1、2024年河南省信阳市新县中考一模数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列各数，是无理数的是（ ）A. B. C. D. 3.141592. 曹魏白玉杯是洛阳博物馆镇馆之宝（如图），白玉杯以上好和田玉雕琢而成，玉质莹润细腻，光素无纹饰，曲线流畅优美，是当时一件艺术水准很高的玉雕作品关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）A. 主视图与左视图相同B. 主视图与俯视图相同C. 左视图与俯视图相同D. 三种视图都相同3. 年城镇新增就业万人左右，城镇调查失业率左右万用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 4. 如图，是一副三角尺拼成的图案，则（ ）A. B. C. D. 5. 若关
2、于x的方程 有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数a，c的值可以是（ ）A. B. C. D. 6. 据中国载人航天工程办公室消息，北京时间年月日，神舟十六号、神舟十七号航天员乘组进行交接仪式，两个乘组移交了中国空间站钥匙空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设“神舟十七号”的三名航天员“汤洪波、唐胜杰、江新林”从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等，现在要从这三名航天员中选人各进入一个实验舱开展科学实验，则汤洪波、唐胜杰两人同时被选中的概率为（ ）A. B. C. D. 7. 如图，已知C是上任一点，且，则（ ）A. B. C. D. 8. 某商
3、场出售一件商品，在原标价基础上实行以下四种调价方案，其中调价后售价最低的是（ ）A. 先打九五折，再打九五折B. 先提价10%，再打八折C. 先提价30%，再降价35%D. 先打七五折，再提价10%9. 如图，从原点出发的一个动点，按照图示的运动规律在平面直角坐标系内每次移动一个单位长度，其中，则的坐标是（ ）A. B. C. D. 10. 如图，在中，点P从点A 出发，沿着的边以1个单位/秒的速度匀速运动设点P运动的路程为x，图是的长度y随着x的变化而变化的函数图象，下列判断正确的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分）11. 若一次函数的图象一定过第二、四象限，则
4、k的值为_ （只写一个即可）12. 若代数式 有意义，则实数x的取值范围是_ 13. 在温度不变的条件下，气体所产生的压强与气体的体积成反比例，如图是某种气体压缩后，气体产生的压强P关于气体的体积V的函数图象若压强由减压到，则气体体积增加了_ 14. 如图，已知正的边长为，把正绕着它的中心O旋转，当旋转至正的位置，其中，则图中阴影部分的面积为_ 15. 如图，已知正方形中，E为边上一动点，F为中点当E为的三等分点时，_三、解答题（本大题8个小题，共75分）16. 计算与化简（1）解不等式组 （2）化简 17. 中国目前小麦总产量稳定在1亿吨以上，处于基本供需平衡状态这一切，都少不了一座座中国的
5、小麦“大粮仓”的贡献，其中最“中”的粮仓，便是河南根据农业部数据，勤劳的河南人用中国十六分之一的耕地，种出中国年粮产的十分之一这其中，小麦的生产量占中国的1/4，位居全国第一，是当之无愧的“小麦之乡”，河南的粮食不但养活了这个中国第一农业人口大省，更是每年外调400亿斤，供给全国，河南某农业科技部门为了充分了解今年新推广的甲、乙两种新品小麦的亩产量，组织专家组进行抽样调查，在相同条件下随机抽取了两种小麦各7份样品的亩产量进行对比评估，并对相关数据进行收集、整理，下面给出了两种小麦品种亩产量的统计图表甲，乙两种小麦亩产表（单位：）序号1234567甲种小麦75085086088090096096
6、0乙种小麦800830870900900920940甲、乙两种小麦亩产量统计表（单位：）平均数中位数众数甲种小麦m880960乙种小麦880900n甲、乙两种小麦亩产量折线统计图（1）求m、n（2）从甲、乙两种小麦的亩产量折线图，可以看出哪种小麦的亩产量比较稳定？（3）亮亮认为种植甲种小麦较好，形形认为种植乙种小麦较好些请结合图象及图表信息分别写出他们的理由；（4）2024年，河南某地市准备种植60万亩乙品种优质小麦，预计2024年乙种小麦总产量会达到多少吨？18. 河南是全国重要的文物大省，地下文物全国第一，地上文物全国第二“以铜为鉴，可以正衣冠”铜镜，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶如图是一
