1、扬州市邗江区二校联考2022-2023学年八年级上9月月考数学试题一、选择题（每题3分，共计24分）1. 下列分别是2022年北京冬奥会、1998年长野冬奥会、1992年阿尔贝维尔冬奥运会、1984年萨拉热窝冬奥会会徽上的图案，其中是轴对称图形的是（ ）A B. C. D. 2. 如图，下列条件中，不能判定的是（ ）A. B. C. D. 3. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线这里构造全等三角形的依据是（ ）A B. C. D. 4. 在三条公路，围成的一块平地上修建一
2、个物流服务中心如图所示，若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（）A. 三条高线交点处B. 三条角平分线的交点处C. 三条中线的交点处D. 三边垂直平分线的交点处5. 如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（ ）A. B. C. D. 6. 如图，直线，相交于点为这两直线外一点，且若点关于直线，的对称点分别是点，则，之间的距离可能是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 87. 下列说法中：（1）斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等；（2）三个外角都相等的三角形是等边三角形；（3）等底等高的两个三角形全等；（4）两个图形
3、关于某条直线对称，且对应线段相交，交点一定在对称轴上正确的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 如图，在等边三角形中，在AC边上取两点使若， 则以为边长的三角形的形状为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 随的值而定二、填空题（每空3分，共30分，将答案填在答题纸相应的位置上）9. 已知一等腰三角形的两边长分别为1cm和3cm，则此三角形的周长为_cm10. 直角三角形斜边上的高和中线分别是5和7，则它的面积是_11. 如图，平分，于点，点为射线上一动点，若，则的最小值为_12. 如图，在中，是角平分线，点E、F是上的两点，则图中阴影部分的面积之和为 _1
4、3. 如图，在中，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，的周长为12cm，则的周长为_cm14. 如图，在中，将绕点A按逆时针方向旋转得到若点恰好落在边上，且，则的度数为 _15. 如图，在边长为a、高为b的等边的外侧作等腰直角，其中，过点E作，垂足为F，则的周长_16. 如图，AD是ABC的角平分线，DFAB，垂足为F，DE=DG，ADG和AED的面积分别为27和16，则的面积为 _17. 如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”在三角形纸片中，将纸片沿着EF折叠，使得点A落在边上的点D处设，则能使和同时成为“准直角三角形”的x值_18. 如图，ABC是等边
5、三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，CPE的度数是_三、解答题（共96分，把解答过程写在答题纸相对应的位置上）19. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上（1）在图中画出与关于直线l成轴对称的；（2）线段被直线l_；（3）在直线l上找一点P，使的长最短；（4）的面积_20. 如图，B、F、C、E是直线l上四点，（1）求证：；（2）将沿直线l翻折得到用直尺和圆规在图中作出（保留作图痕迹，不要求写作法）；连接，则直线与l的位置关系是_21. 中国清朝末期的几何作图教科书最新中学教科书用器画由国人
6、自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：原文释义甲乙丙为定直角以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线如图2，为直角以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，；以点为圆心，以长为半径画弧与交于点；再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点；作射线， （1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据（1）完成的图，直接写出，的大小关系22. 如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如
7、图2所示，求的大小23. 如图，点A，D，C，F在同一条直线上，ABDE，BCEF有下列三个条件：ACDF，ABCDEF，ACBDFE （1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得ABCDEF你选取条件为（填写序号）_（只需选一个条件，多选不得分），你判定ABCDEF的依据是_（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论ABCDEF求证：ABDE24. 已知与都是等腰直角三角形，且求证：（1）；（2）25. 如图，为等腰直角三角形，为边上的高线，点、分别是、上的点，且（1）求证：；（2）判断的形状，并说明理由；（3）直接写出四边形的面积与的面积的数量关系：_26.
