1、2017-2018 学年辽宁省大连五校高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设命题 p：x0，x lnx0，则p 为（ ）A x0，xlnx0 Bx0，xlnx0C x00，x 0lnx00 Dx 00，x 0lnx002 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 2a1+a13=9，则 S9=（ ）A 27 B27 C54 D543 （5 分）若 a，bR，则 “ ”是“ 0”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件
2、4 （5 分）已知双曲线 =1（a0，b0）的一条渐近线方程为 x2y=0，则该双曲线的离心率是（ ）A B C D5 （5 分）直三棱锥 ABCA1B1C1 中，BCA=90，M ，N 分别是 A1B1，A 1C1 的中点，BC=CA=CC 1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为（ ）A B C D6 （5 分）已知等比数列a n中，a 2=2，则其前三项和 S3 的取值范围是（ ）A （ ，2 B （，0）（1，+） C6 ，+） D （，26，+）7 （5 分）已知变量 x，y 满足约束条件 ，若目标函数 z=x+2y 的最小值为 2，则 m=（ ）A2 B1 C D 28 （5 分）
3、60的二面角的棱上有 A，B 两点，直线 AC，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB，已知 AB=4，AC=6，BD=8，则 CD 的长为（ ）A B C D9 （5 分）已知不等式 xyax 2+2y2 对任意 x1， 2，y 4，5恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A 1，+） B6，+） C 28，+） D45，+）10 （5 分）设椭圆 与函数 y=x3 的图象相交于 A，B 两点，点 P 为椭圆 C 上异于 A，B 的动点，若直线 PA 的斜率取值范围是3，1，则直线 PB的斜率取值范围是（ ）A 6，2 B2，6 C D11 （5 分）设数列a n的前 n 项和
4、 Sn，若 + + + =4n4，且an0，则 S100 等于（ ）A5048 B5050 C10098 D1010012 （5 分）已知双曲线 ： =1（a0，b 0）的上焦点 F（0，c ） （c0） ，M 是双曲线下支上的一点，线段 MF 与圆 x2+y2 y+ =0 相切于点 D，且|MF|=3|DF|，则双曲线 的渐近线方程为（ ）A4xy=0 Bx4y=0 C2xy=0 Dx2y=0二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知命题 p：x 2+2x30，命题 q：x a ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是 14 （5 分）
5、已知正项等比数列a n的公比为 2，若 ，则 的最小值等于 15 （5 分）已知 M 是抛物线 x2=4y 上一点，F 为其焦点，点 A 在圆 C：（x+1）2+（y6） 2=1 上，则|MA |+|MF|的最小值是 16 （5 分）如图，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中， ，已知 G 与 E 分别是棱 A1B1 和 CC1 的中点，D 与 F 分别是线段 AC 与 AB 上的动点（不包括端点） 若 GDEF，则线段 DF 的长度的取值范围是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （10 分）已知数列a n是等比数列，首项 a1=1，公
6、比 q0，其前 n 项和为Sn，且 S1+a1， S3+a3，S 2+a2 成等差数列（1）求数列a n的通项公式；（2）若数列b n满足 ，求数列b n的前 n 项和 Tn18 （12 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=BC=1，AA 1=2，E 为 BB1 中点（1）证明：ACD 1E；（2）求 DE 与平面 AD1E 所成角的正弦值19 （12 分）已知数列a n满足 ，（1）求证：数列 是等比数列；（2）若数列b n是单调递增数列，求实数 的取值范围20 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧面 PAD 为正三角形，且平面 PAD平面 AB
7、CD，E 为 PD 中点，AD=2（）求证：平面 AEC 平面 PCD（）若二面角 APCE 的平面角大小 满足 cos= ，求四棱锥 PABCD 的体积21 （12 分）已知过抛物线 E：y 2=2px（p0）的焦点 F，斜率为 的直线交抛物线于 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） （x 1x 2）两点，且|AB|=6（1）求该抛物线 E 的方程；（2）过点 F 任意作互相垂直的两条直线 l1，l 2，分别交曲线 E 于点 C，D 和M，N设线段 CD，MN 的中点分别为 P，Q ，求证：直线 PQ 恒过一个定点22 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 C：（x
