1、专题7.8有关三角形的角的计算与证明专题培优姓名：_ 班级：_ 得分：_一解答题（共20小题）1（2020春仪征市期末）已知ABC，P是平面内任意一点（A、B、C、P中任意三点都不在同一直线上）连接PB、PC，设PBAs，PCAt，BPCx，BACy（1）如图，当点P在ABC内时，若y70，s10，t20，则x；探究s、t、x、y之间的数量关系，并证明你得到的结论（2）当点P在ABC外时，直接写出s、t、x、y之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形2（2020春扬中市期中）如图，在ABC中，ABC与ACB的平分线相交于点P（1）如果A80，求BPC的度数；（2）如图，作ABC外角MBC，NC
2、B的角平分线交于点Q，试探索Q、A之间的数量关系（3）如图，延长线段BP、QC交于点E，BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求A的度数3（2019春常熟市月考）好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决如图，在ABC中，BAC48，点I是两角ABC、ACB的平分线的交点（1）填空：BIC（2）若点D是两条外角平分线的交点，填空：BDC（3）若点E是内角ABC、外角ACG的平分线的交点，试探索：BEC与BAC的数量关系，并说明理由（4）在问题（3）的条件下，当ACB等于度时，CEAB？4（2019春宝应县期中）如图，在RtABC中，ACB90，A34，ABC的外角
3、CBD的平分线BE交AC的延长线于点E（1）求CBE的度数；（2）过点D作DFBE，交AC的延长线于点F，求F的度数5（2019春常熟市期中）在ABC中，点D为边BC上一点，请回答下列问题：（1）如图1，若DACB，ABC的角平分线CE交AD于点F，试说明AEFAFE；（2）在（1）的条件下，如图2，ABC的外角ACQ的角平分线CP交BA的延长线于点P，P与CFD有怎样的数量关系？为什么？（3）如图3，点P在BA的延长线上，PD交AC于点F，且CFDB，PE平分BPD，过点C作CEPE，垂足为E，交PD于点G，试说明CE平分ACB6如图，ABC中，ABCC70，BD平分ABC，求ADB的度数7
4、如图，BD是ABC的角平分线，DEBC，交AB于点E，A50，BDC70，求BED的度数8如图，在ABC中，点E在AC上，AEBABC（1）图1中，作BAC的角平分线AD，分别交CB、BE于D、F两点，求证：EFDADC；（2）图2中，作ABC的外角BAG的角平分线AD，分别交CB、BE的延长线于D、F两点，试探究（1）中结论是否仍成立？为什么？9在ABC中，ADB100，C80，BADDAC，BE平分ABC，求BED的度数10如图，D是ABC的BC边上的一点，ADBD，ADC80（1）求B的度数；（2）若BAC70，判断ABC的形状，并说明理由11如图：已知ABC与DEF是一副三角板的拼图，
5、A，E，C，D在同一条线上（1）求证EFBC；（2）求1与2的度数12如图，ABC的角平分线BD、CE相交于点P（1）若ABC50，ACB70，则A；（2）若A80，试求BPC的度数；（3）试直接写出DPC与A之间的数量关系：DPC13（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则A、B、C、D之间的数量关系为；（2）如图2，AP、CP分别平分BAD、BCD图中有个“8字形”；若B36，D14，求P的度数；（3）如图3，CP、AG分别平分BCE、FAD，AG反向延长线交CP于点P，求P、B、D之间的数量关系14 RtABC中，C90，点D、E分别是ABC边AC、BC上的点，点P是一动点令PDA1
6、，PEB2，DPE（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且30，则1+2；（2）若点P在AB上运动，如图（2）所示，则、1、2之间有何关系？猜想并说明理由（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则、1、2之间有何关系？猜想并说明理由（4）若点P运动到ABC之外，如图（4）所示，则、1、2的关系为：15（2020春徐州期末）ABC中，C70，点D、E分别是ABC边AC、BC上的两个定点，点P是平面内一动点，令PDA1，PEB2，DPE初探：（1）如图1，若点P在线段AB上运动，当60时，则1+2；、1、2之间的关系为：再探：（2）若点P运动到边AB的延长线上，如图2，则、1、2之