8、 如图，在中，已知，是边上的中线，点E是边上一动点，点P是上的一个动点！（1）若，求的度数；（2）若，且时，求的长；（3）在（2）的条件下，请直接写出的最小值27. 已知中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的伴侣分割线例如：如图1，中，若过顶点B的一条直线交于点D，当时，直线是的关于点B的伴侣分割线（1）在图2的中，请在图2中画出关于点B的伴侣分割线，并注明的度数；（2）已知，在图3中画出两种不同于图1、图2的，所画同时满足：C为最小角；存在关于点B的伴侣分割线，请画出其伴侣分割线，并标出所画中各个角的度数2
9、8. （1）观察理解：如图1，中，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，垂足分别为D、E，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以（_）；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，AEAB，且，且，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积_；（3）类比探究：如图3，中，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积（4）拓展提升：如图4，等边中，点在上，且，动点从点沿射线以速度运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段设点P运动的时间为t秒当_秒时，；当_秒时，点F恰好落在射线上扬州市邗江区二校联考2022-2023学年八年级上9月月考数学试题一、选择题
10、（每题3分，共计24分）1. 下列分别是2022年北京冬奥会、1998年长野冬奥会、1992年阿尔贝维尔冬奥运会、1984年萨拉热窝冬奥会会徽上的图案，其中是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形详解】解：A不能沿一条直线折叠完全重合；B不能沿一条直线折叠完全重合；C不能沿一条直线折叠完全重合；D能够沿一条直线折叠完全重合；故选：D【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，关键在于熟练掌握轴对称图形的概念，并对选项作出正确判断2. 如图，下列条件中，不能判定的是（ ）A. B. C. D.
11、【答案】A【解析】【分析】根据三角形全等的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL即可判定得到结果【详解】解：A、DC=BC，DAC=BAC，AC=AC不是夹角不能判定全等，故本项正确；B、AB=AD、DAC=BAC、AC=AC，边角边能够判定全等，故本项错误；C、D=B、DAC=BAC、AC=AC，角角边能够判定全等，故本项错误；D、DCA=BCA、AC=AC、DAC=BAC角边角能够判定全等，故本项错误；故选：A【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，特别注意AAA、SSA不能判定三角形全等3. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，
12、使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线这里构造全等三角形的依据是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据全等三角形的判定条件判断即可【详解】解：由题意可知在中(SSS)就是的平分线故选：D【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键4. 在三条公路，围成的一块平地上修建一个物流服务中心如图所示，若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（）A. 三条高线的交点处B. 三条角平分线的交点处C. 三条中线的交点处D. 三边垂直平分线的交点处【答案】B【解析】【分析】根据三角形三条角平
13、分线的交点到三角形各边的距离相等的特点解答即可【详解】解：三角形三条角平分线的交点到三角形各边的距离相等，要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建三条角平分线的交点故选：B【点睛】本题考查的是三角形的重心，熟知三角形三条角平分线的交点到三角形各边的距离相等是解题的关键5. 如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得A=60，再由三角形外角的性质可得AEF=1-A=80，从而得到BEF=100，然后根据平行线的性质，即可求解【详解】解：是等边三角形，A=
14、60，1=140，AEF=1-A=80，BEF=180-AEF=100，2=BEF=100故选：B【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质是解题的关键6. 如图，直线，相交于点为这两直线外一点，且若点关于直线，的对称点分别是点，则，之间的距离可能是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】连接 根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论【详解】解：如图，连接 P1是 P 关于直线 l的对称点， 直线 l 是 PP1的垂直平分线， ， P2是 P 关于直线 m 的对称点， 直线 m 是 P
15、P2的垂直平分线， ，当 P1，O，P2不同一条直线上时， 即 ，当 P1，O，P2在同一条直线上时， ，之间的距离可能是5，故选：A【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键7. 下列说法中：（1）斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等；（2）三个外角都相等的三角形是等边三角形；（3）等底等高的两个三角形全等；（4）两个图形关于某条直线对称，且对应线段相交，交点一定在对称轴上正确的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】利用全等三角形判定、等边三角形的判定、轴对称的性质分别判断后即可确定正确的选项【详解】解：（1）斜边和一锐
