1、2018 年河北保定市博野县中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共 16 个小题，16 小题，每小题 2 分；716 小题，每小题 2 分，共 42 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 （2 分）已知：a =b1 =c ，且 a、b 、c 都不等于 0，则 a、b、c 中最小的数是（ ）Aa Bb Cc Da 和 c2 （2 分）如图，ABCD，EFAB 于 E，若1=60，则2 的度数是（ ）A35 B30 C25 D203 （2 分）有理数 a、b 在数轴上的对应的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）Aa +b0 Bab=0 Ca+b 0 Da b04 （2 分
2、）不等式x+20 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A BC D5 （2 分）在围棋盒中有 x 颗白色棋子和 y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是 如果再往盒中放进 6 颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是 ，则原来盒中有白色棋子（ ）A8 颗 B6 颗 C4 颗 D2 颗6 （2 分）如图，ABCD，ABK 的角平分线 BE 的反向延长线和DCK 的角平分线 CF 的反向延长线交于点 H，KH=27，则 K=（ ）A76 B78 C80 D827 （2 分）一个几 何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）来源: 学*科*网 来源: 学。科。网 Z。X。X。KA棱柱 B正方形
3、 C圆柱 D圆锥8 （2 分）若|a4|+（b +1） 2=0，那么 a+b=（ ）A5 B3 C3 D59 （2 分）如图，四边形 ABCD 中，BAD=ACB=90，AB=AD，AC=4BC，设CD 的长为 x，四边形 ABCD 的面积为 y，则 y 与 x 之间的函数关系式是（ ）Ay= By= Cy = Dy=10 （2 分）如图，在 RtABC 中，ABC=90，AB=BC= ，将ABC 绕点 C 逆时针旋转 60，得到MNC，连结 BM，则 BM 的长是（ ）A4 B C D11 （2 分）如图，在平面直角坐标系中，以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点 M，交 y 轴于点
4、 N，再分别以点 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点 P若点 P 的坐标为（2a，b+1） ，则 a 与 b 的数量关系为（ ）Aa=b B2ab=1 C2a+b=1 D2a+b=112 （2 分）如图，在矩形 ABCD 中，O 为 AC 中点，EF 过 O 点且 EFAC 分别交DC 于 F，交 AB 于 E，点 G 是 AE 中点且AOG=30，则下列结论正确的个数为（ ）（1）DC=3OG；（2）OG= BC；（3）OGE 是等边三角形；（4）S AOE= SABCDA1 个 B 2 个 C3 个 D4 个13 （2 分）若自然数 n 使得三个数的加法运算“
5、n+（n+1）+（n+2） ”产生进位现象，则称 n 为“ 连加进位数 ”例如：2 不是“连加进位数”，因为 2+3+4=9 不产生进位现象；4 是“连加进位数”，因为 4+5+6=15 产生进位现象；51 是“ 连加进位数”，因为 51+52+53=156 产生进位现象如果从 0，1，2，99 这 100 个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数” 的概率是（ ）A0.88 B0.89 C0.90 D0.9114 （2 分）已知函数 y=x22mx+2016（m 为常数）的图象上有三点：A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，C（x 3，y 3） ，其中 x1= +m，x 2= +
6、m，x 3=m1，则 y1、y 2、y 3 的大小关系是（ ）Ay 1y 3y 2 By 3y 1y 2 Cy 1y 2y 3 Dy 2y 3y 115 （2 分）如图，AB 为半圆 O 的直径，C 是半圆上一点，且COA=60，设扇形 AOC、COB、弓形 BmC 的面积为 S1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）AS 1S 2S 3 BS 2S 1S 3 CS 1S 3S 2 DS 3S 2S 116 （2 分）如图，放置的OAB 1，B 1A1B2 ，B 2A2B3，都是边长为 2 的等边三角形，边 AO 在 Y 轴上，点 B1、B 2、B 3都在直线 y= x 上，则点 A201