7、个铜镜的残片，文物修复专家准备用现代高科技手段将其复原，使得“破镜重圆”文物修复专家量得铜镜残片上最大的弦的长为，铜镜上的点到弦的最大距离为（1）请你用尺规作图的方法，帮助文物修复专家找出铜镜所在圆的圆心（简要说明作图思路，不写具体作法，保留作图痕迹）；（2）请你帮助文物修复专家求出铜镜所在圆的半径19. 2023年12月7日至10日，第19届中国（郑州）国际茶业博览会将在郑州国际会展中心举行为了全方位多角度报道茶博会的盛况，河南都市频道的记者开启无人机进行空中航拍如图，无人机在会展中心上空的同一高度自西向东匀速飞行在A 处测得地面上D 处展位的俯角为，向东飞行后到B处，测得地面上展位 E 的
8、俯角为，无人机又经过刚好飞到展位E 的正上方的C 处，已知无人机的飞行速度是求：（参考数据sin37060，cos370.80， （1）无人机飞行高度（结果保留根号）；（2）D、E两个展位的地面距离（结果精确到）20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， （1）求m和k的值；（2）求点C的坐标，并根据图象直接写出关于x的不等式的解集；（3）连接，求的面积21. 某百货计划在春节前夕购进A、B两种服装进行销售已知购进1件A 服装和2件B 服装，需元；购进3件A 服装和4件B服装，需元（1）A、B 两种服装的进货单价分别是多少？（2）设A服装的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中
9、发现：当时，A 服装的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如下表：销售单价x（元/件）日销售量y（件）请写出当时，y与x之间的函数关系式（3）在（2）的条件下，设A 服装的日销售利润为元，当A服装的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？22. 如图，已知抛物线 与x轴交于、两点，与轴交于点，且（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若为抛物线上一动点，若是以为底边的等腰三角形，求点的坐标；（3）如图，以为圆心，1为半径的在轴上以每秒1个单位的速度向轴的负半轴移动，经过多长时间，和直线相切于？并求出和直线相切时切点的坐标23.
10、 综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转”为主题开展数学活动（1）操作判断如图-，D为等腰的斜边所在直线上的一个动点，连接，把绕着点C 逆时针旋转到的位置同学们通过观察，发现了以下结论；如图，若，四边形 的面积为 ，、的数量关系是 ； （2）类比迁移如图-，D为等腰的直角边所在直线上的一个动点，连接，把绕着点 D 逆时针旋转到的位置，连接请你类比问题（1）中的结论，选用图、图、图中的任意一个图形完成下列问题：求 值；试探究、的数量关系，并证明你的结论； （3）拓展应用若，当点D在直线上运动至时，请直接写出的长和以A、B、D、E 为顶点的四边形的面积2024年河南省信阳市
11、新县中考一模数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列各数，是无理数的是（ ）A. B. C. D. 3.14159【答案】C【解析】【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：类，如，等；开方开不尽的数，如，等；具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）【详解】解：A是有理数中的分数，不符合题意；B是有理数中的整数，不符合题意；C是无理数，符合题意； D是有理数中的小数，不符合题意；故选C2. 曹魏白玉杯是洛阳博物馆镇馆之宝（如图），白玉杯以上好和田玉雕琢而成，玉质莹润细腻，光素无纹饰，曲线流畅优美，是当时一
12、件艺术水准很高的玉雕作品关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）A. 主视图与左视图相同B. 主视图与俯视图相同C. 左视图与俯视图相同D. 三种视图都相同【答案】A【解析】【分析】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图根据三视图的定义逐项分析即可【详解】解：A主视图是矩形，左视图是矩形，说法正确，故符合题意； B主视图是矩形，俯视图是圆，原说法不正确，故不符合题意；C左视图矩形，俯视图是圆，原说法不正确，故不符合题意；D 主视图和左视图相同，与俯视图不同，原说法不正确，故不符合题意故选A3. 年城镇新增就业万人左右，城镇调查失业率