16、角对应相等的两个直角三角形全等，正确；（2）三个外角都相等的三角形是等边三角形，正确；（3）等底等高的两个三角形不一定全等，原说法错误；（4）两个图形关于某条直线对称，且对应线段相交，交点一定在对称轴上，正确；其中正确的说法有3个，故选：C【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定、轴对称的性质，了解这些基本性质是解答本题的关键，难度不大8. 如图，在等边三角形中，在AC边上取两点使若， 则以为边长的三角形的形状为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 随的值而定【答案】C【解析】【分析】将ABM绕点B顺时针旋转60得到CBH，连接HN，根据等边三角形的性质及各角
17、之间的等量关系可得：NBM=NBH，然后依据全等三角形的判定定理可得NBMNBH，由全等三角形的性质可将x、m、n放在NCH中，即可确定三角形的形状【详解】解：如图所示：将ABM绕点B顺时针旋转60得到CBH，连接HN，由旋转性质可知，BM=BH，CH=AM，ABC是等边三角形，ABC=ACB=A=60，MBN=30，ABM+CBN=30，NBH=CBH+CBN=ABM+CBN =30，NBM=NBH，NBM与NBH中，NBMNBH（SAS），MN=NH=x，BCH=A=60，CH=AM=m，NCH=120，以x，m，n为边长的三角形NCH是钝角三角形故选：C【点睛】本题考查等边三角形的性质、
18、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，二、填空题（每空3分，共30分，将答案填在答题纸相应的位置上）9. 已知一等腰三角形的两边长分别为1cm和3cm，则此三角形的周长为_cm【答案】7【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为1cm和3cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形【详解】解：当腰长是1cm时，因为113，不符合三角形的三边关系，舍去；当腰长是3cm时，因为133，符合三角形三边关系，此时周长是1337（cm）故答案为：7【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形
19、的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键10. 直角三角形斜边上的高和中线分别是5和7，则它的面积是_【答案】35【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出斜边长，根据三角形的面积公式计算即可【详解】解：如图，直角三角形斜边上的中线是7，斜边长为：，它的面积，故答案为：35【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键11. 如图，平分，于点，点为射线上一动点，若，则的最小值为_【答案】6【解析】【分析】过点作于点，如图，先根据角平分线的性质得到，然后
20、根据垂线段最短解决问题【详解】解：过点作于点，如图，平分，点为射线上一动点，的最小值为的长，即的最小值为6故答案为：6【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等也考查了垂线段最短12. 如图，在中，是角平分线，点E、F是上的两点，则图中阴影部分的面积之和为 _【答案】30【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得，进一步即可求出阴影部分的面积【详解】解：，是角平分线，阴影部分的面积故答案为：30【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键13. 如图，在中，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，的周长为12cm，则的周长为_cm【答案
21、】19【解析】【分析】根据垂直平分线的性质得EA=EB，由三角形的周长和BC的长度可得AC的长度，即可得【详解】解：DE垂直平分AB，EA=EB，BC=5cm，的周长等于12cm，AB=AC，的周长为：7+7+5=19（cm），故答案为：19【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点14. 如图，在中，将绕点A按逆时针方向旋转得到若点恰好落在边上，且，则的度数为 _【答案】#24度【解析】【分析】由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解【详解】解：，将绕点A按逆时针方向旋转得到，故答案为：【点睛】本题考查了旋
22、转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键15. 如图，在边长为a、高为b的等边的外侧作等腰直角，其中，过点E作，垂足为F，则的周长_【答案】【解析】【分析】过点作于点，根据等边三角形的性质可得，然后证明，可得的周长的周长，进而可以解决问题【详解】解：如图，过点作于点，的边长为、高为，是等边三角形，是等腰直角三角形，在和中，的周长的周长故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是得到16. 如图，AD是ABC的角平分线，DFAB，垂足为F，DE=DG，ADG和AED的面积分别为27和16，则的面积为 _【答
