1、 2019-2020 学年山西省高三（下）开学数学试卷（文科） （学年山西省高三（下）开学数学试卷（文科） （A 卷）卷） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1 （5 分）已知集合 Ax|x（x2）0，Bx|x1，则 AB（ ） A0，2 B1，2） C1，2 D （0，2） 2 （5 分）设 aR，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则 a（ ） A2 B1 C1 D2 3 （5 分）已知向量 ， 不共线，若向量（ +3 ）（
2、k ） ，则实数 k（ ） A B C D 4 （5 分）某次考试后，对全班同学的数学成绩进行整理，并得到如表： 分数段 70，90） 90，110） 110，130） 130，150 人数 5 15 20 10 将以上数据绘制成频率分布直方图后，可估计出本次考试数学成绩的中位数是（ ） A110 B115 C120 D125 5 （5 分）设 F1，F2分别为椭圆 E：+y21（a1）的左、右焦点，过 F2且垂直于 x 轴的直线与 E 相 交于 A，B 两点，若F1AB 为正三角形，则 a（ ） A B C D2 6 （5 分）函数（x2）的最小值是（ ） A3 B4 C5 D6 7 （5
3、分）已知变量 m 的取值完全由变量 a，b，c，d 的取值确定某同学进行了四次试验，每次试验中他预 先设定好 a，b，c，d 四个变量的取值，然后记录相应的变量 m 的值，得到如表： 试验编号 a b c d m 1 1 1 1 4 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 0 2 2 2 1 则 m 关于 a，b，c，d 的表达式不可能是（ ） Am Bm Cm Dm 8 （5 分）对于函数的图象，下列说法正确的是（ ） A关于直线 x1 对称 B关于直线 yx 对称 C关于点（1，0）对称 D关于点（0，1）对称 9 （5 分）已知数列an的通项公式为 an（3n+7）0.9n，则数列an的
4、最大项是（ ） Aa5 Ba6 Ca7 Da8 10（5 分） 执行如图所示的程序框图 （其中 amodb 表示 a 除以 b 后所得的余数） ， 则输出的 N 的值是 （ ） A78 B79 C80 D81 11 （5 分）已知直角三角形 ABC 两直角边长之和为 3，将ABC 绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转 体体积的最大值为（ ） A B C D 12 （5 分）设 F1，F2分别为双曲线 E：1（a，b0）的左、右焦点，以坐标原点 O 为圆心，|OF1| 为半径的圆与双曲线 E 的右支相交于 P， Q 两点， 与 E 的渐近线相交于 A， B， C， D 四点， 若四边形 PF1Q
5、F2 的面积与四边形 ABCD 的面积相等，则双曲线 E 的离心率为（ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 ， 是向量，命题“若 ，则| | |”的逆否命题是 14 （5 分）已知等差数列an的公差为 d，且 d0，前 n 项和为 Sn，若 4S2，3S3，2S4也成等差数列，则 15 （5 分）关于 x 的方程无实根，则实数 m 的取值范围为 16 （5 分）将函数 f（x）2sinxcosx2的图象向左 a（a0）个单位长度，得到函数 yg （x）的图象，若 g（x）g（x）对任意实数
6、x 成立，则实数 a 的最小值为 此时，函数 g （x）在区间上的图象与直线 y2 所围成的封闭图形的面积为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答第都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）如图，平面四边形 ABCD 中，AD5，CD2，ABAD，tanCAB （1）求 AC 的长； （2）若ABC，求ABC 的面积 18 （12