13、左右万用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示形式是求解的关键先将万化成整数形式，再根据科学记数法的表示方法即可求解【详解】解：万，故选：D4. 如图，是一副三角尺拼成的图案，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角形外角的性质解答即可【详解】解：如图， 由图可知，故选：B【点睛】本题考查了三角形外角的性质解题的关键是掌握三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和要注意：一副三角尺的度数：，5. 若关于x的方程 有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数
14、a，c的值可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了根的判别式，利用根的判别式的意义得到，然后对各选项进行判断即可【详解】解：方程有两个不相等的实数根，A、若，不符合题意；B、若，不符合题意；C、若，符合题意；D、若，不符合题意故选：C6. 据中国载人航天工程办公室消息，北京时间年月日，神舟十六号、神舟十七号航天员乘组进行交接仪式，两个乘组移交了中国空间站的钥匙空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设“神舟十七号”的三名航天员“汤洪波、唐胜杰、江新林”从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等，现在要从这三名航天员中选人各进入一个实验
15、舱开展科学实验，则汤洪波、唐胜杰两人同时被选中的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题关键用列表法表示出所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可【详解】解：甲乙丙甲乙、甲丙、甲乙甲、乙丙、乙丙甲、丙乙、丙由表格可得，一共有种等可能得结果，其中甲、乙两人同时被选中的结果有种，甲、乙两人同时被选中的概率为故选：C7. 如图，已知C是上任一点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可【详解】解
16、：，优弧所对的圆心角的度数为，；故选B8. 某商场出售一件商品，在原标价基础上实行以下四种调价方案，其中调价后售价最低的是（ ）A. 先打九五折，再打九五折B. 先提价10%，再打八折C. 先提价30%，再降价35%D. 先打七五折，再提价10%【答案】D【解析】【分析】本题考查了代数式，打折，有理数大小比较，准确列出符合题意的代数式，设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可【详解】解：设原件为x元，选项A：先打九五折，再打九五折，调价后的价格为元，选项B：先提价10%，再打八折，调价后的价格为元，选项C：先提价30%，再降价35%，调价后的价格为元，选项D：先打七五折，再提价1
17、0%，调价后的价格为元，故选：D9. 如图，从原点出发的一个动点，按照图示的运动规律在平面直角坐标系内每次移动一个单位长度，其中，则的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了点的坐标，属于规律型题目，解答此类题目一定要先注意观察点的变化规律.根据题意可得各个点分别以为中心以外的正方形上，可得第个正方形上又个点，且最后一个格点为，再根据等差数列和公式，求出，得，再求出前正方形上格点的总数和前正方形上格点的总数，得出，最后求出，总结出规律,根据规律推理【详解】以为中心，边长为的正方形上共有格点个，且最后一个格点为；以为中心，边长为的正方形上共有格点个，且最后一个
18、格点为；以为中心，边长为的正方形上共有格点个，且最后一个格点为；以为中心，边长为的正方形上共有格点个，且最后一个格点为；，得当时，前正方形上格点的总数，当时，前正方形上格点的总数，且第个正方形（）上的最后一个格点为，故第个格点坐标为故选：10. 如图，在中，点P从点A 出发，沿着的边以1个单位/秒的速度匀速运动设点P运动的路程为x，图是的长度y随着x的变化而变化的函数图象，下列判断正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了动点的函数图像相关问题，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，由函数图像可知：点P在运动开始和运动结束时，即，由点P的运动路径可知，点
