1、第 1 页（共 27 页）2017-2018 学年巢湖市一鸣学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题1下面关于 x 的方程中：一元二次方程的个数是( )ax2+bx+c=0；3（x 9） 2（x+1） 2=1；x+3= ；（a 2+a+1）x 2a=0A1 B2 C3 D42如图，ABCD 为正方形，O 为对角线 AC、BD 的交点，则COD 绕点 O 经过下列哪种旋转可以得到DOA( )A顺时针旋转 90 B顺时针旋转 45C逆时针旋转 90 D逆时针旋转 453一元二次方程 x22x1=0 的根的情况为( )A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C只有一个实数根 D没有实数根4图（1）
2、是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽 4m如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）Ay=2x 2 By=2x 2Cy=x 2 Dy=x 25下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D6已知如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 E，CD=6，AE=1，则O 的直径为（ ）A6 B8 C10 D12二、填空题7关于 x 的一元二次方程 x2+（2a1）x+5a=ax+1 的一次项系数为 4，则常数项为： 第 2 页（共 27 页）8已知 m 是关于 x 的方程 x22x3=0 的一个根，则 2m24m=
3、9抛物线 y=2x2+3x1 向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到新的抛物线解析式是 10如图，已知 A，B 两点的坐标分别为（2，0），（0，10），M 是AOB 外接圆C 上的一点，且AOM=30，则点 M 的坐标为 11如图，在 RtABC 中，ABC=90，AB=BC=，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60，得到ADE，连接 BE，则 BE 的长是 12自主学习，请阅读下列解题过程解一元二次不等式：x 25x0解：设 x25x=0，解得：x 1=0，x 2=5，则抛物线 y=x25x 与 x 轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）画出二次函数 y=x25x 的大致图象（如图
4、所示），由图象可知：当 x0，或 x5 时函数图象位于 x 轴上方，此时 y0，即 x25x0，所以，一元二次不等式 x25x0 的解集为：x0 或 x5通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 和 （只填序号）转化思想 分类讨论思想 数形结合思想（2）一元二次不等式 x25x0 的解集为 （3）用类似的方法写出一元二次不等式的解集：x 22x30 三、计算题13解方程：（1）x 22x2=0；（2）（x2） 23（x2）=014先化简，再求值：（），其中，a 是方程 x2+3x+1=0 的根第 3 页（共 27 页）15如图，A
5、B 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 M 在O 上，MD 恰好经过圆心 O，连接 MB（1）若 CD=16，BE=4，求O 的直径；（2）若M=D，求D 的度数16已知关于 x 的方程 x2+ax+a2=0（1）若该方程的一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一根；（2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根四、作图题17如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点ABC（顶点是网格线的交点）和点 A1画出ABC 关于点 A1的中心对称图形五、解答题18已知关于 x 的一元二次方程 x22x+m1=0 有两个实数根 x1，x 2（1）求 m 的取值范
6、围；（2）当 x12+x22=6x1x2时，求 m 的值19某文具店购进一批纪念册，每本进价为 20 元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20 元且不高于 28 元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为 22 元时，销售量为 36 本；当销售单价为 24 元时，销售量为 32 本（1）请直接写出 y 与 x 的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得 150 元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 w 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪
