1、2024年江苏省南京市高三数学上学期一轮模拟练习一、单选题1已知集合，则（）ABCD2在等比数列中，公比为.已知，则是数列单调递减的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分又不必要3某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（）（参考数据：）A16B10C8D24若（为虚数单位），则（）ABCD5已知直线与相交于两点，且为等边三角形，则实数（）A或2B或4CD6在平面直角坐标系中，设，向量，则的最小值为（）A1B2CD7已知，则的最小值为（）AB1CD8已知，则当时，与的大小关系是（）ABCD不确定二、多选题9某
2、人工智能公司近5年的利润情况如下表所示：第x年12345利润y/亿元23457已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，则下列说法正确的是（）AB变量y与x之间的线性相关系数C预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元D该人工智能公司这5年的利润的方差小于210已知函数在上有且只有三个零点，则下列说法中正确的有（）A在上存在，使得B的取值花围为C在上单调递增D在上有且只有一个最大值点11设动直线l：（）交圆C：于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（ ）A直线l过定点（2，3）B当取得最大值时，C当ACB最小时，其余弦值为D的最大值为2412如图，已知直
3、四棱柱ABCD-EFGH的底面是边长为4的正方形，点M为CG的中点，点P为底面EFGH上的动点，则（）A当时，存在点P满足B当时，存在唯一的点P满足C当时，满足BPAM的点P的轨迹长度为D当时，满足的点P轨迹长度为三、填空题13在新冠疫情防控期间，某单位男女被安排到三个社区去协助防控工作，其中社区要求安排男女，社区各安排人，则不同的方案数是 .14已知等比数列的公比为，前n项和为，若也是等比数列，则 .15若（）的展开式中第7项的二项式系数最大，则n等于 16早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各
4、个面和多面角都全等如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一如果把按计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于 四、解答题17已知等比数列的前项和为,.(1)求数列的通项公式.(2)令,求数列的前项和.18在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA=.（1）若a=，c=，求b的值；（2）若角A的平分线交BC于点D，a=2，求的面积.192020年将全面建成小康社会，是党向人民作出的庄严承诺目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为用分层抽样的方法，收集了100户
5、家庭2019年家庭年收入数据（单位：万元），绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区(1)完成2019年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有99.9的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关超过1.5万元不超过1.5万元总计平原地区山区10总计附：，其中0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828(2)根据这100个样本数据，将频率视为概率为了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从2020年9月到12月，每月从该县2019年家庭年收入不超过1.5万元的家庭中选取4户作为“县长联系家庭”，记“县长联系家庭”
6、是山区家庭的户数为，求X的分布列和数学期望20如图，三棱柱中，侧面为矩形，是边长为2的菱形，(1)证明：平面平面；(2)若，求三棱柱的体积21在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别、焦距为2，且与双曲线共顶点P为椭圆C上一点，直线交椭圆C于另一点Q(1)求椭圆C的方程；(2)若点P的坐标为，求过P、Q、三点的圆的方程；(3)若，且，求的最大值22已知函数(其中为自然对数的底数).（1）当时，求证：函数图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.参考答案1D【分析】求出与的值域，得到与，进而求出.【详解】，所以，所以，故故选：D2C【分析】根据等比数列的
