1、2015-2016 学年江苏省苏州市吴江市青云中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本题共 30 分，每小题 3 分）1下列式子中，属于最简二次根式的是( )A B C D2已知 P 是ABC 内一点，连接 PA，PB，PC，且 PA=PB=PC，则 P 点一定是( )AABC 的三条中线的交点BABC 的三条内角平分线的交点CABC 的三条高的交点DABC 的三边的中垂线的交点3下列实数中是无理数的是( )A B C0. D4若式子 在实数范围内有意义，则 a 的取值范围是( )Aa3 Ba 3 Ca 3 Da35下列三个长度的线段能组成直角三角形的是( )A1， ， B1， ， C2，
2、4，6 D5，5，66下列等式不成立的是( )A （ ） 2=a（a0） B =a C （ ） 3=3 D =37若等腰三角形的腰长为 5cm，底长为 8cm，那么腰上的高为( )A12cm B10cm C4.8cm D6cm8面积为 10m2 的正方形地毯，它的边长介于 ( )A2m 与 3m 之间 B3m 与 4m 之间 C4m 与 5m 之间 D5m 与 6m 之间9我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示） ，如果大正方形的面积是 25，小正方形的面积是 1，直角三角形的两直角边分别是 a 和 b，那么（a+b） 2 的
3、值为( )A49 B25 C13 D110如图，四边形 ABCD 中，B= D=90，A=45，AB=3，CD=1，则 BC 的长为( )A3 B2 C D二、填空题：（本题共 20 分，每题 2 分）11144 的算术平方根是_， 的平方根是_12化简： =_， 3 =_13比较大小： _ （填“、或=”）14在实数范围内分解因式：4a 38a=_15若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整数 a=_16若矩形的一个角的平分线分一边为 4cm 和 3cm 的两部分，则矩形的周长为_cm17如图，ABC 是等边三角形，点 D 为 AC 边上一点，以 BD 为边作等边BDE，连接CE若 CD=1
4、，CE=3 ，则 BC=_18如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为_ （结果保留 ）19如图，Rt ABC 中， C=90，以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点 O，连接 OC，已知 AC=5，OC=6 ，则另一直角边 BC 的长为_20如图，Rt ABC 中， C=90，AC=4，BC=3分别以 AB、AC、BC 为边在 AB 的同侧作正方形 ABDE、ACFG、 BCIH，四块阴影部分的面积分别为 S1、S 2、S 3、S 4 则S1+S2+ S3+S4 等于_三、解答题：（本题共 50 分）21计算： +（ ） 1（+2） 0+|1 |22解方程：（1）
5、16（x+1） 21=0；（2）（ x3） 3=2723先化简，再求值：（ ） ，其中 x= 24实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，请化简：|a| 25如图，长方形 ABCD 中 ADBC，边 AB=4，BC=8将此长方形沿 EF 折叠，使点 D与点 B 重合，点 C 落在点 G 处（1）试判断BEF 的形状，并说明理由；（2）求BEF 的面积26附加题：如图，在四边形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，点 F 是 CD 的中点，且AEBC，AFCD（1）求证：AB=AD ；（2）请你探究EAF， BAE，DAF 之间有什么数量关系？并证明你的结论27请在下列三个 22 的方格中，各
6、画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影 （注：所画的三个图形不能重复）28如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=7 ，点 E 是 AD 上一个动点，把 BAE 沿 BE 向矩形内部折叠，当点 A 的对应点 A恰好落在BCD 的平分线上时，CA的长为多少？29如图 1 所示，等边ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一” 特性，AD 平分BAC ，且 ADBC，则有BAD=30， 于是可得出结论“直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半”请根据从上面材料中所得
7、到的信息解答下列问题：（1）ABC 中，若 A：B ： C=1：2：3，AB=a，则 BC=_；（2）如图 2 所示，在ABC 中，ACB=90，BC 的垂直平分线交 AB 于点 D，垂足为 E，当 BD=5cm，B=30 时， ACD 的周长=_（3）如图 3 所示，在ABC 中，AB=AC ，A=120 ，D 是 BC 的中点，DE AB，垂足为E，那么 BE：EA=_（4）如图 4 所示，在等边ABC 中，D、E 分别是 BC、 AC 上的点，且CAD=ABE， AD、BE 交于点 P，作 BQAD 于 Q，猜想 PB 与 PQ 的数量关系，并说明理由2015-2016 学年江苏省苏州市
