1、*1.3 不共线三点确定二次函数的表达式知识要点分类练 夯实基础知识点 不共线三点确定二次函数的表达式1若抛物线过点 A(0，3) ，B(3 ，0)，C(4，3) ，求此抛物线表示的函数的表达式解：(1)设抛物线表示的函数的表达式为_ ；(2)将 A，B，C 三点的坐标代入得方程组_；(3)解方程组得 ，； )(4)抛物线表示的函数的表达式为_2某二次函数的图象经过点 A(0，0) ，B(1，11)，C(1，9)，则这个二次函数的表达式是( )Ay10x 2x By10x 219xCy10x 2x Dyx 210x3已知一个二次函数，当 x0 时，y5；当 x1 时，y4；当 x2 时，y5，
2、则这个二次函数的表达式是( )Ay4x 23x5 By2x 2x5Cy2x 2x5 Dy2x 2x54如图 131，该抛物线表示的二次函数的表达式是( )图 131Ayx 2x2 Byx 2x2Cyx 2x2 Dyx 2x252017百色经过 A(4，0)，B(2，0) ，C(0，3)三点的抛物线表示的函数的表达式是_6已知三个点的坐标，是否存在一个二次函数的图象经过这三个点？若存在，请求出这个函数表达式；若不存在，请说明理由(1)A(0， 1)，B(1，2)，C(1，0)；(2)A(0， 1)，B(1，2)，C(1，4)7一条抛物线经过点(1， 2)，(1，2) ，(3，2)(1)求这条抛物
3、线表示的二次函数的表达式；(2)用配方法把函数表达式化为顶点式，并写出抛物线的顶点坐标8已知某二次函数的图象经过点 A(1，5) ，B(0，4)和 C(1，1)(1)求二次函数的表达式；(2)判断点 D(2，1)是否在此抛物线上规律方法综合练 提升能力9已知抛物线经过点 A(2， 0)，B(1，0)，与 y 轴交于点 C，且 OC2，则这条抛物线表示的二次函数的表达式为( )Ayx 2x2Byx 2x2Cyx 2x2 或 yx 2 x2Dyx 2x2 或 yx 2 x210如图 132，在平面直角坐标系中，抛物线与 y 轴交点的坐标是(0，5) ，且经过两个长、宽分别为 4 和 2 的相同的长
4、方形的顶点，则这条抛物线表示的二次函数的表达式是_图 13211如图 133，已知抛物线 yax 2bxc 经过点 A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)(1)求抛物线表示的二次函数的表达式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在 x 轴上，求此时抛物线所表示的函数的表达式图 13312如图 134，已知直线 y x2 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，过 A，B 两12点的抛物线 yax 2bxc 交 x 轴于点 C(1，0)(1)求点 A，B 的坐标(2)求抛物线表示的二次函数的表达式(3)抛物线在 x 轴上方的部分是否存在一点 P，使得ACP 的面积
5、是ABO 面积的 2 倍？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由，并求出能使ACP 的面积最大的点 P 的坐标图 134拓广探究创新练 冲刺满分132018永州如图 135 ，抛物线的顶点 A 的坐标为 (1，4)，抛物线与 x 轴交于B，C 两点，与 y 轴交于点 E(0，3)(1)求抛物线的函数表达式(2)已知点 F(0， 3) ，在抛物线的对称轴上是否存在一点 G，使得 EGFG 的值最小，如果存在，求出点 G 的坐标；如果不存在 ，请说明理由(3)如图，连接 AB，若 P 是线段 OE 上的一动点，过点 P 作线段 AB 的垂线，分别与线段 AB，抛物线交于点 M，N(
6、 点 M，N 都在对称轴的右侧 )，当 MN 的长度最大时，求PON 的面积图 135教师详解详析1(1)yax 2bx c (2) c 3，9a 3b c 0，16a 4b c 3)(3)a1 b4 c3 (4)yx 24x32D 3.A4D 解析 根据题意 ，设二次函数的表达式为 yax 2bxc，因为抛物线过点(1，0)，(0 ， 2)，(2，0)，所以 a b c 0，c 2，4a 2b c 0， )解得 故抛物线表示的二次函数的表达式为 yx 2x2.a 1，b 1，c 2， )5y x2 x3 解析 根据题意设抛物线的表达式为 ya(x2)( x4)，把38 34C(0，3) 代入
7、，得8a3，即 a ，则抛物线的表达式为 y (x2)(x4)38 38 x2 x3.38 346解：(1)存在设二次函数 yax 2bxc 的图象经过 A，B，C 三点，则得到关于a，b，c 的三元一次方程组 解得c 1，a b c 2，a b c 0， ) a 2，b 1，c 1.)因此二次函数 y2x 2x 1 的图象经过 A，B，C 三点(2)不存在理由：设二次函数 yax 2bxc 的图象经过 A，B，C 三点，则得到关于a，b，c 的三元一次方程组 解得c 1，a b c 2，a b c 4， ) a 0，b 3，c 1.)因此一次函数 y3x 1 的图象经过 A，B，C 三点，这
