1、2017-2018 学年辽宁省大连五校高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）对于常数 m、n， “mn0”是“方程 mx2ny2=1 的曲线是双曲线的”（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件2 （5 分）若 ab0，则下列不等式中错误的是（ ）A B C|a|b | Da 2b 23 （5 分）下列函数中，最小值为 4 的是（ ）Ay=log 3x+4logx3 By=e x+4exC y=sinx+ （0x ） Dy=x +4 （
2、5 分）已知实数 x，y 满足 ，则目标函数 z=x2y 的最小值是（ ）A 9 B15 C0 D 105 （5 分）下列命题中，说法错误的是（ ）A “若 p，则 q”的否命题是“若p，则q”B “pq 是真命题 ”是“p q 是真命题”的充分不必要条件C “x 2，x 22x0”的否定是“x2，x 22x0”D “若 b=0，则 f（x）=ax 2+bx+c 是偶函数”的逆命题是真命题6 （5 分）设 a0，b0，若 是 3a 与 32b 的等比中项，则 的最小值为（ ）A5 B6 C7 D87 （5 分）已知 F1，F 2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点，P 是以 F1F 为直径的圆
3、与该椭圆的一个交点，且PF 1F2=2PF 2F1，则这个椭圆的离心率是（ ）A 1 B2 C D8 （5 分）设 Sn 为等比数列a n的前 n 项和，a 28a5=0，则 =（ ）A B C2 D179 （5 分）等差数列a n中， Sn 是其前 n 项和， ，则 S11=（ ）A 11 B11 C10 D 1010 （5 分）设 F1，F 2 分别是双曲线 的左右焦点，点M（a，b） 若MF 1F2=30，则双曲线 C 的离心率为（ ）A B C2 D11 （5 分）设a n为等差数列，若 ，且它的前 n 项和 Sn 有最小值，那么当 Sn 取得最小正值时的 n 值为（ ）A18 B19
4、 C20 D2112 （5 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x）的导函数为 f（x） ，当 x0 时，f（x）满足，2f （x ）+xf （x）xf（x） ，则 f（x ）在 R 上的零点个数为（ ）A5 B3 C1 或 3 D1二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）函数 的递增区间为 14 （5 分）在数列a n中， a2= ，a 3= ，且数列 nan+1是等比数列，则 an= 15 （5 分）已知函数 ，若函数 f（x ）在区间2，4上是单调增函数，则实数 a 的取值范围是 16 （5 分）抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，已知点 A，
5、B 为抛物线上的两个动点，且满足AFB=120过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则 的最大值为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （10 分）若数列a n满足 （1）求证：数列a n1是等比数列，并求数列a n的通项公式；（2）设 bn=log2（1a n） ，若数列 的前 n 项和为 Tn，求证：Tn 118 （12 分）已知函数 f（ x）=ax 2（a+1）x+1（a0） （1）若 f（x）2 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围；（2）解关于 x 的不等式 f（x）019 （12 分）已知过点
6、A（ 4，0）的动直线 l 与抛物线 G：x 2=2py（p0）相交于 B、C 两点，当直线的斜率是 时， （1）求抛物线 G 的方程；（2）设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b，求 b 的取值范围20 （12 分）已知数列a n，b n，S n 为数列a n的前 n 项和，a2=4b1，S n=2an2， （1）求数列a n的通项公式；（2）证明 为等差数列（3）若数列c n的通项公式为 ，令 pn=c2n1+c2nT n 为pn的前 n 项的和，求 Tn21 （12 分）已知椭圆 的左顶点为 A，右焦点为 F，过点 F 的直线交椭圆于 B，C 两点（）求该椭圆的离心率；（）设直线