7、念册所获利润最大？最大利润是多少？20如图，抛物线 y=x 2+bx+c 交 x 轴于点 A（3，0）和点 B，交 y 轴于点 C（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 P 在抛物线上，且 SAOP =4SBOC，求点 P 的坐标；（3）如图 b，设点 Q 是线段 AC 上的一动点，作 DQx 轴，交抛物线于点 D，求线段 DQ 长度的最大值第 4 页（共 27 页）21把边长分别为 4 和 6 的矩形 ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点 C 顺时针旋转 a 角，旋转后的矩形记为矩形 EDCF在旋转过程中，（1）如图，当点 E 在射线 CB 上时，E 点坐标为 ；（2）当C
8、BD 是等边三角形时，旋转角 a 的度数是 （a 为锐角时）；（3）如图，设 EF 与 BC 交于点 G，当 EG=CG 时，求点 G 的坐标；（4）如图，当旋转角 a=90时，请判断矩形 EDCF 的对称中心 H 是否在以 C 为顶点，且经过点A 的抛物线上六、解答题22（1）如图，在正方形 ABCD 中，AEF 的顶点 E，F 分别在 BC，CD 边上，高 AG 与正方形的边长相等，求EAF 的度数（2）如图，在 RtABD 中，BAD=90，AB=AD，点 M，N 是 BD 边上的任意两点，且MAN=45，将ABM 绕点 A 逆时针旋转 90至ADH 位置，连接 NH，试判断 MN，ND
9、，DH 之间的数量关系，并说明理由（3）在图中，连接 BD 分别交 AE，AF 于点 M，N，若 EG=4，GF=6，BM=3，求 AG，MN 的长23如图 1，已知一次函数 y=x+3 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线 y=x 2+bx+c 过A、B 两点，且与 x 轴交于另一点 C（1）求 b、c 的值；（2）如图 1，点 D 为 AC 的中点，点 E 在线段 BD 上，且 BE=2ED，连接 CE 并延长交抛物线于点 M，求点 M 的坐标；（3）将直线 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 15后交 y 轴于点 G，连接 CG，如图 2，P 为ACG 内一点，连接 PA
10、、PC、PG，分别以 AP、AG 为边，在他们的左侧作等边APR，等边AGQ，连接 QR求证：PG=RQ；求 PA+PC+PG 的最小值，并求出当 PA+PC+PG 取得最小值时点 P 的坐标六、附加题第 5 页（共 27 页）24如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，且 BE=DF，点 P 是 AF 的中点，点 Q是直线 AC 与 EF 的交点，连接 PQ、PD（1）求证：AC 垂直平分 EF；（2）试判断PDQ 的形状，并加以证明；（3）如图 2，若将CEF 绕着点 C 旋转 180，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请
11、说明理由25如图，在ABC 中，AB=AC=13 厘米，BC=10 厘米，ADBC 于点 D，动点 P 从点 A 出发以每秒 1厘米的速度在线段 AD 上向终点 D 运动设动点运动时间为 t 秒（1）求 AD 的长；（2）当PDC 的面积为 15 平方厘米时，求 t 的值；（3）动点 M 从点 C 出发以每秒 2 厘米的速度在射线 CB 上运动点 M 与点 P 同时出发，且当点 P 运动到终点 D 时，点 M 也停止运动是否存在 t，使得 SPMD =SABC ？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由第 6 页（共 27 页）2017-2018 学年巢湖市一鸣学校九年级（上）期中数学试
12、卷参考答案与试题解析一、选择题1下面关于 x 的方程中：一元二次方程的个数是( )ax2+bx+c=0；3（ x9） 2（x+1） 2=1；x+3= ；（a 2+a+1）x 2a=0A1 B2 C3 D4【考点】一元二次方程的定义 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是 2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案【解答】解：方程二次项系数可能为 0，不是一元二次方程；符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；不是整式方程，不是一元二次方程符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；故选 B【点评
13、】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 22如图，ABCD 为正方形，O 为对角线 AC、BD 的交点，则COD 绕点 O 经过下列哪种旋转可以得到DOA( )A顺时针旋转 90 B顺时针旋转 45C逆时针旋转 90 D逆时针旋转 45【考点】旋转的性质 【专题】几何图形问题【分析】因为四边形 ABCD 为正方形，所以COD= DOA=90，OC=OD=OA，则COD 绕点 O 逆时针旋转得到DOA，旋转角为 COD 或 DOA，据此可得答案【解答】解：四边形 ABCD 为正方形，COD=D