7、分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，BCBB1，B1BC60，B1C1ABl （l）证明：ABAC； （2）若 ABAC，AB1BB12，点 M 是 B1C1的中点，求点 M 到平面 A1B1C 的距离 19 （12 分）已知直线 xmy+1 与圆（x1）2+（y1）24 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点 （1）当 m1 时，求|AB|； （2）是否存在实数 m，使得 OAOB，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 20 （12 分）某人某天的工作是：驾车从 A 地出发，到 B，C 两地办事，最后返回 A 地 A，B，C 三地之间 各路段行驶时间及当天降水概率如表 路段 正常行
8、驶所需时间（小上午降水概率 下午降水概率 时） AB 2 0.3 0.6 BC 2 0.2 0.7 CA 3 0.3 0.9 若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长 1 小时 现有如下两个方案： 方案甲：上午从 A 地出发到 B 地办事，然后到达 C 地，下午在 C 地办事后返回 A 地； 方案乙：上午从 A 地出发到 C 地办事，下午从 C 地出发到达 B 地，办事后返回 A 地 设此人 8 点从 A 地出发，在各地办事及午餐的累积时间为 2 小时 现采用随机数表法获取随机数并进行随机模拟试验，按照以下随机数表，以方框内的数 字 5 为起点，从左向右依次读取数据，若到达某行最后一个数
9、字，则从下一行最左侧数字继续读取，每 次读取 4 位随机数，第 1 位数表示采取的方案，其中 04 表示采用方案甲，59 表示采用方案乙；第 2 4 位依次分别表示当天行驶的三个路段上是否降水，若某路段降水概率为，则 0k1 表示降水， k9 表示不降水（符号 mn 表示的数集包含 m，n） （1）利用数据“5129”模拟当天的情况，试推算他当日办完事返回 A 地的时间； （2）利用随机数表依次取出采用甲、乙方案的模拟结果各两组，分别计算甲、乙两个方案的平均时间， 并回答哪个方案办完事后能尽早返回 A 地 21 （12 分）已知函数 f（x）x2ax+a2lnx（aR） ，g（x）2xlnxx
10、2 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）求证：当 a1 时，对于任意 x（0，+） ，都有 f（x）g（x） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作 答时请用答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在极坐标系 Ox 中， 直线 m， n 的方程分别为 cos3， sin2， 曲线 C： 以 极点 O 为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴，建
11、立平面直角坐标系 （1）将直线 m，n 的方程与曲线 C 的方程化成直角坐标方程； （2）过曲线 C 上动点 P 作直线 m，n 的垂线，求由这四条直线围成的矩形面积的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知 abc0，且 a+2b+3c1，求证： （1）； （2）a2+8b2+27c21 2019-2020 学年山西省高三（下）开学数学试卷（文科） （学年山西省高三（下）开学数学试卷（文科） （A 卷）卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个
12、选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1 （5 分）已知集合 Ax|x（x2）0，Bx|x1，则 AB（ ） A0，2 B1，2） C1，2 D （0，2） 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|x（x2）0 x|0 x2，Bx|x1， ABx|1x21，2） 故选：B 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2 （5 分）设 aR，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则 a（ ） A2 B1 C1 D2 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为 0 求解 【解答】
