1、2024届四川省雅安市高三零诊考试数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1. 设表示有限集合A中元素的个数.则是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 已知复数，则的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 23. 的展开式中，系数最小的项是（ ）A 第4项B. 第5项C. 第6项D. 第7项4. 已知函数，则函数的零点个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 45. 甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件：甲和乙选择的活动各不同，事件：甲和乙恰好一人选择，则等于（
2、 ）A. B. C. D. 6. 设，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 7. 在等比数列中，若，则等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知函数的定义域为恒成立.当时，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 9. 已知函数，下列结论中：当时，的最小值为3；函数是奇函数；函数的图象关于点对称 ；是图象的一条切线，正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 410. 已知函数（且），设T为函数的最小正周期，若在区间有且只有三个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 11. 质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，当和从圆与轴正半轴的
3、交点同时出发，且点的角速度是点的角速度大小的2倍.当点第一次运动到射线与圆的交点时，点运动到点处，此时等于（ ）A. B. C. D. 12. 已知函数，设，则等于（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某校期末统考数学成绩服从正态分布按，的比例将考试成绩划为四个等级，其中分数大于或等于83分的为等级，则等级的分数应为_（用区间表示）14. 执行如图中的程序框图，如果输入的，则输出的所在区间是_ 15. 已知，若，则的最小值为_.16. 已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则的最小值为_.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
4、骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 在圆的内接四边形中，.（1）求的长和的大小；（2）求四边形的面积和圆的面积.18. 已知函数在时有极小值.曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.19. “一带一路”是促进各国共同发展，实现共同繁荣的合作共赢之路.为了了解我国与某国在“一带一路”合作中两国的贸易量情况，随机抽查了100天进口贸易量与出口贸易量（单位：亿人民币/天）得下表：进口出口3218468123710（1）估计事件“我国与该国贸易中，一天进口贸易量与出口贸易量
5、均不超过100亿人民币”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的列联表：进口出口（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为“我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量”有关？附：.0.0500.01000013.8416.6351082820. 已知各项均为正数数列中，是等差数列，是等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设的前项和为，求证：对恒成立.21. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修44：坐标系与参数方程】22. 在直角坐标系
6、中，曲线的参数方程为（为参数，），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（1）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；（2）将曲线的极坐标方程化为直角坐标系方程，并指出它的曲线类型.【选修45：不等式选讲】23. 已知，函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的图象与轴围成的三角形面积等于6时，求的值.2024届四川省雅安市高三零诊考试数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1. 设表示有限集合A中元素的个数.则是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据公式得到，从而得到
7、，得到答案.【详解】因为，而，所以，故，故是的充要条件.故选：C2. 已知复数，则的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，从而得到共轭复数；【详解】因为，所以，所以共轭复数.故选：B3. 的展开式中，系数最小的项是（ ）A. 第4项B. 第5项C. 第6项D. 第7项【答案】C【解析】【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，结合二项式系数的性质即可得解.【详解】依题意，的展开通项公式为，其系数为，当为奇数时，才能取得最小值，又由二项式系数的性质可知，是的最大项，所以当时，取得最小值，即第6项的系数最小.故选：C4. 已知函数，
