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2017-2018学年黑龙江省大庆高二(上)期末数学试卷(理科)含答案解析

1、2017-2018 学年黑龙江省大庆高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题(本大包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分每小题只有一个选项符合题目要求)1 (5 分)某学校有男、女学生各 500 名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是( )A抽签法 B随机数法 C系统抽样法 D分层抽样法2 (5 分)把 38 化为二进制数为( )A100110 (2) B101010 (2 ) C110010 (2 ) D110100 (2)3 (5 分)若直线 l 的一个方向向量 ,平面 的一个法向量为,则( )

2、Al Bl Cl DA 、C 都有可能4 (5 分)已知空间向量 =(1,n,2) , =(2 ,1,2 ) ,若 2 与 垂直,则| |等于( )A B C D5 (5 分)已知 p:mR,x 2mx1=0 有解,q:x 0N, ;则下列选项中是假命题的为( )Ap q Bp(q) Cp q Dp (q )6 (5 分)对具有线性相关关系的两个变量 x 和 y,测得一组数据如下表所示:x 2 4 5 6 8y 20 40 60 70 m根据上表,利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为 y=10.5x+1.5,则 m=( )A85.5 B80 C85 D907 (5 分)如图所示的茎叶图记录了

3、甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据(单位:件) 若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则 x 和 y 的值分别为( )A3 ,5 B5,5 C3,7 D5,78 (5 分)执行如图的程序框图,则输出的结果是( )A 1 B C2 D19 (5 分)若在区间0,2中随机地取两个数,则这两个数中较小的数大于 的概率是( )A B C D10 (5 分)设命题 p:x 2(2a+1)x +a2+a0,命题 q:lg (2x 1)1,若 p 是q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是( )A B C D11 (5 分)已知 F1,F 2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 是以 F1

4、F 为直径的圆与该椭圆的一个交点,且PF 1F2=2PF 2F1,则这个椭圆的离心率是( )A 1 B2 C D12 (5 分)设抛物线 y2=2x 的焦点为 F,过点 M( ,0)的直线与抛物线相交于 A、B 两点,与抛物线的准线相交于点 C,|BF|=2,则BCF 与ACF 的面积之比 =( )A B C D二、填空题(本题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13 (5 分)若双曲线 的焦距为 8,点 在其渐近线上,则C 的方程为 14 (5 分)如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是CC1,AD 的中点,那么异面直线 D1E 和 A1F

5、所成角的余弦值等于 15 (5 分)从双曲线 =1 的左焦点 F1 引圆 x2+y2=16 的切线,切点为 T,延长 F1T 交双曲线右支于 P 点,设 M 为线段 F1P 的中点, O 为原点坐标,则|MO|MT|= 16 (5 分)下列说法正确的有 函数 f(x )=4cos(2x+ )的一个对称中心为( ,0) ;在ABC 中,AB=1,AC=3,D 是 BC 的中点,则 =4;在ABC 中,A B 是 cos2Acos2B 的充要条件;定义 mina,b= ,已知 f(x )=minsinx,cosx,则 f(x )的最大值为 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字

6、说明、证明过程或演算步骤 )17 (10 分)已知数列a n的前 n 项和为 Sn,a 1=1,且 an+1=2Sn+1+1,n N*(1)求数列a n的通项公式;(2)令 cn=log3a2n,b n= ,记数列b n的前 n 项和为 Tn,求 Tn18 (12 分) “酒后驾车” 和“ 醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量 Q(简称血酒含量,单位是毫克/100 毫升) ,当 20Q80 时,为酒后驾车;当 Q 80 时,为醉酒驾车某市交通管理部门于某天晚上 8 点至 11 点设点进行一次拦查行动,共依法查出 60 名饮酒后违法驾驶机动车者,如图为这 60 名驾驶员抽血检测后所得

7、结果画出的频率分布直方图(其中 Q140 的人数计入120Q140 人数之内) (1)求此次拦查中醉酒驾车的人数;(2)从违法驾车的 60 人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取 8 人做样本进行研究,再从抽取的 8 人中任取 2 人,求两人中恰有 1 人醉酒驾车的概率19 (12 分)ABC 中,内角 A,B ,C 的对边分别是 a,b ,c ,已知(1)求B 的大小;(2)若 ,且 ,求ABC 面积的最大值20 (12 分)如图,AB 为圆 O 的直径,点 E、F 在圆 O 上,且 ABEF ,矩形ABCD 所在平面和圆 O 所在平面互相垂直,且 AB=2,AD=EF=1 (1)设 FC