14、OA=90，OC=OD=OA，COD 绕点 O 逆时针旋转得到 DOA，旋转角为 COD 或 DOA，故选：C【点评】本题考查了旋转的性质，旋转要找出旋转中心、旋转方向、旋转角第 7 页（共 27 页）3一元二次方程 x22x1=0 的根的情况为( )A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C只有一个实数根 D没有实数根【考点】根的判别式 【专题】计算题【分析】先计算判别式得到=（ 2） 24（ 1）=8 0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况【解答】解：根据题意=（ 2） 24（ 1）=8 0，所以方程有两个不相等的实数根故选：B【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a
15、 0）的根的判别式=b 24ac：当 0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根4图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽 4m如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）Ay=2x 2 By=2x 2Cy=x 2 Dy=x 2【考点】根据实际问题列二次函数关系式【专题】压轴题【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解【解答】解：设此函数解析式为：y=ax 2，a0；那么（2，2）应在此函数解析式上则2=4a即得
16、 a=，那么 y=x 2故选：C【点评】根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点5下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）第 8 页（共 27 页）A B C D【考点】中心对称图形；轴对称图形【分析】根据中心对称图形的定义旋转 180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出【解答】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；C、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项错误；D、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误
17、；故选：A【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键6已知如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 E，CD=6，AE=1，则O 的直径为（ ）A6 B8 C10 D12【考点】垂径定理；勾股定理【分析】连接 OC，根据题意 OE=OC1，CE=3，结合勾股定理，可求出 OC 的长度，即可求出直径的长度【解答】解：连接 OC，弦 CDAB 于 E，CD=6，AE=1，OE=OC1，CE=3，OC 2=（OC1） 2+32，OC=5，AB=10故选 C【点评】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键在于连接 OC，构建直角三角形，根据勾股定理求半
18、径 OC 的长度二、填空题第 9 页（共 27 页）7关于 x 的一元二次方程 x2+（2a1）x+5a=ax+1 的一次项系数为 4，则常数项为： 1 【考点】一元二次方程的一般形式【分析】移项并整理，然后根据一次项系数列方程求出 a 的值，再求解即可【解答】解：移项得，x 2+（2a1）x+5aax1=0，x2+（a1）x+4a=0，一次项系数为 4，a1=4，解得 a=5，所以，常数项为 4a=45=1故答案为：1【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a0）8已知 m 是关于 x 的方程 x22x3=0 的一个根，则 2m24m= 6
19、【考点】一元二次方程的解【专题】推理填空题【分析】根据 m 是关于 x 的方程 x22x3=0 的一个根，通过变形可以得到 2m24m 值，本题得以解决【解答】解：m 是关于 x 的方程 x22x3=0 的一个根，m 22m3=0，m 22m=3，2m 24m=6，故答案为：6【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件9抛物线 y=2x2+3x1 向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到新的抛物线解析式是 y=2（x） 2+ 【考点】二次函数图象与几何变换【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式【
