1、 2018 年北京市海淀区中考数学模拟试卷（4 月份）一选择题（共 8 小题，满分 16 分，每小题 2 分）1若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是（ ）Ax=0 Bx=3 Cx 0 Dx 32在O 中，已知半径为 5，弦 AB 的长为 8，则圆心 O 到 AB 的距离为（ ）A3 B4 C5 D63世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为 0.056 盎司将0.056 用科学记数法表示为（ ）A5.610 1 B5.610 2 C5.61 03 D0.56 1014图 1 和图 2 中所有的正方形都全等，将图 1 的正方形放在图 2 中的某一位置，所组成的图形不能围成正方体的
2、位置是（ ）A B C D5如图，直线 ABCD，则下列结论正确的是（ ）A1=2 B3= 4 C1+3=180 D3+4=1806如图，电线杆 CD 的高度为 h，两根拉线 AC 与 BC 互相垂直（A、D、B 在同一条直线上） ，设CAB= ，那么拉线 BC 的长度为（ ）A B C D7数轴上分别有 A、B、C 三个点，对应的实数分别为 a、b、c 且满足，|a|c |，bc 0，则原点的位置（ ）A点 A 的左侧 B点 A 点 B 之间 C点 B 点 C 之间 D点 C 的右侧8如图，是某蓄水池的横断面示意图，蓄水池分为深水区和浅水区，如果向这个蓄水池以固定的速度注水，下面能表示水的深
3、度 h 与时间 t 的关系的图象大致是（ ）A BC D二填空题（共 8 小题，满分 16 分，每小题 2 分）9分解因式：x 2yy= 10如图是某商品的标志图案，AC 与 BD 是O 的两条直径，首尾顺次连接点A、B、C 、D ，得到四边形 ABCD，若 AC=10cm，BAC=36，则图中阴影 部分的面积为 11如果 a+b=2，那么代数式（a ） 的值是 12如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，位似中心点是点 O， = ，则= 13某物流仓储公司用 A，B 两种型号的机器人搬运物品，已知 A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运 20kg，A 型机器人搬运 1000kg 所
4、用时间与 B 型机器人搬运 800kg 所用时间相等，设 B 型机器人每小时搬运 x kg 物品，列出关于x 的方程为 14在一个不透明的布袋中，红色、黑色的玻璃球共有 20 个，这些球除颜色外其它完全相同将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了 200 次后，发现有 60 次摸到黑球，请你估计这个袋中红球约有 个15阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：已知：ACB 是ABC 的一个内角求作：APB= ACB小明的做法如下：如图作线段 AB 的垂直平分线 m；作线段 BC 的垂直平分线 n，与直线 m 交于点 O；以点 O 为圆
5、心，OA 为半径作ABC 的外接圆；在弧 A CB 上取一点 P，连结 AP，BP 所以APB= ACB老师说：“小明的作法正确 ”请回答：（1）点 O 为ABC 外接圆圆心（即 OA=OB=OC）的依据是 ；（2）APB=ACB 的依据是 16如图，在平面直角坐标系中，已知 A（ 2，1） ，B（1，0） ，将线段 AB 绕着点 B 顺时针旋转 90得到线段 BA，则 A的坐标为 三解答题（共 12 小题，满分 68 分）17 （5 分）计算：（ ） 2 +（ 4） 0 cos4518 （5 分）解不等式：3x 12（x 1） ，并把它的解集在数轴上表示出来19 （5 分）如图，AD 是 A
6、BC 的中线，AD =12，AB=13，BC=10，求 AC 长20 （5 分）关于 x 的一元二次方程 x2（2m 3）x+ m2+1=0（1）若 m 是方程的一个实数根，求 m 的值；（2）若 m 为负数，判断方程根的情况21 （5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 为 AD 上两点，AE=EF=FD，连接 BE、CF 并延长，交于点 G， GB=GC（1）求证：四边形 ABCD 是矩形；（2）若GEF 的面积为 2求四边形 BCFE 的面积；四边形 ABCD 的面积为 22 （5 分）如图，直线 y1=x+4，y 2= x+b 都与双曲线 y= 交于点 A（1，m） ，这两条
