1、第 1 章 解直角三角形专题训练 解直角三角形应用中的基本模型 模型一 平行线型图图 11ZT11如图 11ZT1，有一张简易的活动小餐桌，现测得 OA OB30 cm， OC OD50 cm，桌面离地面的高度为 40 cm，则两条桌腿的张角 COD 的度数为_ 模型二 “一线三等角”型图2将一盒足量的牛奶按如图 11ZT2所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点 P 时停止倒入图是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器内牛奶的高度(结果精确到 0.1 cm，参考数据： 1.73， 1.41)3 2图 11ZT2 模型三 “梯形及其高”的基本图形3某地的一座人行天桥示
2、意图如图 11ZT3 所示，天桥高为 6 米，坡面 BC 的坡度为 11，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 1 .3(1)求新坡面的坡角 ；(2)原天桥底部正前方 8 米处( PB 的长)的文化墙 PM 是否需要拆除？请说明理由图 11ZT3 模型四 “锐角三角形及其高”的基本图形42017成都科技改变生活，手机导航极大地方便了人们的出行如图 11ZT4，小明一家自驾到古镇 C 游玩，到达 A 地后，导航显示车辆应沿北偏西 60方向行驶 4 千米至 B 地，再沿北偏东 45方向行驶一段距离到达古镇 C，小明发现古镇 C 恰好在 A 地的正北方向，求 B， C 两地
3、之间的距离图 11ZT45如图 11ZT5，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为 A，某人在岸边的 B处测得 A 在 B 的北偏东 30的方向上，然后沿岸边直行 4 千米到达 C 处，再次测得 A 在 C的北偏西 45的方向上(其中 A， B， C 在同一个平面上)求这个标志性建筑物的底部 A 到岸边 BC 的最短距离图 11ZT5 模型五 “钝角三角形及钝角一边上的高”的基本图形6某国发生 8.1 级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图11ZT6，某探测器在地面 A， B 两处均探测出建筑物下方 C 处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是 25和 60，且 AB4
4、米，求该生命迹象所在位置 C 的深度(结果精确到 1 米，参考数据：sin250.4，cos250.9，tan250.5， 1.7)3图 11ZT672017内江如图 11ZT7，某人为了测量山顶上的塔 ED 的高度，他在山下的点A 处测得塔尖点 D 的仰角为 45，再沿 AC 方向前进 60 m 到达山脚点 B，测得塔尖点 D 的仰角为 60，塔底点 E 的仰角为 30，求塔 ED 的高度(结果保留根号)图 11ZT782017白银美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的 A， B 两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭
5、 D 进行了测量如图 11ZT8，测得 DAC45， DBC65.若AB132 米，求观景亭 D 到南滨河路 AC 的距离约为多少米(结果精确到 1 米，参考数据：sin650.91，cos650.42，tan652.14)图 11ZT89如图 11ZT9，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在 A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离 12 海里的 B 处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75方向以每小时 10 海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时 14 海里的速度沿北偏东某一方向出发，在 C 处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间图 11ZT9详解详析1
6、120 解析 作 AF CD 于点 F，则 AF40 cm， AD OA OD80 cm.于是可得sin ADC ， ADC30.AFAD 12 OC OD， COD120.2解：过点 P 作 EF AD 交 AD 于点 E，交 BC 于点 F.设 BF x. BAD AEF ABC90，四边形 AEFB 是矩形， AE BF x.在 Rt BPF 中， BFP90， BPF30，tan BPF ， PF x.BFPF xtan30 3在 Rt AEP 中， AEP90， APE90 BPF60，PE8 x，tan APE ，3AEPE ，化简得 x8 3 x，x8 3x 3 3解得 x2 3
7、.46(cm)，3 BF3.46(cm)，容器内牛奶的高度 CF9 BF5.5(cm)即容器内牛奶的高度约为 5.5 cm.3解：(1)新坡面的坡度为 1 ，3tan tan CAB ，13 33 30.答：新坡面的坡角 为 30.(2)文化墙 PM 不需要拆除理由：过点 C 作 CD AB 于点 D，则 CD6 米坡面 BC 的坡度为 11，新坡面的坡度为 1 ，3 BD CD6 米， AD6 米，3 AB AD BD(6 6)米8 米，3文化墙 PM 不需要拆除4解：如图，由题意知： AB4 千米， CAB60， CBD45， AC BD，过点 B 作 BE AC 于点 E， CEB90，
8、 EBA90 CAB30， CBE90 CBD45， BE ABcos304 2 (千米)，32 3 BC BE 2 2 (千米)，2 2 3 6即 B， C 两地之间的距离为 2 千米65解：过点 A 作 AD BC 于点 D，则 AD 的长度即为 A 到岸边 BC 的最短距离在 Rt ACD 中， ACD45，设 AD x 千米，则 CD AD x 千米在 Rt ABD 中， ABD60，由 tan ABD ，即 tan60 ，ADBD xBD BD x(千米)xtan60 33又 BC4 千米，即 BD CD4 千米， x x4，解得 x62 .33 3即小岛上标志性建筑物的底部 A 到
9、岸边 BC 的最短距离为(62 )千米36解：过点 C 作 CD AB 交 AB 的延长线于点 D，设 CD x 米在 Rt ADC 中， DAC25，所以 tan25 0.5，所以 AD 2 x 米CDAD CD0.5在 Rt BDC 中， DBC60，由 tan60 ，解得 x3.x2x 4 3即该生命迹象所在位置 C 的深度约为 3 米7解：由题意知 DBC60， EBC30， DBE DBC EBC603030.又 BCD90， BDC90 DBC906030， DBE BDE， BE ED.设 EC x m，则 ED BE2 EC2 x m， DC EC ED x2 x3 x(m)，
10、BC x m.BE2 EC2 3由题意可知 DAC45， DCA90， ACD 为等腰直角三角形， AC DC， x603 x3解得 x3010 .3则 ED2 x(6020 )m.3答：塔 ED 的高度约为(6020 )m.38解：如图，过点 D 作 DE AC，垂足为 E，设 BE x 米在 Rt DEB 中，tan DBE ，DEBE DBC65， DE xtan65米在 Rt ADE 中， DAC45， AE DE，132 x xtan65，解得 x115.8， DE248 米即观景亭 D 到南滨河路 AC 的距离约为 248 米9解：设巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为 x 小时由题意得 ABC4575120， AB12 海里， BC10 x 海里， AC14 x 海里如图，过点 A 作 AD CB 交其延长线于点 D.在 Rt ABD 中， AB12 海里， ABD60， BD ABcos60 AB6 海里， AD ABsin606 海里， CD(10 x6)海12 3里在 Rt ACD 中，由勾股定理得(14 x)2(10 x6) 2(6 )2，3解得 x12， x2 (不合题意，舍去)34答：巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为 2 小时