7、间有何关系？并说明理由拓展：（3）请你试着给出一个点P的其他位置，在图3中补全图形，并写出此时、1、2之间的关系：16（2020春淮安区期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”例如，三个内角分别为120、40、20的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80、75、25的三角形也是“灵动三角形”等等如图，MON60，在射线OM上找一点A，过点A作ABOM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0OAC90）（1）ABO的度数为，AOB（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；（2）若BAC70，则AOC（填“是”或“不是”）“灵动三角
8、形”；（3）当ABC为“灵动三角形”时，求OAC的度数17（2020春常州期中）如图，在ABC中，ACB90，ABC与BAC的角平分线相交于点P，连接CP，过点P作DECP分别交AC、BC于点D、E，（1）若BAC40，求APB与ADP度数；（2）探究：通过（1）的计算，小明猜测APBADP，请你说明小明猜测的正确性（要求写出过程）18（2020春宝应县期末）（1）如图1，AD平分BAC，AEBC，B30，C70BAC，DAE；如图2若把“AEBC”变成“点F在AD的延长线上，FEBC”，其它条件不变，求DFE的度数；（2）如图3，AD平分BAC，AE平分BEC，CB40，求DAE的度数19（
9、2020春泰兴市校级期中）直线MN与直线PQ相交于O，POM60，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动（1）如图1，BAO70，已知AE、BE分别是BAO和ABO角的平分线，试求出AEB的度数（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是BAP和ABM的角平分线，又DE、CE分别是ADC和BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值（3）在（2）的条件下，在CDE中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出DCE的度数20（2020春江阴市期末）如图，ABC中，D为BC上一点，CBAD，ABC的角平分线BE交A
10、D于点F（1）求证：AEFAFE；（2）G为BC上一点，当FE平分AFG且C30时，求CGF的度数 参考答案一解答题（共20小题）1【分析】（1）利用三角形的内角和定理即可解决问题；结论：xy+s+t利用三角形内角和定理即可证明；（2）分6种情形分别求解即可解决问题；【解析】（1）BAC70，ABC+ACB110，PBA10，PCA20，PBC+PCB80，BPC100，x100，故答案为100结论：xy+s+t理由：A+ABC+ACBA+PBA+PCA+PBC+PCB180，PBC+PCB+BPC180，A+PBA+PCABPC，xy+s+t（2）s、t、x、y之间所有可能的数量关系：如图1
11、：s+xt+y；如图2：s+yt+x；如图3：yx+s+t；如图4：x+y+s+t360；如图5：ts+x+y；如图6：st+x+y；2【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出1+2，进而求出BPC即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出MBC与BCN，再根据角平分线的性质可求得CBQ+BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在BQE中，由于Q90A，求出EA，EBQ90，所以如果BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：EBQ2E90；EBQ2Q90；Q2E；E2Q；分别列出方程，求解即可【解析】（1）解：A80ABC+ACB