7、6 的坐标为（ ）A （2016 ，2018 ） B （2016 ，2016）C （ 2016，2016 ） D （2016，2018 ）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 17 （3 分） 的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 18 （3 分）已知 a 是整数，一次函数 y=10x+a 的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积数为质数，则这个质数等于 19 （3 分）线段 AB 的长为 5，点 A 在平面直角坐标系中的坐标为（3，2） ，点B 的坐标为（3，x） ，则点 B 的坐标为 20 （3 分）如图，ABC 内接于O ，D 是弧 BC 的中点， OD 交 BC 于点
8、 H，且OH=DH，连接 AD，过点 B 作 BEAD 于点 E，连接 EH，BFAC 于 M，若AC=5，EH= ，则 AF= 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 66 分，解答应写出文字说明，说理过程或演算步骤） 21 （8 分） （1）计算：2cos45 （+1） 0（2）解方程：x（2x5）=4x1022 （10 分）如图：在ABC 中，ACB=90 ，AC=BC，PCQ=45，把PCQ 绕点 C 旋转，在整个旋转过程中，过点 A 作 ADCP，垂足为 D，直线 AD 交 CQ于 E（1）如图，当PCQ 在ACB 内部时，求证：AD +BE=DE；（2）如图，当 CQ 在ACB 外部
9、时，则线段 AD、BE 与 DE 的关系为 ；（3）在（1）的条件下，若 CD=6，S BCE =2SACD ，求 AE 的长来源:Zxxk.Com23 （10 分）松山区种子培育基地用 A，B ，C 三种型号的甜玉米种子共 1500 粒进行发芽试验，从中选出发芽率高的种子进行推广，通过试验知道，C 型号种子的发芽率为 80%，根据试验数据绘制了下面两个不完整的统计图：（1）求 C 型号种子的发芽数；（2）通过计算说明，应选哪种型号的种子进行推广？（3）如果将所有已发芽的种子放在一起，从中随机取出一粒，求取到 C 型号发芽种子的概率24 （12 分）理解：数学兴趣小组在探究如何求 tan15的
10、值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一 如图 1，在 RtA BC 中，C=90， ABC=30，延长 CB 至点 D，使BD=BA，连接 AD设 AC=1，则 BD=BA=2，BC= tanD=tan15= =2 思路二 利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（）= 假设 =60，=45代入差角正切公式：tan15=tan （60 45）= = =2 思路三 在顶角为 30的等腰三角形中，作腰上的高也可以思路四 请解决下列问题（上述思路仅供参考） （1）类比：求出 tan75的值；（2）应用：如图 2，某电视塔建在一座小山上，山高 BC 为 30 米，在地平面上有一点 A，测得 A
11、，C 两点间距离为 60 米，从 A 测得电视塔的视角（ CAD）为 45，求这座电视塔 CD 的高度；（3）拓展：如图 3，直线 y= x1 与双曲线 y= 交于 A，B 两点，与 y 轴交于点C，将直线 AB 绕点 C 旋转 45后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点 P 的坐标；若不能，请说明理由25 （12 分）已知二次函数 y1=x2+mx+n 的图象经过点 P（3，1） ，对称轴是经过（1 ，0）且平行于 y 轴的直线（1）求 m，n 的值（2）如图，一次函数 y2=kx+b 的图象经过点 P，与 x 轴相交于点 A，与二次函数的图象相交于另一点 B，点 B 在点 P 的右侧，PA
12、：PB=1：5，求一次函数的表达式（3）直接写出 y1y 2 时 x 的取值范围26 （14 分）如图，在以点 O 为圆心的两个同心圆中，小圆直径 AE 的延长线与大圆交于点 B，点 D 在大圆上， BD 与小圆相切于点 F，AF 的 延长线与大圆相交于点 C，且 CEBD 找出图中相等的线段并证明参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 16 个小题，16 小题，每小题 2 分；716 小题，每小题 2 分，共 42 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 （2 分）已知：a =b1 =c ，且 a、b 、c 都不等于 0，则 a、b、c 中最小的数是（ ）Aa Bb Cc
