1、2019-2020 学年山西省高三（下）开学数学试卷（文科）学年山西省高三（下）开学数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的. 1 （5 分）已知集合 A3，2，2，4，6，Bx|（x+2） （5x）0，则 AB（ ） A2，4 B2，2，4 C2，2 D3，2，2 2 （5 分）已知复数 z 满足（23i）z13i，则 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5
2、分）数列an为递增的等比数列，且 a3+a513，a2a636，则公比 q（ ） A或 B或 C D 4 （5 分）已知 a（），b（），clog2，则（ ） Aabc Bcba Cbca Dcab 5 （5 分）将 60 个个体按照 01，02，03，60 进行编号，然后从随机数表的第 9 行第 9 列开始向右读数 （下表为随机数表的第 8 行和第 9 行） ， 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44
3、 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 则抽取的第 11 个个体是（ ） A38 B13 C42 D02 6 （5 分）已知直线 a平面 ，则“平面 平面 ”是“直线 a平面 ”的（ ） A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）已知整数 x，y 满足 x2+y210，记点 M 的坐标为（x，y） ，则点 M 满足 x+y的概率为（ ） A B C D 8 （5 分）函数 y（|x|1）ln|x|的图象大致为（ ） A B C D 9 （5 分）已知正项数列an的前 n 项和为 Sn，且 8Snan2+4an，则数列的
4、前 999 项的和为（ ） A B C D 10 （5 分）更相减损术出自九章算术 ，它原本是为约分而设计的，原文如下：可半者半之，不可半者， 副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之如图所示的程序框图的算法思路就 源于“更相减损术” 若执行该程序框图，则输出的 a 的值为（ ） A14 B12 C7 D6 11 （5 分）在直角坐标系 xOy 中，F1，F2分别是双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点， 位于第一象限上的点 P（x0，y0）是双曲线 C 上的一点，满足0，若点 P 的纵坐标的取值范 围是 y0（c，c） ，则双曲线 C 的离心率的取值范围为（ ） A （，
5、2） B （2，4） C （3，5） D （，） 12 （5 分）已知函数 f（x）+3x3ex是减函数，则正数 a（ ） A9 Be2 C3 De 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13 （5 分）抛物线 y2ax 的焦点为（1，0） ，则 a 14 （5 分） 已知向量 （5， 10） ， （m， 9） ， （3， 2） ， 若 A， B， D 三点共线， 则 m 15 （5 分）已知函数 f（x）2sinx（0）在 xa，2（a0）上的最大值为 1 且单调递增，则
6、2a 的最大值为 16 （5 分）已知三棱锥 PABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，PABC5，PBAC，PCAB 2，则球 O 的表面积为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1721 题为必题为必 考题，每个试题考生都必须作答考题，每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 （
7、1）求 tanB； （2）若，求 b 18 （12 分）高三数学考试中，一般有一道选做题，学生可以从选修 44 和选修 45 中任选一题作答，满 分 10 分某高三年级共有 1000 名学生参加了某次数学考试，为了了解学生的作答情况，计划从该年级 1000 名考生成绩中随机抽取一个容量为 10 的样本，为此将 1000 名考生的成绩按照随机顺序依次编号为 000999 （1）若采用系统抽样法抽样，从编号为 000999 的成绩中随机确定的编号为 026，求样本中的最大编 号 （2）若采用分层抽样法，按照学生选择选修 44 或选修 45 的情况将成绩分为两层，已知该校共有 600 名考生选择了选
8、修 44，400 名考生选择了选修 45，在选取的样本中，选择选修 44 的平均得分 为 6 分，方差为 2，选择选修 45 的平均得分为 5 分，方差为 0.75用样本估计该校 1000 名考生选做 题的平均得分和得分的方差 19 （12 分）如图，已知四棱锥 PABCD 的底面为矩形，PA平面 ABCD，AB3，ADAP4，E 为 PD 的中点 （1）证明：AEPC （2）若 M 为线段 BC 上的一点，且 BM1，求点 M 到平面 PCD 的距离 20 （12 分）已知函数 f（x）xlnx+x （1）求曲线 yf（x）在 xe 处的切线方程； （2）若不等式 f（x）mxm 对任意 x