20、解答】解：y=2x 2+3x1=2（x+） 2，其顶点坐标为（，）第 10 页（共 27 页）向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度后的顶点坐标为（，），得到的抛物线的解析式是 y=2（x） 2+故答案为：y=2（x） 2+【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减10如图，已知 A，B 两点的坐标分别为（2，0），（0，10），M 是AOB 外接圆C 上的一点，且AOM=30，则点 M 的坐标为 （4，4） 【考点】三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质【分析】由勾股定理求出 AB 的长，由圆周角定理得出 AB 为直径，求出半径和圆心
21、 C 的坐标，过点C 作 CFOA，过点 P 作 MEOA 于 E 交 CF 于 F，作 CNOE 于 N，设 ME=x，得出 OE=x，在CMF 中，根据勾股定理得出方程，解方程即可【解答】解：A，B 两点的坐标分别为（2，0），（0，10），OB=10，OA=2，AB=4，AOB=90，AB 是直径，CM=2，RtAOB 外接圆的圆心为 AB 中点，C 点坐标为（，5），过点 C 作 CFOA，过点 M 作 MEOA 于 E 交 CF 于 F，作 CNOE 于 N，如图所示：则 ON=AN=OA=，设 ME=x，AOM=30，OE=xCFM=90，MF=5x，CF=x，CM=2，在CMF
22、中，根据勾股定理得：（ x） 2+（5x） 2=（2） 2，解得：x=4 或 x=0（舍去），OE=x=4第 11 页（共 27 页）故答案为：（4，4）【点评】本题考查的是圆周角定理、直角三角形的性质、勾股定理；熟练掌握圆周角定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键11如图，在 RtABC 中，ABC=90，AB=BC=，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60，得到ADE，连接 BE，则 BE 的长是 2+2 【考点】旋转的性质【专题】综合题【分析】首先考虑到 BE 所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求 BE，可能需要构造直角三角形由旋转的性质可知，AC=AE，CAE=60，故ACE
23、是等边三角形，可证明ABE 与CBE全等，可得到ABE=45，AEB=30，再证AFB 和AFE 是直角三角形，然后在根据勾股定理求解【解答】解：连结 CE，设 BE 与 AC 相交于点 F，如下图所示，RtABC 中，AB=BC，ABC=90BCA=BAC=45RtABC 绕点 A 逆时针旋转 60与 RtADE 重合，BAC=DAE=45，AC=AE又旋转角为 60BAD=CAE=60，ACE 是等边三角形AC=CE=AE=4在ABE 与CBE 中，ABECBE （SSS）ABE=CBE=45，CEB=AEB=30在ABF 中，BFA=1804545=90AFB=AFE=90在 RtABF
24、 中，由勾股定理得，BF=AF=2第 12 页（共 27 页）又在 RtAFE 中，AEF=30，AFE=90FE=AF=2BE=BF+FE=2+2故，本题的答案是：2+2【点评】此题是旋转性质题，解决此题，关键是思路要明确：“构造”直角三角形在熟练掌握旋转的性质的基础上，还要应用全等的判定及性质，直角三角形的判定及勾股定理的应用12自主学习，请阅读下列解题过程解一元二次不等式：x 25x0解：设 x25x=0，解得：x 1=0，x 2=5，则抛物线 y=x25x 与 x 轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）画出二次函数 y=x25x 的大致图象（如图所示），由图象可知：当 x0，或 x5 时
25、函数图象位于 x 轴上方，此时 y0，即 x25x0，所以，一元二次不等式 x25x0 的解集为：x0 或 x5通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 和 （只填序号）转化思想 分类讨论思想 数形结合思想（2）一元二次不等式 x25x0 的解集为 0x5 （3）用类似的方法写出一元二次不等式的解集：x 22x30 x1 或 x3 【考点】二次函数与不等式（组）；抛物线与 x 轴的交点【分析】（1）根据题意容易得出结论；（2）由图象可知：当 0x5 时函数图象位于 x 轴下方，此时 y0，即 x25x0，即可得出结果；第 13 页
26、（共 27 页）（3）设 x22x3=0，解方程得出抛物线 y=x22x3 与 x 轴的交点坐标，画出二次函数y=x2，2x3 的大致图象，由图象可知：当 x1，或 x5 时函数图象位于 x 轴上方，此时y0，即 x25=2x30，即可得出结果【解答】解：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的和；故答案为：，；（2）由图象可知：当 0x5 时函数图象位于 x 轴下方，此时 y0，即 x25x0，一元二次不等式 x25x0 的解集为：0x5；故答案为：0x5（3）设 x22x3=0，解得：x 1=3，x 2=1，抛物线 y=x22x3 与 x 轴的交点坐标为（3，0）和（1，0）画出二次函