7、单调性结合充分条件和必要条件的定义即可得出结论.【详解】解：，当时，所以数列单调递减，故充分性成立，若数列单调递减，则，即，故必要性成立，所以是数列单调递减的充要条件.故选：C.3C【分析】根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可.【详解】因为数学成绩，所以，因此由所以有，估计该班数学得分大于120分的学生人数为，故选：C4B【分析】利用复数的乘方运算及三角函数二倍角公式进行化简，得到结果.【详解】故选：B5A【分析】由已知得圆心到直线的距离为，再根据点到直线的距离公式可求得答案.【详解】解：的圆心，半径，因为直线与相交于两点，且为等边三角形，则圆心到直线的距离为，即，整理得，解得或
8、，故选：A.6D【分析】根据平面向量的坐标运算求得向量，再根据，将用表示，再根据平面向量的模的坐标表示结合二次函数的性质即可得出答案.【详解】解：，则，由，得，则，所以，则，当时，.故选：D.7D【分析】根据，可得，再根据两角和的正切公式可得，结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：因为，所以，所以，所以，即，又因，所以，即，解得或（舍去），所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故选：D.8B【分析】求出函数的单调区间，令，得或，结合图像可得，三段和的大小关系，再根据函数的单调性即可得出与的大小关系.【详解】解：由函数，得函数在上递增，在上递减，在上递增，作出函数和的图像，如图所示，令
9、，得或，结合图像可知，当时，则，当时，则，当时，则，综上所述，当时，.故选：B.9AC【分析】首先求出、，根据回归直线方程必过，即可求出，从而得到回归直线方程，根据与成正相关，即可得到相关系数，再令求出，即可预测第6年的利润，最后根据方差公式求出利润的方差，即可判断D；【详解】解：依题意，因为回归直线方程为必过样本中心点，即，解得，故A正确；则回归直线方程为，则与成正相关，即相关系数，故B错误，当时，即该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元，故C正确，该人工智能公司这5年的利润的方差为，故D错误；故选：AC10ABC【分析】根据已知可得最小正周期，可判断既可以取得最大值也可以取得最小值；根据
10、零点坐标可得出；根据的单调区间结合的取值花围可判断C；可判断可能存在两个最大值点.【详解】对于A，由题意可知的最小正周期，所以在上既可以取得最大值也可以取得最小值，故A正确.对于B，函数图象在轴右侧与轴交点的横坐标分别为，要使在上有且只有三个零点，只需，解得，故B正确.对于C，函数在上单调递增，因为，所以，故C正确.对于D，考虑到的取值范围为，显然，所以可能存在两个最大值点，故D错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是根据已知得出的取值范围.11ABD【分析】将直线方程变形为，即可求出直线l过的定点进而判断A；结合选项A可知定点在圆C的内部，进而当直线l过圆
11、心时最大，即可判断B；根据点线之间的距离可知当时最小，结合余弦定理计算即可判断C；根据题意可知当为直径时取得最大值，即可判断D.【详解】选项A，由整理得，当即时，不论m为何值时，都成立，所以直线l过定点，故A正确；选项B，因为直线l过定点，将定点代入圆，所以定点在圆C的内部，当直线l过圆心时，取得最大值，此时，解得：，故B正确；选项C，设直线l过的定点，当时，圆心到直线的距离最大，即的余弦值最大，结合余弦在上单调递减，可得最小，而，所以，所以在中，故C不正确；选项D，所以当为直径时，取得最大值，此时，所以的最大值为24，故D正确.故选：ABD12BCD【分析】建立空间直角坐标系，结合选项逐个验
12、证，利用对称点可以判断A，利用垂直求出可以判断B，求出点P轨迹长度可判定C,D.【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建系如图，对于选项A，当时，设点关于平面的对称点为，则，.所以.故A不正确.对于选项B，设，则，由得，即，解得，所以存在唯一的点P满足，故B正确.对于选项C，设，则，由得.在平面中，建立平面直角坐标系，如图，则的轨迹方程表示的轨迹就是线段，而，故C正确.对于选项D，当时，设，则，由得，即，在平面中，建立平面直角坐标系，如图，记的圆心为，与交于；令，可得，而，所以，其对应的圆弧长度为；根据对称性可知点P轨迹长度为；故D正确.故选：BCD.【点睛】立体几何中的动点问题，常常采用坐标法
13、，把立体几何问题转化为平面问题，结合解析几何的相关知识进行求解.13【分析】根据题意社区要求安排男女有，剩下两人分配给社区各安排人为，想乘即可得到答案.【详解】依题意得不同得方案数是种.故答案为：.142【分析】由题意表示出，再利用为等比数列得到，即可解出.【详解】因为等比数列的公比为，所以，.因为是等比数列，所以，即，解得或（舍去）.当时，是等比数列，符合题意.故答案为：2.1511或12或13【分析】根据二项式展开式中的二项式系数的性质可得，结合组合数的计算解不等式组即可.【详解】因为第7项的二项式系数最大，所以，即，解得，又n为正整数，所以n的可能取值为11、12、13.故答案为：11或