9、（0，1）恒成立，求正整数 m 的最小值 21 （12 分）已知椭圆 C：1（a1）的左顶点为 A，右焦点为 F，斜率为 1 的直线与椭圆 C 交于 A、B 两点，且 OBAB，其中 O 为坐标原点 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设过点 F 且与直线 AB 平行的直线与椭圆 C 交于 M、N 两点，若点 P 满足，且 NP 与椭圆 C 的另一个交点为 Q，求的值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选选 修修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系
10、与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，已知点 M（1，） ，C1的参数方程为（t 为参数） ，以坐标 原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为2+cos2 （1）求 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2）设曲线 C1与曲线 C2相交于 A，B 两点，求+的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x3|+|x1| （1）求不等式 f（x）6 的解集； （2）设 f（x）的最小值为 M，正数 a，b 满足 a2+4b2M，证明：a+2b4ab 2019-2020 学年山西省高三（下）开学数学试卷（文科）学
11、年山西省高三（下）开学数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的. 1 （5 分）已知集合 A3，2，2，4，6，Bx|（x+2） （5x）0，则 AB（ ） A2，4 B2，2，4 C2，2 D3，2，2 【分析】可以求出集合 B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：A3，2，2，4，6，Bx|2x5， AB2，4 故选：A 【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义
12、及运算，考查了计算能力，属于基础题 2 （5 分）已知复数 z 满足（23i）z13i，则 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标得答案 【解答】解：由（23i）z13i，得， z 在复平面内对应的点的坐标为（3，2） ，位于第二象限 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 3 （5 分）数列an为递增的等比数列，且 a3+a513，a2a636，则公比 q（ ） A或 B或 C D 【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可
13、得出 【解答】解：因为 a2a6a3a536，a3+a513，且数列an为递增教列， 所以 a34，a59， 从而 q 故选：C 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 4 （5 分）已知 a（），b（），clog2，则（ ） Aabc Bcba Cbca Dcab 【分析】利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质分别比较 a，b，c 与 0 和 1 的大小得答案 【解答】解：， ， ， cab 故选：D 【点评】本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂的运算性质与对数的运算性质，是基础题 5 （5 分）将 60 个个体按照 01，02，03，60
14、进行编号，然后从随机数表的第 9 行第 9 列开始向右读数 （下表为随机数表的第 8 行和第 9 行） ， 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 则抽取的第 11 个个体是（ ） A38 B13 C42 D02 【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论 【解答】解：随机数表第 9 行第 9 列为 2，抽取的个体分别为 29，56，