7、直线分别与 x 轴交于 B，C 两点（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）直接写出当 x0 时，不等式 x+b 的解集；（3）若点 P 在 x 轴上，连接 AP 把ABC 的面积分成 1：3 两部分，求此时点 P的坐标23 （6 分）如图，AB、AC 分别是O 的直径和弦，ODAC 于点 D过点 A 作O 的切线与OD 的延长线交于点 P，PC、AB 的延长线交于点 F（1）求证：PC 是O 的切线；（2）若ABC=60 ，AB=10，求线段 CF 的长24 （6 分）某班为确定参加学校投篮比赛的任选，在 A、B 两位投篮高手间进行了 6 次投篮比赛，每人每次投 10 个球，将他们每次
8、投中的个数绘制成如图所示的折线统计图 来源:学*科*网（1）根据图中所给信息填写下表：投中个数统计 平均数 中位数 众数 A 8 B 7 7（2）如果这个班只能在 A、B 之间选派一名学生参赛，从投篮稳定性考虑应该选派谁？请你利用学过的统计量对问题进行分析说明25 （6 分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每 分钟水温上升 10，待加热到 100，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温 y（）和通电时间 x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程设某天水温和室温为 20，接通电源后，水温和时
9、间的关系如下图所示，回答下列问题：（1）分别求出当 0x8 和 8xa 时，y 和 x 之间的关系式；（2）求出图中 a 的值；（3）李老师这天早上 7：30 将饮水机电源打开，若他想再 8：10 上课前能喝到不超过 40的开水，问他需要在什么时间段内接水26 （6 分）二次函数 y=x22mx+5m 的图象经过点（1 ， 2） （1）求二次函数图象的对称轴；（2）当4x1 时，求 y 的取值范围27 （7 分）如图 1，在 RtABC 中，A=90 ，AB=AC ，点 D，E 分别在边AB，AC 上，AD=AE ，连接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点（1）观察猜想：图
10、 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD，CE，判断PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请直接写出PMN 面积的最大值28 （7 分）如果一条抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”（1） “抛物线三角形” 一定是 三角形；（2）若抛物线 y=x2+bx（b 0）的“抛物线三角形 ”是等腰直角三角形，求 b 的值；（3）
11、如图，OAB 是抛物线 y=x2+bx（b 0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点 O 为对称中心的矩形 ABCD？若存在，求出过 O、C、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由参考答案与试题解析一选择题（共 8 小题，满分 16 分，每小题 2 分）1 【解答】解 ：由题意得，x 30，解得，x3，故选：D2 【解答】解：作 OCAB 于 C，连结 OA，如图，OCAB ，AC=BC= AB= 8=4，在 RtAOC 中，OA=5，OC= ，即圆心 O 到 AB 的距离为 3故选：A3 【解答】解：将 0.056 用科学记数法表示为 5.6102，故选：B4 【解答】解：将图 1 的正
12、方形放在图 2 中的的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体故选：A5 【解答】解：如图，ABCD，3+5=180，又5=4，3+4=180，故选：D来源:Zxxk.Com6 【解答】解：CAD+ACD=90，ACD+BCD=90 ，CAD=BCD，在 RtBCD 中，cosBCD= ，BC= = ，故选：B7 【解答】解：|a|c|，bc0，原点的位置是点 B 与点 C 之间，故选：C8 【解答】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度 h 与时间 t 之间的关系分为两段，先快后慢故选：C二填空题（共 8 小题，满分 16 分，每小题 2 分）9 【解答】解：x 2yy，=y（x 21） ，
