1、第10章 二元一次方程组一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1下列方程中是二元一次方程的是（）ABCD2下面4组数值中，是二元一次方程的解是()ABCD3已知二元一次方程，用含的代数式表示，正确的是（）ABCD4若是方程组的解，则a、b的值分别是（）A1，B，1C，D，5幻方是古老的数字问题，我国古代的洛书中记载了最早的幻方九宫格将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等如图为一个三阶幻方的一部分，则x的值为（）AB0C1D26已知关于，的方程组给出下列结论：当时，方程组的解也是的解；无论取何值，的值不可能是互为相反数；，均为正整数的解只有
2、1对；若，则.正确的是（）ABCD二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7写出方程 的一组整数解 8某一个二元一次方程的一个解是，请写出一个符合条件的二元一次方程： 9已知是关于，的二元一次方程的解，则的值为 10孙子算经中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？设绳子长x尺，长木长y尺，依题意可列方程组为 11如果和是同类项，则 12关于的方程组的解满足，则的值是 13若是方程的一个解，则 14在解方程组时，甲看错了，得到解为；乙看错
3、了，得到解为，则 15用如图中的长方形和正方形纸板分别作为侧面和底面，制作如图的竖式和横式两种无盖纸盒现有a 张长方形纸板和b张正方形纸板，若做出竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将纸板用完，则两种纸盒的总个数为 .（用含a，b的式子表示）16若关于的方程组的解为，则方程组的解为 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17解二元一次方程组：(1)； (2)18解方程组，下面是两同学的解答过程：小敏：解：把方程变形为，再将代入方程得小川：解：将方程的两边乘以3得，
4、再将两个方程相加，得到(1)小敏的解法依据是_，运用的方法是_；小川的解法依据是_，运用的方法是_；整式的运算性质；等式的性质；加法的结合律；代入消元法；加减消元法(2)请直接写出原方程组的解19寒假社会实践活动期间，某中学参与服务工作学校组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位计划调配36座新能源客车多少辆？该学校共有多少名志愿者？20已知关于，的二元一次方程(1)求，的值；(2)判断下列各数对哪些是该二元一次方程的解，请填写下表（直接填写“是”或“不是”）数对判断数对是否是方程的解2
5、1已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解(1)求这两个方程组的相同解；(2)求的值22定义：若有序数对满足二元一次方程（a，b为不等于0的常数），则称为二元一次方程的数对解例如：有序数对满足，则称为的数对解(1)下列有序数对是二元一次方程的数对解的是_（填序号），(2)若有序数对为方程的一个数对解，且p，q为正整数，求p，q的值23材料：解方程组将整体代入，得，解得，把代入，得，所以这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请解方程组24关于，的二元一次方程组，是常数），(1)当时，求c的值；(2)若a是正整数，求证：仅当时，该方程有正整数解25已知用辆
6、A型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆A型车和辆型车载满货物一次可运货吨某物流公司现有吨货物，计划同时租用A型和型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆A型车和辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？(2)若A型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次，共有几种租车方案，哪种方案租车费用最少？26已知关于，的二元一次方程（，均为常数，且）(1)当，时，用的代数式表示；(2)若是该二元一次方程的一个解，探索与关系，并说明理由；无论、取何值，该方程有一个固定解，请求出这个解27综合与实践【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不
7、重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形都是“优美长方形”【初步感知】（1）如图1，“优美长方形”是由5块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长；若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为依题意可列方程 ，解得 ，正方形的边长为 【解决问题】（2）如图2，“优美长方形”是由8块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积；【深入探究】（3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），其中长方形和正方形的周长相等，正方形的边