13、解：复数在复平面内对应的点位于实轴上， ，即 a1 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 3 （5 分）已知向量 ， 不共线，若向量（ +3 ）（k ） ，则实数 k（ ） A B C D 【分析】根据向量共线定理，求出即可 【解答】解：向量 ， 不共线，向量（ +3 ）（k ） ，得 +3 （k ） ， 得， 3k1， k， 故选：A 【点评】考查向量共线定理，基础题 4 （5 分）某次考试后，对全班同学的数学成绩进行整理，并得到如表： 分数段 70，90） 90，110） 110，130） 130，150 人数 5 15 20 10
14、将以上数据绘制成频率分布直方图后，可估计出本次考试数学成绩的中位数是（ ） A110 B115 C120 D125 【分析】频率分布直方图中四个小矩形的面积从左向右依次为 0.1，0.3，0.4，0.2，中位数位于第 3 个小 矩形处，而前两个小矩形面积之积为 0.4，故第三个小矩形在中位数左侧的面积为 0.1，由此能求出中位 数 【解答】解：由题意得，频率分布直方图中四个小矩形的面积从左向右依次为 0.1，0.3，0.4，0.2， 中位数位于第 3 个小矩形处， 而前两个小矩形面积之积为 0.4， 故第三个小矩形在中位数左侧的面积为 0.1， 故中位数在区间110，130）的靠左的四等分点处
15、， 故中位数为 115 故选：B 【点评】本题考查中位数的求不地，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题 5 （5 分）设 F1，F2分别为椭圆 E：+y21（a1）的左、右焦点，过 F2且垂直于 x 轴的直线与 E 相 交于 A，B 两点，若F1AB 为正三角形，则 a（ ） A B C D2 【分析】由题意可得弦长 AB，若F1AB 为正三角形可得 a，b，c 之间的关系，求出 a 的值 【解答】解：由题意 F2且垂直于 x 轴的直线与 E 相交于 A，B 两点可得 AB， 再由若F1AB 为正三角形可得 2c，而 c2a21，整理可得：4a44a230，解得：
16、a2，所以 a， 故选：A 【点评】考查椭圆的性质，属于基础题 6 （5 分）函数（x2）的最小值是（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】因为 f（x），由又 x2，所以 x20，利 用基本不等式即可求出函数 f（x）的最小值 【解答】解：f（x）， x2，x20， f（x）（x2）+，当且仅当 x2，即 x4 时，等号成立， 函数 f（x）的最小值为 6， 故选：D 【点评】本题主要考查了利用基本不等式求函数的最值，是中档题 7 （5 分）已知变量 m 的取值完全由变量 a，b，c，d 的取值确定某同学进行了四次试验，每次试验中他预 先设定好 a，b，c，d 四个变量的取值，然后记录相应的
17、变量 m 的值，得到如表： 试验编号 a b c d m 1 1 1 1 4 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 0 2 2 2 1 则 m 关于 a，b，c，d 的表达式不可能是（ ） Am Bm Cm Dm 【分析】根据所给的数据，验证即可 【解答】解：解法一：分别把上表的数据，代入 A，B，C，D 中检验，经检验，C 不符合， 解法二：对比实验推断 m 与 d 成反比，对比实验推断 m 与 c 成反比，对比实验推断 m 与 a+b 成正比， 由此可得 mk，代入实验的数据，解得 k2， 故 m， 本题属于开放型的题目，答案不唯一，例如 m或 m，只要符合条件即可 故选：C 【点评】本
18、题考查了推理论证的问题，考查了转化与化归的思想，属于中档题 8 （5 分）对于函数的图象，下列说法正确的是（ ） A关于直线 x1 对称 B关于直线 yx 对称 C关于点（1，0）对称 D关于点（0，1）对称 【分析】由 f（x）+f（x）2 即可得出结论 【解答】解：， 函数 f（x）关于点（0，1）对称， 故选：D 【点评】本题主要考查函数的对称性，属于基础题 9 （5 分）已知数列an的通项公式为 an（3n+7）0.9n，则数列an的最大项是（ ） Aa5 Ba6 Ca7 Da8 【分析】作差利用单调性即可得出 【解答】解：an+1an（3n+10）0.9n+1（3n+7）0.9n0.