23、案】5.5【解析】【分析】过点D作DHAC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，再利用“HL”证明RtADF和RtADH全等，RtDEF和RtDGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可【详解】解：如图，过点D作DHAC于H，AD是ABC的角平分线，DFAB，DF=DH，在RtADF和RtADH中，RtADFRtADH（HL），在RtDEF和RtDGH中，RtDEFRtDGH（HL），ADG和AED的面积分别为27和16，；故答案为：5.5【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键17. 如果三角形的两
24、个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”在三角形纸片中，将纸片沿着EF折叠，使得点A落在边上的点D处设，则能使和同时成为“准直角三角形”的x值_【答案】20【解析】【分析】由，可得，根据将纸片沿着折叠，使得点A落在边上的点D处，可得，当为“准直角三角形”时，或，可解得或，分别代入计算各角的度数，根据“准直角三角形”的定义即可得到答案【详解】解：，将纸片沿着折叠，使得点A落在边上的点D处，当为“准直角三角形”时，或，或，或，当时，即，此时，不是“准直角三角形”；当时，即，此时，是“准直角三角形”；综上所述，能使和同时成为“准直角三角形”的x值为故答案为：【点睛】本题考查三角形中的折
25、叠问题，涉及新定义，解题的关键是读懂“准直角三角形”的定义及分类讨论思想的应用18. 如图，ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，CPE的度数是_【答案】60【解析】【分析】连接，先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，最小，最后根据等腰三角形的性质可得，利用三角形的外角性质即可得出答案【详解】解：如图，连接，是等边三角形，是的中点，是等边的边上的高，垂直平分，由两点之间线段最短得：如图，当点共线时，最小，最小值为，此时有，则，故答案
26、为：60【点睛】本题考查了等边三角形的性质、两点之间线段最短等知识点，利用两点之间线段最短找出最小时，点的位置是解题关键三、解答题（共96分，把解答过程写在答题纸相对应的位置上）19. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上（1）在图中画出与关于直线l成轴对称的；（2）线段被直线l_；（3）在直线l上找一点P，使的长最短；（4）的面积_【答案】（1）见解析 （2）垂直平分 （3）见解析 （4）【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可（2）由轴对称可知，线段被直线l垂直平分（3）连接，交直线l于点P，连接，此时的长最短（4）利用割补法求三角形
27、的面积即可【小问1详解】解：如图，即为所求【小问2详解】解：由轴对称可知，线段被直线l垂直平分故答案为：垂直平分；【小问3详解】解：如图，点P即为所求【小问4详解】解：的面积=故答案为：【点睛】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键20. 如图，B、F、C、E是直线l上的四点，（1）求证：；（2）将沿直线l翻折得到用直尺和圆规在图中作出（保留作图痕迹，不要求写作法）；连接，则直线与l的位置关系是_【答案】（1）见详解；（2）见详解；平行【解析】【分析】（1）根据“SAS”即可证明；（2）以点B为圆心，BA为半径画弧，以点C为圆心，CA
28、 为半径画画弧，两个弧交于，连接B，C，即可；过点作Ml，过点D 作DNl，则MDN，且M=DN，证明四边形MND是平行四边形，即可得到结论【详解】（1）证明：，BC=EF，ABC=DEF，又，；（2）如图所示，即为所求；l，理由如下：，与关于直线l对称，过点作Ml，过点D 作DNl，则MDN，且M=DN，四边形MND是平行四边形，l，故答案是：平行【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，添加辅助线，构造平行四边形是解题的关键21. 中国清朝末期的几何作图教科书最新中学教科书用器画由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载
29、了这样一道几何作图题：原文释义甲乙丙为定直角以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线如图2，为直角以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，；以点为圆心，以长为半径画弧与交于点；再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点；作射线， （1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据（1）完成图，直接写出，的大小关系【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）连接DF，EG，可得 和均为等边三角形，进而可得【小问1详
30、解】解：（1）如图： 【小问2详解】理由：连接DF，EG如图所示 则BD=BF=DF，BE=BG=EG即和均为等边三角形 【点睛】本题考查了尺规作图，根据题意正确作出图形是解题的关键22. 如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，求的大小【答案】【解析】【分析】首先根据题意证明，然后根据全等三角形对应角相等即可求出的大小【详解】解：，在和中，【点睛】此题考查了三角形全等的性质和判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质和判定方法全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)23. 如图，点A，D，