8、长为，求“优美长方形“的长第10章 二元一次方程组一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1下列方程中是二元一次方程的是（）ABCD【答案】B【分析】此题考查二元一次方程定义，关键是根据二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程【详解】解：A、中，的次数为2，不是二元一次方程，故不合题意；B、符合二元一次方程定义，是二元一次方程，故符合题意；C、，不是整式方程，故不合题意；D、中，的次数为2，不是二元一次方程，故不合题意；故选：B2下面4组数值中，是二元一次方程的解是()ABCD【答案】D【分析】本题考查了二
9、元一次方程的解，把每一个选项中，的值分别代入方程的左右两边进行计算，逐一判断即可解答【详解】解：解：A、左边，右边，左边右边，不是二元一次方程的解，B、左边，右边，左边右边，不是二元一次方程的解，故B不符合题意；C、左边，右边，左边右边，故C不符合题意；D、左边，右边，左边右边，是二元一次方程的解，故D符合题意；故选：D3已知二元一次方程，用含的代数式表示，正确的是（）ABCD【答案】A【分析】本题考查了用一个字母的代数式表示另一个字母，会将该字母看作常数，用解方程的步骤求解是解题的关键【详解】解：移项得：，系数化为得：；故选：A4若是方程组的解，则a、b的值分别是（）A1，B，1C，D，【答
10、案】B【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组把代入原方程组，得到关于、的方程组，解方程组即可【详解】解：把代入方程得：，解得：，故选：B5幻方是古老的数字问题，我国古代的洛书中记载了最早的幻方九宫格将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等如图为一个三阶幻方的一部分，则x的值为（）AB0C1D2【答案】C【分析】本题考查了三元一次方程组，解一元一次方差，根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等，得出，进而出，即可解答【详解】解：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等，整理得：，则，解得：，故选：C6已知关于，
11、的方程组给出下列结论：当时，方程组的解也是的解；无论取何值，的值不可能是互为相反数；，均为正整数的解只有1对；若，则.正确的是（）ABCD【答案】C【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、二元一次方程组的解等知识，将已知分别代入进而解方程得出答案，即可判断【详解】解：当时，方程组整理得，解得，当时，方程得，当时，代入方程得，故正确；解方程组得，无论取何值，的值不可能是互为相反数，故正确；由知，当，均为正整数时，则有或，共有2对，故错误；由得，解得，故正确；综上，正确的结论是，故选：C二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7写出方程 的一组整数解 【答案】（答案不唯一）【分析】
12、本题考查了二元一次方程的解，能熟记二元一次方程的解的定义是解此题的关键，满足一个二次一次方程的一对未知数的值叫这个二元一次方程的解对式子进行变形将x看作已知数求出y，即可求解【详解】解：方程 ，整理得：，当时，则方程的一组整数解为：故答案为：（答案不唯一）8某一个二元一次方程的一个解是，请写出一个符合条件的二元一次方程： 【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查了二元一次方程的概念以及解的意义，二元一次方程满足的条件是：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程按照该条件写出即可【详解】按照二元一次方程满足的条件写出：（答案不唯一）；故答案为：（答案不唯
13、一）9已知是关于，的二元一次方程的解，则的值为 【答案】【分析】本题考查方程的解的概念，将代入中求解，即可解题【详解】解：是关于，的二元一次方程的解，解得，故答案为：10孙子算经中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？设绳子长x尺，长木长y尺，依题意可列方程组为 【答案】【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设绳子长x尺，木长y尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出方程组即可【详解】解：设
14、绳子长x尺，木长y尺，根据题意得：，故答案为11如果和是同类项，则 【答案】5【分析】本题主要考查解二元一次方程组、同类项、代数式求值等知识点，根据同类项的定义列出方程组是解题的关键先根据同类项的定义列出方程组，求得x、y的值，然后代入计算即可【详解】解：和是同类项，解得：，将代入可得：故答案为512关于的方程组的解满足，则的值是 【答案】【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，首先解方程组得，再根据得，据此即可求出的值，熟练掌握解二元一次方程组的方法与技巧是解决问题的关键【详解】解：，解得，解得，故答案为：13若是方程的一个解，则 【答案】【分析】把代入得，将代入进行计算即可【详解】解：把代
