1、22.3 向量数乘运算及其几何意义向量数乘运算及其几何意义 学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运 算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法， 并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题 知识点一 向量数乘的定义 实数 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 a，其长度与方向规定如 下： (1)|a|a|. (2)a (a0)的方向 当0时，与a方向相同； 当0时，与a方向相反. 特别地，当 0 或 a0 时，0a0 或 00. 知识点二 向量数乘的运算律 1(a)()a. 2()aaa
2、. 3(ab)ab. 知识点三 向量共线定理 1向量共线定理 向量 a (a0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 ba. 2向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a，b，以及任意实数 ，1， 2，恒有 (1a 2b)1a 2b. 思考 共线向量定理中为什么规定 a0? 答案 若将条件 a0 去掉，即当 a0 时，显然 a 与 b 共线 (1)若 b0，则不存在实数 ，使 ba. (2)若 b0，则对任意实数 ，都有 ba. 1若向量 b 与 a 共线，则存在唯一的实数 使 ba.( ) 提示 当 b0，a0 时，实数 不唯一 2若 ba，则 a 与
3、 b 共线( ) 提示 由向量共线定理可知其正确 3若 a0，则 a0.( ) 提示 若 a0，则 a0 或 0. 题型一 向量的线性运算 例 1 (1)3(6ab)9 a1 3b _. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 9a 解析 3(6ab)9 a1 3b 18a3b9a3b9a. (2)若 3(xa)2(x2a)4(xab)0，则 x_. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 4b3a 解析 由已知得 3x3a2x4a4x4a4b0， 所以 x3a4b0，所以 x4b3a. 反思感悟 向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多
4、项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、 合并同类项、 提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用， 但是这里的“同类项”、 “公因式”是指向量，实数看作是向量的系数 (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解， 同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算 跟踪训练 1 计算：(ab)3(ab)8a. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 解 (ab)3(ab)8a(a3a)(b3b)8a 2a4b8a10a4b. 题型二 向量共线的判定及应用 命题角度 1 判定向量共线或三点共线 例 2 已知非零向量 e1，e2不共线
5、(1)若 a1 2e1 1 3e2，b3e12e2，判断向量 a，b 是否共线 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定向量共线 解 b6a，a 与 b 共线 (2)若AB e 1e2，BC 2e 18e2，CD 3(e1e2)，求证：A，B，D 三点共线 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定三点共线 证明 AB e 1e2，BD BC CD 2e18e23e13e25(e1e2)5AB ， AB ，BD 共线，且有公共点 B， A，B，D 三点共线 反思感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示， 从而判断共线 (2)利用
6、向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向 量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用 ba(a0)，还要说明向量 a，b 有 公共点 跟踪训练 2 已知非零向量 e1， e2不共线， 如果AB e 12e2， BC 5e 16e2， CD 7e12e2， 则共线的三个点是_ 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定三点共线 答案 A，B，D 解析 AB e 12e2，BD BC CD 5e16e27e12e22(e12e2)2AB ， AB ，BD 共线，且有公共点 B， A，B，D 三点共线 命题角度 2 利用向量共线求参数值 例 3 已
7、知非零向量 e1，e2不共线，欲使 ke1e2和 e1ke2共线，试确定 k 的值 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 解 ke1e2与 e1ke2共线， 存在实数 ，使 ke1e2(e1ke2)， 则(k)e1(k1)e2， 由于 e1与 e2不共线，只能有 k0， k10， k 1. 反思感悟 利用向量共线定理，即 b 与 a(a0)共线ba，既可以证明点共线或线共线问 题，也可以根据共线求参数的值 跟踪训练 3 设两个不共线的向量 e1，e2，若 a2e13e2，b2e13e2，c2e19e2，问是 否存在实数 ，使 dab 与 c 共线？ 考点 向量共线定理及其应
8、用 题点 利用向量共线定理求参数 解 d(2e13e2)(2e13e2) (22)e1(33)e2， 要使 d 与 c 共线，则存在实数 k，使得 dkc， 即(22)e1(33)e22ke19ke2. 因为 e1与 e2不共线， 所以 222k， 339k， 得 2. 故存在实数 和 ，使得 d 与 c 共线，此时 2. 题型三 用已知向量表示其他向量 例 4 在ABC 中，若点 D 满足BD 2DC ，则AD 等于( ) A.1 3AC 2 3AB B.5 3AB 2 3AC C.2 3AC 1 3AB D.2 3AC 1 3AB 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量
9、答案 D 解析 示意图如图所示， 由题意可得AD AB BD AB 2 3BC AB 2 3(AC AB)1 3AB 2 3AC . 跟踪训练 4 如图所示，四边形 OADB 是以向量OA a，OB b 为邻边的平行四边形又 BM 1 3BC，CN 1 3CD，试用 a，b 表示OM ，ON ，MN . 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 解 因为BM 1 3BC 1 6BA 1 6(OA OB )1 6(ab)， 所以OM OB BM b1 6a 1 6b 1 6a 5 6b. 因为CN 1 3CD 1 6OD ， 所以ON OC CN 1 2OD 1 6OD 2 3O
10、D 2 3(OA OB )2 3(ab) MN ON OM 2 3(ab) 1 6a 5 6b 1 2a 1 6b. 向量的综合应用 典例 如图，设 O 是ABC 内一点，且满足OA 2OB 3OC 0，则ABC 与AOC 的面积 之比为_ 答案 3 解析 如图所示，分别取 BC，AC 边的中点 D，E， 则OB OC 2OD ， OA OC 2OE ， 由2可得 OA 2OB 3OC 2(2OD OE ) 又因为OA 2OB 3OC 0， 所以 2OD OE 0，即OE 2OD ， 所以OD ，OE 共线，且|OE |2|OD |. 所以 SAOC2SCOE22 3SCDE2 2 3 1 4
11、SABC 1 3SABC，所以 SABC SAOC3. 素养评析 本题主要考查向量共线条件的应用，解题时需充分利用好几何图形，借助几何 直观使问题得解，这正体现了数学中直观想象的核心素养. 1下列各式计算正确的有( ) (1)(7)6a42a； (2)7(ab)8b7a15b； (3)a2ba2b2a； (4)4(2ab)8a4b. A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 C 解析 (1)(3)(4)正确，(2)错，7(ab)8b7a7b8b7ab. 2在ABC 中，M 是 BC 的中点，则AB AC等于( ) A.1 2AM B.AM
12、C2AM D.MA 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 C 解析 如图，作出平行四边形 ABEC，因为 M 是 BC 的中点，所以 M 也是 AE 的中点， 由题意知，AB ACAE2AM ，故选 C. 3 设e1， e2是两个不共线的向量， 若向量me1ke2 (kR)与向量ne22e1共线， 则( ) Ak0 Bk1 Ck2 Dk1 2 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 D 解析 当 k1 2时，me1 1 2e2，n2e1e2. n2m，此时 m，n 共线 4已知 P，A，B，C 是平面内四点，且PA PBPCAC，则下列向量一定共线的是
13、( ) A.PC 与PB B.PA 与PB C.PA 与PC D.PC 与AB 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定向量共线 答案 B 解析 因为PA PBPCAC， 所以PA PBPCCA0， 即2PA PB，所以PA与PB共线 5.如图所示，已知AP 4 3AB ，用OA ，OB 表示OP . 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 解 OP OA AP OA 4 3AB OA 4 3(OB OA )1 3OA 4 3OB . 1实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如 a，a 是没有意义的 2 a 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|倍 向量 a |a|表示 与向量 a 同向的单位向量 3向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题