14、12或13.16【分析】可得正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设外接球半径为R，正五边形的外接圆半径为r，正二十面体的棱长为，可得，即可表示出外接球的表面积和正二十面体的表面积，得出答案.【详解】由图知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设外接球半径为R，正五边形的外接圆半径为r，正二十面体的棱长为，则，得，所以正五棱锥的顶点到底面的距离是，所以，即，解得所以该正二十面体的外接球表面积为，而该正二十面体的表面积是，所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于故答案为：.【点睛】本题考查几何体的外接球问题，解题的关键是将正二十面体的外接球等价于上方正五棱锥的外接
15、球，表示出半径.17(1)(2)【分析】（1）将题设条件转化为，从而得到，进而求出公比，由此得解；（2）利用（1）结论，结合裂项相消求和法即可得解.【详解】（1）当时,即,又是等比数列,;数列的通项公式为:.（2）由（1）知,即.18（1）b=4；（2）.【分析】（1）由求出，再根据余弦定理可求出；（2）根据得到，根据角平分线定理得到，根据余弦定理求出，根据三角形面积公式求出，从而可得.【详解】（1）因为tanA=，且，所以， 所以cosA=，由余弦定理得，所以，所以，解得b=4或b=1(舍)，（2）因为，所以，所以，所以，因为CAD=BAD，所以，即，又因为a=2，由余弦定理得，解得，所以，
16、所以.【点睛】关键点点睛：熟练掌握余弦定理、三角形的面积公式是解题关键.19(1)列联表见解析，有99.9的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关；(2)分布列见解析，数学期望.【分析】(1)由频率分布直方图求样本中收入超过1.5万元的户数，由分层抽样性质确定平原地区家庭与山区家庭的户数，根据数据关系完成列联表，由公式计算，与临界值比较大小，确定是否接受假设；(2)确定随机变量的可能取值，求取各值的概率，由此可得其分布列，判断为二项分布，利用二项分布概率公式求其期望.【详解】（1）由频率分布直方图可知，收入超过1.5万元的家庭的频率为，所以收入超过1.5万元的家庭的户数有户，
17、又因为平原地区家庭与山区家庭的户数之比为，抽取了100户，故平原地区的共有60户，山区地区的共有40户，又样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区，所以超过1.5万元的有40户居住在平原地区，不超过1.5万元的有20户住在平原地区，有30户住在山区地区，故2019年家庭年收入与地区的列联表如下：超过1.5万元不超过1.5万元总计平原地区402060山区103040总计5050100则，所以有99.9的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关（2）由（1）可知，选1户家庭在平原的概率为，山区的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，所以，所以X的分布列为：X01234
18、P因为X服从二项分布，所以X的数学期望20(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据给定条件，证明平面，再利用面面垂直的判定推理作答.（2）由已知及（1）中信息，求出，进而求出三棱锥的体积即可计算作答.【详解】（1）因为侧面是矩形，则，又因为，即有，则，又，平面，因此平面，而平面，所以平面平面（2）由（1）知，平面，而平面，则，因为，于是得，而是边长为2的菱形，因此是正三角形，所以三棱柱的体积.21(1)(2)(3)【分析】（1）由焦距为2得到，再由双曲线的顶点求出，得到，椭圆方程；（2）求出的方程，与椭圆方程联立后得到点Q的坐标，待定系数法求出圆的方程；（3）设，由向量共线得到，将两点坐标
19、代入椭圆方程中，求出，从而表达出，结合基本不等式求出最值.【详解】（1）双曲线的顶点坐标为，故，由题意得，故，故椭圆的方程为（2）因为，所以的方程为，由，解得点Q的坐标为设过P，Q，三点的圆为，则，解得，所以圆的方程为；（3）设，则，因为，所以，即，所以，解得，所以，因为，所以，当且仅当，即时，取等号最大值为22（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，结合函数的单调性证明即可；（2）求出，得到，得到，再根据得到结论成立即可确定的取值范围【详解】解：（1）证明：时，设，则，令，解得：，故在区间上单调递减，在上单调递增，故的最小值是，即对任意恒成立，故函数图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）先证对任意，令，令，解得：，故在区间递增，在递减，故，故，令，令，解得：，故在区间递减，在区间递增，故，故，递增，故，故，对于任意，恒成立，故，当时，即对于任意的，恒成立，综上：的取值范围是.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理