19、9n（）0，解得：n 可得最大项为 a7 故选：C 【点评】本题考查了数列的单调性、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 10（5 分） 执行如图所示的程序框图 （其中 amodb 表示 a 除以 b 后所得的余数） ， 则输出的 N 的值是 （ ） A78 B79 C80 D81 【分析】根据程序框图表示的算法进行运算即可 【解答】解：当 Y 是 20 的倍数时，N 就加 1；当 Y 是 100 的倍数时，N 就减 1；当 Y2020 时，结束循 环输出 N Y 从 1 到 2020，共有 101 个 20 的倍数，有 20 个 100 的倍数，故 N1012081 故选：D 【点评
20、】本题考查程序框图，理解框图中整除的含义、循环结构和条件分支结构是解题的关键，属于中 档题 11 （5 分）已知直角三角形 ABC 两直角边长之和为 3，将ABC 绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转 体体积的最大值为（ ） A B C D 【分析】 设两条直角边分别为： a， b， 且 0ab3 a+b3 V1b， V2b2a， V1V2 V2 b2（3b）f（b） ，利用导数研究其单调性即可得出 【解答】解：设两条直角边分别为：a，b，且 0ab3a+b3 V1b，V2b2a，V1V2 V2b2ab2（3b）f（b） ， f（b）b（2b） ，可得 b2 时，函数 f（b）取得最大值 所形
21、成旋转体体积的最大值221 故选：B 【点评】 本题考查了旋转体的体积、 利用导数研究其单调性， 考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 12 （5 分）设 F1，F2分别为双曲线 E：1（a，b0）的左、右焦点，以坐标原点 O 为圆心，|OF1| 为半径的圆与双曲线 E 的右支相交于 P， Q 两点， 与 E 的渐近线相交于 A， B， C， D 四点， 若四边形 PF1QF2 的面积与四边形 ABCD 的面积相等，则双曲线 E 的离心率为（ ） A B C D 【分析】画出图形，利用四边形的面积相等，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可 【解答】解：F1，F2分别为双曲线 E：1（a，b
22、0）的左、右焦点，以坐标原点 O 为圆心， |OF1|为半径的圆与双曲线 E 的右支相交于 P，Q 两点，与 E 的渐近线相交于 A，B，c，D 四点，可 A（a， b） ，四边形 ABCD 的面积：4ab，联立1 与 x2+y2c2，可得 P 的纵坐标：， 四边形 PF1QF2的面积：2b2 若四边形 PF1QF2的面积与四边形 ABCD 的面积相等， 可得：2ab，即 4a2b2c2a2，所以 e 故选：C 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5
23、 分）已知 ， 是向量，命题“若 ，则| | |”的逆否命题是 若| | |，则 【分析】根据命题“若 p，则 q|” ，写出它的逆否命题是： “若q，则p” 【解答】解：命题“若 ，则| | |” ， 则它的逆否命题是： “若| | |，则 ” 故答案为： “若| | |，则 ” 【点评】本题考查了原命题与它的逆否命题的写法与应用问题，是基础题 14 （5 分）已知等差数列an的公差为 d，且 d0，前 n 项和为 Sn，若 4S2，3S3，2S4也成等差数列，则 1 【分析】4S2，3S3，2S4也成等差数列，可得 6S34S2+2S4，再利用求和公式即可得出 【解答】解：4S2，3S3，
24、2S4也成等差数列，6S34S2+2S4， 3（3a1+3d）2（2a1+d）+4a1+6d 化为：1 故答案为：1 【点评】 本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质， 考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 15 （5 分）关于 x 的方程无实根，则实数 m 的取值范围为 0，e2） 【分析】题目等价于函数 f（x）与直线 ym 的图象没有交点，利用导数判断出函数 f（x）的单 调性，作出函数 f（x）的图象，数形结合即可得到答案 【解答】解：令函数 f（x），则题目等价于函数 f（x）与直线 ym 的图象没有交点， 因为 f（x）， 则当 x2 时，f（x）0，则函数 f（x）单调递
