1、 学科网（北京）股份有限公司 2024 年武汉市部分高中高三起点考试年武汉市部分高中高三起点考试 数学试卷数学试卷 考试时间：考试时间：2024 年年 7 月月 24 日下午日下午 14：00-16：00 试卷满分：试卷满分：150 分分 一一单选题单选题 1.若全集U=R，集合 03,14AxxBxx=的右顶点为A，若以点A为圆心，以b为半径的圆与C的一条渐近线交于,M N两点，且3OMON=，则C的离心率为（）A.2 B.3 C.62 D.2 33 6.若曲线ln(2yxa=+）的一条切线为e2yxb=（e为自然对数的底数），其中,a b为正实数，则11eab+的取值范围是（）A.)2,e
2、 B.(e,4 C.)4,+D.)e,+7.已知数列 na的前n项和为nS，则（）A.若 na为等差数列，且98910,SS SS，则17180,0SS，则2024S0 D.若 na为等比数列，且50a，则2023S0 8.已知奇函数()f x的定义域为R，对任意的x满足()()2fxf x=+，且()f x在区间()1,0上单调递增，若421log 3,log 2,log512 24abc=，则()()(),f af bf c的大小关系为（）A.()()()f cf af b B.()()()f cf bf a C.()()()f af bf c D.()()()f af cf b 二二多选
3、题多选题 9.下列论述正确的有（）A.若,A B两组成对数据的样本相关系数分别为0.97,0.99ABrr=，则A组数据比B组数据的相关性较强 B.数据49,21,32,29,38,65,30,50的第 60 百分位数为 38 C.若随机变量()27,XN，且(9)0.12P X=，则(57)0.38PX，斜率为k的直线l经过圆O内不在坐标轴上的一个定点P，且与圆O相交于A B两点，下列选项中正确的是（）A.若r为定值，则存在k，使得OPAB B.若k为定值，则存在r，使得OPAB 学科网（北京）股份有限公司 C.若r为定值，则存在k，使得圆O上恰有三个点到l的距离均为k D.若k为定值，则存
4、在r，使得圆O上恰有三个点到l的距离均为2r 三三填空题填空题 12.设椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左右焦点分别为12,F F P是C上的点21212,30PFFFPFF=，则C的离心率为_.13.已知正三棱锥PABC，点,P A B C都在半径为3的球面上，若,PA PB PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为_.14.ABC为锐角三角形，其三个内角A B C的对边分别为a b c，且1,2bCB=，则ABC周长的取值范围为_.四四解答题解答题 15.如图，四棱锥PABCD中，PA 底面,ABCD AB,120CD ADCDaBAD=，90ACB=.（1）求证：BC 平面
5、PAC；（2）若3PAa=，求二面角DPCA的余弦值.16.第 33 届夏季奥林匹克运动会运动会于 2024 年 7 月 26 日至 8 月 11 日在法国巴黎举行，共设置射击游泳田径篮球等 32 个大项，329 个小项.共有来自 120 多个国家的近万名运动健儿同台竞技.我国也将派出强大的阵容在多个项目上参与奖牌的争夺.武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解奥运会的相关知识.武汉市体育局为了解广大民众对奥运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取 200 名幸运参与者，他们得分（满分100 分）数据，统计结果如下
6、：组别)30,40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100 学科网（北京）股份有限公司 频数 5 30 40 50 45 20 10（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设,分别为这 200 人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求,的值（,的值四舍五入取整数）并计算(5193)PX；（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得 1 次抽奖机会，得分不低于的可获得 2 次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为 15 元的纪念品 A 的概率为23，抽
7、中价值为 30 元的纪念品 B 的概率为13.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记 Y 为他参加活动获得纪念品的总价值，求 Y 的分布列和数学期望.（参考数据：()0.6827PX+，(22)0.9545PX+，(33)0.9973PX（1）求()f x的单调区间；（2）若()0g x，求a的取值范围；（3）若曲线()yf x=与x轴有两个不同的交点，求证：曲线()yf x=与曲线()yg x=共有三个不同的交点.19.定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1,2,3经过第一次“和扩充”后得到数列
8、1,3,2,5,3；第二次“和扩充”后得到数列1,4,3,5,2,7,5,8,3.设数列,a b c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为nP，所有项的和为nS.（1）若2,3,4abc=，求22,P S；（2）若2024nP，求正整数n的最小值；（3）是否存在数列(),a b c a b cR，使得数列nS为等比数列？请说明理由.学科网（北京）股份有限公司 硚口区硚口区 2024 年高三年级起点考数学参考答案年高三年级起点考数学参考答案 1.B 2.A 3.A 4.B 5.B 6.C 7.D 8.D 9.BCD 10.BCD 11.AC 12.33 13.33 14.()22,33+15.（