19、P在从A到B的运动过程中，的长度先减小，再逐渐增大，当点P运动到点B后，点P从点B到点C的过程中，逐渐减小到0，而点P从点C向点A的运动过程中，的长度从0增大到12【详解】解：结合函数图象知，点P运动到点B时，的长度又开始减小，即，点P运动到点B时，即，故A不正确，不符合题意；根据垂线段最短的性质，当时，最短此时，即，解得 故B不正确，不符合题意；当时，即解得：，故C正确，符合题意；点P从点B到点C用时5s，则D不正确，不符合题意；故选：C二、填空题（每小题3分，共15分）11. 若一次函数的图象一定过第二、四象限，则k的值为_ （只写一个即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了
20、一次函数的性质根据一次函数图象所经过的象限，可确定一次项系数，从而确定字母k的取值范围由一次函数图象经过第二、四象限，可知，在范围内确定的值即可【详解】解：一次函数的图象一定过第二、四象限，可以取，故答案为：（答案不唯一）12. 若代数式 有意义，则实数x的取值范围是_ 【答案】且【解析】【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，根据，即可解决【详解】解： 在实数范围内有意义， ，解得：且，故答案为：且13. 在温度不变的条件下，气体所产生的压强与气体的体积成反比例，如图是某种气体压缩后，气体产生的压强P关于气体的体积V的函数图象若压强由减压到，则气体体积增加了_ 【答案】15【解析】【
21、分析】本题考查了反比例函数的实际应用设这个反比例函数的解析式为，求得，当时，求得，当时求得，于是得到结论【详解】解：设这个反比例函数的解析式为，时，当时，当时，气体体积增大了，故答案为：1514. 如图，已知正的边长为，把正绕着它的中心O旋转，当旋转至正的位置，其中，则图中阴影部分的面积为_ 【答案】【解析】【分析】根据圆的旋转不变性，易知图中的6个小直角三角形都全等，则图中阴影部分的面积为圆的面积减去一个正三角形的面积，再减去3个小直角三角形的面积即可求出阴影部分的面积【详解】解：根据圆的旋转不变性，易知图中的6个小直角三角形都全等，则图中阴影部分的面积为圆的面积减去一个正三角形的面积，再减
22、去3个小直角三角形的面积如图1，连接、，延长交于点P，则、 分别平分等边三角形的顶角，且，为等边三角形，设、交于点Q，连接，延长交于点N，则，四边形矩形，如图2，在中，过点Q作，交于点M，设，则，解得：，则，在中，则，故答案为：【点睛】本题主要考查了圆与多边形，等边三角形的性质，旋转的性质解直角三角形，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质15. 如图，已知正方形中，E为边上一动点，F为中点当E为的三等分点时，_【答案】或5【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，坐标与图形，以点B为原点，所在的直线为x轴，y轴建立如下坐标系，则
23、，再分当点E靠近B时，当点E靠近C时两种情况先求出点E的坐标，进而求出点F的坐标，再利用两点距离计算公式求解即可【详解】解：如图所示，以点B为原点，所在的直线为x轴，y轴建立如下坐标系，正方形中，当点E靠近B时，则，F为中点，；当点E靠近C时，同理可得；综上所述，的长为或5，故答案为：或5三、解答题（本大题8个小题，共75分）16. 计算与化简（1）解不等式组 （2）化简 【答案】（1）不等式组的解集为 （2）1【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分式的混合运算，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公
24、共解集即可；（2）根据分式的混合运算法则求解即可【小问1详解】解不等式得，解不等式得，不等式组的解集为：；【小问2详解】17. 中国目前小麦总产量稳定在1亿吨以上，处于基本供需平衡状态这一切，都少不了一座座中国的小麦“大粮仓”的贡献，其中最“中”的粮仓，便是河南根据农业部数据，勤劳的河南人用中国十六分之一的耕地，种出中国年粮产的十分之一这其中，小麦的生产量占中国的1/4，位居全国第一，是当之无愧的“小麦之乡”，河南的粮食不但养活了这个中国第一农业人口大省，更是每年外调400亿斤，供给全国，河南某农业科技部门为了充分了解今年新推广的甲、乙两种新品小麦的亩产量，组织专家组进行抽样调查，在相同条件下
25、随机抽取了两种小麦各7份样品的亩产量进行对比评估，并对相关数据进行收集、整理，下面给出了两种小麦品种亩产量的统计图表甲，乙两种小麦亩产表（单位：）序号1234567甲种小麦750850860880900960960乙种小麦800830870900900920940甲、乙两种小麦亩产量统计表（单位：）平均数中位数众数甲种小麦m880960乙种小麦880900n甲、乙两种小麦亩产量折线统计图（1）求m、n（2）从甲、乙两种小麦的亩产量折线图，可以看出哪种小麦的亩产量比较稳定？（3）亮亮认为种植甲种小麦较好，形形认为种植乙种小麦较好些请结合图象及图表信息分别写出他们的理由；（4）2024年，河南某地