8、吴江市青云中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本题共 30 分，每小题 3 分）1下列式子中，属于最简二次根式的是( )A B C D【考点】最简二次根式 【分析】根据最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行判断即可【解答】解：A、 =3，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；B、 是最简二次根式；C、 =2 ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；D、 ，被开方数含分母，不是最简二次根式；故选：B【点评】本题考查最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得
9、尽方的因数或因式是解题的关键2已知 P 是ABC 内一点，连接 PA，PB，PC，且 PA=PB=PC，则 P 点一定是( )AABC 的三条中线的交点BABC 的三条内角平分线的交点CABC 的三条高的交点DABC 的三边的中垂线的交点【考点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段的垂直平分线的性质进行分析即可得到答案【解答】解：PA=PB ，点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，PB=PC，点 P 在线段 CB 的垂直平分线上，P 点是ABC 的三边的中垂线的交点，故选：D【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键3下列实数
10、中是无理数的是( )A B C0. D【考点】无理数 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数由此即可判定选择项【解答】解：A、 =2 是整数，是有理数，选项错误；B、 是无理数，选项正确；C、0. 是无限循环小数，是有理数，选项错误；D、 是分数，是有理数，选项错误故选 B【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2 等；开方开不尽的数；以及像 0.1010010001，等有这样规律的数4若式子 在实数范围内有意义，则 a 的取值范围是( )Aa3
11、 Ba 3 Ca 3 Da3【考点】二次根式有意义的条件 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解【解答】解：由题意得，a30，解得 a3故选 B【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数5下列三个长度的线段能组成直角三角形的是( )A1， ， B1， ， C2 ，4，6 D5，5，6【考点】勾股定理的逆定理 【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断【解答】解：A、1 2+（ ） 2=（ ） 2，A 能构成直角三角形，故本选项正确；B、1 2+（ ） 2（ ） 2， B 不能构成直角三角形，故本选项错误；C、2 2+4262， C 不能构成直角三角形，故本选项错误；D、 52
12、+5262， D 不能构成直角三角形，故本选项错误；故选 A【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，判断线段能否组成直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可6下列等式不成立的是( )A （ ） 2=a（a0） B =a C （ ） 3=3 D =3【考点】立方根；平方根 【分析】A、根据平方根的性质化简即可判定；B、根据平方根的性质化简即可判定；C、根据立方根的性质化简即可判定；D、根据平方根的性质化简即可判定【解答】解：A、a0，则a 0，所以（ ） 2=a，故选项正确；B、 =a（a 0） ，故选项错误；C、 （ ） 3=3，故选项正确；D、3 0，所以 =（3）=
13、 3，故选项正确故选 B【点评】本题考查了平方根和立方根的概念注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0 的立方根是 07若等腰三角形的腰长为 5cm，底长为 8cm，那么腰上的高为( )A12c m B10cm C4.8cm D6cm【考点】等腰三角形的性质；勾股定理 【分析】可以作出底边上的高，且易求出底边上的高为 3cm，再利用等积法可求得腰上的高【解答】解：如图，ABC 中，AB=AC=5cm，BC=8cm，过点 A 作 ADBC，交 BC 于点D，则 BD= BC=4cm，在 RtABD