8、+1） 2+y2=16，点A（1 ，0 ） ，点 B（a，0 ） （ |a|3） ，以 B 为圆心， |BA|的半径作圆，交圆 C 于点 P，且的 PBA 的平分线次线段 CP 于点 Q（I）当 a 变化时，点 Q 始终在某圆锥曲线 是运动，求曲线 的方程；（II）已知直线 l 过点 C，且与曲线 交于 M、N 两点，记OCM 面积为 S1，OCN 面积为 S2，求 的取值范围参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设命题 p：x0，x lnx0，则p 为（ ）A x0，xlnx0 B
9、x0，xlnx0C x00，x 0lnx00 Dx 00，x 0lnx00【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“x0，xlnx0”的否定是x 0，xlnx 0故选：D2 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 2a1+a13=9，则 S9=（ ）A 27 B27 C54 D54【解答】解：等差数列a n的前 n 项和为 Sn，2a 1+a13=9，3a 1+12d=9，a 1+4d=3，S 9= =9（a 1+4d）=27故选：A3 （5 分）若 a，bR，则 “ ”是“ 0”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解答】
10、解：a，bR，a 2+ab+b2= + b20 ，当且仅当 a=b=0 时取等号 0（ab）ab0， “ ”“ ”是“ 0”的充要条件故选：C4 （5 分）已知双曲线 =1（a0，b0）的一条渐近线方程为 x2y=0，则该双曲线的离心率是（ ）A B C D【解答】解：双曲线 =1（a0，b0）的一条渐近线方程为 x2y=0，a=2b，c= b，双曲线的离心率是 e= = 故选：D5 （5 分）直三棱锥 ABCA1B1C1 中，BCA=90，M ，N 分别是 A1B1，A 1C1 的中点，BC=CA=CC 1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为（ ）A B C D【解答】解：根据已知条件，分
11、别以 C1A1，C 1B1，C 1C 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设 CA=2，则：A（2 ，0 ，2） ，N （1，0，0） ，B（0，2，2） ，A 1（2，0，0） ，B 1（0，2，0） ，M（1，1，0） ； ； ；BM 与 AN 所成角的余弦值为 故选：D6 （5 分）已知等比数列a n中，a 2=2，则其前三项和 S3 的取值范围是（ ）A （ ，2 B （，0）（1，+） C6 ，+） D （，26，+）【解答】解：等比数列a n中，a 2=2，其前三项和 S3= ，当 q0 时，S 3= 2+2 =6；当 q0 时，S 3= 2 2 =24=2其前
12、三项和 S3 的取值范围是（， 26，+） 故选：D7 （5 分）已知变量 x，y 满足约束条件 ，若目标函数 z=x+2y 的最小值为 2，则 m=（ ）A2 B1 C D 2【解答】解：由变量 x， y 满足约束条件 ，作出可行域如图，化目标函数 z=x+2y 为 y= + ，由图可知，当直线 y= + 过 A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为 2由 ，解得 A（m，m） ，A 代入 z=x+2y，可得 m+2m=2，解得 m= 故选：C8 （5 分）60的二面角的棱上有 A，B 两点，直线 AC，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB，已知 AB=4，AC=6
13、，BD=8，则 CD 的长为（ ）A B C D【解答】解：60 的二面角的棱上有 A，B 两点，直线 AC，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB， = ，AB=4，AC=6，BD=8， 2=（ ） 2= +2=36+16+64+268cos120=68CD 的长为| |=2 故选：B9 （5 分）已知不等式 xyax 2+2y2 对任意 x1， 2，y 4，5恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A 1，+） B6，+） C 28，+） D45，+）【解答】解：由题意可知：不等式 xyax 2+2y2 对于 x1，2，y 4，5恒成立，即：a 2（ ） 2，对于 x1，2，y
14、 4，5恒成立，令 t= ，则 2t5，a t 2t2 在 2，5上恒成立，y= 2t2+t 的对称轴为 t= ，且开口向下，y= 2t2+t 在2，5单调递减，y max=222+2=6，a 6，故选 B10 （5 分）设椭圆 与函数 y=x3 的图象相交于 A，B 两点，点 P 为椭圆 C 上异于 A，B 的动点，若直线 PA 的斜率取值范围是3，1，则直线 PB的斜率取值范围是（ ）A 6，2 B2，6 C D【解答】解：椭圆 C： 与函数 y=x3 的图象相交于 A，B 两点，A，B 两点关于原点对称，设 A（x 1，y 1） ， （ x1，y 1） ，则 ，即 设 P（ x0，y 0
