1、2017-2018 学年黑龙江省大庆高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每小题只有一个选项符合题目要求）1 （5 分）某学校有男、女学生各 500 名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）A抽签法 B随机数法 C系统抽样法 D分层抽样法2 （5 分）把 38 化为二进制数为（ ）A100110 （2） B101010 （2 ） C110010 （2 ） D110100 （2）3 （5 分）若直线 l 的一个方向向量 ，平面 的一个法向量为，则（ ）
2、Al Bl Cl DA 、C 都有可能4 （5 分）已知空间向量 =（1，n，2） ， =（2 ，1，2 ） ，若 2 与 垂直，则| |等于（ ）A B C D5 （5 分）已知 p：mR，x 2mx1=0 有解，q：x 0N， ；则下列选项中是假命题的为（ ）Ap q Bp（q） Cp q Dp （q ）6 （5 分）对具有线性相关关系的两个变量 x 和 y，测得一组数据如下表所示：x 2 4 5 6 8y 20 40 60 70 m根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为 y=10.5x+1.5，则 m=（ ）A85.5 B80 C85 D907 （5 分）如图所示的茎叶图记录了
3、甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据（单位：件） 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值分别为（ ）A3 ，5 B5，5 C3，7 D5，78 （5 分）执行如图的程序框图，则输出的结果是（ ）A 1 B C2 D19 （5 分）若在区间0，2中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于 的概率是（ ）A B C D10 （5 分）设命题 p：x 2（2a+1）x +a2+a0，命题 q：lg （2x 1）1，若 p 是q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是（ ）A B C D11 （5 分）已知 F1，F 2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点，P 是以 F1
4、F 为直径的圆与该椭圆的一个交点，且PF 1F2=2PF 2F1，则这个椭圆的离心率是（ ）A 1 B2 C D12 （5 分）设抛物线 y2=2x 的焦点为 F，过点 M（ ，0）的直线与抛物线相交于 A、B 两点，与抛物线的准线相交于点 C，|BF|=2，则BCF 与ACF 的面积之比 =（ ）A B C D二、填空题（本题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）若双曲线 的焦距为 8，点 在其渐近线上，则C 的方程为 14 （5 分）如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是CC1，AD 的中点，那么异面直线 D1E 和 A1F
5、所成角的余弦值等于 15 （5 分）从双曲线 =1 的左焦点 F1 引圆 x2+y2=16 的切线，切点为 T，延长 F1T 交双曲线右支于 P 点，设 M 为线段 F1P 的中点， O 为原点坐标，则|MO|MT|= 16 （5 分）下列说法正确的有 函数 f（x ）=4cos（2x+ ）的一个对称中心为（ ，0） ；在ABC 中，AB=1，AC=3，D 是 BC 的中点，则 =4；在ABC 中，A B 是 cos2Acos2B 的充要条件；定义 mina，b= ，已知 f（x ）=minsinx，cosx，则 f（x ）的最大值为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字
6、说明、证明过程或演算步骤 ）17 （10 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1=1，且 an+1=2Sn+1+1，n N*（1）求数列a n的通项公式；（2）令 cn=log3a2n，b n= ，记数列b n的前 n 项和为 Tn，求 Tn18 （12 分） “酒后驾车” 和“ 醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量 Q（简称血酒含量，单位是毫克/100 毫升） ，当 20Q80 时，为酒后驾车；当 Q 80 时，为醉酒驾车某市交通管理部门于某天晚上 8 点至 11 点设点进行一次拦查行动，共依法查出 60 名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这 60 名驾驶员抽血检测后所得
7、结果画出的频率分布直方图（其中 Q140 的人数计入120Q140 人数之内） （1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；（2）从违法驾车的 60 人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取 8 人做样本进行研究，再从抽取的 8 人中任取 2 人，求两人中恰有 1 人醉酒驾车的概率19 （12 分）ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别是 a，b ，c ，已知（1）求B 的大小；（2）若 ，且 ，求ABC 面积的最大值20 （12 分）如图，AB 为圆 O 的直径，点 E、F 在圆 O 上，且 ABEF ，矩形ABCD 所在平面和圆 O 所在平面互相垂直，且 AB=2，AD=EF=1 （1）设 FC