14、 中，由勾股定理可求得 AD=3cm，设腰上的高为 h，则 BCAD= ABh，即 83= 5h，解得 h=4.8cm故选 C【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，在解题中等积法的应用可以起到事半功倍的效果8面积为 10m2 的正方形地毯，它的边长介于 ( )A2m 与 3m 之间 B3m 与 4m 之间 C4m 与 5m 之间 D5m 与 6m 之间【考点】估算无理数的大小 【分析】易得正方形的边长，看在哪两个正整数之间即可【解答】解：正方形的边长为 ， ，3 4，其边长在 3m 与 4m 之间故选：B【点评】考查估算无理数的大小；常用夹逼法求得无理数的范围9我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图
15、”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示） ，如果大正方形的面积是 25，小正方形的面积是 1，直角三角形的两直角边分别是 a 和 b，那么（a+b） 2 的值为( )A49 B25 C13 D1【考点】勾股定理 【专题】图表型【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方 25，也就是两条直角边的平方和是 25，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即 2ab=24根据完全平方公式即可求解【解答】解：由于大正方形的面积 25，小正方形的面积是 1，则四个直角三角形的面积和是 251=24
16、，即 4 ab=24，即 2ab=24，a 2+b2=25，则（a+b） 2=25+24=49故选：A【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是注意完全平方公式的展开：（a+b）2=a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和 a，b 之间的关系10如图，四边形 ABCD 中，B= D=90，A=45，AB=3，CD=1，则 BC 的长为( )A3 B2 C D【考点】等腰直角三角形 【分析】延长 AB、DC，两延长线相交于点 E，根据ADE 是等腰直角三角形，得AE= DE，从而求出 BC 的长【解答】解：如图，延长 AB、DC，两延长线相交于点 E，D=90，A=45，ADE 是等腰直角三
17、角形E=45，又 EBC=90EBC 是等腰直角三角形设 BC=x，则 EC=AE= ED （CD+EC ）=AB+BE （1+ x）=3+x解得：x=3故选 D【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键二、填空题：（本题共 20 分，每题 2 分）11144 的算术平方根是 12， 的平方根是 2【考点】算术平方根；平方根 【分析】 （1）由于算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根利用这个定义即可求出结果（2） =4，也就是求 4 的平方根【解答】解：12 的平方为 144，144 的算术平方根为 12 =44 的平方根就是 =2故答案为
18、：12， 2【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，此题注意：算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误弄清概念是解决本题的关键12化简： = ， 3 =9 【考点】实数的运算 【分析】第一个式子根据二次根式的乘法法则计算；第二个先化简，再合并同类二次根式【解答】解： = ；3 =3 12 =9 故答案为： ，9 【点评】此题主要考查了实数的运算无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的在进行根式的运算时要先化简再计算可使计算简便13比较大小： （填“、或=”）【考点】实数大小比较 【分析】先把两个实数平方，然后根据实数的大小比较方法即可求解【解答】解：（ ） 2=12， （3 ） 2=1
19、8，而 1218，2 3 故答案为：【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较 n 次方的方法等14在实数范围内分解因式：4a 38a=4a（a+ ） （a ） 【考点】实数范围内分解因式 【分析】首先提公因式 4a，然后利用平方差公式分解【解答】解：原式=4a（a 22）=4a（a+ ） （a ） 故答案是：4a（a+ ） （a ） 【点评】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止15若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整数 a=2【考点】最简二次根式
20、【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐 个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是【解答】解：二次根 式 是最简二次根式，则最小的正整数 a=2，故答案为：2【点评】本题考查最简二次根式的定义根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式16若矩形的一个角的平分线分一边为 4cm 和 3cm 的两部分，则矩形的周长为 22 或20cm【考点】矩形的性质 【分析】本题需分两种情况解答即矩形的一个角的平分线分一边为 4cm 和 3cm，或者矩形的角平分分一边为 3cm 和 4cm当矩