8、说明不存在一个二次函数的图象经过 A， B，C 三点7解：(1)设抛物线表示的二次函数的表达式为 yax 2bxc.将点(1，2)，( 1，2)，(3，2)代入，得 解得a b c 2，a b c 2，9a 3b c 2， ) a 1，b 2，c 1.)因此这条抛物线表示的二次函数的表达式为 yx 22x 1.(2)根据抛物线表示的函数的表达式，可知 y(x1) 22，因此抛物线的顶点坐标为(1，2)8解：(1)设二次函数的表达式为 yax 2bxc ，二次函数的图象经过点( 1，5) ，(0，4) ，(1，1)， 解得a b c 5，c 4，a b c 1， ) a 2，b 3，c 4， )
9、二次函数的表达式为 y2x 23x 4.(2)当 x2 时，y2，点 D 不在此抛物线上9C 解析 抛物线与 y 轴交于点 C，且 OC2，所以点 C 的坐标是(0，2)或(0，2)当点 C 的坐标是(0，2)时，图象经过 A，B，C 三点，可以设函数表达式为ya( x 2)(x1)，把 C(0，2)代入函数表达式，得2a 2，a1，则函数表达式为y(x 2)(x1)x 2x2.同理可得当点 C 的坐标是 (0，2)时，函数表达式为yx 2x2.故这条抛物线表示的二次函数的表达式为 y x2x2 或 yx 2x2.10y x2 x5 解析 根据题意，得抛物线经过点(0，5) ，(4，2)，52
10、4 112(2，4)设抛物线表示的二次函数的表达式为 yax 2bxc，则 ，解得c 5，16a 4b c 24a 2b c 4， ) a 524，b 112，c 5. )故抛物线表示的二次函数的表达式为 y x2 x5.524 11211解：(1)把点 A(0，3)，B(3，0) ，C (4，3)代入 yax 2bxc，得解得 ，c 3，9a 3b c 0，16a 4b c 3， ) a 1，b 4c 3， )所以抛物线表示的二次函数的表达式为 yx 24x 3.(2)因为 yx 24x 3(x 2) 21，所以抛物线的顶点坐标为(2， 1) ，对称轴为直线 x2.(3)由(1)得 yx 2
11、4x3( x2) 21.平移后抛物线的顶点落在 x 轴上，此时抛物线所表示的函数的表达式为 y( x2) 2.12解：(1)当 x0 时，y 022，则 B(0，2)；12当 y0 时， x20，解得 x4，则 A(4，0)12(2)设抛物线表示的二次函数的表达式为 ya(x1)(x4)，把 B(0，2) 代入 ，得 a1(4)2，解得 a ，12所以函数表达式为 y (x1)(x4)，即 y x2 x 2.12 12 32(3)不存在理由：假设存在点 P(t， t2 t2)(1t4)，使得ACP 的面积是ABO 面积的12 322 倍，所以 (41)( t2 t2) 2 24，12 12 3
12、2 12整理，得 5t215t120，(15) 245120，所以方程没有实数解，即抛物线在 x 轴上方的部分不存在点 P，使得ACP 的面积是ABO 面积的 2 倍当 P 为抛物线的顶点时，ACP 的面积最大因为 y x2 x2 (x )2 ，12 32 12 32 258所以此时点 P 的坐标为( ， )32 25813解：(1)设抛物线的函数表达式为 ya(x1) 24，把点 E(0，3)代入，得 a(01)243，解得 a1，y(x1) 24x 22x3.(2)存在如图，点 E 关于对称轴直线 x1 的对称点为 E(2，3)，连接 EF，与对称轴直线 x1 交于点 G，连接 EG，此时
13、 EGFG 的值最小设过点 E，F 的直线的函数表达式为 ymxn，把 E，F 两点坐标代入，得 解得 直线 EF 的函2m n 3，n 3， ) m 3，n 3， )数表达式为 y 3x3，把 x 1 代入，得 y0，因此点 G 的坐标为(1，0)(3)连接 AN，BN .要使 MN 的长度最大，即要使ABN 的面积最大 ，过点 N 作 NKx 轴，交直线 AB 于点 H，交 x 轴于点 K.在 yx 22x3 中， 令 y0，则x 22x30，解得x11，x 23，即 B(3，0) ，过 A(1，4)，B(3，0) 两点的直线的函数表达式为 y2x6.设 N(t，t 22t3)，则 H(t
14、，2t6)，NHt 24 t3.当 NH 的长度最大时，ABN的面积最大NHt 24 t3( t2) 21，t2 时，ABN 的面积最大，此时N(2，3) 过点 A 作 AQx 轴 ，垂足为 Q，AQ4，OQ1，BQBOOQ312.设直线 PN 交 x 轴于点 D，PN AB，BMD90， ABDBDN90.NKx轴，DKN 90，DNKBDN90，ABDDNK.在ABQ 和DNK 中，AQBDKN90，ABDDNK，ABQDNK， ， ，DK6，DODKOK624，D(4，0) 设直AQDK BQNK 4DK 23线 PN 的函数表达式为 ykx c，把点 D(4，0)，N(2， 3)代入，得 解得 4k c 0，2k c 3， )直线 PN 的函数表达式为 y x2，与 y 轴的交点 P 的坐标为(0，2)，S PON k 12，c 2， ) 12222.12