9、1）PA 底面,ABCD BC 平面,ABCDPABC.90,ACBBCAC=.又,PAACA PA AC=平面,PAC BC 平面PAC.（2）令1a=取CD的中点E，易得三角形ADC是正三角形，,AECDAEAB.又PA 底面,ABCD AE AB 平面,ABCDPAAE PAAB.在Rt ACB中，60,1BACAC=，所以2AB=，可建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()3 1310,0,0,0,0,3,0,0,0,2,02222APCDB，设平面PAC的一个法向量 为()1,nx y z=，则110,0,AP nAC n=即3031022zxy=+=令3x=，得()13,3,0
10、n=，设平面PDC的一个法向量为()2,na b c=，则220,0,DC nPC n=即0313022babc=+=，令3a=，得233,0,2n=所以1212125cos,5n nn nnn=.16.（1）由已知频数表得：()53040504520103545556575859565200200200200200200200E X=+=学科网（北京）股份有限公司()22222(3565)0.025(4565)0.15(5565)0.2(6565)0.25(7565)0.225D X=+由2196225，则1415,+=所以14 则 X 服从正态分布()65,14N，所以；(22)()(51
11、93)(2)2PXPXPXPX+=+=0.95450.68270.81862+=（2）显然()()0.5P XP X=，所以所有 Y 的取值为15,30,45,60,()12115233P Y=()111227302323318P Y=+=()1211122452332339P Y=+=()11116023318P Y=所以Y的分布列为：Y 15 30 45 60 P 13 718 29 118 所以，()17211530456030318918E Y=+=17.（1）曲线C上的点到点()F1,0的距离比到直线x3=的距离小 2.所以曲线2:4C yx=，过点()0,1A的直线l与抛物线C仅有
12、一个公共点，若直线l可能与抛物线C的对称轴平行时，则有：1y=，若直线l与抛物线C相切时，易知：0 x=是其中一条直线，另一条直线与抛物线C上方相切时，学科网（北京）股份有限公司 不妨设直线l的斜率为k，设为1ykx=+，联立214ykxyx=+=可得：()222410k xkx+=则有：22(24)40kk=+=解得：1k=，故此时的直线l的方程为：1yx=+，综上，直线l的方程为：1y=或0 x=或1yx=+.（2）若l与C交于,M N两点，分别设其坐标为()()1122,M x yN xy，且12xx，即有：1k 根据韦达定理可得：121222241,kxxx xkk+=则有：11221
13、2112211,ykxykxkkxxxx+=（12121212121124kxkxxxkkkxxx x+=+=+=，故为定值；()21212121212121114,k x xk xxkxkxk kkxxx x+=故不为定值；综上：12kk+为定值124,k k不为定值.18.（1）()yf x=的定义域为：0 x，又已知()1101a xaafxaxax=所以10,xa时，()()0,fxf x单调递增.（2）由题意：()e0axg xx=，即eaxx 若0 x，不等式恒成立，若0 x，即lnxax 学科网（北京）股份有限公司 令()ln(0)xh xxx=()21 lnxh xx=当()0
14、,ex时，()()0,h xh x单调递增；当()e,x+时，()0h x，()h x单调递减；max1()eh x=.故a的取值范围为1,e+.（3）曲线()yf x=与x轴有两个不同的交点，即函数()yf x=有两个不同的零点12,x x 不妨令120 xx()()1e2tm tat=+()()2e0tmtat+=恒成立，则()m t单调递增，又()12 e20ma=令()()1e20tm tat=+=，得()22e1tata=+故存在021lnta=故()e21tm tatt=+有两个零点12122,01lnt ttta 同理()2120,Hxx x不可能在同一单调区间，13420,xx
15、 xx 故有()()()()13420,0H xH xH xH x=所以在()34,x x间存在唯一的0 x使得()00H x=，即两条曲线还有一个交点0 x 故曲线()yf x=与曲线()yg x=共有三个不同的交点.19.（1）2,3,4abc=，第一次“和扩充”后得到数列2,5,3,7,4，第二次“和扩充”后得到数列2,7,5,8,3,10,7,11,4，229,27583 107 11457;PS=+=（2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，数列,a b c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为nP，则经第()1n+次“和扩充”后增加的项数为1nP，所以()112
16、1nnnnPPPP+=+=，所以()112221nnnPPP+=，其中数列,a b c经过 1 次“和扩充”后，得到,a ab b bc c+，故115,14PP=，故1nP 是首项为 4，公比为 2 的等比数列，所以1114 22nnnP+=，故121nnP+=+，则1212024n+，即122023n+，又*nN，解得10n，最小值为 10.（3）因为()121222,32SaabbbccabSSabc=+=+=+，()23232SSabc=+，依次类推，()1132nnnSSabc=+，学科网（北京）股份有限公司 故()()()12112323232nnnnnnSSabcSabcabc=+=+()()2112333nSabc=+，()()13 1 3232231 322nacacabcabcb+=+=+，若使nS为等比数列，则0202acacb+=+或0202acacb+=.