7、 AB 和 AC 分别与直线 x=4 交于点 M， N，问：x 轴上是否存在定点P 使得 MP NP？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由22 （12 分）已知函数 f（ x）=blnx，g（x）=ax 2x（ aR）（1）若曲线 f（x）与 g（ x）在公共点 A（1，0）处有相同的切线，求实数a， b 的值；（2）若 a0，b=1，且曲线 f（x）与 g（x）总存在公共的切线，求正数 a 的最小值参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）对于常数 m、n， “mn0”是“方
8、程 mx2ny2=1 的曲线是双曲线的”（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：若方程 mx2ny2=1 的曲线是双曲线，则 mn0，即“mn 0”是“方程 mx2ny2=1 的曲线是双曲线”的充要条件，故选：C2 （5 分）若 ab0，则下列不等式中错误的是（ ）A B C|a|b | Da 2b 2【解答】解：ab0， ，|a|b|，a 2abb 2因此 A，C，D 正确对于 B：ab0 时，可得 ，因此 B 不正确故选：B3 （5 分）下列函数中，最小值为 4 的是（ ）Ay=log 3x+4logx3 By=e x+4exC y=sin
9、x+ （0x ） Dy=x +【解答】解：A.0x1 时，y0，不正确Be x0 ， =4，当且仅当 x=ln2 时取等号，正确C令 sinx=t（0，1） ，则 y=f（t）=t+ ，y=1 0，因此函数 f（t）在（0，1）上单调递减，f（t ）f（1）=5，不正确Dx0 时，y0，不正确故选：B4 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则目标函数 z=x2y 的最小值是（ ）A 9 B15 C0 D 10【解答】解：如图作出阴影部分即为实数 x，y 满足 的可行域，由 z=x2y，得 y= xz，平移直线 y= xz，由图象可知当直线 y= xz 经过点 A，直线 y= xz 的截距最大，
10、此时 z 最小，由 得点 A（3，6） ，当 x=3，y=6 时，z=x 2y 取最小值为 9故选：A5 （5 分）下列命题中，说法错误的是（ ）A “若 p，则 q”的否命题是“若p，则q”B “pq 是真命题 ”是“p q 是真命题”的充分不必要条件C “x 2，x 22x0”的否定是“x2，x 22x0”D “若 b=0，则 f（x）=ax 2+bx+c 是偶函数”的逆命题是真命题【解答】解：对于 A， “若 p，则 q”的否命题是“若p，则q”，故 A 正确；对于 B，若 pq 是真命题，则 P、q 均为真命题，则 pq 是真命题；反之，pq 是真命题，p 与 q 不一定都是真命题，则
11、 pq 不一定是真命题，“pq 是真命题” 是“pq 是真命题”的充分不必要条件，故 B 正确；对于 C， “x2，x 22x0”的否定是“x2，x 22x0”，故 C 错误；对于 D，命题 “若 b=0，则 f（x）=ax 2+bx+c 是偶函数 ”的否命题为：“若 b0，则f（x）=ax 2+bx+c 不是偶函数”，是真命题，则“若 b=0，则 f（x）=ax 2+bx+c 是偶函数”的逆命题是真命题，故 D 正确故选：C6 （5 分）设 a0，b0，若 是 3a 与 32b 的等比中项，则 的最小值为（ ）A5 B6 C7 D8【解答】解：a0，b0， 是 3a 与 32b 的等比中项，
12、3 a32b= =3a +2b=1则 =（a +2b） =4+ + 4+2 =8，当且仅当 a=2b= 时取等号故选：D7 （5 分）已知 F1，F 2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点，P 是以 F1F 为直径的圆与该椭圆的一个交点，且PF 1F2=2PF 2F1，则这个椭圆的离心率是（ ）A 1 B2 C D【解答】解：P 是以 F1F2 为直径的圆与该椭圆的一个交点，PF 1F2 为直角三角形，且P=90 ，PF 1F2=2 PF2F1，PF 1F2=60，F 1F2=2c，PF 1=c，PF 2= c，由椭圆的定义知，PF 1+PF2=c+ c=2a，即 = = 1离心率为 1故选：
13、A8 （5 分）设 Sn 为等比数列a n的前 n 项和，a 28a5=0，则 =（ ）A B C2 D17【解答】解：根据题意，等比数列a n中 a28a5=0，即 a2=8a5，则有 a1q=8a1q4，即有 q3= ，解可得 q= ，则 = = =1+q4=1+（ ） 4= ；故选：A9 （5 分）等差数列a n中， Sn 是其前 n 项和， ，则 S11=（ ）A 11 B11 C10 D 10【解答】解： ，得 ，由 ，得 ，d=2，S 11=11，故选 A10 （5 分）设 F1，F 2 分别是双曲线 的左右焦点，点M（a，b） 若MF 1F2=30，则双曲线 C 的离心率为（ ）
