1、单元练习：相似三角形内容分析相似三角形是初中数学九年级上学期第一章的内容，在本章中，我们学习了比例线段的相关性质，相似三角形的概念、判定及性质和平面向量的线性运算重点是灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理，难点是利用辅助线解决相似三角形问题以及相似三角形与动点问题相结合的类型。知识结构比例线段运算法则比例的性质向量的分解平行向量定理运算律实数与向量相乘向量的线性组合向量的线性运算相似三角形的概念相似三角形的预备定理相似三角形的判定定理相似三角形的性质定理三角形一边的平行线性质定理及推论三角形一边的平行线判定定理及推论平行线分线段成比例定理相似形相似三角形选择题【练习1】 下列图形：两个等腰三
2、角形；两个直角三角形；两个正方形；两个矩形；两个菱形；两个正五边形其中一定相似的有（ ）A2组B3组C4组D5组【难度】【答案】A【解析】判定相似有2个条件：对应角相等，且对应边成比例，两个矩形对应角相等，但长和宽的不一定成比例，两个（等腰三角形）菱形对应边成比例，但对应角又不一定相等，只有一定相似【总结】考查学生对相似几何图形性质的理解，对应角相等和对应边成比例两个条件缺一不可【练习2】 若，下列各式中正确的个数有（ ）；A1个B2个C3个D4个【难度】【答案】A【解析】考查比和比例的基本性质，以“内项积等于外项积”检验不成立，是对的；比的基本性质是前项和后项同时乘以（或除以）同一个不为零的
3、数，比值不变，是不成立的；比例线段的等比性质及合并性质也需要学生理解到位；其中不正确的原因是【总结】考查比和比例的基本性质【练习3】 已知AB/CD，AD、BC相交于点O，下列比例式中正确的是（ ）ABCDOABCD【难度】【答案】C【解析】,对应关系要弄清楚【总结】考查“平行型”的A字模型【练习4】 下列条件中能判定的有（ ），；，；，A0个B1个C2个D3个【难度】【答案】C【解析】对应角相等，但对应边不成比例，不成立；三边对应成比例，可以判定成立；两边对应成比例及夹角相等判定成立【总结】考查相似三角形的判定定理ABCDE12【练习5】 如图，已知，那么添加一个条件后，仍无法判定的是 （
4、）ABCD【难度】【答案】B【解析】已知一组对应角相等，再添加任意一组对应角相等都可以判定相似，添加对应边成比例需要对应角的夹边成比例【总结】考查相似三角形判定定理【练习6】 如图，已知，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB/CD，AB = 2m，CD = 5m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是（ ）ABCDDABCP【难度】【答案】C【解析】相似比等于对应高之比，设P到AB的距离为，列等量关系，解得【总结】考查相似三角形的性质，相似比等于对应高之比【练习7】 如图，厨房角柜的台面是三角形，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色的大理石（图中阴影部分），其余部
5、分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石的面积之比是（ ）ABCD【难度】【答案】C【解析】相似三角形面积之比是相似比的平方，联结三角形三边中点，将原三角形的面积四等分，所以黑色面积与白色面积之比是【总结】考查相似三角形的性质ABCO【练习8】 如图，在中，向量，是（ ）A有相同起点的向量B单位向量C长度相等的向量D相等的向量【难度】【答案】C【解析】同圆的半径相等，所以，的长度是相等的【总结】考查向量的方向、长度及相等向量的概念【练习9】 若是任一非零向量，是单位向量，下列各式中，正确的是（ ）；/；ABCD【难度】【答案】B【解析】单位向量的长度是单位1，方向是任意的，是单位向量
6、，但并没有讲是向量方向上的单位向量，所以是不对的【总结】考查单位向量的概念【练习10】 如图，在中，DE/BC，BC = 6cm，那么DE的长为（ ）A1.5cmB2cmC2.5cmD3cmABCDE【难度】【答案】D【解析】，BC6cm，DE3cm【总结】考查相似三角形性质的应用【练习11】 已知线段a，b，c，求作线段x，使bx = ac，以下方法中不正确的是（ ）axcbABaxcbCaxcbDaxcb【难度】【答案】B【解析】利用平行线分线段成比例，可以验证A、C、D都成立，B选项不成立的原因是从作图的角度看，不能保证延长线段与线段相交成的线段长度一定为所求作【总结】考查利用比例线段求