8、 的中点为 M，求证：OM平面 DAF；（2）求四棱锥 FABCD 的体积21 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD底面 ABCD，侧棱 PA=PD=，PA PD，底面 ABCD 为直角梯形，其中 BCAD，ABAD，AB=BC=1，O为 AD 中点（1）求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值（2）求 B 点到平面 PCD 的距离（3）线段 PD 上是否存在一点 Q，使得二面角 QACD 的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由22 （12 分）如图，已知椭圆 C： =1（a b0）的离心率为 ，以椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T：（x+2） 2+
9、y2=r2（r0） ，设圆 T 与椭圆 C 交于点M 与点 N（1）求椭圆 C 的方程；（2）求 的最小值，并求此时圆 T 的方程；（3）设点 P 是椭圆 C 上异于 M，N 的任意一点，且直线 MP，NP 分别与 x 轴交于点 R，S，O 为坐标原点，求证：|OR| |OS|为定值2017-2018 学年大庆高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每小题只有一个选项符合题目要求）1 （5 分）某学校有男、女学生各 500 名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调
10、查，则宜采用的抽样方法是（ ）A抽签法 B随机数法 C系统抽样法 D分层抽样法【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为 500：500=1：1，所抽取的比例也是 1：1故拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法故选：D2 （5 分）把 38 化为二进制数为（ ）A100110 （2） B101010 （2 ） C110010 （2 ） D110100 （2）【解答】解：382=190192=9192=4142=2022=1012=01故 38（10 ） =100110（2）故选：A3 （5 分）若直线 l 的一个方向向量 ，平面 的一个法向量为，则（ ）Al
11、Bl Cl DA 、C 都有可能【解答】解：直线 l 的一个方向向量 ，平面 的一个法向量为 ，则 =2 ，l 故选：B4 （5 分）已知空间向量 =（1，n，2） ， =（2 ，1，2 ） ，若 2 与 垂直，则| |等于（ ）A B C D【解答】解： =（1，n，2） ， =（2，1，2） ，2 =（4，2n1，2） ，2 与 垂直，（2 ） =0，8 +2n1+4=0，解得，n= ， =（ 1， ，2）| |= = 故选：B5 （5 分）已知 p：mR，x 2mx1=0 有解，q：x 0N， ；则下列选项中是假命题的为（ ）Ap q Bp（q） Cp q Dp （q ）【解答】解：对于
12、 m 命题 p：方程 x2mx1=0，则=m 2+40，因此：mR， x2mx1=0 有解，可得：命题 p 是真命题对于命题 q：由 x2x10，解得 x ，因此存在 x=0，1 N，使得x2x10 成立，因此是真命题下列选项中是假命题的为 p（q ） ，故选：B6 （5 分）对具有线性相关关系的两个变量 x 和 y，测得一组数据如下表所示：x 2 4 5 6 8y 20 40 60 70 m根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为 y=10.5x+1.5，则 m=（ ）A85.5 B80 C85 D90【解答】解： =5，回归直线方程为 y=10.5x+1.5， =54，554=20
13、+40+60 +70+m，m=80 ，故选：B7 （5 分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据（单位：件） 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值分别为（ ）A3 ，5 B5，5 C3，7 D5，7【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为 65，故乙组数据的中位数也为 65，即 y=5，则乙组数据的平均数为：66，故 x=3，故选：A8 （5 分）执行如图的程序框图，则输出的结果是（ ）A 1 B C2 D1【解答】解：模拟程序的运行，可得a=2，i=1执行循环体，可得 a=1，i=2不满足条件 i6，执行循环体，a= ，i=3不满足条件 i6，
14、执行循环体，a=2，i=4不满足条件 i6，执行循环体，a=1，i=5不满足条件 i6，执行循环体，a= ，i=6满足条件 i6，退出循环，输出 a 的值为 故选：B9 （5 分）若在区间0，2中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于 的概率是（ ）A B C D【解答】解：在区间0，2中随机地取一个数，这两个数中较小的数大于的概率为 = ，故选：C10 （5 分）设命题 p：x 2（2a+1）x +a2+a0，命题 q：lg （2x 1）1，若 p 是q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是（ ）A B C D【解答】解：由 x2（2a+ 1）x+a（a+1）0，得x（a+1）（xa