13、=y（x +1） （x 1） ，故答案为：y（x+1） （x1） 10 【解答】解：AC 与 BD 是O 的两条直径，ABC=ADC=DAB=BCD=90，四边形 ABCD 是矩形，ABO 与CDO 的面积的和 =AOD 与BOC 的面积的和，图中阴影部分的面积=S 扇形 AOD+S 扇形 BOC=2S 扇形 AOD，OA=OB，BAC=ABO=36，AOD=72 ，图中阴影部分的面积=2 =10（cm 2） ，故答案为 10cm211 【解答】解：当 a+b=2 时，原式= = =a+b=2故答案为：212 【解答】解：四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，位似中心点是点 O， = =
14、 ，则 =（ ） 2=（ ） 2= ，故答案为： 13 【解答】解：设 B 型机器人每小时搬运 x kg 物品，则 A 型机器人每小时搬运（x +20）kg 物品，根据题意可得 = ，故答案为： = 14 【解答】解：因为共摸了 200 次球，发现有 60 次摸到黑球，所以估计摸到黑球的概率为 0.3，所以估计这个口袋中黑球的数量为 200.3=6（个） ，则红球大约有 206=14 个，故答案为：1415 【解答】解：（1）如图 2 中，MN 垂直平分 AB，EF 垂直平分 BC，OA=OB，OB=OC（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等） ，OA=OB =OC（等量代换）故答
15、案为线 段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；等量代换（2） = ，APB=ACB（同弧所对的圆周角相等） 故答案为同弧所对的圆周角相等16 【解答】解：如图，作 ACx 轴于 C，作 ACx 轴，垂足分别为 C、C，点 A、B 的坐标分别为（2，1） 、 （1，0） ，AC=2，BC=2+1=3，ABA=90 ，ABC+ABC=90 ，BAC+ABC=90，BAC=ABC，BA=BA，ACB=BCA，ABCBAC，OC=OB+BC=1 +1=2，AC=BC=3，点 A的坐标为（ 2，3 ） 故答案为（2，3） 三解答题（共 12 小题，满分 68 分）17 【解答】解：原式=43+
16、1 =21=118 【解答】解：3x12x 2，3x2x2+1，x1；将不等式的解集表示在数轴上如下：19 【解答】解：AD 是 ABC 的中线，且 BC=10，BD= BC=55 2+122=132，即 BD2+AD2=AB2，AB D 是直角三角形，则 ADBC，又CD=BD，AC=AB=1320 【解答】解：（1）m 是方程的一个实数根，m 2（2m3）m+m 2+1=0， ；（2）=b 24ac=12m+5，m0，12m0= 12m+50此方程有两个不相等的实数根21 【解答】 （1）证明：GB=GC，GBC=GCB，在平行四边形 ABCD 中，ADBC，AB=DC，ABCD，GBGE
17、=GCGF，BE=CF，在ABE 与DCF 中，ABEDCF，A=D ，ABCD，A+D=180 ，A=D=90 ，四边形 ABCD 是矩形；（2）EFBC ，GFEGBC，EF= AD，来源:学,科,网 Z,X,X,KEF= BC， =（ ） 2= ，GEF 的面积为 2，GBC 的面积为 18，四边形 BCFE 的面积为 16， ；四边形 BCFE 的面积为 16， （EF+BC）AB= BCAB=16，BCAB=24，四边形 ABCD 的面积为 24，故答案为：2422 【解答】解：（1）把 A（1，m）代入 y1=x+4，可得 m=1+4=3，A（1，3 ） ，把 A（1，3 ）代入双
18、曲线 y=，可得 k=13=3，y 与 x 之间的函数关系式为：y= ；（2）A（1，3） ，当 x0 时，不等式 x+b 的解集为：x1；（3）y 1=x+4，令 y=0，则 x=4，点 B 的坐标为（4，0） ，把 A（1，3 ）代入 y2= x+b，可得 3= +b，b= ，y 2= x+ ，令 y=0，则 x=3，即 C（3，0） ，BC=7，AP 把 ABC 的面积分成 1：3 两部分，CP= BC= ，或 BP= BC= ，OP=3 = ，或 OP=4 = ，P（ ，0）或（ ，0） 23 【解答】解：（1）连接 OC，ODAC，OD 经过圆心 O，AD=CD，PA=PC，在OAP