15、入得：，即，故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把把代入得出14在解方程组时，甲看错了，得到解为；乙看错了，得到解为，则 【答案】【分析】本题考查了方程组的解法，代数式的值计算，熟练掌握解方程组是解题的关键把代入中求得b值，把代入中求得a值，后求值计算即可【详解】解：根据题意，；把代入的中，得，解得；把代入中，得，解得，故答案为：15用如图中的长方形和正方形纸板分别作为侧面和底面，制作如图的竖式和横式两种无盖纸盒现有a 张长方形纸板和b张正方形纸板，若做出竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将纸板用完，则两种纸盒的总个数为 .（用含a，b的式子表示）【答案】【分析】本题考
16、查了二元一次方程组的应用，根据盒子的结构确定等量关系是解题的关键；由题意列出方程组可求解【详解】解：根据题意得：，+得：，故答案为：16若关于的方程组的解为，则方程组的解为 【答案】【分析】本题考查了解二元一次方程组，由题意可得方程组的解为，求解即可得出答案，理解题意是解此题的关键【详解】解：关于的方程组的解为，方程组的解为，解得：，故答案为：三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17解二元一次方程组：(1)； (2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查解二元
17、一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键（1）利用代入消元法解方程组即可；（2）利用加减消元法解方程组即可【详解】（1）解：，将代入得：，解得：，将代入得：，故原方程组的解为；（2）解：，得：，解得：，将代入得：，解得：，故原方程组的解为18解方程组，下面是两同学的解答过程：小敏：解：把方程变形为，再将代入方程得小川：解：将方程的两边乘以3得，再将两个方程相加，得到(1)小敏的解法依据是_，运用的方法是_；小川的解法依据是_，运用的方法是_；整式的运算性质；等式的性质；加法的结合律；代入消元法；加减消元法(2)请直接写出原方程组的解【答案】(1)、；、(2)【分析】本题考查了代入法和加减
18、法消元解二元一次方程组（1）得到等式的性质进行消元，消元的目的就是将二元一次方程转化为一元一次方程；（2）用代入法消元解二元一次方程组即可【详解】（1）解：小敏的解法依据是等式的性质，运用的方法是代入消元法；小川的解法依据是等式的性质，运用的方法是加减消元法；故答案为：、；、；（2）解：把方程变形为，再将代入方程得，解得，将代入，得，方程组的解为19寒假社会实践活动期间，某中学参与服务工作学校组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位计划调配36座新能源客车多少辆？该学校共有多少名志愿者？
19、【答案】计划调配36座新能源客车6辆，该学校共有218名志愿者【分析】本题考查二元一次方程组的应用，涉及二元一次方程组的解法，根据题意，设计划调配36座新能源客车辆，该校有名志愿者，则调配22座新能源客车辆，由等量关系列方程组求解即可得到答案，读懂题意，根据等量关系列出方程组是解决问题的关键【详解】解：设计划调配36座新能源客车辆，该校有名志愿者，则调配22座新能源客车辆，依题意，得：，解得，答：计划调配36座新能源客车6辆，该学校学共有218名志愿者20已知关于，的二元一次方程(1)求，的值；(2)判断下列各数对哪些是该二元一次方程的解，请填写下表（直接填写“是”或“不是”）数对判断数对是否
20、是方程的解【答案】(1)，(2)是；不是；是；不是【分析】（1）根据二元一次方程的定义得到，解得，的值即可；（2）把数对代入方程验证左边是否等于右边即可【详解】（1）解：是关于，的二元一次方程，解得，（2）由（1）可知，关于，的二元一次方程，当时，是方程的解，当时，不是方程的解，当时，是方程的解，当时，不是方程的解，故答案为：是；不是；是；不是【点睛】此题考查了二元一次方程的定义和二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键21已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解(1)求这两个方程组的相同解；(2)求的值【答案】(1)(2)1【详解】（1）由题意，得，得5x10，解得x
21、2把x2代入，得45y26，解得y6这两个方程组的相同解为（2）把代入得解此方程组，得a1，b1，（2ab）2024（21）2024122定义：若有序数对满足二元一次方程（a，b为不等于0的常数），则称为二元一次方程的数对解例如：有序数对满足，则称为的数对解(1)下列有序数对是二元一次方程的数对解的是_（填序号），(2)若有序数对为方程的一个数对解，且p，q为正整数，求p，q的值【答案】(1)(2)或【详解】（1）（2）有序数对为方程的一个数对解，整理，得p，q为正整数，或23材料：解方程组将整体代入，得，解得，把代入，得，所以这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法