15、） ，则 ，可得： 直线 PA 的斜率 k1 的取值范围3， 1，3 1，得 ，直线 PB 的斜率取值范围是 故选：D11 （5 分）设数列a n的前 n 项和 Sn，若 + + + =4n4，且an0，则 S100 等于（ ）A5048 B5050 C10098 D10100【解答】解：当 n=1 时， =0，则 a1=0当 n2 时， + + + + =4n4，+ + + =4n8，+ + + + =4n，由得到： =4，a n0，a n=2n，由得到： =4，a n+1=2n+2，a n+1an=2，数列a n是等差数列，公差是 2，综上所述，a n= ，S 100=S1+S2+S3+S
16、100=0+ （100 1）=10098故选：C12 （5 分）已知双曲线 ： =1（a0，b 0）的上焦点 F（0，c ） （c0） ，M 是双曲线下支上的一点，线段 MF 与圆 x2+y2 y+ =0 相切于点 D，且|MF|=3|DF|，则双曲线 的渐近线方程为（ ）A4xy=0 Bx4y=0 C2xy=0 Dx2y=0【解答】解：由 x2+y2 y+ =0，得 x2+（y ） 2= ，则该圆的圆心坐标为（0， ） ，半径为 设切点 D（x 0，y 0） （y 0 0） ，则由 x2+y2 y+ =0 与（x 0，y 0c）（x 0，y 0 ）=0，解得：x 0= ，y 0= D（ ，
17、） ，由|MF|=3|DF|，得 =3 ，得 M（ ， ） ，代入 双曲线 ： =1（a0，b 0）整理得 b=2a，双曲线 的渐近线方程为 y= x故选：D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知命题 p：x 2+2x30，命题 q：x a ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是 1，+） 【解答】解：由 x2+2x30 得 x1 或 x 3，若p 是q 的充分不必要条件，则 q 是 p 的充分不必要条件，q：xa，a 1 ，即实数 a 的取值范围是1，+） ，故答案为：1，+） 14 （5 分）已知正项等比数列a n的公比为 2，
18、若 ，则 的最小值等于 【解答】解：正项等比数列a n的公比为 2，若 ，可得（a 12m1） （a 12n1）=4 （2a 1） 2，即有 m1+n1=4，则 m+n=6，可得 = （m +n） （ ）= （2+ + + ） （ +2 ）= = 当且仅当 m=2n=4，都不是取得等号，则 的最小值为 故答案为： 15 （5 分）已知 M 是抛物线 x2=4y 上一点，F 为其焦点，点 A 在圆 C：（x+1）2+（y6） 2=1 上，则|MA |+|MF|的最小值是 6 【解答】解：抛物线 x2=4y 的焦点 F（0，1） ，准线方程为 y=1，如图所示：利用抛物线的定义知：|MP|=|MF
19、|，当 A，M ，P 三点共线时， |MA|+|MF|的值最小即 CMx 轴，此时|MA|+|MF |=|AP|=|CP|1=71=6，故答案为：616 （5 分）如图，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中， ，已知 G 与 E 分别是棱 A1B1 和 CC1 的中点，D 与 F 分别是线段 AC 与 AB 上的动点（不包括端点） 若 GDEF，则线段 DF 的长度的取值范围是 【解答】解：以 A 为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，AA 1 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A（0，0 ， 0） ，E （0，1， ） ，G （ ，0，1） ， F（x ，0，0） ，D（0，
20、y ，0） ，=（ ，y， 1） ， =（x ， 1， ） ，GDEF， = =0，即 x+2y1=0DF= = = ，0x1，0y1，0y ，当 y= 时，线段 DF 长度的最小值 = ，当 y=0 时，线段 DF 长度的最大值是 1，而不包括端点，故 y=0 不能取 1线段 DF 的长度的取值范围是 ，1） 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （10 分）已知数列a n是等比数列，首项 a1=1，公比 q0，其前 n 项和为Sn，且 S1+a1， S3+a3，S 2+a2 成等差数列（1）求数列a n的通项公式；（2）若
21、数列b n满足 ，求数列b n的前 n 项和 Tn【解答】解：（1）因为 S1+a1，S 3+a3，S 2+a2 成等差数列，所以 2（S 3+a3）=（S 1+a1） +（S 2+a2） ，所以（S 3S1）+（S 3S2）+2a 3=a1+a2，所以 4a3=a1，因为数列a n是等比数列，所以 ，又 q0，所以 ，所以数列a n的通项公式 （2）由（1）知 ， ，所以 ，=20+21+22+2n1n2n，= 故 18 （12 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=BC=1，AA 1=2，E 为 BB1 中点（1）证明：ACD 1E；（2）求 DE 与平面 AD1E 所成角的正
