1、江苏省常州市十校2022-2023学年高二上10月联考数学试卷一、选择题1. 已知点，点，则直线AB的倾斜角为（ ）A. 30B. 45C. 120D. 1352. 若三条直线，和相交于一点，则（ ）A. B. C. D. 3. 已知直线与相交于两点，且等边三角形，则实数（ ）A. 或2B. 或4C. D. 4. 已知圆 与圆的公共弦所在直线恒过定点且点在直线上， 则的最大值是（ ）A. B. C. D. 5. 已知圆：上到直线的距离等于1的点至少有2个，则的取值范围为A. B. C. D. 6. 已知直线平分圆的面积，过圆外一点向圆作切线，切点为Q，则的最小值为（ ）A. 4B. 5C. 6
2、D. 77. 已知直线与圆相切于点，则圆C的半径为（ ）A. B. C. D. 58. 在正三角形中，为中点，为三角形内一动点，且满足，则最小值为（ ）A. B. C. D. 二、选择题9. （多选）下列有关直线的说法中不正确的是（ ）A. 直线的斜率为B. 直线的斜率为C. 直线过定点D. 直线过定点10. 已知分别为圆：与圆：上的动点，为轴上的动点，则的值可能是（ ）A. 7B. 8C. 9D. 1011. 已知直线，圆，则下列选项中正确是（ ）A. 圆心的轨迹方程为B. 时，直线被圆截得的弦长的最小值为C. 若直线被圆截得的弦长为定值，则D. 时，若直线与圆相切，则12. 数学美的表现形
3、式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：曲线C围成的图形的周长是；曲线C围成图形的面积是2；曲线C上的任意两点间的距离不超过2；若P（m，n）是曲线C上任意一点，的最小值是其中正确的结论为（ ）A. B. C. D. 三、填空题13. 直线与直线平行，则_14. 已知圆C1：（xa）2（y2）24和圆C2：（xb）2（y2）21无公切线，则直线与圆的位置关系是_.15. 在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆的两个交点分别位于不同
4、的象限，则l的斜率的取值范围为_16. 已知圆，若存在圆C的弦，使得，且其中点M在直线上，则实数k的取值范围是_四、解答题17. （1）已知直线l经过，并且倾斜角直线的倾斜角的2倍，求直线l的方程；（2）已知直线l过点，点和到l的距离相等，求直线l的方程.18. 在过点，圆E恒被直线平分，与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知圆E经过点，且_.（1）求圆E的一般方程；（2）设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.19. 已知关于x，y的方程为.（1）若该方程表示圆，且点不在圆内，求实数m的取值范围：（2）在（1）的条件下，当圆的面积最大时记圆为，若圆与C2：
5、0）相交，求实数a的取值范围.20. 已知圆M；，圆心在直线xy10上，且圆心在第二象限，半径为.（1）求圆M的方程；（2）若圆M的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线方程.21. 如图，已知圆O：x2y24和点A（2，2），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，Q为切点，且|PQ|PA|.（1）求证：ab3；（2）求|PQ|最小值；（3）以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程.22. 已知圆C经过，两点.（1）当时，圆C与x轴相切，求此时圆C方程；（2）如果AB是圆C的直径，证明：无论a取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，求出这个定点坐标.（3）已知点A关
6、于直线的对称点也在圆C上，且过点B的直线l与两坐标轴分别交于不同两点M和N，当圆C的面积最小时，试求的最小值；江苏省常州市十校2022-2023学年高二上10月联考数学试卷一、选择题1. 已知点，点，则直线AB的倾斜角为（ ）A. 30B. 45C. 120D. 135【答案】C【解析】【分析】利用点的坐标求直线的斜率，再利用斜率的定义求倾斜角即可.【详解】，设倾斜角为，又，所以.故选：C.2. 若三条直线，和相交于一点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出直线与直线的交点坐标，再将交点坐标代入直线的方程中，可求得实数的值.【详解】联立，解得，即直线与直线交于点， 将