27、数 y=x22x3 的大致图象（如图所示），由图象可知：当 x1，或 x3 时函数图象位于 x 轴上方，此时 y0，即 x22x30，一元二次不等式 x22x30 的解集为：x1 或 x3故答案为 x1 或 x3【点评】本题考查了二次函数与不等式组的关系、二次函数的图象、抛物线与 x 轴的交点坐标、一元二次方程的解法等知识；熟练掌握二次函数与不等式组的关系是解决问题的关键三、计算题13解方程：（1）x 22x2=0；（2）（x2） 23（x2）=0【考点】解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-因式分解法【分析】观察各题特点，确定求解方法：（1）用配方法解方程，首先移项，把常数项移到等号的右边
28、，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数的一半，即可使左边是完全平方式，右边是常数，即可求解；（2）用提公因式法解方程，方程左边可以提取公因式 x2，即可分解，转化为两个式子的积是 0的形式，从而转化为两个一元一次方程求解第 14 页（共 27 页）【解答】解：（1）x 22x+1=3（x1） 2=3x1=x 1=1+，x 2=1（2）（x2）（x23）=0x2=0 或 x5=0x 1=2，x 2=5【点评】灵活掌握解一元二次方程的方法，根据方程的特点选取合适的求解方法14先化简，再求值：（），其中，a 是方程 x2+3x+1=0 的根【考点】分式的化简求值；一元二次方程的解【专题】计算题【分
29、析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将 a 代入方程求出 a2+3a 的值，代入计算即可求出值【解答】解：原式=+=（+）=，a 是方程 x2+3x+1=0 的根，a 2+3a=1，则原式=【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键15如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 M 在O 上，MD 恰好经过圆心 O，连接 MB（1）若 CD=16，BE=4，求O 的直径；（2）若M=D，求D 的度数【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理【专题】几何综合题【分析】（1）先根据 CD=16，BE=4，得出 O
30、E 的长，进而得出 OB 的长，进而得出结论；第 15 页（共 27 页）（2）由M=D，DOB=2D，结合直角三角形可以求得结果；【解答】解：（1）ABCD，CD=16，CE=DE=8，设 OB=x，又BE=4，x 2=（x4） 2+82，解得：x=10，O 的直径是 20（2）M=BOD，M=D，D=BOD，ABCD，D=30【点评】本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧16已知关于 x 的方程 x2+ax+a2=0（1）若该方程的一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一根；（2）求证：不论 a 取何
31、实数，该方程都有两个不相等的实数根【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系【专题】判别式法【分析】（1）将 x=1 代入方程 x2+ax+a2=0 得到 a 的值，再根据根与系数的关系求出另一根；（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答【解答】解：（1）将 x=1 代入方程 x2+ax+a2=0 得，1+a+a2=0，解得，a=；方程为 x2+x=0，即 2x2+x3=0，设另一根为 x1，则 1x1=，x 1=（2）=a 24（a2）=a 24a+8=a 24a+4+4=（a2） 2+40，不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根【点评】本题考查了根的判别式和
32、根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用第 16 页（共 27 页）四、作图题17如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点ABC（顶点是网格线的交点）和点 A1画出ABC 关于点 A1的中心对称图形【考点】作图-旋转变换【专题】作图题【分析】延长 AA1到 A，使 A1A=AA 1，则点 A为 A 的对应点，同样方法作出 B、C 的对应点B、C，从而得到ABC【解答】解：如图，ABC为所作【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形五