14、A B C2 D【解答】解：由题意可得 F1（c，0） ，M（a，b ） ，直线 MF1 的斜率为 tan30= ，即有 = ，即 a+c= b，平方可得（a+c） 2=3b2=3（c 2a2）=3 （c+a） （ca） ，化简可得 a+c=3（c a） ，即为 c=2a，可得 e= =2故选：C11 （5 分）设a n为等差数列，若 ，且它的前 n 项和 Sn 有最小值，那么当 Sn 取得最小正值时的 n 值为（ ）A18 B19 C20 D21【解答】解：S n 有最小值， d 0，故可得 a10a 11，又 ：S20=10（a 1+a20）=10（a 10+a11）0 ，S19=19a1
15、00S 20 为最小正值故选 C12 （5 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x）的导函数为 f（x） ，当 x0 时，f（x）满足，2f （x ）+xf （x）xf（x） ，则 f（x ）在 R 上的零点个数为（ ）A5 B3 C1 或 3 D1【解答】解：构造函数 F（x ）= （x 0） ，所以 F（x）= = 2f（x）+xf（x ） xf（x），因为 2f（x ）+xf （x ）xf（x ） ，x0，所以 F（x ）0，所以函数 F（x）在 x0 时是增函数，又 F（0）=0 所以当 x 0，F（x）F（0）=0 成立，因为对任意 x0， 0，所以 f（x）0，由于 f（ x）是奇
16、函数，所以 x0 时 f（x ）0，即 f（x）=0 只有一个根就是 0故选：D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）函数 的递增区间为 【解答】解：函数 ，f（x ）=2x 2+3x1，令 f（x）0，即2x 2+3x10，解得： x1，故函数在 递增，故答案为： 14 （5 分）在数列a n中， a2= ，a 3= ，且数列 nan+1是等比数列，则 an= 【解答】解：数列a n中，a 2= ，a 3= ，且数列na n+1是等比数列，2a2+1=3+1=4，3a 3+1=7+1=8，数列na n+1是首项为 2，公比为 2 的等比数列， ，解得
17、an= 故答案为： 15 （5 分）已知函数 ，若函数 f（x ）在区间2，4上是单调增函数，则实数 a 的取值范围是 e 2，+） 【解答】解函数 f（x）在区间 2，4上是单调递增函数，f（x）0 在区间2，4上恒成立，即（x1）e x+a0 在区间 2，4 上恒成立，记 g（ x）= （x1）e x+a，则 g（x ） min0，g（x ）=xe x， x 2，4，g（x）0，故 g（ x）在2，4递增，故 g（ x） min=g（2）=e 2+a0，解得：ae 2，故实数 a 的范围是：ae 2故答案为：e 2，+） 16 （5 分）抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，已知点 A
18、，B 为抛物线上的两个动点，且满足AFB=120过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则 的最大值为 【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b ，连接 AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=| AQ|，|BF|=|BP|，在梯形 ABPQ 中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b由余弦定理得，|AB|2=a2+b22abcos120=a2+b2+ab，配方得，|AB| 2=（a+b） 2ab，又ab（ ） 2，（a +b） 2ab（a +b） 2 （a+b ） 2= （a+b） 2得到|AB| （a+b） = ，即 的最大值为 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 小
19、题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （10 分）若数列a n满足 （1）求证：数列a n1是等比数列，并求数列a n的通项公式；（2）设 bn=log2（1a n） ，若数列 的前 n 项和为 Tn，求证：Tn 1【解答】证明：（1）a n=2an11a n1=2（a n11） ，又a 1=1，a 11=2数列a n1是首项为2，公比为 2 的等比数列 ， （2）由（1）知： ， ，所以 18 （12 分）已知函数 f（ x）=ax 2（a+1）x+1（a0） （1）若 f（x）2 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围；（2）解关于 x 的不等式 f（x）0【