12、100，点P是ABC和ACB的平分线的交点，P180（ABC+ACB）180100130，（2）外角MBC，NCB的角平分线交于点Q，QBC+QCB（MBC+NCB）（360ABCACB）（180+A）90AQ180（90A）90A；（3）延长BC至F，CQ为ABC的外角NCB的角平分线，CE是ABC的外角ACF的平分线，ACF2ECF，BE平分ABC，ABC2EBC，ECFEBC+E，2ECF2EBC+2E，即ACFABC+2E，又ACFABC+A，A2E，即EA；EBQEBC+CBQABCMBC（ABC+A+ACB）90如果BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：EBQ
13、2E90，则E45，A2E90；EBQ2Q90，则Q45，E45，A2E90；Q2E，则90AA，解得A60；E2Q，则A2（90A），解得A120综上所述，A的度数是90或60或1203【分析】（1）想办法求出IBC+ICB即可解决问题（2）根据四边形内角和等于360解决问题即可（3）设ACEECGx，ABIIBCy，利用三角形的外角的性质构建方程组即可解决问题（4）利用平行线的性质即可解决问题【解析】（1）A48，ABC+ACB18048132，点I是两角ABC、ACB的平分线的交点，IBC+ICB（ABC+ACB）66，BIC18066114故答案为114（2）由题意：IBDICD90，
14、BDC+BIC180，BDC66故答案为66（3）设ACEECGx，ABIIBCy，2x2y+A，xy+E，2可得EA（4）CEAB，ECAA48，ECGECAABC48，ACB180484884故答案为844【分析】（1）根据三角形的外角的性质求出CBD，根据角平分线的定义计算，得到答案；（2）根据平行线的性质解答即可【解析】（1）ACB90，A34，CBD124，BE是CBD的平分线，CBECBD62；（2）ECB90，CBE62，CEB28，DFBE，FCEB285【分析】（1）如图1中，根据三角形的外角的性质即可证明（2）如图2中，首先证明PCE90，再根据直角三角形两锐角互余即可解决
15、问题（3）如图3中，延长PE交BC于H，设PA交AC于K只要证明EKCEHC，即可解决问题【解析】（1）证明：如图1中，AEFB+ECB，AFEFAC+ACE，又BFAC，ECBACE，AEFAFE（2）P+CFD90，理由如下：如图2中，ACEACB，ACPACQ，ECPACE+ACP（ACB+ACQ）90，P+AEC90，AEFAFECFD，P+CFD90（3）证明：如图3中，延长PE交BC于H，设PA交AC于KEKCKPF+PFA，EHCB+BPK，又BCFDPFA，KPFBPH，EKCEHC，CEKH，CEKCEH90，EKC+ECK90，EHC+ECH90，ECKECH，CE平分AC
16、B6【分析】依据ABCC70，BD平分ABC，即可得出DBC35，再根据三角形外角性质，即可得到ADB的度数【解析】ABCC70，BD平分ABC，DBC35，ADBC+DBC70+351057【分析】根据三角形外角的性质可求出ABD的度数，结合角平分线的定义可求出ABC的度数，再“两直线平行，同旁内角互补”可求出BED的度数【解析】BDCA+ABD，ABDBDCA705020BD平分ABC，ABC2ABD40DEBC，ABC+BED180，BED180ABC1408【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得BADDAC，再根据内角与外角的性质可得EFDDAC+AEB，ADCABC+BAD，进而得
17、到EFDADC；（2）首先根据角平分线的性质可得BADDAG，再根据等量代换可得FAEBAD，然后再根据内角与外角的性质可得EFDAEBFAE，ADCABCBAD，进而得EFDADC【解析】（1）AD平分BAC，BADDAC，EFDDAC+AEB，ADCABC+BAD，又AEBABC，EFDADC；（2）探究（1）中结论仍成立；理由：AD平分BAG，BADGAD，FAEGAD，FAEBAD，EFDAEBFAE，ADCABCBAD，又AEBABC，EFDADC9【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出DAC，再求出BAD，然后根据三角形的内角和定理求出ABC，再根据角平分
18、线的定义求出ABE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解【解析】ADB100，C80，DACADBC1008020，BADDAC，BAD2010，在ABD中，ABC180ADBBAD1801001070，BE平分ABC，ABEABC7035，BEDBAD+ABE10+354510【分析】（1）由ADBD，根据等边对等角的性质，可得BBAD，又由三角形外角的性质，即可求得B的度数；（2）由BAC70，易求得CBAC70，根据等角对等边的性质，可证得ABC是等腰三角形【解析】（1）在ABD中，ADBD，BBAD，ADCB+BAD，ADC80，BADC40；（2）AB