8、则函数的零点个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】设，设，根据已知作出函数的图象，结合零点存在定理以及函数的增长速度的快慢，即可得出答案.【详解】设，设，则.又，所以1是函数的一个零点；因为，所以，.又，所以，.根据零点的存在定理，可知，使得，即是函数的一个零点；因，所以，.又，所以，.根据零点的存在定理，可知，使得，即是函数的一个零点.结合函数图象以及的增长速度可知，当或时，函数没有零点.综上所述，函数的零点为1，共3个零点.故选：C.5. 甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件：甲和乙选择的活动各不同，事件
9、：甲和乙恰好一人选择，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用排列组合及计数原理，求出和，再利用条件概率公式即可求出结果.【详解】由题意知，所以，故选：B.6. 设，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用正弦函数、指数函数、对数函数的性质判定即可.【详解】易知.故选：B7. 在等比数列中，若，则等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】排除的情况，根据等比数列通项公式和求和公式得到两个等式，相除化简即可.【详解】等比数列，若 ，则或，验证不成立；故，两式相除得到，即，.故选：D.8. 已知函数的定义域为恒
10、成立.当时，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先得到关于对称，结合得到，结合条件得到的单调性，结合，得到，由单调性求出解集.【详解】因为，所以关于对称，所以，因为，所以，因为，故在上单调递增，所以在上单调递减，因为，所以，当时，结合单调性可知，当时，结合单调性可知，故的解集为.故选：A9. 已知函数，下列结论中：当时，的最小值为3；函数是奇函数；函数的图象关于点对称 ；是图象的一条切线，正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】由基本不等式判断，由奇偶性定义判断，由函数图象变换及奇函数的性质判断，由导数的几何意义求切线
11、判断【详解】当时，,当且仅当即时等号成立，所以最小值是3，正确；函数，记，其定义域是，因此是奇函数，正确；的图象关于原点对称，把它向右平移一个单位，再向上平移一个单位得的图象，因此的图象关于点对称，正确；，由得或，因此直线和都是函数图象的切线，正确，故选：D10. 已知函数（且），设T为函数的最小正周期，若在区间有且只有三个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意可确定为函数的最小正周期，结合求出，再根据在区间有且只有三个零点，结合余弦函数性质列出不等式，求得答案.【详解】由题意知为函数的最小正周期，故，由得，即，由于，故，在区间有且只有三个零点，故
12、，且由于在上使得的x的值依次为，故，解得，即，故选：D11. 质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，当和从圆与轴正半轴的交点同时出发，且点的角速度是点的角速度大小的2倍.当点第一次运动到射线与圆的交点时，点运动到点处，此时等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，根据三角函数的基本关系式，求得点，得到，再由倍角公式，求得，则，设，列出方程组，求得的值，即可求解.【详解】如图所示，设，因为射线方程为，可得，因为，所以，所以点，则，因为点的角速度是点的角速度大小的2倍，可得，则，所以点，则，又由，设，即，所以，即.故选：C.12. 已知函数，设，则等于
13、（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式得到最大值，即得到关于的关系式，代入利用诱导公式即可.【详解】，.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某校期末统考数学成绩服从正态分布按，的比例将考试成绩划为四个等级，其中分数大于或等于83分的为等级，则等级的分数应为_（用区间表示）【答案】【解析】【分析】根据已知条件及正态分布的特点即可求解【详解】设考试成绩为，由题意可知，所以，所以等级的分数应为，故答案为：14. 执行如图中的程序框图，如果输入的，则输出的所在区间是_ 【答案】【解析】【分析】根据程序框图转化为求解函数值域问题.【详解】该程序
14、框图的功能是求的值域，当时，；当时，；所以输出的所在区间是.故答案为：.15. 已知，若，则的最小值为_.【答案】1【解析】【分析】首先令，并构造函数表示，利用导数判断函数的单调性，即可求解.【详解】由已知，则，得，则，设，令，得，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数取得最小值，所以的最小值为.故答案为：116. 已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则的最小值为_.【答案】#【解析】【分析】根据奇偶性得出关于和的两个方程，联立解得，再由基本不等式得最小值【详解】是偶函数，所以，是奇函数，所以，两式联立解得，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值是故答案为：三、解答题
15、：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 在圆的内接四边形中，.（1）求的长和的大小；（2）求四边形的面积和圆的面积.【答案】（1）； （2），.【解析】【分析】（1）设出未知量，在两个三角形中两次余弦定理，列出关于与的关系，解方程组即可；（2）运用面积公式以及正弦定理，求出外接圆的半径后即可求圆的面积.【小问1详解】在四边形中，四点共圆，则与互补，且为锐角. 设，则，故，如图所示：在中，由余弦定理，得，即- ，在中，由余弦定理，得，即- ，由和解之得，为锐角所以；