7、点的坐标代入直线的方程中，得，解得.故选：B.【点睛】本题考查利用三条直线的交点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题.3. 已知直线与相交于两点，且为等边三角形，则实数（ ）A. 或2B. 或4C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知得圆心到直线的距离为，再根据点到直线的距离公式可求得答案.【详解】解：的圆心，半径，因为直线与相交于两点，且为等边三角形，则圆心到直线的距离为，即，整理得，解得或，故选：A.4. 已知圆 与圆的公共弦所在直线恒过定点且点在直线上， 则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据圆和的方程得到公共弦所在的直线方程，可得点，进而可得，再利
8、用基本不等式即可得到的最大值.【详解】由圆 ， 圆:，得圆 与圆的公共弦所在直线方程为:，由， 解得， 即，又在直线上， 即，所以，当且仅当时等号成立，的最大值为.故选: D.5. 已知圆：上到直线的距离等于1的点至少有2个，则的取值范围为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】试题分析：由圆的方程可知圆心为，半径为2因为圆上的点到直线的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线的距离，即，解得故A正确考点：1直线与圆的位置关系；2转化思想6. 已知直线平分圆的面积，过圆外一点向圆作切线，切点为Q，则的最小值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】【分析】本题考查圆有
9、关的最值问题，根据条件得到，在中，利用二次函数性质得到答案【详解】圆化为标准方程为，所以圆心，半径，因为直线平分圆的面积，所以圆心在直线上，故，即，在中，当时，最小为16，最小为4故选：A7. 已知直线与圆相切于点，则圆C半径为（ ）A. B. C. D. 5【答案】A【解析】【分析】将点代入直线方程中求出，再求出圆心的坐标为，然后由列方程求出，再将点坐标代入圆方程中可求出，从而可求得圆的方程，进而可求出圆的半径【详解】将代，得.易知圆心的坐标为，解得，将代入圆的方程得，圆C的方程为，即，圆C的半径为.故选：A8. 在正三角形中，为中点，为三角形内一动点，且满足，则最小值为（ ）A. B. C
10、. D. 【答案】D【解析】【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设边长为，由向量坐标运算可表示出点轨迹，利用两点间距离公式可得；当时，可求得；当时，令，根据的几何意义，利用直线与圆的位置关系可求得的范围，进而得到最小值；综合两种情况可得结果.【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，不妨设正三角形的边长为，则，设，则，即；点轨迹为：，；当时，；当时，令，则表示与连线的斜率，设直线与圆相切，则圆心到直线距离，解得：或，则当时，取得最小值，；综上所述：最小值为.故选：D.二、选择题9. （多选）下列有关直线的说法中不正确的是（ ）A. 直线的斜率为B. 直线的斜率为C.
11、直线过定点D. 直线过定点【答案】ABC【解析】【分析】分别讨论，可得到斜率存在时为及斜率不存在两种情况，并可得到定点，可判断ABD；将代入l方程可知C不正确.【详解】当时，直线的方程可变为，其斜率为，过定点，当时，直线的方程变为，其斜率不存在，过点，故AB不正确，D正确，将点代入直线方程得，故只有当时直线才会过点，即C不正确，故选：ABC10. 已知分别为圆：与圆：上的动点，为轴上的动点，则的值可能是（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】CD【解析】【分析】计算得到的最小值为，得到答案.【详解】圆，关于轴对称的圆为圆，则的最小值为，又，故选：.【点睛】本题考查了圆相关长度的最值问题
12、，计算的最小值为是解题的关键.11. 已知直线，圆，则下列选项中正确的是（ ）A. 圆心的轨迹方程为B. 时，直线被圆截得的弦长的最小值为C. 若直线被圆截得的弦长为定值，则D. 时，若直线与圆相切，则【答案】BC【解析】【分析】首先表示出圆心坐标，即可判断A，再求出直线过定点坐标，由弦长公式判断B，求出圆心到直线的距离，当距离为定值时，弦长也为定值，即可判断C，求出圆心到直线的距离，即可判断D；【详解】解：圆的圆心坐标为，所以圆心的轨迹方程为，故A错误；直线，令，解得，即直线恒过点，当时圆，圆心为，半径，又，所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故B正确；对于C：若直线被圆截得的弦长为定值，则圆
13、心到直线的距离为定值，所以，解得，故C正确；对于D：当时直线，圆心到直线的距离，若直线与圆相切，则，故D错误；故选：BC12. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：曲线C围成的图形的周长是；曲线C围成的图形的面积是2；曲线C上的任意两点间的距离不超过2；若P（m，n）是曲线C上任意一点，的最小值是其中正确的结论为（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】对绝对值里面的进行分类讨论，去掉绝对值；根据图象