20、解答】解：（1）f（x ）2 在 R 上恒成立，即 ax2（a+1）x10 在 R 上恒成立，所以 ；（2）f（x ）0ax 2（a+1）x +10 （ax 1） （x 1）0（*）当 0a1 时， （*）式等价于 ；当 a=1 时， （*）式等价于（x1） 20x；当 a1 时， （*）式等价于 ；当 a0 时， （*）式等价于 或 x1综上，当 0a1 时，f （x ）0 的解集为 ；当 a=1 时，f （x）0 的解集为；当 a1 时，f （x ）0 的解集为 ；当 a0 时，f （x ）0 的解集为 19 （12 分）已知过点 A（ 4，0）的动直线 l 与抛物线 G：x 2=2py（
21、p0）相交于 B、C 两点，当直线的斜率是 时， （1）求抛物线 G 的方程；（2）设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b，求 b 的取值范围【解答】解：（1）设 B（ x1，y 1） ，C（x 2，y 2） ，当直线 l 的斜率是 时，l 的方程为 ，即 x=2y4，由 得 2y2（8+p）y +8=0， ，又 ，y 2=4y1，由这三个表达式及 p0 得 y1=1，y 2=4，p=2 ，则抛物线的方程为 x2=4y（5 分）（2）设 l：y=k（x +4） ，BC 的中点坐标为（x 0，y 0）由 得 x24kx16k=0 ，线段的中垂线方程为 ，线段 BC 的中垂线在 y 轴上的
22、截距为：b=2k 2+4k+2=2（k +1） 2，由=16k 2+64k0 得 k0 或 k 4，b （ 2，+）（7 分）20 （12 分）已知数列a n，b n，S n 为数列a n的前 n 项和，a2=4b1，S n=2an2， （1）求数列a n的通项公式；（2）证明 为等差数列（3）若数列c n的通项公式为 ，令 pn=c2n1+c2nT n 为pn的前 n 项的和，求 Tn【解答】解：（1）当 n1 时， an=2an1当 n=1 时，S 1=2a12a1=2，综上，a n是公比为 2，首项为 2 的等比数列，则： （2）证明：a 2=4b1，b 1=1， ，综上， 是公差为 1
23、，首项为 1 的等差数列（3）由（2）知：p n=c2n1+c2n= ， ，两式相减得： ， 21 （12 分）已知椭圆 的左顶点为 A，右焦点为 F，过点 F 的直线交椭圆于 B，C 两点（）求该椭圆的离心率；（）设直线 AB 和 AC 分别与直线 x=4 交于点 M， N，问：x 轴上是否存在定点P 使得 MP NP？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（）由椭圆方程可得，a=2，b= ，从而椭圆的半焦距 椭圆的离心率为 ；（）解：依题意，直线 BC 的斜率不为 0，设其方程为 x=ty+1将其代入 ，整理得（4+3t 2）y 2+6ty9=0设 B（x 1，y 1）
24、 ，C（x 2，y 2） ， ， 直线 AB 的方程是 ，从而可得 M（4， ） ，同理可得 假设 x 轴上存在定点 P（p ，0）使得 MPNP ，则有 将 x1=ty1+1，x 2=ty2+1 代入上式，整理得 ，即（p4） 29=0，解得 p=1，或 p=7x 轴上存在定点 P（1 ，0）或 P（7，0） ，使得 MPNP 成立22 （12 分）已知函数 f（ x）=blnx，g（x）=ax 2x（ aR）（1）若曲线 f（x）与 g（ x）在公共点 A（1，0）处有相同的切线，求实数a， b 的值；（2）若 a0，b=1，且曲线 f（x）与 g（x）总存在公共的切线，求正数 a 的最小
25、值【解答】解：（1）函数 f（x ）=blnx，g （x ）=ax 2x（a R） ，f（x）= ，g （x ）=2ax1；曲线 f（ x）与 g（x）在公共点 A（1，0）处有相同的切线，依据题意：（2）当 a0，b=1 时，f（x）=lnx， 在点（t，lnt）处的切线方程为： ，即由 得： f（ x） ，g（x）总存在公切线， 的 ，即关于 t 的方程 总有解左边0，a0，1lnt00 te ，于是，式令 ，则当 t（0 ，1）时， h（t ）0；当 t（1，e ）时，h（t ）0，h（t）在（0，1）递减， （1，e）递增h（t） min=h（1 ）=4 ，要使有解，须 4a4，即 a1，故 amin=1