7、作第四条线段的作图方法【练习12】 如图，若P为的边AB上一点（AB AC），则下列条件不一定能保证ABCP的有（ ）ABCD 【难度】【答案】D【解析】如图，两个三角形已经有一组公共角，添加角度条件一定可以判定相似，若是添加对应边成比例不能使用到公共角的对边，所以D选项不能判定【总结】考查相似三角形的判定定理【练习13】 过三角形一边上一点画直线，使直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画这样的直线的条数是（ ）A1条B2条C3条D4条【难度】【答案】D【解析】过三角形一边上一点画直线与另一边相交，截得的三角形与原三角形相似，这样的直线最多可画4条，每条边上两条，其中包括
8、“平行型”和“斜交型”，如图所示（当这个点是直角三角形斜边上一点时，最多可以画三条符合题意的直线）【总结】考查相似基本图形【练习14】 已知P为线段AB的黄金分割点，且AP PB，则（ ）ABCD【难度】【答案】C【解析】线段的黄金分割点有两个，是对称的，其中三条线段之间存在一个黄金比例关系，即,即【总结】考查线段的黄金分割ABCDEO【练习15】 如图，在中，高BD、CE交于点O，下列结论错误的是（ ）ABCD【难度】【答案】D【解析】基本图形“双垂型”，图中有4个三角形两两相似，都可以用“AA”来判定，对应边成比例换成等积式，其中D选项比例关系不对【总结】考查相似模型之“双垂型”【练习16
9、】 如图，AD是的中线，把沿AD对折，点C落在的位置，则的值为（ ）ABCD1 【难度】【答案】C【解析】联结,因为翻折，所以，设交点为O，因为ADC45，所以OCD45，又因为根据三角形内角和可以证明，所以为等腰直角三角形，即【总结】考查翻折的性质及等腰直角三角形的性质【练习17】 把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）A一条线段B一个圆面C圆上的一群孤点D一个圆【难度】【答案】D【解析】单位向量的长度是一样的，方向是任意的，将同一平面内的单位向量的起点归为同一点，它们的终点汇聚成了一个单位圆，到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆【总结】考查单位向量的性质
10、及圆的定义【练习18】 下面几个命题中，真命题的个数是（ ）（1）若，则；（2）两个向量、相等，则，/；（3）若，则四边形ABCD是平行四边形；（4）若四边形ABCD是平行四边形，则；（5）若，则；（6）若/，/，则/A4个B3个C2个D1个【难度】【答案】B【解析】长度相等的向量，方向不一定相同，所以（1）不正确；若，则四边形ABCD是平行四边形，这句话也是有漏洞的，当A、B、C、D四点共线时，构不成平行四边形，不过它的逆命题是正确的；其它选项都是正确的【总结】考查平面向量的有关概念与性质【练习19】 在四边形ABCD中，其中、不平行，则四边形ABCD为（ ）A平行四边形B矩形C梯形D菱形【
11、难度】【答案】C【解析】，又，,所以四边形ABCD是梯形【总结】考查特殊四边形的判定定理及平面向量的线性运算acbABC【练习20】 如图，在中内有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的关系式是（ ）ABCD【难度】【答案】A【解析】如图，可以证得，,因为三个正方形的边长分别为a，b，c，所以即，整理得【总结】综合考查相似三角形的判定和性质运用填空题【练习21】 A、B两地的实际距离是200千米，地图上的比例尺为1 : 1000000，则A、B两地在地图上的距离是_厘米【难度】【答案】20厘米【解析】厘米和千米的进率为：，设图上距离为厘米，由题意，得，解得【总结】考查比例尺的运用
12、【练习22】 2、3、5再配上一个比它们都大的数组成比例式，这个数是_【难度】【答案】【解析】设这个数为，若其它三个比例项分别为，且，要使最大，则取最大值，取最小值，所以，若的取值没有要求，这样的（与2、3、5组成比例式）有三个【总结】考查比例的基本性质【练习23】 若x : y : z = 2 : 7 : 5，且x - 2y + 3z = 6，则x =_，y =_，z =_【难度】【答案】【解析】设则解得【总结】考查学生对设“”法的理解应用【练习24】 已知线段a = 8厘米，b = 9厘米，则线段a和b的比例中项是_【难度】【答案】【解析】的比例中项，当为线段长时，取正值【总结】考查比例中