8、 的中点为 M,求证:OM平面 DAF;(2)求四棱锥 FABCD 的体积21 (12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,侧面 PAD底面 ABCD,侧棱 PA=PD=,PA PD,底面 ABCD 为直角梯形,其中 BCAD,ABAD,AB=BC=1,O为 AD 中点(1)求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值(2)求 B 点到平面 PCD 的距离(3)线段 PD 上是否存在一点 Q,使得二面角 QACD 的余弦值为 ?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由22 (12 分)如图,已知椭圆 C: =1(a b0)的离心率为 ,以椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T:(x+2) 2+

9、y2=r2(r0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点M 与点 N(1)求椭圆 C 的方程;(2)求 的最小值,并求此时圆 T 的方程;(3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M,N 的任意一点,且直线 MP,NP 分别与 x 轴交于点 R,S,O 为坐标原点,求证:|OR| |OS|为定值2017-2018 学年大庆高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分每小题只有一个选项符合题目要求)1 (5 分)某学校有男、女学生各 500 名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调

10、查,则宜采用的抽样方法是( )A抽签法 B随机数法 C系统抽样法 D分层抽样法【解答】解:总体由男生和女生组成,比例为 500:500=1:1,所抽取的比例也是 1:1故拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是分层抽样法故选:D2 (5 分)把 38 化为二进制数为( )A100110 (2) B101010 (2 ) C110010 (2 ) D110100 (2)【解答】解:382=190192=9192=4142=2022=1012=01故 38(10 ) =100110(2)故选:A3 (5 分)若直线 l 的一个方向向量 ,平面 的一个法向量为,则( )Al

11、Bl Cl DA 、C 都有可能【解答】解:直线 l 的一个方向向量 ,平面 的一个法向量为 ,则 =2 ,l 故选:B4 (5 分)已知空间向量 =(1,n,2) , =(2 ,1,2 ) ,若 2 与 垂直,则| |等于( )A B C D【解答】解: =(1,n,2) , =(2,1,2) ,2 =(4,2n1,2) ,2 与 垂直,(2 ) =0,8 +2n1+4=0,解得,n= , =( 1, ,2)| |= = 故选:B5 (5 分)已知 p:mR,x 2mx1=0 有解,q:x 0N, ;则下列选项中是假命题的为( )Ap q Bp(q) Cp q Dp (q )【解答】解:对于

12、 m 命题 p:方程 x2mx1=0,则=m 2+40,因此:mR, x2mx1=0 有解,可得:命题 p 是真命题对于命题 q:由 x2x10,解得 x ,因此存在 x=0,1 N,使得x2x10 成立,因此是真命题下列选项中是假命题的为 p(q ) ,故选:B6 (5 分)对具有线性相关关系的两个变量 x 和 y,测得一组数据如下表所示:x 2 4 5 6 8y 20 40 60 70 m根据上表,利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为 y=10.5x+1.5,则 m=( )A85.5 B80 C85 D90【解答】解: =5,回归直线方程为 y=10.5x+1.5, =54,554=20

13、+40+60 +70+m,m=80 ,故选:B7 (5 分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据(单位:件) 若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则 x 和 y 的值分别为( )A3 ,5 B5,5 C3,7 D5,7【解答】解:由已知中甲组数据的中位数为 65,故乙组数据的中位数也为 65,即 y=5,则乙组数据的平均数为:66,故 x=3,故选:A8 (5 分)执行如图的程序框图,则输出的结果是( )A 1 B C2 D1【解答】解:模拟程序的运行,可得a=2,i=1执行循环体,可得 a=1,i=2不满足条件 i6,执行循环体,a= ,i=3不满足条件 i6,

14、执行循环体,a=2,i=4不满足条件 i6,执行循环体,a=1,i=5不满足条件 i6,执行循环体,a= ,i=6满足条件 i6,退出循环,输出 a 的值为 故选:B9 (5 分)若在区间0,2中随机地取两个数,则这两个数中较小的数大于 的概率是( )A B C D【解答】解:在区间0,2中随机地取一个数,这两个数中较小的数大于的概率为 = ,故选:C10 (5 分)设命题 p:x 2(2a+1)x +a2+a0,命题 q:lg (2x 1)1,若 p 是q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是( )A B C D【解答】解:由 x2(2a+ 1)x+a(a+1)0,得x(a+1)(xa

15、)0,即 ax a+1,即 p:axa+1,由 lg(2x1)1,得 0 2x110,解得: x ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则 ,解得: a ,故选:A11 (5 分)已知 F1,F 2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 是以 F1F 为直径的圆与该椭圆的一个交点,且PF 1F2=2PF 2F1,则这个椭圆的离心率是( )A 1 B2 C D【解答】解:P 是以 F1F2 为直径的圆与该椭圆的一个交点,PF 1F2 为直角三角形,且P=90 ,PF 1F2=2 PF2F1,PF 1F2=60,F 1F2=2c,PF 1=c,PF 2= c,由椭圆的定义知,PF 1+PF2=c+