15、）0，即 ax a+1，即 p：axa+1，由 lg（2x1）1，得 0 2x110，解得： x ，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 ，解得： a ，故选：A11 （5 分）已知 F1，F 2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点，P 是以 F1F 为直径的圆与该椭圆的一个交点，且PF 1F2=2PF 2F1，则这个椭圆的离心率是（ ）A 1 B2 C D【解答】解：P 是以 F1F2 为直径的圆与该椭圆的一个交点，PF 1F2 为直角三角形，且P=90 ，PF 1F2=2 PF2F1，PF 1F2=60，F 1F2=2c，PF 1=c，PF 2= c，由椭圆的定义知，PF 1+PF2=c+
16、 c=2a，即 = = 1离心率为 1故选：A12 （5 分）设抛物线 y2=2x 的焦点为 F，过点 M（ ，0）的直线与抛物线相交于 A、B 两点，与抛物线的准线相交于点 C，|BF|=2，则BCF 与ACF 的面积之比 =（ ）A B C D【解答】解：如图过 B 作准线 l：x= 的垂线，垂足分别为 A1，B 1， = ，又B 1BC A1AC、 = ，由拋物线定义 = = 由|BF|=|BB 1|=2 知 xB= ，y B= ，AB：y0= （x ） 把 x= 代入上式，求得 yA=2，x A=2，|AF|= |AA1|= 故 = = = 故选 A二、填空题（本题包括 4 小题，每小
17、题 5 分，共 20 分）13 （5 分）若双曲线 的焦距为 8，点 在其渐近线上，则C 的方程为 【解答】解：根据题意，双曲线 的焦距为 8，即 2c=8，则 c=4，若点 在其渐近线上，则双曲线的一条渐近线方程为 y= x，又由双曲线的方程为 ，则有 = ，又由 c=4，则 a2+b2=c2=16，解可得 a2=4，b 2=12，则双曲线的方程为：故答案为：14 （5 分）如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是CC1，AD 的中点，那么异面直线 D1E 和 A1F 所成角的余弦值等于 【解答】解：如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为
18、 2则 A1（2，0 ，2） ，F）1 ，0，0） ，D 1（0，0，2） ，E（0，2，1）则 ， ，= = ，异面直线 D1E 和 A1F 所成角的余弦值等于 ，故答案为： 15 （5 分）从双曲线 =1 的左焦点 F1 引圆 x2+y2=16 的切线，切点为 T，延长 F1T 交双曲线右支于 P 点，设 M 为线段 F1P 的中点， O 为原点坐标，则|MO|MT|= 1 【解答】解：设 F是双曲线的右焦点，连接 PFM、 O 分别为 FP、FF的中点，|MO|= |PF|FT|= =5，由双曲线定义得，|PF|PF |=8，故|MO| |MT|= |PF|MF|+|FT|= （|PF|
19、 |PF|） +|FT|=4+5=1故答案为：116 （5 分）下列说法正确的有 函数 f（x ）=4cos（2x+ ）的一个对称中心为（ ，0） ；在ABC 中，AB=1，AC=3，D 是 BC 的中点，则 =4；在ABC 中，A B 是 cos2Acos2B 的充要条件；定义 mina，b= ，已知 f（x ）=minsinx，cosx，则 f（x ）的最大值为 【解答】解：对于， ，函数 f（x ）=4cos（2x+ ）的一个对称中心为（ ，0） ，故正确；对于， = = =4，故正确；对于，在ABC 中，AB 0sinAsinB12sin 2A1 2sin2Bcos2Acos2B，反之
20、也成立，故正确；对于，f（x）=minsinx，cosx= ，则 f（x ）的最大值为 ，故正确故答案为：三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）17 （10 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1=1，且 an+1=2Sn+1+1，n N*（1）求数列a n的通项公式；（2）令 cn=log3a2n，b n= ，记数列b n的前 n 项和为 Tn，求 Tn【解答】解：（1）a n+1=2Sn+1，nN ，n 2 时， an=2Sn1+1，可得 an+1an=2an，即 an+1=3ann=1 时，a 2=2a1+1=3=3a1，满足上式
21、数列a n是等比数列，a n=3n1 （6 分）（2）c=log 3a2n= =2n1bn= = = （ ） ，数列b n的前 n 项和 Tn= + + = （ 1+ ） （12 分）18 （12 分） “酒后驾车” 和“ 醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量 Q（简称血酒含量，单位是毫克/100 毫升） ，当 20Q80 时，为酒后驾车；当 Q 80 时，为醉酒驾车某市交通管理部门于某天晚上 8 点至 11 点设点进行一次拦查行动，共依法查出 60 名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这 60 名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中 Q140 的人数计入120Q140