13、项的定义ABCP【练习25】 如图，已知，AC = 4，AP = 2，则AB = _【难度】【答案】AB8【解析】，且，则,，【总结】考查相似三角形的判定与性质8米4米08米h【练习26】 如图，小智在打网球时，击球点距离球网的距离是8米，已知网高是08米，要使球恰好能打过网，且落在离网4米的位置，则球拍击球的高度h为_米【难度】【答案】2.4米【解析】根据平行线分线段成比例，得，解得【总结】考查平行线分线段成比例的应用，也可以用相似三角形的性质求解ABD【练习27】 如图，AB是斜靠在墙角的长梯，梯脚B距墙80厘米，梯上点D距墙70厘米，BD长55厘米，则梯子长为_【难度】【答案】440厘米
14、【解析】设根据平行线分线段成比例，得即，解得，所以梯子的长为440厘米【总结】考查平行线分线段成比例的应用【练习28】 若两个相似三角形的面积比为2 : 9，则这两个三角形的对应中线的比是_【难度】【答案】【解析】【总结】考查相似三角形的性质：面积比是相似比的平方比，相似比也是对应中线之比【练习29】 在边长为1的正方形ABCD中，设，则_；_；_【难度】【答案】【解析】（1）,因为正方形边长为1，所以，即；（2）,即；（3），即【总结】考查平面向量的线性运算【练习30】 计算：_【难度】【答案】【解析】【总结】考查实数与向量相乘及平面向量的加减运算【练习31】 若，则=_【难度】【答案】【解
15、析】设，解得，所以【总结】考查设“”法的理解应用【练习32】 点P是线段AB的黄金分割点，且AP =2，则AB =_【难度】【答案】【解析】（1）当为较长的线段时，解得；（2）当为较短的线段时，,解得，【总结】考查线段的黄金分割，等量关系，一条线段的黄金分割点有两个，需要学生具有分类讨论的思想【练习33】 过直角三角形的斜边上一点画直线，使直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画_条这样的直线；过直角三角形的直角边上一点画直线，使直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画_条这样的直线【难度】【答案】3条；4条【解析】当这个点在直角边上时，可以画4条这样的
16、直线使得截得的三角形与原三角形相似；当这个点在斜边上时，可以画3条（有2条重合在一起）这样的直线使得截得的三角形与原三角形相似，如图所示【总结】考查相似基本图形，结论是“直4斜3”ABCDEFKH【练习34】 如图，AD = DE = EC，且AB / DF / EH，AH交DF于K，则_【难度】【答案】【解析】，,设，则，【总结】考查平行线分线段成比例的性质运用【练习35】 在等边三角形ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE / BC，如果BC = 8厘米，AD : AB = 1 : 4，那么的周长为_【难度】【答案】6厘米【解析】,，,因为，所以，【总结】考查相似三角形的性质运用【练
17、习36】 如果直角三角形的斜边长为18，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离为_【难度】【答案】6【解析】直角三角形的斜边长为18，则斜边上的中线为9，根据三角形重心的性质，重心到直角顶点的距离是斜边中线的【总结】考查直角三角形重心的性质运用【练习37】 如图，在平行四边形ABCD中，则向量为_（结ABCDO果用和表示）【难度】【答案】【解析】平行四边形对角线互相平分，【总结】考查平面向量的线性分解及运算，结合平行四边形的性质ABCD【练习38】 如图，将； ；中的一个作为条件，另一个作为结论，组 成一个真命题，则条件是_，结论是_（只填序号）【难度】【答案】答案不唯一，比如条件是，结论是