16、 c=2a,即 = = 1离心率为 1故选:A12 (5 分)设抛物线 y2=2x 的焦点为 F,过点 M( ,0)的直线与抛物线相交于 A、B 两点,与抛物线的准线相交于点 C,|BF|=2,则BCF 与ACF 的面积之比 =( )A B C D【解答】解:如图过 B 作准线 l:x= 的垂线,垂足分别为 A1,B 1, = ,又B 1BC A1AC、 = ,由拋物线定义 = = 由|BF|=|BB 1|=2 知 xB= ,y B= ,AB:y0= (x ) 把 x= 代入上式,求得 yA=2,x A=2,|AF|= |AA1|= 故 = = = 故选 A二、填空题(本题包括 4 小题,每小

17、题 5 分,共 20 分)13 (5 分)若双曲线 的焦距为 8,点 在其渐近线上,则C 的方程为 【解答】解:根据题意,双曲线 的焦距为 8,即 2c=8,则 c=4,若点 在其渐近线上,则双曲线的一条渐近线方程为 y= x,又由双曲线的方程为 ,则有 = ,又由 c=4,则 a2+b2=c2=16,解可得 a2=4,b 2=12,则双曲线的方程为:故答案为:14 (5 分)如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是CC1,AD 的中点,那么异面直线 D1E 和 A1F 所成角的余弦值等于 【解答】解:如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系,设正方体棱长为

18、 2则 A1(2,0 ,2) ,F)1 ,0,0) ,D 1(0,0,2) ,E(0,2,1)则 , ,= = ,异面直线 D1E 和 A1F 所成角的余弦值等于 ,故答案为: 15 (5 分)从双曲线 =1 的左焦点 F1 引圆 x2+y2=16 的切线,切点为 T,延长 F1T 交双曲线右支于 P 点,设 M 为线段 F1P 的中点, O 为原点坐标,则|MO|MT|= 1 【解答】解:设 F是双曲线的右焦点,连接 PFM、 O 分别为 FP、FF的中点,|MO|= |PF|FT|= =5,由双曲线定义得,|PF|PF |=8,故|MO| |MT|= |PF|MF|+|FT|= (|PF|

19、 |PF|) +|FT|=4+5=1故答案为:116 (5 分)下列说法正确的有 函数 f(x )=4cos(2x+ )的一个对称中心为( ,0) ;在ABC 中,AB=1,AC=3,D 是 BC 的中点,则 =4;在ABC 中,A B 是 cos2Acos2B 的充要条件;定义 mina,b= ,已知 f(x )=minsinx,cosx,则 f(x )的最大值为 【解答】解:对于, ,函数 f(x )=4cos(2x+ )的一个对称中心为( ,0) ,故正确;对于, = = =4,故正确;对于,在ABC 中,AB 0sinAsinB12sin 2A1 2sin2Bcos2Acos2B,反之

20、也成立,故正确;对于,f(x)=minsinx,cosx= ,则 f(x )的最大值为 ,故正确故答案为:三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )17 (10 分)已知数列a n的前 n 项和为 Sn,a 1=1,且 an+1=2Sn+1+1,n N*(1)求数列a n的通项公式;(2)令 cn=log3a2n,b n= ,记数列b n的前 n 项和为 Tn,求 Tn【解答】解:(1)a n+1=2Sn+1,nN ,n 2 时, an=2Sn1+1,可得 an+1an=2an,即 an+1=3ann=1 时,a 2=2a1+1=3=3a1,满足上式

21、数列a n是等比数列,a n=3n1 (6 分)(2)c=log 3a2n= =2n1bn= = = ( ) ,数列b n的前 n 项和 Tn= + + = ( 1+ ) (12 分)18 (12 分) “酒后驾车” 和“ 醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量 Q(简称血酒含量,单位是毫克/100 毫升) ,当 20Q80 时,为酒后驾车;当 Q 80 时,为醉酒驾车某市交通管理部门于某天晚上 8 点至 11 点设点进行一次拦查行动,共依法查出 60 名饮酒后违法驾驶机动车者,如图为这 60 名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图(其中 Q140 的人数计入120Q140

22、人数之内) (1)求此次拦查中醉酒驾车的人数;(2)从违法驾车的 60 人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取 8 人做样本进行研究,再从抽取的 8 人中任取 2 人,求两人中恰有 1 人醉酒驾车的概率【解答】解:(1)由已知得, (0.0032+0.0043 +0.0050)20=0.25,0.2560=15,所以此次拦查中醉酒驾车的人数为 15 人(2)利用分层抽样抽取 8 人中含有醉酒驾车者为 2 人,酒后驾车 6 人,从 8 人中抽取 2 人,恰有 1 人为醉酒驾车为事件 A,则基本事件总数为:n= =28事件 A 包含的基本事件数为:m= =12,所以两人中恰有 1 人醉酒驾车的概