13、 Da 和 c【解答】解：a =b1 =c ，a =b1 =c ，1 ，bca ，来源:学_科_ 网a 、b 、c 中最小的数是 b故选：B2 （2 分）如图，ABCD，EFAB 于 E，若1=60，则2 的度数是（ ）A35 B30 C25 D20【解答】解：ABCD，来源: 学+科+网 Z+X+X+K3=1=60，EF AB，2+3=90，2=9060=30故选 B3 （2 分）有理数 a、b 在数轴上的对应的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）Aa +b0 Bab=0 Ca+b 0 Da b0【解答】解：a1，0b 1，a +b0 ，选项 A 不符合题意；a 1，0 b1 ，a b0选
14、项 B 不符合题意；a 1，0 b1 ，a +b0 ，选项 C 符合题意；a 1，0b1，a b0 ，选项 D 不符合题意故选：C4 （2 分）不等式x+20 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A B C D【解答】解：移项得，x 2，不等式两边都乘1，改变不等号的方向得，x2；在数轴上表示应包括 2 和它左边的部分；故本题选 B5 （2 分）在围棋盒中有 x 颗白色棋子和 y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是 如果再往盒中放进 6 颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是 ，则原来盒中有白色棋子（ ）A8 颗 B6 颗 C4 颗 D2 颗【解答】解：设原来盒中有白棋 x 颗，黑
15、棋 y 颗取得白色棋子的概率是 ， ，再往盒中放进 6 颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是 ， ，联立方程组解得 x=4，y=6经检验，x=4，y=6 是原方程组的解原来盒中有白色棋子 4 颗故选：C6 （2 分）如图，ABCD，ABK 的角平分线 BE 的反向延长线和DCK 的角平分线 CF 的反向延长线交于点 H，KH=27，则 K=（ ）A76 B78 C80 D82【解答】解：如图，分别过 K、H 作 AB 的平行线 MN 和 RS，ABCD，ABCDRSMN，RHB= ABE= ABK，SHC=DCF= DCK，NKB+ABK=MKC+DCK=180，BHC=180RHB SHC=18
16、0 （ABK+DCK） ，BKC=180NKB MKC=180 （180 ABK）（ 180DCK）= ABK+DCK180，BKC=360 2BHC180=1802BHC，又BKCBHC=27 ，BHC= BKC27 ，BKC=180 2（BKC27） ，BKC=78 ，故选：B7 （2 分）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）A棱柱 B正方形 C圆柱 D圆锥【解答】解：根据主视图和左视图为矩形可判断出该几何体是柱体，根据俯视图是圆可判断出该几何体为圆柱故选：C来源 :Z|xx|k.Com8 （2 分）若|a4|+（b +1） 2=0，那么 a+b=（ ）A5 B3 C3 D5【解
17、答】解：|a4|+（b +1） 2=0，a 4=0，b+1=0，a=4，b= 1，a +b=41=3，故选 D9 （2 分）如图，四边形 ABCD 中，BAD=ACB=90，AB=AD，AC=4BC，设CD 的长为 x，四边形 ABCD 的面积为 y，则 y 与 x 之间的函数关系式是（ ）Ay= By= Cy= Dy=【解答】解：作 AEAC ， DEAE ，两线交于 E 点，作 DFAC 垂足为 F 点，BAD=CAE=90 ，即BAC +CAD=CAD+DAEBAC=DAE又AB=AD， ACB=E=90ABCADE （AAS）BC=DE，AC=AE，设 BC=a，则 DE=a，DF=A
18、E=AC=4BC=4a ，CF=ACAF=ACDE=3a，在 RtCDF 中，由勾股定理得，CF2+DF2=CD2，即（3a ） 2+（4a） 2=x2，解得：a= ，y=S 四边形 ABCD=S 梯形 ACDE= （DE+AC）DF= （ a+4a） 4a=10a2= x2故选：C10 （2 分）如图，在 RtABC 中，ABC=90，AB=BC= ，将ABC 绕点 C 逆时针旋转 60，得到MNC，连结 BM，则 BM 的长是（ ）A4 B C D【解答】解：如图，连接 AM，由题意得：CA=CM ，ACM=60，ACM 为等边三角形，AM=CM，MAC=MCA=AMC=60 ；ABC=9