15、07，52，42，44，38，15，51， 13，02，第 11 个个体为 02 故选：D 【点评】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础 6 （5 分）已知直线 a平面 ，则“平面 平面 ”是“直线 a平面 ”的（ ） A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据线面平行、面面垂直的性质即可判断出结论 【解答】解：若直线 a平面 ，平面 平面 ，此时直线 a 与平面 可能平行，所以充分性不成立； 若直线 a平面 ，直线 a平面 ，则平面 平面 ，所以必要性成立， 故选：B 【点评】本题考查了线面平行、面面垂直的性
16、质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 7 （5 分）已知整数 x，y 满足 x2+y210，记点 M 的坐标为（x，y） ，则点 M 满足 x+y的概率为（ ） A B C D 【分析】整数 x，y 满足 x2+y210，列出举满足条件的（x，y）有 37 个，记点 M 的坐标为（x，y） ，列 举出点 M 满足 x+y的（x，y）有 7 个，由此能求出点 M 满足 x+y的概率 【解答】解：整数 x，y 满足 x2+y210， 满足条件的（x，y）有： （0，0） ， （1，0） ， （1，0） ， （2，0） ， （2，0） ， （3，0） ， （3，0） ， （
17、0，1） ， （0，1） ， （0，2） ， （0，2） ， （0，3） ， （0，3） ， （1，1） ， （1，1） ， （1，2） ， （1，2） ， （1，3） ， （1，3） ， （1，1） ， （1，1） ， （1，2） ， （1，2） ， （1，3） ， （1，3） ， （2，1） ， （2，1） ， （2， 2） ， （2，2） ， （3，1） ， （3，1） ， （2，1） ， （2，1） ， （2，2） ， （2，2） ， （3，1） ， （3，1） ，共 37 个， 记点 M 的坐标为（x，y） ，则点 M 满足 x+y的（x，y）有： （0，3） ， （1，2） ， （
18、1，3） ， （2，1） ， （2，2） ， （3，0） ， （3，1） ，共 7 个， 点 M 满足 x+y的概率为 P 故选：D 【点评】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 8 （5 分）函数 y（|x|1）ln|x|的图象大致为（ ） A B C D 【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性，进而分析（0，1）和（1，+）的函数符号，据此排除法分 析可得答案 【解答】解：根据题意，f（x）（|x|1）ln|x|，有 f（x）（|x|1）ln|x|f（x） ， 即函数 y（|x|1）ln|x|为偶函数，排除 A 选项； 当 0 x1 时，ln|x|0，|x|1
19、0，所以 y（|x|1）ln|x|0，排除 B 选项； 当 x1 时，y（x1）lnx，所以函数 y（|x|1）ln|x|在（1，+）上单调递增， 排除 D 选项 故选：C 【点评】本题考查函数的图象变换，注意分析函数的奇偶性、特殊值，属于基础题 9 （5 分）已知正项数列an的前 n 项和为 Sn，且 8Snan2+4an，则数列的前 999 项的和为（ ） A B C D 【分析】本题先利用公式 an进行计算可发现数列an是首项为 4，公差为 4 的等差 数列，即可计算出数列an的通项公式和前 n 项和 Sn的表达式，再计算出数列的通项公式，然后 运用裂项相消法计算出前 999 项的和的值
20、 【解答】解：由题意，当 n1 时， 即4a10， 解得 a10（舍去） ，或 a14， 当 n2 时， 化简整理，得（an+an1） （anan14）0 an+an10，anan14， 数列an是首项为 4，公差为 4 的等差数列， an4+4（n1）4n，nN* Sn4n+42n（n+1） ， （） ， + （1）+（）+（） （1+） （1） 故选：B 【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求前 n 项和考查了转化与化归思想，等 差数列基本量的计算，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力本题属中档题 10 （5 分）更相减损术出自九章算术 ，它原本是为约分而设计的，原文如
21、下：可半者半之，不可半者， 副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之如图所示的程序框图的算法思路就 源于“更相减损术” 若执行该程序框图，则输出的 a 的值为（ ） A14 B12 C7 D6 【分析】根据题意一步一步运算，直到跳出运算 【解答】解：i1，a196，b126，a，b 均为偶数； a98，b63，i2，b 不为偶数； ab，ab，a35，b63，i2； ab，ab，b28，a35，i2； ab，ab，a7，b28，i2； ab，ab，b14，a7，i2； ab，ab，b7，a7，i2； ab，a14， 输出 a14， 故选：A 【点评】本题考查程序框图，注意每一