14、曲线C是四个半径为的半圆围成的图形，求出周长判断正确；可以知道曲线C所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，判断错误；由曲线C的图象可知，曲线C上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，判断错误；利用点到直线距离判断正确.【详解】当时，曲线C的方程可化为；当时，曲线C的方程可化为；当 时，曲线C的方程可化为；当时，曲线C的方程可化为；由图可知，曲线C是四个半径为的半圆围成的图形，即曲线C围成的图形的周长是，故正确；曲线C所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，从而曲线C所围成图形的面积为，故错误；由曲线C的图象可知，曲线C上的任意两点间的距离的最
15、大值为两个半径与正方形的边长之和，即，故错误；因为到直线的距离为，所以，当d最小时，易知在曲线C的第一象限内的图象上，因为曲线C的第一象限内的图象是圆心为，半径为的半圆，所以圆心到的距离，从而，即，故正确.故选：AD.【点睛】绝对值问题的处理思路：对绝对值里面的数的正负进行分类讨论，去掉绝对值，从而确定方程，确定图象.三、填空题13. 直线与直线平行，则_【答案】【解析】【分析】根据两直线平行可得出关于实数的二次方程，解出实数的值，代入检验即可得解.【详解】由于直线与直线平行，则，即，解得或.当时，两直线的方程分别为、，此时，两直线平行；当时，两直线方程分别为、，此时，两直线重合.综上所述，.
16、故答案为：.【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题.14. 已知圆C1：（xa）2（y2）24和圆C2：（xb）2（y2）21无公切线，则直线与圆的位置关系是_.【答案】相离【解析】【分析】根据两圆公切线的定义，结合点到直线距离公式进行求解即可.【详解】因为两个圆无公切线，所以两个圆内含，则有，因为圆心到直线的距离为：，因为，所以，显然，因此直线与圆的位置关系是相离，故答案为：相离15. 在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆的两个交点分别位于不同的象限，则l的斜率的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由题设，根据圆的方程找到轴线点，应用两点式求与各轴线点连线的斜率
17、，数形结合法判断满足题设情况下直线l的范围.【详解】记，当，即时，两个交点分别位于第一、三象限，满足题意；当，即时，两个交点分别位于第三、四象限，满足题意；当时，若直线l与圆有两个交点，则两个交点均在第二象限，不满足题意；当时，若直线l与圆有两个交点，则两个交点均在第三象限，不满足题意综上，或故答案为：.16. 已知圆，若存在圆C的弦，使得，且其中点M在直线上，则实数k的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由圆的性质得出，即点在一个圆上，问题转化为此圆与直线有公共点，由直线与圆的位置关系易得结论【详解】圆C的方程可化为，圆心，半径，由于弦满足，且其中点为M，则，因此M点在以为圆心，1为半径的圆
18、上，又点M在直线上，故直线与圆有公共点，于是，解得故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的弦的性质解题关键在于问题的转化由弦长确定中点的轨迹，由点在直线上转化为直线与圆的位置关系四、解答题17. （1）已知直线l经过，并且倾斜角直线的倾斜角的2倍，求直线l的方程；（2）已知直线l过点，点和到l距离相等，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据直线的方程得到直线的倾斜角，再利用斜率的定义得到直线的斜率，最后用点斜式写直线方程即可；（2）根据点和到直线的距离相等，得到直线过中点或与平行，再根据点的坐标和平行得到直线的斜率，最后用点斜式写直线方程即可.【详解
19、】（1）因为的斜率为，所以倾斜角为，所以直线的倾斜角为，则直线的方程为，整理得.（2）因为点和到直线的距离相等，所以直线过中点或与平行，当直线过中点时，设中点坐标为，因为点、，所以中点坐标为，所以直线的方程为，整理得；当直线与平行时，所以直线的方程为，整理得，所以直线的方程为或.18. 在过点，圆E恒被直线平分，与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知圆E经过点，且_.（1）求圆E的一般方程；（2）设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）选择时，设圆的一般式方程或者标准方程，代入点以及相关条件，根据待定系数法，即可确定
