1、第 20 课时 向量的数乘运算及其几何意义课时目标1.理解向量数乘的定义及规定，掌握向量数乘的几何意义2掌握向量数乘的运算法则，会应用法则进行有关计算识记强化1向量数乘的运算律(1)()a(a)；(2)()aa a；(3)(a b)ab.2共线向量定理向量 a(a0) 与 b 共线，当且仅当存在唯一实数 ，使 ba.课时作业一、选择题1已知 R，则下列命题正确的是( )A|a|a| B| a| |aC|a| |a| D| a|0答案：C解析：当 0 时，| a| a|不成立，A 错误；| a|是一个非负实数，而 |a 是一个向量，所以 B 错误；当 0 或 a 0 时，|a| 0，D 错误故选
2、 C.2已知 a5b， 2a8b， 3( ab)，则( )AB BC CD AA，B ，D 三点共线BA，B，C 三点共线CB，C，D 三点共线DA，C，D 三点共线答案：A解析： 2a8b3(ab) a5b ， A，B，D 三点共线BD BC CD AB 3如图所示，D 是ABC 的边 AB 的中点，则向量 ( )CD A BC 12BA B BC 12BA C. BC 12BA D. BC 12BA 答案：A解析： .CD CB BD BC 12BA 4已知向量 a 与 b 反向，且|a| r，|b|R，b a，则 的值等于( )A. BrR rRC D.Rr Rr答案：C解析：ba ，|
3、 b| |a|.又 a 与 b 反向， .Rr5在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线交 DC 于点 F，若 a， b，则 ( )AB AD AF A. ab B. ab13 12Ca b Da b13 12答案：A解析：由已知条件可知 BE3DE，DF AB， ab.13 AF AD DF AD 13AB 136如图，在ABC 中，ADDB，AEEC，CD 与 BE 交于点 F.设 a， b，AB AC xayb，则 (x，y)为( )AF A. B.(12，12) (23，23)C. D.(13，13) (23，12)答案：C解析
4、：ADDB，AE EC，F 是ABC 的重心，则 ， DF 13DC AF AD DF ( ) a b，x ，y .AD 13DC AD 13AC AD 23AD 13AC 13AB 13AC 13 13 13 13二、填空题7已知 x，y 是实数，向量 a，b 不共线，若(xy 1) a(x y)b0，则x_， y_.答案： 12 12解析：由已知得Error!，解得 xy .128下面三个命题：非零向量 a 与 b 共线，则 a 与 b 所在的直线平行；向量 a 与 b共线，则存在唯一实数 ，使 a b；若 ab，则 a 与 b 共线正确命题的序号为：_.答案：解析：a 与 b 所在直线有
5、可能在一条直线上；若 b0，b0， 可取任意实数；正确9已知点 P，Q 是ABC 所在平面上的两个定点，且满足 0,2 ，若| | |，则正实数 _.PA PC QA QB QC BC PQ BC 答案：12解析：由条件 0，知 ，所以点 P 是边 AC 的中点又 2 PA PC PA PC CP QA ，所以 2 2 ，从而有 ，故点QB QC BC QA BC QB QC BC CQ BQ BQ QA BQ Q 是边 AB 的中点，所以 PQ 是ABC 的中位线，所以| | | |，故 .PQ 12BC 12三、解答题10设两个非零向量 e1 与 e2 不共线，如果 e1 e2， 2e 1
6、8e 2， 3( e1e 2)AB BC CD (1)求证：A、B、D 三点共线；(2)试确定实数 k 的值，使 ke1e 2 和 e1ke 2 共线解：(1)证明： 5e 15e 25 ，BD BC CD AB ，又 AB、BD 有公共点 B，A、B、D 三点共线BD AB (2)ke 1e 2 与 e1ke 2 共线，存在实数 使 ke1e 2(e 1ke 2)，Error!，k 21，k 1.11.如图，在ABC 中， ，P 是 BN 上的一点，若 m ，求实数 mAN 13NC AP AB 211AC 的值解： m ，AP AN NP 14AC NP AB 211AC m .NP AB
7、 344AC 又 ( ) ，NB NC CB 34AC AB AC AB 14AC 设 ，则 m ，m .NP NB AB 14AC AB 344AC 311能力提升12已知 P 是ABC 所在平面内的一点，若 ，其中 R，则点 P 一定CB PA PB 在( )AABC 的内部BAC 边所在直线上CAB 边所在直线上DBC 边所在直线上答案：B解析：由 ，得 ， ，则 与 为共线向量又有CB PA PB CB PB PA CP PA CP PA 一个公共点 P，C、P、A 三点共线即 P 点在直线 AC 上13如图，G 是OAB 的重心，OG 的延长线交 AB 于点 M，P，Q 分别是边 O
8、A，OB上的动点，且 P，G，Q 三点共线(1)设 ，将 用 ， ， 表示；PG PQ OG OP OQ (2)设 x ， y ，证明： 是定值OP OA OQ OB 1x 1y解：(1) ( )(1 ) .OG OP PG OP PQ OP OQ OP OP OQ (2)由(1)及 x ， y ，得 (1 ) (1)x y .OP OA OQ OB OG OP OQ OA OB G 是OAB 的重心， ( ) .OG 23OM 23 12OA OB 13OA 13OB 由得 ，1 x 13OA (13 y)OB 而 ， 不共线，OA OB Error!，解得Error!， 3，即 是定值1x 1y 1x 1y