22、弦值【解答】 （1）证明：连接 BD，ABCDA 1B1C1D1 是长方体，D 1D平面 ABCD，又 AC平面 ABCD，D 1DAC，在长方形 ABCD 中，AB=BC，BDAC，又 BDD 1D=D，AC平面 BB1D1D，而 D1E平面 BB1D1D，AC D 1E；（2）如图，以 D 为坐标原点，以 DA，DC ， DD1 所在的直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则 A（1，0 ， 0） ，D 1（0，0，2） ，E（1，1，1） ，B（1，1，0） ，设平面 AD1E 的法向量为 ，则 ，令 z=1，则 ， ，所以 DE 与平面 AD1E 所成角的正弦值为 19 （12 分
23、）已知数列a n满足 ，（1）求证：数列 是等比数列；（2）若数列b n是单调递增数列，求实数 的取值范围【解答】解：（1）因为数列a n满足 ，所以 ，即 ，又 a1=1，所以 ，所以数列 是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列（2）由（1）可得 ，所以，因为 b1= 符合，所以 因为数列b n是单调递增数列，所以 bn+1b n，即（ n）2 n（n1）2 n1，化为 n+1，所以 220 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧面 PAD 为正三角形，且平面 PAD平面 ABCD，E 为 PD 中点，AD=2（）求证：平面 AEC 平面 PCD（）若二面角
24、APCE 的平面角大小 满足 cos= ，求四棱锥 PABCD 的体积【解答】 （）证明：取 AD 中点为 O，BC 中点为 F，由侧面 PAD 为正三角形，且平面 PAD平面 ABCD，得 PO平面 ABCD，故FOPO，又 FOAD，则 FO平面 PAD，FOAE ，又 CDFO ，则 CDAE ，又 E 是 PD 中点，则 AEPD，由线面垂直的判定定理知 AE平面 PCD，又 AE平面 AEC，故平面 AEC平面 PCD；（）解：如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz，令 AB=a，则 P（0，0， ） ，A （1 ，0，0） ，C （1，a ，0） 由（）知 =（ ）为平面 PCE
25、的法向量，令 =（ 1，y ，z ）为平面 PAC 的法向量，由于 =（1 ，0， ） ， =（2，a，0）均与 垂直， ，解得 ，则 ，由 cos =| |= ，解得 a= 故四棱锥 PABCD 的体积 V= SABCDPO= 2 =221 （12 分）已知过抛物线 E：y 2=2px（p0）的焦点 F，斜率为 的直线交抛物线于 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） （x 1x 2）两点，且|AB|=6（1）求该抛物线 E 的方程；（2）过点 F 任意作互相垂直的两条直线 l1，l 2，分别交曲线 E 于点 C，D 和M，N设线段 CD，MN 的中点分别为 P，Q ，求证：直线 PQ
26、 恒过一个定点【解答】解：（1）抛物线的焦点 ，直线 AB 的方程为：联立方程组 ，消元得： ， ，解得 p=2p0，抛物线 E 的方程为：y 2=4x（2）证明：设 C，D 两点坐标分别为（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，则点 P 的坐标为由题意可设直线 l1 的方程为 y=k（x1） （k0） 由 ，得 k2x2（2k 2+4）x+k 2=0= （2k 2+4）4k 4=16k2+160因为直线 l1 与曲线 E 于 C，D 两点，所以所以点 P 的坐标为 由题知，直线 l2 的斜率为 ，同理可得点 Q 的坐标为（1+2k 2，2k） 当 k1 时，有 ，此时直线 PQ 的斜率
27、 所以，直线 PQ 的方程为 ，整理得 yk2+（x3）k y=0于是，直线 PQ 恒过定点（ 3，0） ；当 k=1 时，直线 PQ 的方程为 x=3，也过点（3，0） 综上所述，直线 PQ 恒过定点（ 3，0） 22 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 C：（x+1） 2+y2=16，点A（1 ，0 ） ，点 B（a，0 ） （ |a|3） ，以 B 为圆心， |BA|的半径作圆，交圆 C 于点 P，且的 PBA 的平分线次线段 CP 于点 Q（I）当 a 变化时，点 Q 始终在某圆锥曲线 是运动，求曲线 的方程；（II）已知直线 l 过点 C，且与曲线 交于 M、N 两点，记OCM 面积为 S1，OCN 面积为 S2，求 的取值范围【解答】解：（I）如图， BA=BP ，BQ=BQ ，PBQ=ABQ，QABQPB，QA=QP，CP=CQ+QP=QC +QA，QC+QA=4，由椭圆的定义可知，Q 点的轨迹是以 C，A 为焦点， 2a=4 的椭圆，故点 Q 的轨迹方程为（II）由题可知，设直线 l：x=my 1，不妨设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ， ，（3m 2+4）y 26my9=0，=144m 2+1440， ， ，即 （ ，0， （3， ） ， = （ ，3）