33、、解答题18已知关于 x 的一元二次方程 x22x+m1=0 有两个实数根 x1，x 2（1）求 m 的取值范围；（2）当 x12+x22=6x1x2时，求 m 的值【考点】根与系数的关系；根的判别式【分析】（1）根据一元二次方程 x22x+m1=0 有两个实数根，可得0，据此求出 m 的取值范围；（2）根据根与系数的关系求出 x1+x2，x 1x2的值，代入 x12+x22=6x1x2求解即可【解答】解：（1）原方程有两个实数根，=（2） 24（m1）0，整理得：44m+40，解得：m2；（2）x 1+x2=2，x 1x2=m1，x 12+x22=6x1x2，（x 1+x2） 22x 1x2
34、=6x1x2，第 17 页（共 27 页）即 4=8（m1），解得：m=m=2，符合条件的 m 的值为【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解答本题的关键是掌握两根之和与两根之积的表达方式19某文具店购进一批纪念册，每本进价为 20 元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20 元且不高于 28 元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为 22 元时，销售量为 36 本；当销售单价为 24 元时，销售量为 32 本（1）请直接写出 y 与 x 的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得 150 元的利润时
35、，每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 w 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用【专题】应用题；二次函数图象及其性质【分析】（1）设 y=kx+b，根据题意，利用待定系数法确定出 y 与 x 的函数关系式即可；（2）根据题意结合销量每本的利润=150，进而求出答案；（3）根据题意结合销量每本的利润=w，进而利用二次函数增减性求出答案【解答】解：（1）设 y=kx+b，把（22，36）与（24，32）代入得：，解得：，则 y=2x+80；（2）设当文具店每周销
36、售这种纪念册获得 150 元的利润时，每本纪念册的销售单价是 x 元，根据题意得：（x20）y=150，则（x20）（2x+80）=150，整理得：x 260x+875=0，（x25）（x35）=0，第 18 页（共 27 页）解得：x 1=25，x 2=35（不合题意舍去），答：每本纪念册的销售单价是 25 元；（3）由题意可得：w=（x20）（2x+80）=2x 2+120x1600=2（x30） 2+200，此时当 x=30 时，w 最大，又售价不低于 20 元且不高于 28 元，x30 时，y 随 x 的增大而增大，即当 x=28 时，w 最大 =2（2830） 2+200=192（元
37、），答：该纪念册销售单价定为 28 元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是 192元【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每本的利润=w 得出函数关系式是解题关键20（2015阜新）如图，抛物线 y=x 2+bx+c 交 x 轴于点 A（3，0）和点 B，交 y 轴于点C（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 P 在抛物线上，且 SAOP =4SBOC，求点 P 的坐标；（3）如图 b，设点 Q 是线段 AC 上的一动点，作 DQx 轴，交抛物线于点 D，求线段 DQ 长度的最大值【考点】二次函数综合
38、题【专题】压轴题【分析】（1）把点 A、C 的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；（2）设 P 点坐标为（x，x 22x+3），根据 SAOP =4SBOC 列出关于 x 的方程，解方程求出 x 的值，进而得到点 P 的坐标；（3）先运用待定系数法求出直线 AC 的解析式为 y=x+3，再设 Q 点坐标为（x，x+3），则 D 点坐标为（x，x 2+2x3），然后用含 x 的代数式表示 QD，根据二次函数的性质即可求出线段 QD 长度的最大值第 19 页（共 27 页）【解答】解：（1）把 A（3，0），C（0，3）代入 y=x 2+bx+c，得，解得故该抛
39、物线的解析式为：y=x 22x+3（2）由（1）知，该抛物线的解析式为 y=x 22x+3，则易得 B（1，0）S AOP =4SBOC ，3|x 22x+3|=413整理，得（x+1） 2=0 或 x2+2x7=0，解得 x=1 或 x=12则符合条件的点 P 的坐标为：（1，4）或（1+2，4）或（12，4）；（3）设直线 AC 的解析式为 y=kx+t，将 A（3，0），C（0，3）代入，得，解得即直线 AC 的解析式为 y=x+3设 Q 点坐标为（x，x+3），（3x0），则 D 点坐标为（x，x 22x+3），QD=（x 22x+3）（x+3）=x 23x=（x+） 2+，当 x=时