18、【解析】这是一个典型的相似基本图形“母子型”，其中可以作为条件的选择不唯一，结论自然也不一，情况如下：（1）当条件为时，结论可以是；（2）当条件为时，结论可以是；（3）当条件为时，结论可以是【总结】考查相似三角形的判定和性质运用以及对基本图形“母子型”的理解运用【练习39】 如图，正方形ABCD内接于等腰，则PA : AQ =_ABCDPQR【难度】【答案】【解析】，正方形，,，,即【总结】考查平行线分线段成比例联系等腰直角三角形和正方形的性质运用ABCDEFG【练习40】 已知，正方形ABCD的边长为2，E为BC边的延长线上一点，CE = 2，联结AE，与CD交于点F，联结BF并延长与线段D
19、E交于点G，则BG的长为_【难度】【答案】【解析】延长相交于点，正方形，,，【总结】本题考点包括平行线分线段成比例、直角三角形的性质、正方形的性质，考查学生综合运用知识的能力解答题【练习41】 已知，求的值【难度】【答案】【解析】，又，【总结】考查等比性质的运用【练习42】 已知，求x的值【难度】【答案】【解析】（1）当时，；（2）当时，根据等比性质，；综上，【总结】考查等比性质的运用，需要学生理解等比性质成立的条件，以及有分类的思想ABCD【练习43】 如图，已知点D在的边AB上，且，求的值【难度】【答案】【解析】,，【总结】考查相似三角形的判定与性质，需要理解相似三角形的相似比与面积比的关
20、系【练习44】 如图，已知点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上，BE = 3cm，AB = 6cm，矩形ABCD的周长为28cm，求CF的长ABCDEF【难度】【答案】【解析】矩形，,，可证,，【总结】本题在矩形背景下考查“一线三直角”模型ABCDEF【练习45】 如图，已知中，AB = AC，CD是边AB上的高，且CD = 2，AD = 1，四边形BDEF是正方形和相似吗？试证明你的结论【难度】【答案】，证明略【解析】，即，又，【总结】本题结合直角三角形的性质考查相似三角形的判定，同时需要学生扎实的运算功底ABCDEFOP【练习46】 如图，D、E、F分别是的边BC、AB、AC的中点，
21、AD与EF相交于点O，线段CO的延长线交AB于点P求证：AB = 3AP【难度】【答案】证明略【解析】，D是BC的中点，设则，即【总结】考查平行线分线段成比例的综合运用ABCDEF【练习47】 如图，在中，点D为AB的中点，垂足为点F，BE交AC于点E，CE = 1cm，AE = 3cm（1）求证：；（2）求斜边AB的长【难度】【答案】（1）证明略；（2）【解析】（1），,；（2），,，【总结】考查相似三角形的判定和性质的综合运用【练习48】 射影定理的内容是：直角三角形中，斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；且每一条直角边都是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项请选择合适的
22、方法证明这个定理中的任意一个结论【难度】【答案】略【解析】已知如图，在射影定理的结论可表示为：选取其中的第1条进行证明如下：，即；其余两条结论证明方法同理，都是由三角形相似，对应线段成比例换为等积式即可【总结】考查学生对射影定理的理解，及其对射影定理证明方法的掌握【练习49】 如图，在中，P是边BC上的一个动点，PQ / AC，PQ与边AB相交于点Q，AB = AC = 10，BC = 16，BP = x，的面积为y（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；ABCPQ（2）试探索，与能否相似？如果能相似，请求出x的值；如果不能相似，请说明理由【难度】【答案】（1）（2）能相似，【解析】（
23、1）设，作，则；，又，；（2）能相似，假设，,，对应关系为，,过点Q作则，则，即，解得，在定义域范围内，综上所述，存在，此时的值为【总结】本题综合考查相似三角形的性质与判定，以及相似三角形的讨论【练习50】 和是两个等腰直角三角形，的顶点E位于边BC的中点上（1）如图1，设DE交AB于点M，EF交AC于点N，求证：；（2）如图2，将绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形？并证明你的结论ABCDEABCEDFFNMNM【难度】【答案】（1）证明略；（2）,证明略【解析】（1），,，；（2），理由如下：即【总结】本题主要考查相似基本图形“一线三等角模型”的应用