21、形的一个角的平分线分一边为 4cm 和 3cm 时，矩形的周长为 2（3+4）+24=22cm；当矩形的角平分分一边为 3cm 和 4cm 时，矩形的周长为 2（3+4）+23=20cm【解答】解：分两种情况：当矩形的一个角的平分线分一边为 4cm 和 3cm 时，矩形的周长为 2（3+4）+24=22cm；当矩形的角平分分一边为 3 cm 和 4cm 时，矩形的周长为 2（3+4 ）+2 3=20cm【点评】本题考查的是基本的矩形性质，考生需要注意的是分两种情况作答即可17如图，ABC 是等边三角形，点 D 为 AC 边上一点，以 BD 为边作等边BDE，连接CE若 CD=1，CE=3 ，则
22、 BC=4【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质【分析】在 CB 上取一点 G 使得 CG=CD，即可判定 CDG 是等边三角形，可得CD=DG=CG，易证BDG=EDC，即可证明BDG EDC，可得 BG=CE，即可解题【解答】解：在 CB 上取一点 G 使得 CG=CD，ABC 是等边三角形，ACB=60 ，CDG 是等边三角形，CD=DG=CG，BDG+EDG=60，EDC+EDG=60 ，BDG=EDC，在BDG 和 EDC 中，BDGEDC（SAS） ，BG=CE，BC=BG+CG=CE+CD=4，故答案为：4【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的
23、性质，考查了等边三角形的判定和性质，本题中求证BDG EDC 是解题的关键18如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 72 （结果保留 ）【考点】勾股定理 【分析】利用勾股定理求出另一直角边，再由圆的面积公式计算即可【解答】解：如图所示：a= =24，故阴影部分的面积= 122=72故答案为：72【点评】本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是利用勾股定理求出半圆的直径19如图，Rt ABC 中， C=90，以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点 O，连接 OC，已知 AC=5，OC=6 ，则另一直角边 BC 的长为 7【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性
24、质；等腰直角三角形 【专题】计算题；压轴题【分析】过 O 作 OF 垂直于 BC，再过 A 作 AM 垂直于 OF，由四边形 ABDE 为正方形，得到 OA=OB， AOB 为直角，可得出两个角互余，再由 AM 垂直于 MO，得到AOM 为直角三角形，其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，OA=OB，利用 AAS 可得出 AOM 与BOF 全等，由全等三角形的对应边相等可得出AM=OF，OM=FB，由三个角为直角的四边形为矩形得到 ACFM 为矩形，根据矩形的对边相等可得出 AC=MF，AM=CF，等量代换可得出 CF=OF，即 COF 为等腰直角三角形，由斜边
25、 OC 的长，利用勾股定理求出 OF 与 CF 的长，根据 OFMF 求出 OM 的长，即为 FB的长，由 CF+FB 即可求出 BC 的长【解答】解法一：如图 1 所示，过 O 作 OFBC，过 A 作 AMOF，四边形 ABDE 为正方形，AOB=90， OA=OB，AOM+BOF=90，又AMO=90，AOM+ OAM=90，BOF=OAM，在AOM 和 BOF 中，AOMBOF（AAS） ，AM=OF，OM=FB，又ACB= AMF=CFM=90，四边形 ACFM 为矩形，AM=CF，AC=MF=5，OF=CF，OCF 为等腰直角三角形，OC=6 ，根据勾股定理得：CF 2+OF2=O
26、C2，解得：CF=OF=6，FB=OM=OFFM=65=1，则 BC=CF+ BF=6+1=7故答案为：7解法二：如图 2 所示，过点 O 作 OMCA，交 CA 的延长线于点 M；过点 O 作 ONBC 于点 N易证OMAONB， OM=ON，MA=NBO 点在 ACB 的平分线上，OCM 为等腰直角三角形OC=6 ，CM=ON=6MA=CMAC=65=1，BC=CN+NB=6+1=7故答案为：7【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角 形的判定与性质、角平分线的判定，利用了转化及等量代换的思想，根据题意作出相应的辅助线是解本题的关键20如图，Rt