22、次循环时，写出所有值，属于基础题 11 （5 分）在直角坐标系 xOy 中，F1，F2分别是双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点， 位于第一象限上的点 P（x0，y0）是双曲线 C 上的一点，满足0，若点 P 的纵坐标的取值范 围是 y0（c，c） ，则双曲线 C 的离心率的取值范围为（ ） A （，2） B （2，4） C （3，5） D （，） 【分析】利用已知条件推出，转化求解双曲线的离心率的范围即可 【解答】解：由，可得， 又，解得， 由于，所以， ， 故选：D 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题 12 （5 分）已知函数 f（x）+3x3e
23、x是减函数，则正数 a（ ） A9 Be2 C3 De 【分析】依题意得 f（x）ax+33ex0 恒成立，构造函数 g（x）ax+33ex，利用导数求得其最大 值在时取得，而 g（0）0，于是可得，解之即可 【解答】解：由 f（x）是减函数，得对任意的 xR，都有 f（x）ax+33ex0 恒成立 设 g（x）ax+33ex， g（x）a3ex，a0， 当时，g（x）0； 当时，g（x）0， g（x）在上单调递增，在上单调递减， g（x）在时取得最大值， 又g（0）0， 对任意的 xR，g（x）g（0）恒成立， 即 g（x）的最大值为 g（0） ， ，解得 a3， 故选：C 【点评】题考查利
24、用导数研究函数的单调性，令 g（x）ax+33ex，利用导数求得其最大值是关键，考 查等价转化思想与综合运算能力，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13 （5 分）抛物线 y2ax 的焦点为（1，0） ，则 a 4 【分析】根据焦点坐标可得，则 a2p 即可 【解答】解：由焦点为（1，0） ，得，即 p2，所以 a2p4 故答案为：4 【点评】本题考查利用抛物线焦点坐标求抛物线方程，属于基础题 14 （5 分）已知向量（5，10） ，（m，9） ，（3，2）
25、，若 A，B，D 三点共线，则 m 【分析】推导出，由此能求出 m 【解答】解：向量（5，10） ，（m，9） ，（3，2） ， ， A，B，D 三点共线，5710（m+3） ， 解得 故答案为： 【点评】本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基 础题 15 （5 分）已知函数 f（x）2sinx（0）在 xa，2（a0）上的最大值为 1 且单调递增，则 2a 的最大值为 8 【分析】根据题意，分析可得 f（2）2sin21，且，据此分析可得 的 值，结合正弦函数的单调性分析 a 的最小值，进而计算可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）2sin
26、x（0）在 xa，2（a0）上的最大值为 1 且单调递增， 则 f（2）2sin21，且， 则有，即， 故 amin6，则（2a）max8， 故答案为：8 【点评】本题考查正弦函数的图象性质，注意结合正弦函数的单调性分析 的范围，属于基础题 16 （5 分）已知三棱锥 PABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，PABC5，PBAC，PCAB 2，则球 O 的表面积为 30 【分析】由题意可得此三棱锥的对棱相等，放在长方体中，可得长方体的长宽高的平方和，再由外接球 的直径等于长方体的对角线求出半径，进而求出球的表面积 【解答】解：如图所示，将三棱锥 PABC 补成长方体 球 O 为长方体的外接球
27、，长、宽、高分别为 a，b，c， 则 a2+b225，b2+c220，a2+c215， 所以 a2+b2+c230， 所以球 O 的半径， 则球 O 的表面积为 故答案为：30 【点评】本题主要考查三棱锥与长方体的关系及球的表面积公式，属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1721 题为必题为必 考题，每个试题考生都必须作答考题，每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题
28、：共 60 分分. 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 （1）求 tanB； （2）若，求 b 【分析】 （1）直接利用三角形的内角和以及两角和的正弦展开式即可求解结论； （2）先利用（1）的结论以及同角三角函数关系式求出 cosB，再利用余弦定理即可求解 【解答】解： （1）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 2sinAsinCsinB+2sinBcosC； sinAsin（B+C）sin（B+C）sinBcosC+cosBsinC； 联立得：2cosBsinCsinCsinB； 因为 sinC02cosBsinB； ta