19、 和OCP 中， ，OAP OCP（SSS） ，OCP=OAPPA 是 O 的切线，OAP=90OCP=90，即 OCPCPC 是O 的切线（2）OB=OC，OBC=60，OBC 是等边三角形，COB=60，AB=10，OC=5，由（1）知OCF=90 ，CF=OCtanCOB=5 24 【解答】解：（1）A 成绩的平均数为 （9 +10+4+3+9+7）=7；众数为 9；B 成绩排序后为 6，7，7， 7，7，8，故中位数为 7；故答案为：7，9，7；（2） = （79） 2+（710） 2+（74） 2+（7 3） 2+（79） 2+（77） 2=7；= （77） 2+（77） 2+（78
20、） 2+（77） 2+（76） 2+（77） 2= ；从方差看，B 的方差小，所以 B 的成绩更稳定，从投篮稳定性考虑应该选派B25 【解答】解：（1）当 0x 8 时，设 y=k1x+b，将（0，20 ） ， （8，100 ）代入 y=k1x+b，得 k1=10，b=20，所以当 0x8 时，y=10x+20；当 8xa 时，设 y= ，将（8，100 ）代入，得 k2=800，所以当 8xa 时，y= ；故当 0x8 时，y=10x+20；当 8xa 时，y= ；（2）将 y=20 代入 y= ，解得 a=40；（3）8：10 8 分钟=8 ：02，10x+2040，0x2， 40，20x
21、40所以李老师这天早上 7：30 将饮水机电源打开，若他想在 8：10 上课前能喝到不超过 40的热水，则需要在 7：508：10 时间段内接水26 【解答】解：（1）把点（1，2）代入 y=x22mx+5m 中，可得：12m+5m=2，解得：m=1，所以二次函数 y=x22mx+5m 的对称轴是 x= ，（2）y=x 2+2x5=（x+1） 26，当 x=1 时， y 取得最小值 6，由表可知当 x=4 时 y=3，当 x=1 时 y=6，当4x1 时，6y327 【解答】解：（1）点 P，N 是 BC，CD 的中点，PNBD，PN= BD，点 P，M 是 CD，DE 的中点，PMCE， P
22、M= CE，AB=AC，AD=AE，BD=CE，PM=PN，PNBD，DPN=ADC，PMCE，DPM=DCA，BAC=90 ，ADC+ACD=90，MPN=DPM+DPN= DCA+ADC=90，PMPN，故答案为：PM=PN，PMPN；（2）PMN 是等腰直角三角形由旋转知，BAD=CAE，AB=AC，AD=AE，ABD ACE（SAS） ，ABD=ACE ，BD=CE ，利用三角形的中位线得，PN= BD，PM= CE，PM=PN，来源:Zxxk.ComPMN 是等腰三角形，同（1）的方法得，PMCE，DPM=DCE，同（1）的方法得，PN BD，PNC=DBC，DPN=DCB+PNC=
23、 DCB+DBC，MPN=DPM+DPN= DCE+DCB+DBC= BCE+DBC=ACB+ACE+DBC= ACB+ABD+DBC=ACB+ABC，BAC=90 ，ACB+ABC=90，MPN=90，PMN 是等腰直角三角形；（3）方法 1：如图 2，同（2）的方法得，PMN 是等腰直角三角形，MN 最大时，PMN 的面积最大，DEBC 且 DE 在顶点 A 上面，MN 最大=AM +AN，连接 AM，AN，在ADE 中， AD=AE=4，DAE=90 ，AM=2 ，在 RtABC 中，AB=AC=10，AN=5 ，MN 最大 =2 +5 =7 ，S PMN 最大 = PM2= MN2=
24、（7 ） 2= 方法 2：由（2）知，PMN 是等腰直角三角形， PM=PN= BD，PM 最大时，PMN 面积最大，点 D 在 BA 的延长线上，BD=AB+AD=14，PM=7 ，S PMN 最大 = PM2= 72= 28 【解答】解：（1）如图；根据抛物线的对称性，抛物线的顶点 A 必在 O、B 的垂直平分线上，所以OA=AB，即：“抛物线三角形” 必为等腰三角形故填：等腰来源:学#科#网（2）当抛物线 y=x2+bx（b 0）的“抛物线三角形 ”是等腰直角三角形，该抛物线的顶点（ ， ） ，满足 = （b 0） 则 b=2（3）存在如图，作OCD 与OAB 关于原点 O 中心对称，则四边形 ABCD 为平行四边形当 OA=OB 时，平行四边形 ABCD 是矩形，又AO=AB，OAB 为等边三角形AOB=60，作 AEOB，垂足为 E，AE=OEtanAOB= = （b0） b=2 A（ ，3 ） ，B（2 ，0） C （ ） ，D（2 ，0） 设过点 O、C、D 的抛物线为 y=mx2+nx，则，解得 故所求抛物线的表达式为 y=x2+2 x