22、人数之内） （1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；（2）从违法驾车的 60 人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取 8 人做样本进行研究，再从抽取的 8 人中任取 2 人，求两人中恰有 1 人醉酒驾车的概率【解答】解：（1）由已知得， （0.0032+0.0043 +0.0050）20=0.25，0.2560=15，所以此次拦查中醉酒驾车的人数为 15 人（2）利用分层抽样抽取 8 人中含有醉酒驾车者为 2 人，酒后驾车 6 人，从 8 人中抽取 2 人，恰有 1 人为醉酒驾车为事件 A，则基本事件总数为：n= =28事件 A 包含的基本事件数为：m= =12，所以两人中恰有 1 人醉酒驾车的概
23、率 P（A）= 19 （12 分）ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别是 a，b ，c ，已知（1）求B 的大小；（2）若 ，且 ，求ABC 面积的最大值【解答】解：（1）由正弦定理 = ，因为 sinC0，所以 ，又因为 0B ，所以 （2）考虑BMC ，由余弦定理 CM2=BM2+BC22BMBCcosB，即 ， ，当且仅当 BM=BC 时等号成立，所以 20 （12 分）如图，AB 为圆 O 的直径，点 E、F 在圆 O 上，且 ABEF ，矩形ABCD 所在平面和圆 O 所在平面互相垂直，且 AB=2，AD=EF=1 （1）设 FC 的中点为 M，求证：OM平面 DAF；（2）求
24、四棱锥 FABCD 的体积【解答】 （1）证明：设 DF 的中点为 N，则 ，又 ， ，MNAO 为平行四边形 OMAN，又 AN平面 DAF，OM 平面 DAF，OM平面 DAF（2）解：过点 F 作 FGAB 于 G，平面 ABCD平面 ABEF，FG平面 ABCD，FG 即正OEF 的高， ，S BCD =2， 21 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD底面 ABCD，侧棱 PA=PD=，PA PD，底面 ABCD 为直角梯形，其中 BCAD，ABAD，AB=BC=1，O为 AD 中点（1）求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值（2）求 B 点到平面 PCD 的
25、距离（3）线段 PD 上是否存在一点 Q，使得二面角 QACD 的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）在PAD 中 PA=PD，O 为 AD 中点，所以 POAD，又侧面 PAD底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD=AD，PO 平面 PAD，所以 PO平面 ABCD又在直角梯形 ABCD 中，易得 OCAD；所以以 O 为原点，OC 为 x 轴，OD 为 y 轴，OP 为 z 轴建立空间直角坐标系则 P（ 0，0，1） ，A（0，1，0） ，B （1，1，0） ，C（1，0，0） ，D（0，1，0） ；所以 ，易证：OA平面 POC，所以 ，平面 POC
26、 的法向量，所以 PB 与平面 POC 所成角的余弦值为 （4 分）（2） ，设平面 PDC 的法向量为 ，则 ，取 z=1 得B 点到平面 PCD 的距离 （8 分）（3）假设存在，则设 = （01）因为 =（0 ，1，1） ，所以 Q（0，1 ） 设平面 CAQ 的法向量为 =（a，b，c） ，则 ，所以取 =（1，1，+1） ，平面 CAD 的法向量 =（0，0，1） ，因为二面角 QACD 的余弦值为 ，所以 = ，所以 3210+3=0所以 = 或 =3（舍去） ，所以 = （12 分）22 （12 分）如图，已知椭圆 C： =1（a b0）的离心率为 ，以椭圆 C 的左顶点 T 为
27、圆心作圆 T：（x+2） 2+y2=r2（r0） ，设圆 T 与椭圆 C 交于点M 与点 N（1）求椭圆 C 的方程；（2）求 的最小值，并求此时圆 T 的方程；（3）设点 P 是椭圆 C 上异于 M，N 的任意一点，且直线 MP，NP 分别与 x 轴交于点 R，S，O 为坐标原点，求证：|OR| |OS|为定值【解答】解：（1）依题意，得 a=2， ，c= ，b= =1，故椭圆 C 的方程为 （3 分）（2）方法一：点 M 与点 N 关于 x 轴对称，设 M（ x1，y 1） ，N（x 1，y 1） ，不妨设 y10由于点 M 在椭圆 C 上，所以 （ *） （4 分）由已知 T（2，0）
28、，则 ， ，=（ x1+2） 2= （6 分）由于2x 12，故当 时， 取得最小值为 由（* ）式， ，故 ，又点 M 在圆 T 上，代入圆的方程得到 故圆 T 的方程为： （8 分）方法二：点 M 与点 N 关于 x 轴对称，故设 M（2cos，sin ） ，N（2cos，sin ） ，不妨设 sin 0，由已知 T（2，0） ，则=（ 2cos+2） 2sin2=5cos2+8cos+3= （6 分）故当 时， 取得最小值为 ，此时 ，又点 M 在圆 T 上，代入圆的方程得到 故圆 T 的方程为： （8 分）（3）方法一：设 P（x 0， y0） ，则直线 MP 的方程为： ，令 y=0，得 ，同理： ，（10 分）故 （*） （11 分）又点 M 与点 P 在椭圆上，故 ， ，（12 分）代入（*）式，得： 所以|OR|OS|=|x R|xS|=|xRxS|=4 为定值 （14 分）方法二：设 M（2cos，sin） ，N（2cos，sin ） ，不妨设 sin 0，P （2cos，sin） ，其中 sinsin则直线 MP 的方程为： ，令 y=0，得 ，同理： ，（12 分）故 所以|OR|OS|=|x R|xS|=|xRxS|=4 为定值（14 分）