26、市准备种植60万亩乙品种优质小麦，预计2024年乙种小麦总产量会达到多少吨？【答案】（1） （2）乙比较稳定 （3）理由见解析 （4）528000吨【解析】【分析】（1）根据平均数和众数的定义求解即可；（2）根据折线统计图解答即可；（3）根据统计的特征量分析即可；（4）利用样本平均数计算即可【小问1详解】900出现的次数最多，；【小问2详解】从亩产量折线统计图来看，乙品种小麦的亩产量比较稳定；【小问3详解】亮亮认为种植甲种小麦好，理由是甲种小麦的亩产量的众数较大，彤彤认为种植乙种小麦较好些，理由是乙种小麦亩产量的中位数较大，质量较稳定；【小问4详解】，吨【点睛】本题考查了统计的知识，熟练掌握平
27、均数，中位数，众数，方差的意义是解答本题的关键18. 河南是全国重要的文物大省，地下文物全国第一，地上文物全国第二“以铜为鉴，可以正衣冠”铜镜，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶如图是一个铜镜的残片，文物修复专家准备用现代高科技手段将其复原，使得“破镜重圆”文物修复专家量得铜镜残片上最大的弦的长为，铜镜上的点到弦的最大距离为（1）请你用尺规作图的方法，帮助文物修复专家找出铜镜所在圆的圆心（简要说明作图思路，不写具体作法，保留作图痕迹）；（2）请你帮助文物修复专家求出铜镜所在圆的半径【答案】（1）作图见解析 （2）的半径为 【解析】【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理关键是掌握弦的垂直平分线经
28、过圆心（1）利用垂径定理可知，圆心O是两条弦中垂线交点；（2）连接由题意可知，则，设的半径为，在中利用勾股定理求解即可【小问1详解】如图所示，作弦的垂直平分线，交弧 于点 C，连接，作的垂直平分线，和的交点即是圆心O的位置；【小问2详解】如图所示，连接由题意可知，则，设的半径为，则在中， ，解得 ，所以的半径为 19. 2023年12月7日至10日，第19届中国（郑州）国际茶业博览会将在郑州国际会展中心举行为了全方位多角度报道茶博会的盛况，河南都市频道的记者开启无人机进行空中航拍如图，无人机在会展中心上空的同一高度自西向东匀速飞行在A 处测得地面上D 处展位的俯角为，向东飞行后到B处，测得地面
29、上展位 E 的俯角为，无人机又经过刚好飞到展位E 的正上方的C 处，已知无人机的飞行速度是求：（参考数据sin370.60，cos370.80， （1）无人机的飞行高度（结果保留根号）；（2）D、E两个展位的地面距离（结果精确到）【答案】（1）无人机的高度是米 （2）【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键（1）先求出和的长，在中，根据正切的定义式求的长；（2）过点D作于点 F，在中，根据正切的定义式求的长，再求的长即可【小问1详解】由题意， 在中， （m）无人机的高度是米；【小问2详解】如图所示，过点D作于点 F，则
30、四边形是矩形，中，20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， （1）求m和k的值；（2）求点C的坐标，并根据图象直接写出关于x的不等式的解集；（3）连接，求的面积【答案】（1），； （2） （3）【解析】【分析】（1）把分别代入和即可得到答案，熟练掌握待定系数法是解题的关键；（2）把代入得到，解得，即可得到点C的坐标，再根据图象的位置关系和交点的横坐标即可得到答案，数形结合是解题的关键；（3）求出直线与x轴、y轴的交点，利用即可得到答案，数形结合和准确计算是解题的关键【小问1详解】解：把代入得到，把代入得到，；【小问2详解】由（1）得到，把代入得到，解得，点，由图象可知，当时，即不
31、等式的解集为；【小问3详解】设直线与x轴交于点D，与y轴交于点A， 当时，当时，解得，点A的坐标是，点D的坐标是，即的面积为21. 某百货计划在春节前夕购进A、B两种服装进行销售已知购进1件A 服装和2件B 服装，需元；购进3件A 服装和4件B服装，需元（1）A、B 两种服装的进货单价分别是多少？（2）设A服装的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当时，A 服装的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如下表：销售单价x（元/件）日销售量y（件）请写出当时，y与x之间的函数关系式（3）在（2）的条件下，设A 服装的日销售利润为元，当A服装