25、增， 当 x1，1x2 时，f（x）0，则函数 f（x）单调递减， 作出函数 f（x）的图象如图： 由图可得，m0，e2） ， 故答案为：0，e2） 【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，涉及利用导数判断函数单调性，数形结合思想，属于中档 题 16 （5 分）将函数 f（x）2sinxcosx2的图象向左 a（a0）个单位长度，得到函数 yg （x）的图象，若 g（x）g（x）对任意实数 x 成立，则实数 a 的最小值为 此时，函数 g （x）在区间上的图象与直线 y2 所围成的封闭图形的面积为 4 【分析】对于第一问，先利用二倍角公式和辅助角公式，将函数 f（x）化简为， 再向左平移 a
26、个单位得到； 由 g （x） g （x） 可知， 函数 g （x） 关于 对称，再利用正弦函数的对称性可求得，进而得到 a 的最小值； 对于第二问，由前可知，令，则 h（t）g（x） 2sint，再利用定积分表示出所围成的图形面积即可得解 【解答】解：f（x）2sinxcosx2， 将其向左平移 a 个单位得， 因为 g（x）g（x）对任意实数 x 成立，所以函数 g（x）关于直线对称， 所以，即， 所以 因为 a0，所以当 k0 时，a 取得最小值，为 当时， 当 x时， 令，则 h（t）g（x）2sint， 由 定 积 分 可 知 ， 围 成 的 图 形 的 面 积 为 故答案为：；4 【
27、点评】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质以及定积分，考查学生综合运用知识的能力和 计算能力，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答第都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）如图，平面四边形 ABCD 中，AD5，CD2，ABAD，tanCAB （1）求 AC 的长； （2）若ABC，求ABC 的面积 【分析】 （
28、1）设DAC，利用 ABAD，tanCAB求出 sin，cos；再结合余弦 定理即可求出结论； （2）直接利用正弦定理即可求解 BC，再根据 sinACBsin（CAB）求出 sinACB；代入面积 计算公式求解即可 【解答】解： （1）设DAC， 为锐角， 平面四边形 ABCD 中，AD5，CD2，ABAD，tanCAB tanDACtan（90CAB）2； tan2 sin2+cos21； 联立可得：sin，cos；sinCABcos， DC2AD2+AC22ACADcosAC3（舍） ； （2）ABC， ABC 中：BC3 sinACBsin（CAB）（cosCABsinCAB）（）；
29、SABCACBCsinACB33 【点评】本题考查正余弦定理以及同角三角函数基本关系式，是中档题，解题时要注意正余弦定理的合 理运用 18 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，BCBB1，B1BC60，B1C1ABl （l）证明：ABAC； （2）若 ABAC，AB1BB12，点 M 是 B1C1的中点，求点 M 到平面 A1B1C 的距离 【分析】 （1）根据所给线段关系及角度关系，可证明 BC平面 AOB1，根据三线合一可知ABC 为等腰 三角形，即可证明 ABAC； （2）由（1）知，ABAC，设 ABACa，求解三角形可得 a 值，证明 AO平面 BB1C1C，连接 A1M
30、， 可得 A1M平面 BB1C1C，利用等积法求 C1 到平面 A1B1C 的距离，再由点 M 是 B1C1的中点，可求点 M 到平面 A1B1C 的距离 【解答】 （1）证明：取 BC 的中点 O，连结 AO，OB1 BCBB1，B1BC60，BCB1是等边三角形， B1OBC， 又 BCB1C1，B1C1AB1，BCAB1， BC平面 AOB1，得 BCAO， 由三线合一可知ABC 为等腰三角形，得 ABAC； （2）解：由（1）知，ABAC，设 ABACa， 又 ABAC，BC， AB1BB12，BC，即 a 由 AO1，AB12，得，AOOB1， 则 AO平面 BB1C1C，连接 A1