27、ABC 中， C=90，AC=4，BC=3分别以 AB、AC、BC 为边在 AB 的同侧作正方形 ABDE、ACFG、 BCIH，四块阴影部分的面积分别为 S1、S 2、S 3、S 4 则S1+S2+S3+S4 等于 16【考点】勾股定理 【分析】过 D 作 BF 的垂线交 BF 于 N，连接 DI，通过证明 S1+S2+S3+S4=RtABC 的面积3，依此即可求解【解答】解：过 D 作 BF 的垂线交 BF 于 N，连接 DI，图中 S2=SRtDOI，S BOC=SMND，S2+S4=SRtABC可证明 RtAGERtABC，Rt DNBRtBHD，S1+S2+S3+S4=S1+S3+（
28、S 2+S4） ，=RtABC 的面积+Rt ABC 的面积+Rt ABC 的面积=RtABC 的面积 3=4323=16故答案为 16【点评】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用三、解答题：（本题共 50 分）21计算： +（ ） 1（+2） 0+|1 |【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂 【分析】首先利用绝对值以及负指数的性质以及零指数幂的性质化简求出即可【解答】解： +（ ） 1（+2） 0+|1 |=2 +21+ 1=3 【点评】此题主要考查了绝对值以及负指数的性质以及零指数幂的性质等知识，正确把握运算性质是解题关键22
29、解方程：（1）16（x+1） 21=0；（2）（ x3） 3=27【考点】立方根；平方根 【分析】 （1）根据平方根，即可解答；（2）根据立方根，即可解答【解答】解：（1）16（x+1） 21=016（x+1） 2=1x+1=x= 或（2）（ x3） 3=27（x3） 3=27x3=3x=0【点评】本题考查了平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义23先化简，再求值：（ ） ，其中 x= 【考点】分式的化简求值 【专题】计算题【分析】原式括号中利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值【解答】解：原式= = = ，当 x
30、= 时，原式= 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键24实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，请化简：|a| 【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴 【分析】先根据二次根式的性质得出|a| |a|b|，推出结果是|b|，根据正数的绝对值等于它本身得出即可【解答】解：从数轴可知：a0b，： |a| =|a|a|b|=|b|=b【点评】本题考查了二次根式的性质，实数与数轴等知识点，解此题的关键是根据数轴得出 a0b，注意： =|a|，当 a0 时，|a|=a ，当 a0 时，|a|=a25如图，长方形 ABCD 中 ADBC，边 AB=4，BC=8将此长方形沿 EF
31、折叠，使点 D与点 B 重合，点 C 落在点 G 处（1）试判断BEF 的形状，并说明理由；（2）求BEF 的面积【考点】翻折变换（折叠问题） 【分析】 （1）根据翻折不变性和平行线的性质得到两个相等的角，根据等角对等边即可判断BEF 是等腰三角形；（2）根据翻折的性质可得 BE=DE，BG=CD ，EBG= ADC=90，设 BE=DE=x，表示出AE=8x，然后在 RtABE 中，利用勾股定理列出方程求出 x 的值，即为 BE 的值，再根据同角的余角相等求出ABE= GBF，然后利用“角边角”证明ABE 和GBF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 BF=BE，再根据三角形的面积公式列式计
32、算即可得解【解答】解：（1）BEF 是等腰三角形EDFC，DEF=BFE，根据翻折不变性得到DEF= BEF，故BEF= BFEBE=BFBEF 是等腰三角形；（2）矩形 ABCD 沿 EF 折叠点 B 与点 D 重合，BE=DE，BG=CD，EBG=ADC=90，G= C=90，AB=CD，AB=BG，设 BE=DE =x，则 AE=ABDE=8x，在 RtABE 中，AB 2+AE2=BE2，即 42+（8 x） 2=x2，解得 x=5，BE=5，ABE+EBF=ABC=90，GBF+EBF=EBG=90，ABE=GBF，在ABE 和MBF 中，ABEGBF（ASA） ，BF=BE=5，E
33、BF 的面积= 54=10【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质将翻折变换与勾股定理及等腰三角形的性质和判定相结合，体现了数学知识之间的密切联系，是一道好题26附加题：如图，在四边形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，点 F 是 CD 的中点，且AEBC，AFCD（1）求证：AB=AD ；（2）请你探究 EAF，BAE， DAF 之间有什么数量关系？并证明你的结论【考点】线段垂直平分线的性质 【专题】证明题；探究型【分析】 （1）连接 AC，根据题意易得 AE、AF 是 BC、CD 的垂直平分线，可得AB=AC，AD=AC，可证出 AB=AD（2）根据等