31、C，F在同一条直线上，ABDE，BCEF有下列三个条件：ACDF，ABCDEF，ACBDFE （1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得ABCDEF你选取的条件为（填写序号）_（只需选一个条件，多选不得分），你判定ABCDEF的依据是_（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论ABCDEF求证：ABDE【答案】（1），SSS （2）见解析【解析】【分析】(1)根据SSS即可证明ABCDEF，即可解决问题；(2)根据全等三角形的性质可得可得A=EDF，再根据平行线的判定即可解决问题【小问1详解】解：在ABC和DEF中， ABCDEF（SSS），在上述三个条件中选
32、取一个条件，使得ABCDEF，选取的条件为，判定ABCDEF的依据是SSS（注意：只需选一个条件，多选不得分）故答案为：，SSS；【小问2详解】证明：ABCDEFAEDF，ABDE【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质，和判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键24. 已知与都是等腰直角三角形，且求证：（1）；（2）【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）与都是等腰直角三角形得到两组对边分别相等，利用两直角都加一个公用角推得，利用两边夹角相等的两个三角形全等证明即可；（2）设与交于F，由的性质得，利用直角三角形中两锐角互余，利用相等关系推出（即）由三角形内角
33、和求出即可【小问1详解】与都是等腰直角三角形，在和中，；【小问2详解】设与交于F，（即），【点睛】本题考查三角形全等，和全等下的两对应线段的位置关系问题，掌握全等三角形的证明方法，会利用等式的性质补足全等的条件，会利用直角三角形两锐角互余的代换等量证线段的位置关系是解题关键25. 如图，为等腰直角三角形，为边上的高线，点、分别是、上的点，且（1）求证：；（2）判断的形状，并说明理由；（3）直接写出四边形的面积与的面积的数量关系：_【答案】（1）见解析 （2）是等腰直角三角形证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质证，再利用余角性质证，即可由得出结论；（2）利用得出，继
34、而证得，即可得出结论；（3）利用全等三角形性质得，从而有，再由，得，即可得出结论【小问1详解】证明：，在和中，；【小问2详解】解：结论：是等腰直角三角形理由：，是等腰直角三角形；【小问3详解】解：结论：理由：，【点睛】本题考查了四边形的面积，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题26. 如图，在中，已知，是边上的中线，点E是边上一动点，点P是上的一个动点！（1）若，求的度数；（2）若，且时，求的长；（3）在（2）的条件下，请直接写出的最小值【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质得，再根据直角三角形两锐角
35、互余即可解决问题（2）利用面积法即可解决问题（3）连接，把问题转化为两点之间线段最短【小问1详解】解：，是边上的中线，【小问2详解】解：，【小问3详解】解：连接垂直平分线段，（当点C、P、E共线时取等号）的最小值为【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题27. 已知中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点B的伴侣分割线例如：如图1，中，若过顶点B的一条直线交于点D，当时，直线是的关于点B的伴侣分割线（1）在图2的中，请在图2中画出关于点B的伴侣
36、分割线，并注明的度数；（2）已知，在图3中画出两种不同于图1、图2的，所画同时满足：C为最小角；存在关于点B的伴侣分割线，请画出其伴侣分割线，并标出所画中各个角的度数【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）首先了解伴侣分割线的定义，然后把ABC分成90角和20角即可；（2）根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质和三角形内角和求解即可【小问1详解】如图所示：【小问2详解】如图所示：【点睛】本题考查了作图应用与设计作图，直角三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，涉及分类讨论，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质28. （1）观察理解：如图1，中，直线l过点
37、C，点A、B在直线l同侧，垂足分别为D、E，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以（_）；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，AEAB，且，且，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积_；（3）类比探究：如图3，中，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积（4）拓展提升：如图4，等边中，点在上，且，动点从点沿射线以速度运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段设点P运动的时间为t秒当_秒时，；当_秒时，点F恰好落在射线上【答案】（1）（2）50（3）18（4）2；8【解析】【分析】（1）根据证明；（2）利用（1）中的结论，利用面积差求的值；（3）如图3，过作于，证明，得，根据面积公式可得结论；（4）由题意得：，则，如图4，先证，得，代入可得的值；如图5，证明，则，可得的值【详解】解：（1）在和中，；（2），由（1）得：，；（3）如图3，过作于，由旋转得：，；（4）由题意得：，则，如图4，是等边三角形，即当秒时，；如图5，即当时，点恰好落在射线上【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形全等的性质和判定、等边三角形的性质、动点运动问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题