40、，QD 有最大值【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想21把边长分别为 4 和 6 的矩形 ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点 C 顺时针旋转 a 角，旋转后的矩形记为矩形 EDCF在旋转过程中，（1）如图，当点 E 在射线 CB 上时，E 点坐标为 ；（2）当CBD 是等边三角形时，旋转角 a 的度数是 （a 为锐角时）；（3）如图，设 EF 与 BC 交于点 G，当 EG=CG 时，求点 G 的坐标；（4）如图，当旋转角 a=90时，请判断矩形 EDCF 的对称中心
41、H 是否在以 C 为顶点，且经过点A 的抛物线上第 20 页（共 27 页）【考点】二次函数综合题【专题】综合题【分析】（1）依题意得点 E 在射线 CB 上，横坐标为 4，纵坐标根据勾股定理可得点 E（2）已知BCD=60，BCF=30，然后可得=60（3）设 CG=x，则 EG=x，FG=6x，根据勾股定理求出 CG 的值（4）设以 C 为顶点的抛物线的解析式为 y=a（x4） 2，把点 A 的坐标代入求出 a 值当 x=7 时代入函数解析式可得解【解答】解（1）E（4，2）（l 分）（2）60（2 分）（3）设 CG=x，则 EG=x，FG=6x，在 RtFGC 中，CF 2+FG2=C
42、G2，4 2+（6x） 2=x2解得 ，即（4 分）（4）设以 C 为顶点的抛物线的解析式为 y=a（x4） 2，把 A（0，6）代入，得 6=a（04） 2解得 a=抛物线的解析式为 y=（x4） 2矩形 EDCF 的对称中心 H 即为对角线 FD、CE 的交点，H（7，2）当 x=7 时，点 H 不在此抛物线上（7 分）【点评】本题考查的是二次函数的综合运用以及利用待定系数法求出函数解析式，难度较大六、解答题第 21 页（共 27 页）22（1）如图，在正方形 ABCD 中，AEF 的顶点 E，F 分别在 BC，CD 边上，高 AG 与正方形的边长相等，求EAF 的度数（2）如图，在 Rt
43、ABD 中，BAD=90，AB=AD，点 M，N 是 BD 边上的任意两点，且MAN=45，将ABM 绕点 A 逆时针旋转 90至ADH 位置，连接 NH，试判断 MN，ND，DH 之间的数量关系，并说明理由（3）在图中，连接 BD 分别交 AE，AF 于点 M，N，若 EG=4，GF=6，BM=3，求 AG，MN 的长【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理【分析】（1）根据高 AG 与正方形的边长相等，证明三角形全等，进而证明角相等，从而求出解（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论（3）设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果【解答】解：（1）
44、在 RtABE 和 RtAGE 中，AB=AG，AE=AE，RtABERtAGE（HL）BAE=GAE同理，GAF=DAF（2）MN 2=ND2+DH2BAM=DAH，BAM+DAN=45，HAN=DAH+DAN=45HAN=MAN又AM=AH，AN=AN，AMNAHNMN=HNBAD=90，AB=AD，ABD=ADB=45HDN=HDA+ADB=90NH 2=ND2+DH2MN 2=ND2+DH2第 22 页（共 27 页）（3）由（1）知，BE=EG，DF=FG设 AG=x，则 CE=x4，CF=x6在 RtCEF 中，CE 2+CF2=EF2，（x4） 2+（x6） 2=102解这个方程
45、，得 x1=12，x 2=2（舍去负根）即 AG=12在 RtABD 中，在（2）中，MN 2=ND2+DH2，BM=DH，MN 2=ND2+BM2设 MN=a，则即 a 2=（9a） 2+（3） 2，即【点评】本题考查正方形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角，以及全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识点等23如图 1，已知一次函数 y=x+3 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线 y=x 2+bx+c 过A、B 两点，且与 x 轴交于另一点 C（1）求 b、c 的值；（2）如图 1，点 D 为 AC 的中点，点 E 在线段 BD 上，且 BE=2ED，连接 CE 并延长
46、交抛物线于点 M，求点 M 的坐标；（3）将直线 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 15后交 y 轴于点 G，连接 CG，如图 2，P 为ACG 内一点，连接 PA、PC、PG，分别以 AP、AG 为边，在他们的左侧作等边APR，等边AGQ，连接 QR求证：PG=RQ；求 PA+PC+PG 的最小值，并求出当 PA+PC+PG 取得最小值时点 P 的坐标【考点】二次函数综合题【分析】（1）把 A（3，0），B（0，3）代入抛物线 y=x 2+bx+c 即可解决问题第 23 页（共 27 页）（2）首先求出 A、C、D 坐标，根据 BE=2ED，求出点 E 坐标，求出直线 CE，利用方程组求交点坐标M（3）欲证明 PG=QR，只要证明QARGAP 即可当 Q、R、P、C 共线时，PA+PG+PC 最小，作 QNOA 于