19、C是等腰三角形理由：B40，BAC70，C180BBAC70，CBAC，BABC，ABC是等腰三角形11 【分析】（1）由垂直于同一条直线的两直线平行，可证EFBC（2）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可求1与2的度数【解析】（1）EFAD，BCAD，BCEF（同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行）（2）APE180AEPA180904545，又APEOPF，1F+OPF30+4575，2DCQ+D90+6015012【分析】先根据角平分线的定义得到1ABC，2ACB，再根据三角形内角和定理得BPC18012180（ABC+ACB），加上ABC+ACB180A，易得BPC90
20、A，然后根据此结论解决各小题【解析】ABC，ACB的平分线相交于点P，1ABC，2ACB，BPC18012180ABCACB180（ABC+ACB），ABC+ACB180A，BPC180（180A）90A，（1）ABC50，ACB70，A180507060故答案为60（2）A80，BPC9080130；（3）BPC90A，DPC180（90A）90A故答案为：90A13【分析】（1）利用三角形内角和定理可得结论（2）根据“8字形”的定义判断即可根据“8字形”的性质，构建关系式解决问题即可（3）根据“8字形”的性质，构建关系式解决问题即可【解析】（1）A+B+AOB180，C+D+COD180，
21、又AOBCOD，A+BC+D，故答案为：A+BC+D（2）图中，有6个“8字形”故答案为6AP平分BAD，12，PC平分BCD，34，1+B3+P，2+P4+D，得，2PB+D50，P25（3）结论：2PB+D理由：CP平分BCE，34，AG平分DAF，12，PAB1，2PAB，P+PABB+4，P+2B+4 ，P+PADD+PCD，P+（1802）D+（1803），+得，2PB+D14 【分析】（1）先用平角的得出，CDP1801，CEP1802，最后用四边形的内角和即可（2）同（1）方法即可（3）利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论（4）利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论【解
22、析】（1）1+CDP180，CDP1801，同理：CEP1802，根据四边形的内角和定理得，CDP+DPE+CEP+C360，C90，1801+1802+90360，1+290+90+30120，故答案为：120（2）1+CDP180，CDP1801，同理：CEP1802，根据四边形的内角和定理得，CDP+DPE+CEP+C360，C90，1801+1802+90360，1+290+（3）如图3，1+CDF180，CDF1801，CFD2+，根据三角形的内角和得，C+CDF+CFD180，90+1801+2+180，1290（4）如图4，PGDEGC，2C+EGC90+PGD，PGD290，P
23、DG1801，根据三角形的内角和得，DPG+PDG+PDG180，+1801+290180，21+90故答案为：21+9015 （1）如图1，若点P在线段AB上运动，当60时，则1+2130；、1、2之间的关系为：1+270+再探：（2）若点P运动到边AB的延长线上，如图2，则、1、2之间有何关系？并说明理由拓展：（3）请你试着给出一个点P的其他位置，在图3中补全图形，并写出此时、1、2之间的关系：1+2430【分析】（1）如图1中，连接PC证明1+2ACB+DPE即可利用中结论解决问题（2）利用三角形的外角的性质解决问题即可（3）利用三角形的外角的性质解决问题即可【解析】（1）如图1中，连接
24、PC1DCP+DPC，2ECP+CPE，1+2DCP+DCP+ECP+EPCACB+DPEACB+，ACB70，60，1+260+70130由可知，1+2ACB+70+，故答案为130，70+（2）结论：170+2+理由：如图2中，1C+CFD，CFD2+，170+2+（3）结论：1+2430理由：如图3中，1DCP+DPC，2ECP+CPE，1+2DCP+DPC+ECP+EPCACB+360DPE70+360，1+2430故答案为1+243016 （1）ABO的度数为30，AOB是（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；（2）若BAC70，则AOC是（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；（3）
