1、 2.2 平面向量的线性运算平面向量的线性运算 22.1 向量加法运算及其几何意义向量加法运算及其几何意义 学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向 量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运 算.3.了解向量加法的交换律和结合律， 并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性 知识点一 向量加法的定义及其运算法则 1向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法 2向量求和的法则 向 量 求 和 的 法 则 三角形 法则 已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作AB a，BCb， 则向量AC 叫做
2、a 与 b 的和， 记作 ab， 即 abABBCAC. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 对于零向量与任一向量 a 的和有 a00aa 平行四边 形法则 以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b 为邻边作OACB，则 以 O 为起点的对角线OC 就是 a 与 b 的和把这种作两个向量 和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义 知识点二 向量加法的运算律 向量加法的运算律 交换律 abba 结合律 (ab)ca(bc) 思考 |ab|与|a|，|b|有什么关系？ 答案 (1)当向量 a 与 b 不共线时，ab 的方向
3、与 a，b 不同，且|ab|b|，则 ab 的方向与 a 相同，且|ab|a|b|；若|a|AC.( ) 5|AB |BC|AC|.( ) 题型一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 例 1 如图(1)(2)，已知向量 a，b，c，求作向量 ab 和 abc. 考点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 题点 向量加法的平行四边形法则 解 (1)作法：在平面内任意取一点 O，作OA a，AB b，则OB ab. (2)在平面内任意取一点 O，作OA a，AB b，BCc，则OC abc. 反思感悟 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平
4、行四边形法则中强调的是“共起点”(2)三角 形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和 联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的(2)三角 形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半 跟踪训练 1 如图所示，O 为正六边形 ABCDEF 的中心，化简下列向量 (1)OA OC _；(2)BC FE_； (3)OA FE _. 考点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 题点 向量加法的平行四边形法则 答案 (1)OB (2)AD (3)0 题型二 向量加法运算律的应用 例 2 化简： (1)BC AB；(2)DB C
5、D BC ； (3)AB DF CD BC FA. 考点 向量加法运算及运算律 题点 化简向量 解 (1)BC ABABBCAC. (2)DB CD BC BCCD DB (BC CD )DB BD DB 0. (3)AB DF CD BC FA AB BCCD DF FA AC CD DF FA AD DF FA AF FA0. 反思感悟 (1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序 后相加 (2)向量求和的多边形法则：A1A2 A 2A3 A 3A4 A n1An A 1An .特别地，当 A n和 A1重合 时，A1A2 A 2A3 A 3A4 A n1A1
6、 0. 跟踪训练 2 向量(AB PB)(BO BM )OP 化简后等于( ) A.BC B.AB C.AC D.AM 考点 向量加法运算及运算律 题点 化简向量 答案 D 解析 向量(AB PB)(BO BM )OP AB BO OP PB BM AM . 题型三 向量加法的实际应用 例 3 在静水中船的速度为 20 m/min， 水流的速度为 10 m/min， 如果船从岸边出发沿垂直于 水流的航线到达对岸，求船行进的方向 考点 向量加法的定义及几何意义的应用 题点 向量的加法在运动学中的应用 解 作出图形，如图所示船速 v船与岸的方向成 角，由图可知 v水v船v实际，结合已知 条件，四边
7、形 ABCD 为平行四边形， 在 RtACD 中， |CD |AB |v 水|10 m/min， |AD |v船|20 m/min， cos |CD | |AD | 10 20 1 2， 60 ，从而船与水流方向成 120 的角 船是沿与水流的方向成 120 的角的方向行进的 引申探究 1若本例中条件不变，则经过 1 h，该船的实际航程是多少？ 解 由例 3 知 v船20 m/min，v实际20sin 60 10 3(m/min)， 故该船 1 h 行驶的航程为 10 360600 3(m)3 3 5 (km) 2若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向
8、的夹角的正切值 解 如图，作平行四边形 ABDC，则AD v实际，设船实际航向与岸方向的夹角为 ， 则 tan |BD | |AB | 20 102. 即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为 2. 反思感悟 向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图象是解题关 键 跟踪训练 3 如图，用两根绳子把重 10 N 的物体 W 吊在水平杆子 AB 上，ACW150 ， BCW120 ，求 A 和 B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计) 考点 向量加法的定义及几何意义的应用 题点 向量的加法在物理学中的应用 解 如图所示， 设CE ， CF分别表示 A， B 所受的力， 10
9、N 的重力用CG 表示， 则CE CFCG . 由题意可得ECG180 150 30 ，FCG180 120 60 . |CE |CG |cos 30 10 3 2 5 3(N)， |CF |CG |cos 60 101 25(N) A 处所受的力为 5 3 N，B 处所受的力为 5 N. 三角形形状的判断 典例 已知|AB |1，|AC|1，且|ABAC| 3，判断ABC 的形状 解 由向量加法的平行四边形法则及|AB |AC|1，知构成的四边形为菱形，且最长的对角 线长度为|AB AC| 3，则BAC60 ，故ABC 为等边三角形 素养评析 本题主要考查向量加法的应用，突出考查直观想象的核
10、心素养，培养学生从图 形与图形关系中抓住问题本质，从而更好地理解向量加法的平行四边形法则 1化简AE EBBC等于( ) A.AB B.BA C0 D.AC 考点 向量加法运算及运算律 题点 化简向量 答案 D 解析 AE EBBCABBCAC. 2.如图，在正六边形 ABCDEF 中，BA CD EF 等于( ) A0 B.BE C.AD D.CF 考点 向量加法运算及运算律 题点 几何图形中的向量加法运算 答案 D 解析 BA CD EF DE CD EF CEEFCF. 3若正方形 ABCD 的边长为 1，则|AB AD |等于( ) A1 B. 2 C3 D2 2 考点 向量加法的三角
11、形法则和平行四边形法则 题点 利用向量的加法求模长 答案 B 解析 在正方形 ABCD 中，AB1，可知 AC 2， 所以|AB AD |AC |AC 2. 4.如图所示，在四边形 ABCD 中，AC ABAD ，则四边形为( ) A矩形 B正方形 C平行四边形 D菱形 考点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 题点 利用向量的加法求模长 答案 C 解析 AC ABAD ， DC DA AC DA AB AD DA AD AB AB， 即DC AB ，ABDC，ABDC， 四边形 ABCD 为平行四边形 5 已知向量 a 表示“向东航行 3 km”， b 表示“向南航行 3 km”， 则 a
12、b 表示_ 考点 向量加法的定义及几何意义的应用 题点 向量的加法在物理学中的应用 答案 向东南航行 3 2 km 解析 根据题意由于向量 a 表示“向东航行 3 km”，向量 b 表示“向南航行 3 km”，那么 可知 ab 表示向东南航行 3 2 km. 1三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量 首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则 2向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意 的组合去进行 3 使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接” 和向量的特征是从第一个向量的 起点指向第二个向量的终点向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成 0， 而不应写成 0.