19、0 ，AB=BC= ，AC=2=CM=2，AB=BC，CM=AM，BM 垂直平分 AC，BO= AC=1，OM=CMsin60= ，BM=BO+OM=1+ ，故选 B11 （2 分）如图，在平面直角坐标系中，以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，再分别以点 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点 P若点 P 的坐标为（2a ，b+1） ，则 a 与 b 的数量关系为（ ）Aa=b B2ab=1 C2a+b=1 D2a+b=1【解答】解：由作法得 OP 为第二象限的角平分线，所以 2a+b+1=0，即 2a+b=1故选 C12 （2 分
20、）如图，在矩形 ABCD 中，O 为 AC 中点，EF 过 O 点且 EFAC 分别交DC 于 F，交 AB 于 E，点 G 是 AE 中点且AOG=30，则下列结论正确的个数为（ ）（1）DC=3OG；（2）OG= BC；（3）OGE 是等边三角形；（4）S AOE= SABCDA1 个 B2 个 C3 个 D4 个【解答】解：EFAC ，点 G 是 AE 中点，OG=AG=GE= AE，AOG=30，OAG= AOG=30，GOE=90AOG=9030=60，OGE 是等边三角形，故（3）正确；设 AE=2a，则 OE=OG=a，由勾股定理得，AO= = = a，O 为 AC 中点，AC=
21、2AO=2 a，BC= AC= 2 a= a，在 RtABC 中，由勾股定理得， AB= =3a，四边形 ABCD 是矩形，CD=AB=3a，DC=3OG，故（ 1）正确；OG=a ， BC= a，BC BC，故（2）错误；S AOE= a a=a2，SABCD=3a a=3 a2，S AOE = SABCD，故（4）正确；综上所述，结论正确是（1） （3） （4）共 3 个故选 C13 （2 分）若自然数 n 使得三个数的加法运算“n+（n+1）+（n+2） ”产生进位现象，则称 n 为“ 连加进位数 ”例如：2 不是“连加进位数”，因为 2+3+4=9 不产生进位现象；4 是“连加进位数”
22、， 因为 4 +5+6=15 产生进位现象；51 是“连加进位数”，因为 51+52+53=156 产生进位现象如果从 0，1，2，99 这 100 个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数” 的概率是（ ）A0.88 B0.89 C0.90 D0.91【解答】解：当 n=0 时，0+1=1 ，0+2=2，n+（n +1）+（n+2）=0+1+2=3 ，不是连加进位数；当 n=1 时，1+1=2，1+2=3，n+（n +1）+（n+2）=1+2+3=6 ，不是连加进位数；当 n=2 时，2+1=3，2+2=4，n+（n +1）+（n+2）=2+3+4=9 ，不是连加进位数；当 n=3 时，3
23、+1=4，3+2=5，n+（n +1）+（n+2）=3+4+5=12 ，是连 加进位数；当 n=4 时，4+1=5，4+2=6，n+（n +1）+（n+2）=4+5+6=15 ，是连加进位数；故从 0，1，2， ，9 这 10 个自然数共有连加进位数 103=7 个，由于 10+11+12=33 个位不进位，所以不算又因为 13+14+15=42，个位进了一，所以也是进位按照规律，可知 0，1，2，10，11，12，20 ，21， 22，30，31，32 不是，其他都是所以一共有 88 个数是连加进位数概率为 0.88故选 A14 （2 分）已知函数 y=x22mx+2016（m 为常数）的图
24、象上有三点：A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，C（x 3，y 3） ，其中 x1= +m，x 2= +m，x 3=m1，则 y1、y 2、y 3 的大小关系是（ ）Ay 1y 3y 2 By 3y 1y 2 Cy 1y 2y 3 Dy 2y 3y 1【解答】解：y=x 22mx+2016=（xm ） 2m2+2016，抛物线开口向上，对称轴为：直线 x=m，当 xm 时， y 随 x 的增大而增大，由对称性得：x 1= +m 与 x=m+ 的 y 值相等，x 3=m1 与 x=m+1 的 y 值相等，且 ， +mm+1m+ ，y 2y 3y 1；故选 D15 （2 分）如图，AB
25、 为半圆 O 的直径，C 是半圆上一点，且COA=60，设扇形 AOC、COB、弓形 BmC 的面积为 S1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）AS 1S 2S 3 BS 2S 1S 3 CS 1S 3S 2 DS 3S 2S 1【解答】解：作 ODBC 交 BC 与点 D，COA=60，COB=120，则COD=60S 扇形 AOC= ；S 扇形 BOC= 在三角形 OCD 中，OCD=30，OD= ，CD = ，BC= R，S OBC = ，S 弓形 = = ， ，S 2S 1S 3故选 B16 （2 分）如图，放置的OAB 1，B 1A1B2，B 2A2B3，都是边长为 2 的等边