25、当ABC为“灵动三角形”时，求OAC的度数【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可（2）求出OAC即可解决问题（3）分三种情形分别求出即可【解析】（1）ABOM，BAO90，AOB60，ABO906030，90330，AOB是“灵动三角形”故答案为：30，是（2）OAB90，BAC70，OAC20，AOC60320，AOC是“灵动三角形”故答案为：是（3）当CAB3ABC，时，CAB60，OAC30当ABC3CAB时，CAB10，OAC80ACB3CAB时，CAB37.5，可得OAC52.5，综上所述，满足条件的值为30或52.5或8017【分析】（1）首先说明PC平分ACB，推出CDE
26、45，利用三角形内角和定理求解即可（2）证明APB135，ADP135即可【解析】（1）ABC与BAC的角平分线相交于点P，PC平分ACB，PCDPCEACB9045，PCDE，CPD90，CDE45，ADP135，BAC40，ACB90，ABC904050，PBAABC25，PABBAC20，APB1802520135（2）结论：APBADP理由：PB，PA分别是ABC，BAC的角平分线，PBAABC，PABBAC，APB180（ABC+BAC）180（18090）135，ADP135，APBADP18 BAC80，DAE20；【分析】（1）利用三角形内角和定理求出BAC，再求出CAD，CA
27、E即可解决问题想办法求出ADC即可解决问题（2）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义构建关系式解决问题即可【解析】（1）B30，C70，BAC180（30+70）80，AD平分ABC，CADBAC40，AEBC，AEC90，CAE907020，DAECADCAD20故答案为80，20ADC180CADC180407070，FDEADC70，FEBC，FED90，DFE90FDE20（3）AD平分ABC，BADCAD，AE平分BEC，AEBAEC，C+CAE+AEC180，B+BAE+AEB180，C+CAEB+BAE，CAECADDAE，BAEBAD+DAE，C+CADDAEB+BAD+DA
28、E，2DAECB40，DAE2019 【分析】（1）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义计算即可（2）延长AD、BC交于点F，先求得PAB+MBA240，再根据AD、BC分别是BAP和ABM的角平分线，求得BAD+ABC120，进而得出F60，再根据三角形内角和定理得到FDC+FCD1120，即CDA+DCB240，最后根据DE、CE分别是ADC和BCD的角平分线，得到CDE+DCE120，进而在CDE中，根据三角形内角和定理求得E60（3）由（2）可知，EDC+ECD120，因为ECD中有一个角是另一个角的2倍，推出ECD2EDC或EDC2ECD，由此即可解决问题【解析】（1）如图1中，B
29、E平分ABO，AE平分BAO，EBA+EAB（ABO+BAO）（180AOB）60，AEB180（EBA+EAB）120（2）CED的大小不变如图2，延长AD、BC交于点F直线MN与直线PQ相交于O，AOB60，OAB+OBA120，PAB+MBA240，AD、BC分别是BAP和ABM的角平分线，BADBAP，ABCABM，BAD+ABC（PAB+ABM）120，F60，FDC+FCD120，CDA+DCB240，DE、CE分别是ADC和BCD的角平分线，CDE+DCE120，CDE中，E18012060（3）由（2）可知，EDC+ECD120，ECD中有一个角是另一个角的2倍，ECD2EDC或EDC2ECD，DCE40或8020【分析】（1）由角平分线定义得ABECBE，再根据三角形的外角性质得AEFAFE；（2）由角平分线定义得AFEGFE，进而得AEFGFE，由平行线的判定得FGAC，再根据平行线的性质求得结果【解析】（1）证明：BE平分ABC，ABECBE，ABF+BADCBE+C，AFEABF+BAD，AEFCBE+C，AEFAFE；（2）FE平分AFG，AFEGFE，AEFAFE，AEFGFE，FGAC，C30，CGF180C150
