变量的取值范围 该题型主要考查自变量的取值范围,考查时或以选择题、填空题的形式单独 考查,或以综合性的函数问题为载体进行考查.,中考题型突破,典例1 (2018无锡中考)函数y= 中,自变量x的取值范围是 ( B
6、) A.x-4 B.x4 C.x-4 D.x4,答案 B 根据分式有意义的条件,得4-x0,解得x4.,名师点拨 考查函数自变量的取值范围,与考查代数式有意义的条件的方法 基本相同,因此,只要牢固掌握整式、分式、二次根式等有意义的条件,即可 顺利求得函数自变量的取值范围.,变式训练1 函数y= 中,自变量x的取值范围是 ( B ) A.x1 B.x1 C.x1 D.x1,答案 B 根据被开方数大于等于0,得x-10,解得x1.故选B.,题型二 考查函数图象 该题型主要考查用图象表示函数的方法,主要包括:根据实际问题的意义选择 函数图象,根据函数图象进行简单的计算等,考查题型以选择题和填空题为
7、主.,典例2 (2018内江中考)如图,在物理课上,小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水 的水槽中,然后匀速向上提起,直至铁块完全露出水面一定高度,则能反映弹 簧秤的读数y(单位:N)与铁块被提起的高度x(单位:cm)之间的函数关系的大 致图象是 ( C ),答案 C 在铁块上升但铁块的上表面还在水下时,由于铁块排开水的体积 不变,所以铁块所受的浮力不变,因此,弹簧秤的读数不变,对应的图象是一条 与x轴平行的线段;当铁块上表面浮出水面但下表面还在水下时,随着铁块上 浮,铁块排开水的体积逐渐变小,所以铁块所受的浮力逐渐变小,因此弹簧秤 的读数逐渐变大,对应的图象是一条逐渐升高的线段;当铁块完全露出水面
8、 时,铁块不受水的浮力影响,因此弹簧秤的读数不变,对应的图象是一条与x轴 平行的线段.对照各选项,选C.,名师点拨 在根据实际问题情境选择函数图象时,要认真理解函数值变化与 函数图象变化的对应关系,一般来说,当函数值随自变量的增大而增大时,对 应的图象是一条从左到右逐渐升高的线段(或直线或射线);当函数值不随自 变量的变化而变化时,对应的图象是一条与x轴平行的线段(或直线或射线); 当函数值随自变量的增大而减小时,对应的图象是一条从左到右逐渐降低的 线段(或直线或射线).,变式训练2 (2017黑龙江哈尔滨中考)周日,小涛从家沿着一条笔直的公路步 行去报亭看报,看了一段时间后,他按原路返回家中
9、.小涛离家的距离y(单 位:m)与他所用的时间t(单位:min)之间的函数关系如图所示.下列说法中正确 的是 ( D ),A.小涛家离报亭的距离是900 m B.小涛从家去报亭的平均速度是60 m/min C.小涛从报亭返回家中的平均速度是80 m/min D.小涛在报亭看报用了15 min,答案 D 从题图中可以看出在015 min内小涛与家的距离随着时间的增大 而增大,且在15 min时达到最大值1 200 m,小涛家离报亭的距离是1 200 m, 选项A错误. 在015 min内,小涛的速度是1 20015=80(m/min),选项B错误. 15 min后的一段时间内,小涛与家的距离没有
10、变,说明小涛在看报.之后的某一 时间点后,小涛与家的距离变小,说明小涛开始返回家中,该时间点未知.但已 知3550 min内,小涛步行了900 m,小涛返回家的速度是90015=60(m/min), 选项C错误. 报亭与家的距离是1 200 m,返回家的速度是60 m/min,看完报纸后小涛需120060=20 min到家,从题图可知小涛50 min时到家,小涛在离家30 min后开 始返回家中,在报亭看报用了30-15=15(min),选项D正确.故选D.,题型三 与平面几何的知识相结合求点的坐标 该题型主要考查点的坐标与点的位置之间的关系,基本方法是利用点的坐标 与点到坐标轴的距离之间的关
11、系,结合平面几何的知识求点的坐标,考查的题 型既有选择题、填空题,也有与函数的知识相结合的解答题.,典例3 (2018河北模拟)如图,在平面直角坐标系中,若干个半径为2个单位长 度,圆心角为60的扇形组成一条连续的曲线,点P从原点O出发,沿这条曲线向 右上下起伏运动,点在直线上的速度为每秒2个单位长度,点在弧线上的速度 为每秒 个单位长度,则2 018秒时,点P的坐标是 ( C )A.(2 017,0) B.(2 017, ),C.(2 018,0) D.(2 019,- ),答案 C 设第n秒运动到点Pn(n为自然数),观察发现规律:P1(1, ),P2(2,0),P3 (3,- ),P4(