20、圆的方程，选择时，根据几何法确定圆心和半径即可求解，（2）根据相关点法即可求解轨迹方程.【小问1详解】方案一：选条件.设圆的方程为，则，解得，则圆E的方程为.方案二：选条件.直线恒过点.因为圆E恒被直线平分，所以恒过圆心，所以圆心坐标为，又圆E经过点，所以圆的半径r1，所以圆E的方程为，即.方案三：选条件.设圆E的方程为.由题意可得，解得，则圆E的方程为，即.【小问2详解】设.因为M为线段AP的中点，所以，因为点P是圆E上的动点，所以，即，所以M的轨迹方程为.19. 已知关于x，y的方程为.（1）若该方程表示圆，且点不在圆内，求实数m的取值范围：（2）在（1）的条件下，当圆的面积最大时记圆为，
21、若圆与C2： 0）相交，求实数a的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据该方程为圆，且点在圆内列方程，解方程即可得到的范围；（2）根据圆的面积最大得到，再利用两圆相交得到，解不等式即可.【小问1详解】因为该方程表示圆，且点在圆内，所以，解得.【小问2详解】圆的半径，所以当时半径最大，面积最大，所以： ，圆心，半径，因为：，所以圆心，半径，又两圆相交，所以，解得，所以.20. 已知圆M；，圆心在直线xy10上，且圆心在第二象限，半径为.（1）求圆M的方程；（2）若圆M的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线方程.【答案】（1）； （2），.【解析】【分析】（1）根据圆的方程得到圆
22、心坐标为，代入中，再根据半径为列方程，联立方程解得，即可得到圆的方程；（2）设切线方程为，再根据相切和横纵截距相等列方程，解方程即可.【小问1详解】因为圆：，所以圆心坐标为，半径，又圆心在直线上，半径为，所以，解得，（舍去），或，所以圆的方程为.【小问2详解】因为圆的方程为，所以圆心为，因为圆的切线在轴和轴上的截距相等，所以切线斜率存在且不为零，设切线方程，所以，解得，或，或-1，所以切线方程为或或或.21. 如图，已知圆O：x2y24和点A（2，2），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，Q为切点，且|PQ|PA|.（1）求证：ab3；（2）求|PQ|的最小值；（3）以P为圆心作圆，使它
23、与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程.【答案】（1）见解析； （2）； （3）.【解析】【分析】（1）根据相切得到，又，得到，代入列方程即可证明；（2）根据得到点的轨迹方程，再根据勾股定理得到最小时，最小，求出的最小值即可得到的最小值；（3）根据题意得到半径最小时，两圆外切且垂直，根据垂直和外切求出点和半径即可得到圆的方程.【小问1详解】因为为圆的切线，所以，在中，又，所以，即，整理得.【小问2详解】因为，且，所以点在直线上，因为，所以当最小时，最小，最小时，垂直直线，所以，此时，所以的最小值为.【小问3详解】由题意知，以为圆心的圆在垂直时，且以为圆心的圆和圆外切时半径最小，所以此时
24、方程为，联立，解得，所以，半径为，圆的方程为.22. 已知圆C经过，两点.（1）当时，圆C与x轴相切，求此时圆C的方程；（2）如果AB是圆C的直径，证明：无论a取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，求出这个定点坐标.（3）已知点A关于直线的对称点也在圆C上，且过点B的直线l与两坐标轴分别交于不同两点M和N，当圆C的面积最小时，试求的最小值；【答案】（1） （2）证明见解析，定点为 （3）【解析】【分析】（1）圆的半径为r，则圆心为，再根据求得，即可得解；（2）设点是圆上任意一点，由AB是圆C的直径，得，从而可求出圆的方程，即可得出结论；（3）根据题意可得点C在直线上，要使圆C的面积最小，则
25、圆C是以直径的圆，从而可求出圆的方程，进而可求得点的坐标，设出直线的方程，分别求出的坐标，再根据两点的距离公式结合基本不等式即可得解.【小问1详解】解：时，圆过，设圆的半径为r，则圆心为，则，解得，所以圆C的方程为；【小问2详解】证明：设点圆上任意一点，因为AB是圆C的直径，所以，即，所以圆的方程为：，则，等式恒成立，定点为，所以无论a取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，定点坐标为；【小问3详解】解：因点A关于直线的对称点也在圆C，所以点C在直线上，又圆C的面积最小，所以圆C是以直径的圆，过点A与直线垂直的直线方程为，由方程组得，所以圆C方程为，当时，或，又，所以，即，由题意知直线l斜率存在且不为零，设直线l的方程为，当时，当，时，所以，当且仅当，即时取等号，即时，.