26、三角形，边 AO 在 Y 轴上，点 B1、B 2、B 3都在直线 y= x 上，则点 A2016 的坐标为（ ）A （2016 ，2018 ） B （2016 ，2016） C （2016，2016 ）D （2016，2018 ）【解答】解：如图，过 B1 作 B1Cx 轴，垂足为 C，OAB 1 是等边三角形，且边长为 2，AOB 1=60，OB 1=2，B 1OC=30，在 RtB1OC 中，可得 B1C=1，OC= ，B 1 的坐标为（ ，1 ） ，同理 B2（2 ，2） 、B 3（3 ，3） ，B n 的坐标为（ n ，n） ，B 2016 的坐标为（2016 ，2016） ，A 20
27、16 的坐标为（2016 ，2018） ，故选 A二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 17 （3 分） 的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 【解答】解： 的相反数是 （ ）= ，倒数是 = ，绝对值是| |=故本题的答案是 ； ； 18 （3 分）已知 a 是整数，一次函数 y=10x+a 的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积数为质数，则这个质数等于 5 【解答】解：一次函数的解析式为 y=10x+a；图象与两坐标轴的交点为（0，a） ；（ ，0） 图象与两坐标轴所围成的三角形的面积可表示为：S= |a| |= ；一次函数 y=10x+a 的图象与两坐标轴所围成的三角
28、形的面积数为质数；a=10；一次函数 y=10x+a 的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积数为 5故填 519 （3 分）线段 AB 的长为 5，点 A 在平面直角坐标系中的坐标为（3，2） ，点B 的坐标为（3，x） ，则点 B 的坐标为 （3，3）或（3， 7） 【解答】解：线段 AB 的长为 5，A （3，2） ，B （3，x ） ， =|2x|=5，解得：x 1=3， x2=7，点 B 的坐标为（3，3）或（ 3， 7） 故答案为：（3，3）或（3，7） 20 （3 分）如图，ABC 内接于O ，D 是弧 BC 的中点， OD 交 BC 于点 H，且OH=DH，连接 AD，过点 B 作
29、 BEAD 于点 E，连接 EH，BFAC 于 M，若AC=5，EH= ，则 AF= 【解答】解：如图，延长 BE 交 AC 的延长线于 N，连接 OB、OC、BD = ， 来源:学#科# 网EAB=EAN，ADBN，AEB=AEN=90，ABE+BAE=90 ，N +EAN=90，ABE=N，AB=AN，BE=EN，ODBC ，BH=HC，CN=2EH，AB =AN=AC+CN=8，OH=HD，BHOD ，BO=BD=OD，BOD=DOC=60，BAC= BOC=60，在 RtAMB 中，AM= AB=4，BM=4 ，在 RtBMC 中，BC= = =7，MAF=MBC，AMF= BMC ，
30、AMF BMC， = ， = ，AF= 故答案为 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 66 分，解答应写出文字说明，说理过程或演算步骤） 21 （8 分） （1）计算：2cos45 （+1） 0（2）解方程：x（2x5）=4x10【解答】解：（1）原式=2 1+ +2= + ；（2）方程整理得：x（2x 5）2（2x 5）=0，分解因式得：（x2） （2x5）=0，解得：x 1=2 ， x2=2.522 （10 分）如图：在ABC 中，ACB=90 ，AC=BC，PCQ=45，把PCQ 绕点 C 旋转，在整个旋转过程中，过点 A 作 ADCP，垂足为 D，直线 AD 交 CQ于 E（1）如图
31、，当PCQ 在ACB 内部时，求证：AD +BE=DE；（2）如图，当 CQ 在ACB 外部时，则线段 AD、BE 与 DE 的关系为 AD=BE+DE ；（3）在（1）的条件下，若 CD=6，S BCE =2SACD ，求 AE 的长【解答】 （1）证明：如图，延长 DA 到 F，使 DF=DE，CDAE，CE=CF，DCE=DCF=PCQ=45，A CD+ ACF=DCF=45 ，又ACB=90 ，PCQ=45，ACD+BCE=90 45=45，ACF=BCE ，在ACF 和 BCE 中，ACF BCE（SAS） ，来源:学科网AF=BE，AD+BE=AD+AF=DF=DE ，即 AD+B