22、解答，请解方程组【答案】【分析】本题考查解二元一次方程组理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键利用整体代入法解方程组即可【详解】解：由得：，将代入得：，解得：，将代入得：，解得：，方程组的解为24关于，的二元一次方程组，是常数），(1)当时，求c的值；(2)若a是正整数，求证：仅当时，该方程有正整数解【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）将，值代入方程，得到关于，的方程求解（2）先表示方程的解，再确定【详解】（1）解：代入方程得：，；（2）证明：由题意，得，整理得，、均为正整数，是正整数，是正整数，是正整数，把代入得，此时，方程的正整数解是仅当时，该方程有正整数解【点睛】本题考查二元一次
23、方程的解，消元法是求解本题的关键25已知用辆A型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆A型车和辆型车载满货物一次可运货吨某物流公司现有吨货物，计划同时租用A型和型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆A型车和辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？(2)若A型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次，共有几种租车方案，哪种方案租车费用最少？【答案】(1)辆A型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨(2)共有3种租车方案；方案租用A型车辆、型车辆最省钱，最少租车费为元【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量
24、关系，正确列出二元一次方程组或列出二元一次方程；利用总租金每辆车的租金租车辆数，分别求出三种租车方案所需租金（1）设辆A型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨，根据“用辆A型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆A型车和辆型车载满货物一次可运货吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设A型车租辆，型车租辆，根据租用的两种车载满货物一次可运货吨，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，即可得出各租车方案；根据总租金每辆车的租金租车辆数，可分别求出三种租车方案所需租金，比较后即可得出结论【详解】（1）解：设辆A型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次
25、可运货吨，依题意，得：，解得：答：辆A型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨（2）解：设A型车租辆，型车租辆，依题意，得：，均为非负整数，该物流公司共有三种租车方案，方案：租用A型车辆，型车辆；方案：租用A型车辆，型车辆；方案：租用A型车辆，型车辆方案所需租金：元，方案所需租金：元，方案所需租金：元，方案租用A型车辆、型车辆最省钱，最少租车费为元26已知关于，的二元一次方程（，均为常数，且）(1)当，时，用的代数式表示；(2)若是该二元一次方程的一个解，探索与关系，并说明理由；无论、取何值，该方程有一个固定解，请求出这个解【答案】(1)(2)；【分析】（1）将，代入，再用的代数式
26、表示即可；（2）将代入，化简得出与关系；将代入，化为，即可确定该方程的固定解【详解】（1）解：将，代入得，化简得：；（2）将代入，得即；将代入，得，当时，无论、取何值，该方程有一个固定解，这个解为【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程解的定义是解题的关键27综合与实践【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形都是“优美长方形”【初步感知】（1）如图1，“优美长方形”是由5块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长；若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正
27、方形的边长为依题意可列方程 ，解得 ，正方形的边长为 【解决问题】（2）如图2，“优美长方形”是由8块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积；【深入探究】（3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），其中长方形和正方形的周长相等，正方形的边长为，求“优美长方形“的长【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用，线段的和差计算，正确理解题意，找出数量关系是解题关键（1）设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据长方形周长列一元一次方程求解即可；（2）由题意可知，图2中小长方形的长和宽分别为和，根据图2得出的小长方形的长和宽关系，列二元一次方程求解即可；（3）由正方形的边长可知，再由，得出，即可求出的长【详解】（1）解：若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为依题意可列方程，解得，正方形的边长为，故答案为：；（2）解：由图1可知，设图2中小长方形的长和宽分别为和，则，解得：，图2中每块小长方形的面积为；（3）解：正方形的边长为，