23、率 P(A)= 19 (12 分)ABC 中,内角 A,B ,C 的对边分别是 a,b ,c ,已知(1)求B 的大小;(2)若 ,且 ,求ABC 面积的最大值【解答】解:(1)由正弦定理 = ,因为 sinC0,所以 ,又因为 0B ,所以 (2)考虑BMC ,由余弦定理 CM2=BM2+BC22BMBCcosB,即 , ,当且仅当 BM=BC 时等号成立,所以 20 (12 分)如图,AB 为圆 O 的直径,点 E、F 在圆 O 上,且 ABEF ,矩形ABCD 所在平面和圆 O 所在平面互相垂直,且 AB=2,AD=EF=1 (1)设 FC 的中点为 M,求证:OM平面 DAF;(2)求

24、四棱锥 FABCD 的体积【解答】 (1)证明:设 DF 的中点为 N,则 ,又 , ,MNAO 为平行四边形 OMAN,又 AN平面 DAF,OM 平面 DAF,OM平面 DAF(2)解:过点 F 作 FGAB 于 G,平面 ABCD平面 ABEF,FG平面 ABCD,FG 即正OEF 的高, ,S BCD =2, 21 (12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,侧面 PAD底面 ABCD,侧棱 PA=PD=,PA PD,底面 ABCD 为直角梯形,其中 BCAD,ABAD,AB=BC=1,O为 AD 中点(1)求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值(2)求 B 点到平面 PCD 的

25、距离(3)线段 PD 上是否存在一点 Q,使得二面角 QACD 的余弦值为 ?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由【解答】解:(1)在PAD 中 PA=PD,O 为 AD 中点,所以 POAD,又侧面 PAD底面 ABCD,平面 PAD平面 ABCD=AD,PO 平面 PAD,所以 PO平面 ABCD又在直角梯形 ABCD 中,易得 OCAD;所以以 O 为原点,OC 为 x 轴,OD 为 y 轴,OP 为 z 轴建立空间直角坐标系则 P( 0,0,1) ,A(0,1,0) ,B (1,1,0) ,C(1,0,0) ,D(0,1,0) ;所以 ,易证:OA平面 POC,所以 ,平面 POC

26、 的法向量,所以 PB 与平面 POC 所成角的余弦值为 (4 分)(2) ,设平面 PDC 的法向量为 ,则 ,取 z=1 得B 点到平面 PCD 的距离 (8 分)(3)假设存在,则设 = (01)因为 =(0 ,1,1) ,所以 Q(0,1 ) 设平面 CAQ 的法向量为 =(a,b,c) ,则 ,所以取 =(1,1,+1) ,平面 CAD 的法向量 =(0,0,1) ,因为二面角 QACD 的余弦值为 ,所以 = ,所以 3210+3=0所以 = 或 =3(舍去) ,所以 = (12 分)22 (12 分)如图,已知椭圆 C: =1(a b0)的离心率为 ,以椭圆 C 的左顶点 T 为

27、圆心作圆 T:(x+2) 2+y2=r2(r0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点M 与点 N(1)求椭圆 C 的方程;(2)求 的最小值,并求此时圆 T 的方程;(3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M,N 的任意一点,且直线 MP,NP 分别与 x 轴交于点 R,S,O 为坐标原点,求证:|OR| |OS|为定值【解答】解:(1)依题意,得 a=2, ,c= ,b= =1,故椭圆 C 的方程为 (3 分)(2)方法一:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M( x1,y 1) ,N(x 1,y 1) ,不妨设 y10由于点 M 在椭圆 C 上,所以 ( *) (4 分)由已知 T(2,0)

28、,则 , ,=( x1+2) 2= (6 分)由于2x 12,故当 时, 取得最小值为 由(* )式, ,故 ,又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 故圆 T 的方程为: (8 分)方法二:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,故设 M(2cos,sin ) ,N(2cos,sin ) ,不妨设 sin 0,由已知 T(2,0) ,则=( 2cos+2) 2sin2=5cos2+8cos+3= (6 分)故当 时, 取得最小值为 ,此时 ,又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 故圆 T 的方程为: (8 分)(3)方法一:设 P(x 0, y0) ,则直线 MP 的方程为: ,令 y=0,得 ,同理: ,(10 分)故 (*) (11 分)又点 M 与点 P 在椭圆上,故 , ,(12 分)代入(*)式,得: 所以|OR|OS|=|x R|xS|=|xRxS|=4 为定值 (14 分)方法二:设 M(2cos,sin) ,N(2cos,sin ) ,不妨设 sin 0,P (2cos,sin) ,其中 sinsin则直线 MP 的方程为: ,令 y=0,得 ,同理: ,(12 分)故 所以|OR|OS|=|x R|xS|=|xRxS|=4 为定值(14 分)