32、的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）A、B两种服装的进货单价分别是元/件、元/件； （2）y与x之间的函数关系式为； （3）当A服装的销售单价定为元/件时，日销售利润最大，最大利润是元【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、运用待定系数法则求函数解析式以及二次函数的性质求最值等知识点，弄懂题意、列出方程组或函数解析式是解答本题的关键（1）设A、B两种服装的进货单价分别是a元/件、b元/件，然后列出二元一次方程组并求解即可；（2）设与之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可；（3）先列出利润和销售量的函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可
33、【小问1详解】解设A、B两种服装的进货单价分别是a元/件、b元/件由题意得： ，解得 ，A、B两种服装的进货单价分别是元/件、元/件；【小问2详解】解：设y与x之间的函数关系式为，将，代入得 ，解得 ，y与x之间的函数关系式为；【小问3详解】解：由题意得当时，取得最大值，当A服装的销售单价定为元/件时，日销售利润最大，最大利润是元22. 如图，已知抛物线 与x轴交于、两点，与轴交于点，且（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若为抛物线上一动点，若是以为底边的等腰三角形，求点的坐标；（3）如图，以为圆心，1为半径的在轴上以每秒1个单位的速度向轴的负半轴移动，经过多长时间，和直线相切于？并求出和直线
34、相切时切点的坐标【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）， （3），【解析】【分析】本题考查了二次函数与一次函数、圆相切、等腰三角形的综合，综合性强，灵活运用这些知识是关键（1）把点，坐标带入抛物线解析式，进而求得抛物线的解析式（2）注意到点在线段的垂直平分线上，联立该垂直平分线所在直线方程和抛物线解析式即可求得点坐标（3）根据相切的性质和圆的半径得到切点的纵坐标为，根据点在直线上，求出点的横坐标，即可求出圆运动时间和点坐标【小问1详解】解：，把、分别代入得 解得 抛物线的解析式为【小问2详解】解：如图1，作的垂直平分线，分别交抛物线于点 、，连接，则和是以为底边的等腰三角形，则为等腰直角三角形
35、，作，则所在直线是的垂直平分线，是二、四象限角平分线，则所在直线的解析式为 联立解得 ，答：点的坐标，【小问3详解】解：，点B的坐标为，如图2，适合条件的的位置有两个，分别为、，则对应的切点点也有两个、，当和直线相切于点、时，则，的半径为1，即 ，则 ，即经过 或 和直线相切，此时，分别过、作轴的垂线、，则 ，答：点的坐标为，23. 综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转”为主题开展数学活动（1）操作判断如图-，D为等腰的斜边所在直线上的一个动点，连接，把绕着点C 逆时针旋转到的位置同学们通过观察，发现了以下结论；如图，若，四边形 的面积为 ，、的数量关系是 ； （2）
36、类比迁移如图-，D为等腰的直角边所在直线上的一个动点，连接，把绕着点 D 逆时针旋转到的位置，连接请你类比问题（1）中的结论，选用图、图、图中的任意一个图形完成下列问题：求 的值；试探究、的数量关系，并证明你的结论； （3）拓展应用若，当点D在直线上运动至时，请直接写出的长和以A、B、D、E 为顶点的四边形的面积【答案】（1）2 （2） （3），四边形的面积为或，四边形的面积为【解析】【分析】（1）证明，可得出，进而得出四边形 的面积为，即可求解；分点D在A的左侧；D在A、B之间；D在A的右侧讨论即可；（2）若选择图，过点E作于F，证明，可得出，利用勾股定理求出，然后代入计算即可；若选择图，图
37、同理可求；分点D在C的左侧；D在C、B之间；D在B的右侧讨论即可；（3）分D在C的左侧或B的右侧两种情况讨论即可【小问1详解】解：旋转，又，又，四边形 的面积为；故答案为：2；当D在A的左侧时，如图，连接， 同理可证，；当D在A、B之间时，如图，连接， 同理可证，又，；当D在A的右侧时，如图，连接， 同理可证，又，；综上，；故答案为：；【小问2详解】解：选择图，过点E作于F， 旋转，又，又， ，；选图，过点E作于F， 同理可证， ，；选图，过点E作于F， 同理可证， ，；理由如下：当点D在C的左侧时，如图，过点E作于F， ，由知，；当D在C、B之间时，如图，过点E作于F， ，由知，；当D在B的右侧时，如图，过点E作于F， ，由知，；综上，【小问3详解】解：，当点D在直线上运动至时，D在C的左侧或B的右侧，当D在C左侧时，如图，过点E作于F，连接， 同（2）可证，四边形的面积为；当点D在B的右侧时，如图，过点E作于F，连接， 同（2）可证，四边形的面积为；综上，四边形的面积为或，四边形的面积为【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造全等三角形，合理分类讨论是解题的关键