34、腰三角形的性质解答即可【解答】 （1）证明：连接 AC，点 E 是 BC 的中点，AE BC，AB=AC，点 F 是 CD 的 中点，AF CD，AD=AC，AB=AD（2）EAF= BAE+DAF证明 由（ 1）知 AB=AC，即ABC 为等腰三角形AEBC， （已知） ，BAE=EAC（等腰三角形的三线合一） 同理，CAF= DAFEAF=EAC+FAC=BAE+DAF【点评】此题考查的是线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的性质等几何知识解答此题的关键是连接 AC，构造出等腰三角形27请在下列三个 22 的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所
35、画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影 （注：所画的三个图形不能重复）【考点】利用轴对称设计图案 【专题】作图题【分析】可分别选择不同的直线当对称轴，得到相关图形即可【解答】解：【点评】考查利用轴对称设计图案；选择不同的直线当对称轴是解决本题的突破点28如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=7 ，点 E 是 AD 上一个动点，把 BAE 沿 BE 向矩形内部折叠，当点 A 的对应点 A恰好落在BCD 的平分线上时，CA的长为多少？【考点】翻折变换（折叠问题） 【分析】过点 A作 AMBC 于点 M设 CM=AM=x，则 BM=7x在直角 AMB 中，由勾股定理得
36、到：AM 2=AB2BM2=25（7x） 2由此求得 x 的值，然后在等腰 RtACM 中由 CA= AM 求解即可【解答】解：如图所示，过点 A作 AMBC 于点 M点 A 的对应点 A恰落在BCD 的平分线上，设 CM=AM=x，则 BM=7x，又由折叠的性质知 AB=AB=5，在直角A MB 中，由勾股定理得到：AM 2=AB2BM2=25（7x） 2，25（7 x） 2=x2，x=3 或 x=4，在等腰 RtACM 中，CA= AM，CA=3 或 4 故答案是：3 或 4 【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题） 解题的关键是作出辅助线，构建直角三角形AMB 和等腰直角A C
37、M，利用勾股定理将所求的线段与已知线段的数量关系联系起来29如图 1 所示，等边ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一” 特性，AD 平分BAC ，且 ADBC，则有BAD=30， 于是可得出结论“直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半”请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：（1）ABC 中，若 A：B ： C=1：2：3，AB=a，则 BC= ；（2）如图 2 所示，在ABC 中，ACB=90，BC 的垂直平分线交 AB 于点 D，垂足为 E，当 BD=5cm，B=30 时， ACD 的周长=15cm（3）如图 3 所示，在ABC 中，AB=AC ，
38、A=120 ，D 是 BC 的中点，DE AB，垂足为E，那么 BE：EA=3：1（4）如图 4 所示，在等边ABC 中，D、E 分别是 BC、 AC 上的点，且CAD=ABE， AD、BE 交于点 P，作 BQAD 于 Q，猜想 PB 与 PQ 的数量关系，并说明理由【考点】含 30 度角的直角三角形；等腰三角形的性质；等边三角形的性质 【分析】 （1）根据三角形内角和定理推知A=30， C=90（2）根据线段垂直平分线的性质知 CD=BD，则ACD 的周长等于 AC+AB；（3）如图 3，连接 AD利用等腰三角形的性质、垂直的定义推知 B=ADE=30，然后由”30 度角所对的直角边是斜边
39、的一半“分别 求得 BE、AE 的值；（4）如图 4，根据全等三角形的判定定理 SAS 可判断两个三角形全等；根据全等三角形的对应角相等，以及三角形外角的性质，可以得到PBQ=30，根据直角三角形的性质即可得到【解答】解：（1）A：B： C=1：2：3，且A+ B+C=180，A=30， C=90，BC= AB= 故填： ；（2）如图 2，DE 是线段 BC 的垂直平分线， ACB=90，CD=BD，AD=BD 又 在ABC 中， ACB=90， B=30，AC= AB，ACD 的周长 =AC+AB=3BD=15cm故填：15cm；（3）如图 3，连接 AD在 ABC 中，AB=AC， A=120，D 是 BC 的中点，BAD=60又 DEAB，B=ADE=30，BE= BD， AE= AD，BE：EA= BD： AD，又 BD= AD，BE：AE=3： 1故填：3：1（4）BP=2PQ理由如下：ABC 为等边三角形AB=AC，BAC= ACB=60，在BAE 和ACD 中， ，BAEACD（SAS） ，ABE=CADBPQ 为ABP 外角，BPQ=ABE+BADBPQ=CAD+BAD=BAC=60BQAD，PBQ=30，BP=2PQ【点评】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质以及含 30 度角直角三角形的性质直角三角形中 30的锐角所对的直角边等于斜边的一半