29、nB； （2）由（1）得 2cosBsinB；且 sin2B+cos2B1，cosB0； cosB； b2a2+c22accosB+3224b2 【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用考查了学生对三角函数基础知识的综合运用 18 （12 分）高三数学考试中，一般有一道选做题，学生可以从选修 44 和选修 45 中任选一题作答，满 分 10 分某高三年级共有 1000 名学生参加了某次数学考试，为了了解学生的作答情况，计划从该年级 1000 名考生成绩中随机抽取一个容量为 10 的样本，为此将 1000 名考生的成绩按照随机顺序依次编号为 000999 （1）若采用系统抽样法抽样，从编号
30、为 000999 的成绩中随机确定的编号为 026，求样本中的最大编 号 （2）若采用分层抽样法，按照学生选择选修 44 或选修 45 的情况将成绩分为两层，已知该校共有 600 名考生选择了选修 44，400 名考生选择了选修 45，在选取的样本中，选择选修 44 的平均得分 为 6 分，方差为 2，选择选修 45 的平均得分为 5 分，方差为 0.75用样本估计该校 1000 名考生选做 题的平均得分和得分的方差 【分析】 （1）根据系统抽样法求出抽样间隔和最大编号； （2）根据分层抽样法求出抽取数据，计算平均数和方差 【解答】解： （1）根据系统抽样法知，抽样间隔为 100， 所以最大编
31、号为 26+100（101）926 （2）样本中选择选修 44 的考生有 6 人，45 的考生有 4 人， 所以得分平均数为； 从选择选修 44 的考生中抽取 6 人，分别记为 a1，a2，a6， 从选择选修 45 的考生中抽取 4 人，分别记为 b1，b2，b3，b4， 则， 所以， 同理， 所以样本得分的方差为： 228+10311.256+1631.36 1.74 所以估计该校 1000 名考生选做题的平均得分为 5.6，方差为 1.74 【点评】本题考查了抽样方法与平均数和方差的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题 19 （12 分）如图，已知四棱锥 PABCD 的底面为矩形，PA
32、平面 ABCD，AB3，ADAP4，E 为 PD 的中点 （1）证明：AEPC （2）若 M 为线段 BC 上的一点，且 BM1，求点 M 到平面 PCD 的距离 【分析】 （1）先由 PACD 及 CDAD 证得 CD平面 PAD，进而得到 AECD，再由三线合一证得 AE PD，由此证得 AE平面 PCD，再由线面垂直的性质即可得证 AEPC； （2）求出PCD 及MCD 的面积，利用 VPMCDVMPCD即可求得点 M 到平面 PCD 的距离 【解答】解： （1）PA平面 ABCD，CD 在平面 ABCD 内， PACD， 又四边形 ABCD 为矩形， CDAD， 又 PAADA，且都在
33、平面 PAD 内， CD平面 PAD， 又 AE 在平面 PAD 内， AECD， ADAP，且 E 为 PD 中点， AEPD， 又 CDPDD，且都在平面 PCD 内， AE平面 PCD， 又 PC 在平面 PCD 内， AEPC； （2）由（1）可知，CDPD，即PCD 为直角三角形， 又，CDAB3， ， 又 BM1，BCAD4， ， 设点 M 到平面 PCD 的距离为 h，则由 VPMCDVMPCD可知，则 ， 点 M 到平面 PCD 的距离为 【点评】本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的运用，考查利用等体积法求点到平面的距离，考查 逻辑推理能力及计算能力，属于中档题 20 （12
34、 分）已知函数 f（x）xlnx+x （1）求曲线 yf（x）在 xe 处的切线方程； （2）若不等式 f（x）mxm 对任意 x（0，1）恒成立，求正整数 m 的最小值 【分析】 （1）求出相应导数值和函数值即可表示出切线； （2）条件等价于 m，构造函数 g（x），二次求导判断出函数 g（x）的最大值，根 据最大值取值范围可得 m 的取值范围 【解答】解： （1）根据题意 f（x）lnx+2，则当 xe 时，f（e）2e，f（e）3， 则曲线在 xe 处的切线方程为 y2e3（xe） ，整理得 3xye0； （2）不等式 xlnx+xmxm 即 xlnx+xm（x1） ， 因为 x（0，1
35、） ，则 x10， 所以 m，令 g（x），则 g（x）， 令 h（x）xlnx2，则 h（x）10， 所以 h（x）在（0，1）上单调递减， 因为 h（1）10，h（）ln20， 所以存在 x0（，1）使得 h（）0，即 x02lnx0， 则当 0 xx0时，h（x）0，g（x）0，g（x）单调递增， x0 x1 时，h（x）0，g（x）0，g（x）单调递减， 所以当 xx0时，g（x）取最大值， 则 g（x）g（x0）x0， 因为 mg（x） ，所以 mx0，且 x01， 因为 m 为整数，所以 m1， 则 m 的最小整数值为 1 【点评】本题考查利用导数求曲线上某点处的切线方程，考查不等