32、E=DE；（2）解：如图，在 AD 上截取 DF=DE，CDAE，CE=CF，DCE=DCF=PCQ=45，ECF=DCE+DCF=90 ，BCE+BCF= ECF=90，来源:学 科网 ZXXK又ACB=90 ，ACF+BCF=90，ACF=BCE ，在ACF 和 BCE 中，ACF BCE（SAS） ，AF=BE，AD=AF+DF=BE+DE ，即 AD=BE+DE；故答案为：AD=BE +DE（3）DCE= DCF=PCQ=45，ECF=45+ 45=90，ECF 是等腰直角三角形，CD=DF=DE=6，S BCE =2SACD ，AF=2AD，AD= 6=2，AE=AD+DE=2+6=
33、823 （10 分）松 山区种子培育基地用 A，B，C 三种型号的甜玉米种子共 1500粒进行发芽试验，从中选出发芽率高的种子进行推广，通过试验知道，C 型号种子的发芽率为 80%，根据试验数据绘制了下面两个不完整的统 计图：（1）求 C 型号种子的发芽数；（2）通过计算说明，应选哪种型号的种子进行推广？（3）如果将所有已发芽的种子放在一起，从中随机取出一粒，求取到 C 型号发芽种子的概率【解答】解：（1）读图可知：C 型号种子占 130%30%=40%，即150040%=600 粒；因为其发芽率为 80 %，故其发芽数是 60080%=480 粒（2）A 型号种子数为 150030%=450
34、，发芽率为： 100%93%；B 型号种子数为 150030%= 450，发芽率为： 100%82%；C 型号种子的发芽率为 80%，所以应选 A 型号的种子进行推广（3）在已发芽的种子中；有 A 型号的 420 粒，B 型号的 370 粒，C 型号的 480粒；故从中随机取出一粒，求取到 C 型号发 芽种子的概率为 = 24 （12 分）理解：数学兴趣小组在探究如何求 tan15的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一 如图 1，在 RtABC 中，C=90， ABC=30，延长 CB 至点 D，使BD=BA，连接 AD设 AC=1，则 BD=BA=2，BC= tanD=tan15=
35、 =2 思路二 利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（）= 假设 =60，=45代入差角正切公式：tan15=tan （60 45）= = =2 思路三 在顶角为 30的等腰三角形中，作腰上的高也可以思路四 请解决下列问题（上述思路仅供参考） （1）类比：求出 tan75的值；（2）应用：如图 2，某电视塔建在一座小山上，山高 BC 为 30 米，在地平面上有一点 A，测得 A，C 两点间距离为 60 米，从 A 测得电视塔的视角（CAD）为 45，求这座电视塔 CD 的高度；（3）拓展：如图 3，直线 y= x1 与双曲线 y= 交于 A，B 两点，与 y 轴交于点C，将直线 AB 绕点
36、 C 旋转 45后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点 P 的坐标；若不能，请说明理由【解答】解：（1）方法 一：如图 1，在 RtABC 中，C=90，ABC=30，延长 CB 至点 D，使 BD=BA，连接 AD设 AC=1，则 BD=BA=2，BC= tanDAC=tan75= = = =2+ ；方法二：tan75=tan （45+30）= = = =2+ ；（2）如图 2，在 RtABC 中，AB= = =30 ，sin BAC= = = ，即 BAC=30DAC=45，DAB=45+30=75在 RtABD 中，tanDAB= ，来源:学科网DB=ABtanDAB=30 （2+ ）=
37、60 +90，DC=D BBC=60 +9030=60 +60答：这座电视塔 CD 的高度为（60 +60）米；（3）若直线 AB 绕点 C 逆时针旋转 45后，与双曲线相交于点 P，如图 3过点 C 作 CDx 轴，过点 P 作 PECD 于 E，过点 A 作 AFCD 于 F解方程组 ，得或 ，点 A（4，1） ，点 B（2， 2） 对于 y= x1，当 x=0 时，y=1，则 C（0，1） ，OC=1，CF=4，AF=1（1）=2，tanACF= = = ，ta nPCE=tan（ACP+ACF）= tan（45+ACF）= =3，即 =3设点 P 的坐标为（ a，b） ，则有 ，解得： 或 ，点 P 的坐标为（ 1，4）或（ ，3） ；若直线 AB 绕点 C 顺时针旋转 45后，与 x 轴相交于点 G，如图 4由可知ACP=45，P（ ，3） ，则 CPCG 过点 P 作 PHy 轴于 H，则GOC=CHP=90 ，GCO=90HCP=CPH，GOCCHP， = CH=3（1）=4，PH= ，OC=1， = = ，GO=3 ，G（3，0） 设直线 CG 的解析式为 y=kx+b，则有 ，解得 ，直线 CG 的解析式为 y= x1