31、M，可得 A1M平面 BB1C1C， 在 RtA1MC 中，由，A1MAO1，解得 A1C2 ， 设 C1 到平面 A1B1C 的距离为 h，则由， 得，得 h 点 M 是 B1C1的中点，点 M 到平面 A1B1C 的距离为 【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维 能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题 19 （12 分）已知直线 xmy+1 与圆（x1）2+（y1）24 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点 （1）当 m1 时，求|AB|； （2）是否存在实数 m，使得 OAOB，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 【分
32、析】 （1）利用垂径定理直接求解即可； （2）假设存在满足条件的实数 m，根据已知条件建立关于 m 的方程，由方程解的情况即可得出结论 【解答】解：圆（x1）2+（y1）24 的圆心为（1，1） ，半径为 2， （1）当 m1 时，直线 xy+1 即为 xy10， 圆心（1，1）到直线 xy10 的距离为， ； （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由可得 （m2+1） y22y30， 且0 恒成立， ， 若存在实数 m，使得 OAOB，则，即，亦即 m2m+10， 无解， 故不存在实数 m，使得 OAOB 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题 2
33、0 （12 分）某人某天的工作是：驾车从 A 地出发，到 B，C 两地办事，最后返回 A 地 A，B，C 三地之间 各路段行驶时间及当天降水概率如表 路段 正常行驶所需时间（小 时） 上午降水概率 下午降水概率 AB 2 0.3 0.6 BC 2 0.2 0.7 CA 3 0.3 0.9 若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长 1 小时 现有如下两个方案： 方案甲：上午从 A 地出发到 B 地办事，然后到达 C 地，下午在 C 地办事后返回 A 地； 方案乙：上午从 A 地出发到 C 地办事，下午从 C 地出发到达 B 地，办事后返回 A 地 设此人 8 点从 A 地出发，在各地办事及
34、午餐的累积时间为 2 小时 现采用随机数表法获取随机数并进行随机模拟试验，按照以下随机数表，以方框内的数 字 5 为起点，从左向右依次读取数据，若到达某行最后一个数字，则从下一行最左侧数字继续读取，每 次读取 4 位随机数，第 1 位数表示采取的方案，其中 04 表示采用方案甲，59 表示采用方案乙；第 2 4 位依次分别表示当天行驶的三个路段上是否降水，若某路段降水概率为，则 0k1 表示降水， k9 表示不降水（符号 mn 表示的数集包含 m，n） （1）利用数据“5129”模拟当天的情况，试推算他当日办完事返回 A 地的时间； （2）利用随机数表依次取出采用甲、乙方案的模拟结果各两组，分
35、别计算甲、乙两个方案的平均时间， 并回答哪个方案办完事后能尽早返回 A 地 【分析】 （1）数据“5129”表示采用乙方案，上午 AC 路段降水，下午 CB 路段降水，AB 路段没有降水， 从而花费正常行驶时间 7 小时，降水延迟 2 小时，办事及午餐 2 小时，共计 11 小时，由此能推算返回 A 地的时间 （2）根据规则，读取的两组甲方案对应数据依次为 1693，2687，列表求出平均时间为 10，读取两组乙 方案对应数据为 5129，5805，列表得平均时间为 11，1011，故认为甲方案有利于办完事后更早地返回 A 地 【解答】解： （1）数据“5129”表示采用乙方案，上午 AC 路
36、段降水，下午 CB 路段降水，AB 路段没有 降水， 花费正常行驶时间 7 小时，降水延迟 2 小时，办事及午餐 2 小时，共计 11 小时， 故推算返回 A 地的时间为 19 点 （2）根据规则，读取的两组甲方案对应数据依次为 1693，2687， 可得： 数据 上午 AB 路段 是否降水 （01 表示降水） 上午 BC 路段 是否降水 （01 表示降水） 下午 CA 路段 是否降水（0 8）表示降水 总时间 平均时间 1693 否 否 是 10 2687 否 否 是 10 10 类似可得读取两组乙方案对应数据为 5129，5805，可得： 数据 上午 AC 路段 是否降水 （02 表示降水