16、【小问2详解】由，知， 四边形的面积等于与面积之和，故 在中，由正弦定理得，（设为的半径），所以，故，所以圆的面积为.18. 已知函数在时有极小值.曲线在点处切线方程为.（1）求的值；（2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）对函数求导，利用在时有极小值和在点处的切线方程，即可求出的值；（2）将函数代入不等式并分离参数，转化成对任意实数恒成立问题，构造函数，通过讨论新函数的单调性，求出新函数的取值范围，进而得出实数的取值范围.【小问1详解】由题意，在中，在时有极小值.曲线在点处的切线方程为.即 ，当时，在上单调递增.当时，在上单调递减.当时，在时有
17、极小值.故符合题意，即为所求.【小问2详解】由题意及（1）得，在中，即对任意实数恒成立， 设，则. 当时，则，故在上单调递增；当时，则，故在上单调递减；当时，则，故时有极小值，也就是的最小值，故即为所求.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的求导，导数法判断函数单调性，导数法解决函数恒成立问题，构造函数法，考查学生的计算能力和逻辑思维能力，具有很强的综合性.19. “一带一路”是促进各国共同发展，实现共同繁荣的合作共赢之路.为了了解我国与某国在“一带一路”合作中两国的贸易量情况，随机抽查了100天进口贸易量与出口贸易量（单位：亿人民币/天）得下表：进口出口3218468123710（1）估计事件“
18、我国与该国贸易中，一天的进口贸易量与出口贸易量均不超过100亿人民币”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的列联表：进口出口（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为“我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量”有关？附：.0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1） （2）列联表见解析 （3）有99%的把握认为我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量有关【解析】【分析】（1）由图表计算出进出口贸易不超过100的天数总和，然后利用频率估计概率求解；（2）由题意填写列联表；（3）根据（2）中的列联表计算的值，然后根据已知条件做出求解.【小问1详解
19、】由题中表中的信息可知，在100天中，进口贸易与出口贸易均不超过100的天数为，用频率估计概率，可得所求概率为.【小问2详解】列出列联表如下：进口出口64161010【小问3详解】由（2）得 ，所以有99%的把握认为我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量有关.20. 已知各项均为正数的数列中，是等差数列，是等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设的前项和为，求证：对恒成立.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由是等差数列，是等比数列，分别写出通项公式并表示出，由对应相等求得公差与公比，从而得到的通项公式.（2）用错位相减求和法得解.【小问1详解】在等差数列中，首项，公
20、差为.则，则 ，在等比数列中，首项，公比为，则，则 ，当和时，有 ，解得：或（这与恒成立矛盾，舍去），故 ，经检验，符合题设，即为所求.【小问2详解】 由得： ，数列中，对任意正整数恒成立，由，故是递增数列，所以，即.故.21. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）.【解析】【分析】（1）求导得，进而解三角不等式即可得答案；（2）根据题意得在上有两个不等实根，进而令，研究函数的函数值的分布，即可求得答案.【详解】解：（1）因为，所以.因为，当，即时，当，即时，所以在上单调递增，在上单调递减.所以函
21、数的单调递增区间是，单调递减区间是（2）由（1）知，因为，所以，所以，由题意在上有两个不等实根，即有两个实根且在每个实根两侧的符号不同.设，则，令，得，当时，所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减.所以，所以当时，在上有两个实根.即的取值范围为.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修44：坐标系与参数方程】22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（1）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；（2）将曲线的极坐标方程化为直角坐标系方程，并指出它的曲线类型.【答案
22、】（1）是以为圆心，为半径的圆， （2），它表示以为圆心，以2为半径的圆【解析】【分析】（1）消去参数得到的普通方程；将，代入的普通方程中，得到的极坐标方程；（2）方程化为，再利用互化公式将极坐标方程转化为直角坐标系方程，可知曲线类型.【小问1详解】消去参数，得，所以是以为圆心，为半径的圆. 将代入其中，则得，整理得这就是的极坐标方程.【小问2详解】由曲线的极坐标方程，得，即，这就是曲线直角坐标系方程，它表示以为圆心，以2为半径的圆.【选修45：不等式选讲】23. 已知，函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的图象与轴围成的三角形面积等于6时，求的值.【答案】（1） （2）2【解析】【分析】（1）分类讨论的取值范围，得到相应不等式，解之即可；（2）将转化为分段函数，作出大致图象，从而得到关于的方程，解之即可.【小问1详解】当时，又，当时，原不等式可化为，此时原不等式无解，当时，原不等式可化为，解得，当时，原不等式可化为，解得，综上所述，的解集为.【小问2详解】由，得，作出的大致图象，如图所示 ，函数的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，. 故，由已知且，解得，所以.