36、式恒成立问题，属于中档偏难题 21 （12 分）已知椭圆 C：1（a1）的左顶点为 A，右焦点为 F，斜率为 1 的直线与椭圆 C 交于 A、B 两点，且 OBAB，其中 O 为坐标原点 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设过点 F 且与直线 AB 平行的直线与椭圆 C 交于 M、N 两点，若点 P 满足，且 NP 与椭圆 C 的另一个交点为 Q，求的值 【分析】 （1）设出直线 AB 的方程，与椭圆方程联立，求出点 B 的坐标，再根据 OBAB，建立关于 a 的方程，解出即可； （2）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，Q（x3，y3） ，由已知，将点 Q 的坐标用点 M，N 表
37、示，再 由点 Q 在椭圆上，得到关于 m 的方程，解出即可 【解答】解： （1）由题意得，设直线 AB 的方程：xya，与椭圆联立整理得： （1+a2）y22ay0， yB， xB， 因为 OBAB， 1，a1，解得：a23， 所以椭圆 C 的标准方程：1； （2）由（1）得，F（，0）所以由题意得直线 MN 的方程为：， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，Q（x3，y3） ， 将代入1，得， ， ， ， ，则， 设，则，即， ， 点 Q（x3，y3）在椭圆 C 上， ， 整理得， 由上知，且， ，即 7m218m250，解得或 m1（舍） ， 故 【点评】本题考查直线与椭圆的综合运
38、用，考查逻辑推理能力，特别是考查了化简运算求解能力，属于 中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选选 修修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，已知点 M（1，） ，C1的参数方程为（t 为参数） ，以坐标 原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为2+cos2 （1）求 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2）设曲线 C1与曲线 C2相交于 A，B
39、两点，求+的值 【分析】 （1）由代入消元法，消去 t 可得 C1的普通方程；由 xcos，x2+y22，代入计算可得 C2的 直角坐标方程； （2）判断 M 在 C2上，设出曲线 C1的参数的标准方程，代入曲线 C2的直角坐标方程，再由韦达定理和 参数的几何意义，计算可得所求值 【解答】解： （1）由 C1的参数方程（t 为参数） ，消去参数 t，可得， 由曲线 C2的极坐标方程2+cos2，得 22+2cos23， 由 xcos，x2+y22， 所以 C2的直角坐方程为 3x2+2y23，即 （2）因为在曲线 C1上， 故可设曲线 C1的参数方程为（t 为参数） ， 代入 3x2+2y23
40、，化简可得 3t2+8t+20， 设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则644320， 且， 所以 【点评】本题考查参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程的运用，注意参 数的几何意义，考查方程思想和运算能力，属于中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x3|+|x1| （1）求不等式 f（x）6 的解集； （2）设 f（x）的最小值为 M，正数 a，b 满足 a2+4b2M，证明：a+2b4ab 【分析】 （1）先将 f（x）写为分段函数的形式，然后根据 f（x）6 利用零点分段法解不等式即可； （2）先利用绝对值三角不等式求出 f
41、（x）的最小值 M，然后利用分析法证明不等式即可 【解答】解： （1）f（x）|x3|+|x1| f（x）6，或或， 即以1x1 或 3x5 或 1x3， 不等式的解集为1，5 （2）（x）|x+3|+|x1|x3x+1|2，M2， a0，b0，要证 a+2b4ab，只需证（a+2b）216a2b2， 即证 a2+4b2+4ab16a2b2， a2+4b22，只要证 2+4ab16a2b2， 即证 8（ab）22ab10，即证（4ab+1） （2ab1）0， 4ab+10，只需证， 2a2+4b24ab，成立， a+2b4ab 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用分析法证明不等式，考查了分类讨 论思想和转化思想，属中档题