37、） 上午 CB 路段 是否降水 （06 表示降水） 下午 BA 路段 是否降水（0 8）表示降水 总时间 平均时间 5129 是 是 否 11 5805 否 是 是 11 11 1011，故认为甲方案有利于办完事后更早地返回 A 地 【点评】本题考查推算他当日办完事返回 A 地的时间的求法，考查哪个方案办完事后能尽早返回 A 地的 判断，考查运算求解能力，是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）x2ax+a2lnx（aR） ，g（x）2xlnxx2 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）求证：当 a1 时，对于任意 x（0，+） ，都有 f（x）g（x） 【分析】 （1）求导，分类讨论解
38、不等式即可得出结论； （2） 即证 （2x1） lnx+x0， 当时， 不等式显然成立； 当时， 即证； 当 时，即证；构造新函数，利用导数研究其单调性及最值容易得证 【解答】解： （1）定义域（0，+） ， 当 a0 时，f（x）2x0 在（0，+）上恒成立，故 f（x）在（0，+）上单调递减； 当 a0 时，若 x（，+） ，则 f（x）0，函数单调递减，若 x，则 f（x）0， 函数单调递增， 当 a0 时，若 x（a，+） ，则 f（x）0，函数单调递减，若 x（0，a） ，则 f（x）0，函 数单调递增， （2）证明：要证 f（x）g（x） ，即证（2x1）lnx+x0， 当时，不等
39、式显然成立； 当时，即证；当时，即证； 令，则， 当时，在上 F（x）0，F（x）为减函数，在（1，+）上 F（x）0，F（x）为 增函数， F（x）minF（1）10， ； 当时，在上 F（x）0，F（x）为增函数，在上 F（x）0，F（x） 为减函数； ， ； 综上所述，对于任意 x（0，+） ，都有 f（x）g（x） 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的恒成立问题，考查推理论证能力及分类讨论 思想，属于中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作题中任选一题作答如果多做，则按所做的
40、第一题计分，作 答时请用答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在极坐标系 Ox 中， 直线 m， n 的方程分别为 cos3， sin2， 曲线 C： 以 极点 O 为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系 （1）将直线 m，n 的方程与曲线 C 的方程化成直角坐标方程； （2）过曲线 C 上动点 P 作直线 m，n 的垂线，求由这四条直线围成的矩形面积的最大值 【分析】 （1）直线 m，n 的方程分别为 cos3，sin2，曲线 C：利用互化公 式可得：直线
41、m，n 的直角坐标方程曲线 C 的直角坐标方程 （2）设 P（3cos，2sin） ，0，2） 则由这四条直线围成的矩形面积 S（33cos） （22sin） 61 （cos+sin） +cossin， 令 cos+sinsin （+） t， cossin 利 用二次函数的单调性即可得出 【解答】解： （1）直线 m，n 的方程分别为 cos3，sin2，曲线 C： 可得直线 m，n 的直角坐标方程分别为 x3，y2， 曲线 C 的直角坐标方程为：4x2+9y236，即+1 （2）设 P（3cos，2sin） ，0，2） 则由这四条直线围成的矩形面积 S（33cos） （22sin）61（co
42、s+sin）+cossin， 令 cos+sinsin（+）t， 则 cossin S6（1t+）3（t1）239+6 故由这四条直线围成的矩形面积的最大值为 9+6 【点评】本题考查了极坐标方程与普通方程的互化、椭圆的标准方程极坐标方程及其参数方程、同角三 角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知 abc0，且 a+2b+3c1，求证： （1）； （2）a2+8b2+27c21 【分析】 （1）根据条件可得，然后利用基本不等式求出 的最值即可； （2）由 abc0，可知 abb2，acc2，bcc2，然后利用不等式的基本性质，即可证明 a2+8b2+27c2 1 成立 【解答】证明： （1）abc0，且 a+2b+3c1， 48 当且仅当 a，b，c时取等号 （2）由 abc0，可知 abb2，acc2，bcc2， a+2b+3c1， 1（a+2b+3c）2a2+4b2+9c2+4ab+6ac+12bc a2+4b2+9c2+4b2+6c2+12c2 a2+8b2+27c2， a2+8b2+27c21 【点评】本题考查了利用综合法证明不等式，基本不等式和不等式的基本性质，考查了转化思想，属中 档题