12、4,0),P5(5, ), P4n+1(4n+1, ),P4n+2(4n+2,0),P4n+3(4n+3,- ),P4n+4(4n+4,0),即横坐标从1开始 逐渐递增1,纵坐标每4次经过一个循环. 2 018=4504+2,第2 018秒时,点P的纵坐标与第2秒时点P的纵坐标相等, 即P2 018(2 018,0).,名师点拨 本题主要考查了按规律变化的点的坐标,解题的关键是分别找出 点P的横、纵坐标的变化规律,需要注意的是,本题的求解方法具有代表性,望 认真理解.,变式训练3 (2017石家庄模拟)如图,正方形ABCD的边长为4,点A的坐标为(- 1,1),AB平行于x轴,则点C的坐标为
13、( C )A.(3,1) B.(-1,1) C.(3,5) D.(-1,5),答案 C 正方形ABCD的边长为4,AB=4.点A的坐标为(-1,1),AB平行 于x轴, 点B的横坐标为-1+4=3,纵坐标为1,即点B(3,1). BC=AB=4,BCAB,BCy轴, 点C的横坐标为3,纵坐标为1+4=5,即点C(3,5).,易错一 混淆了点的坐标与点到坐标轴的距离,易混易错突破,典例1 (2017河北模拟)已知第二象限内的点P到x轴的距离为4,到y轴的距离 为3,则点P的坐标是 ( B ) A.(3,4) B.(-3,4) C.(4,3) D.(-4,3),易错警示 本题的易错点有两个,一是混
14、淆了点的坐标与点到坐标轴的距离, 从而出现选A的错误;二是混淆了横、纵坐标,从而出现选D的错误.为了防止 这两类错误的发生,最好的方法是养成画图的习惯,对照图形分析点的坐标, 可大大减小错解的风险.,解析 因为点P在第二象限,所以其横坐标为负数,纵坐标为正数.因为点P到x 轴的距离为4,到y轴的距离为3,所以其横坐标为-3,纵坐标为4,故点P(-3,4).,答案 B,易错二 根据实际问题选择函数图象时忽略题目中的隐含条件,典例2 如图所示,以恒定的速度向这个圆柱形容器中注水,容器内水的高度 (h)与注水时间(t)之间的函数关系的图象大致是 ( A ),易错警示 本题错解的原因是忽略了“圆柱形容
15、器的容积是一定的”这个 隐含的限制条件,从而误认为容器内水的高度一直在上升,由此出现选B的错 误.,解析 因为此圆柱形容器的底面积不变,因此刚开始时容器中水的高度随注 水时间的增加而匀速上升,当注满容器后,水从容器中溢出,之后容器中水的 高度不再变化.,答案 A,1.在圆的周长C与半径r之间的函数关系式C=2r中,变量是 ( D ) A.C B.2 C.r D.C和r,随堂巩固检测,2.设点M(5,-4)关于y轴的对称点为N,则点N的坐标是 ( D ) A.(5,4) B.(5,-4) C.(-5,4) D.(-5,-4),3.在平面直角坐标系中,点P(-2,x2+1)所在的象限是 ( B )
16、 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,4.下列关系式中,变量y不是变量x的函数的是 ( C ) A.y=x2+6x B.y= C.7y2=5x D.y=x-5,5.使函数y= 有意义的自变量x的取值范围是 ( C ) A.x3 B.x0 C.x3 D.x0,6.如图,饮水桶中的水由图的位置下降到图的位置的过程中,如果饮水桶 中水的体积是y,水位下降的高度是x,那么能够表示y与x之间函数关系的图象 是 ( A ),7.某市居民用电价格是0.53元/千瓦时,居民生活用电x(千瓦时)与应付电费y (元)之间满足y=0.53x,则其中的常量为 0.53 ,变量是 x、y .,8.已
17、知点A(m+1,-2)和点B(3,m-1),如果直线ABx轴,则m的值为 -1 ,如果直 线ABy轴,则m的值为 2 .,9.如图,ABC的边BC长是8,BC边上的高AD是4,点D在BC上运动,设BD长 为x,则ACD的面积y与x之间的函数关系式为 y=-2x+16 ,x的取值范围是 0x8 .,10.已知圆柱的底面半径是2 cm,当圆柱的高h(cm)变化时,圆柱的体积V(cm3) 随之发生变化. (1)在这个变化过程中,自变量是什么? (2)写出圆柱的体积V与高h之间的关系式; (3)当h由5 cm变化到10 cm时,V是怎样变化的? (4)当h=7 cm时,V的值等于多少?,答案 (1)自变量是圆柱的高. (2)V=4h. (3)当h=5 cm时,V=20 cm3;当h=10 cm时,V=40 cm3, 当h由5 cm变化到10 cm时,V由20 cm3增加到40 cm3. (4)当h=7 cm时,V=47=28(cm3),即当h=7 cm时,V的值为28(cm3).,
