1、二次函数的应用内容分析 二次函数在实际生活中的应用主要包括以下几个方面：（1）二次函数与经济问题，主要用于求解利润最大化；（2）二次函数与面积问题，涉及到实际图形面积关系式的表达、面积最值的求 解等；（3） 二次函数与拱桥问题，二次函数的图像与拱桥横截面的形状都是抛物线状， 所以利用二次函数求解拱桥问题在实际生活中很常见；（4） 二次函数与物体的运动轨迹：在实际生活中，由于只受重力的作用，掷出 的铅球、踢出的足球、投出的篮球等物体的运动轨迹一定是抛物线形状， 则可以利用二次函数的图像性质求解相关的问题当然二次函数也会与其他的知识点相结合，例如二次函数与一次函数、二次函数与一元二次方程、二次函数
2、与不等式等的代数综合，以及二次函数与相似三角形、二次函数与圆、二次函数与动点等的几何综合，这些内容我们会在秋季班的课程中深入地学习知识结构模块一：二次函数与利润最大化知识精讲1、知识点名称求解二次函数与利润最大化的问题，主要是根据题意列出相关的二次函数解析式，再通过配方的方式求解最大值这是一种实际应用的题型，需根据自变量的实际意义确定函数的定义域，在求解最大值时，也需注意自变量的取值范围例题解析【例1】某商品进价为90元/个，按100一个出售，能售出500个，如果这种商品每涨价1 元，其销售量就减少10个，为了获得最大利润，单价应定为_【难度】【答案】120元【解析】可设商品价格在100元基础
3、上涨元，其总利润为元， 总利润=单个利润销量， 化为顶点式即为，可知时有最大利润，此时商品单价 为元【总结】根据题意列出相应的函数解析式，化为顶点式即可求其最值【例2】某商店以120元每件的成本购进一批新产品，在试销阶段，每件产品的销售价x（元） 与产品的日销售量y（台）之间的关系如下表所示：x130150165y705035 （1）若日销售量y是销售价x的一次函数，求这个一次函数； （2）每件产品的销售价定为多少元时，日销售利润最大，最大利润为多少元？【难度】【答案】（1）；（2）1600元【解析】（1）依题意可设， 则有，解得，即这个一次函数解析式为；（2）总利润=单个利润销量，则其总利润
4、为 ， 可知时商品有最大日销售利润1600元【总结】根据题意列出相应的函数解析式，化为顶点式即可求其最值【例3】某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y = kx + b，且x = 65时，y = 55；x =75时，y = 45（1）求一次函数y = kx + b的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定 为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围【难度】【答案】（1
5、）；（2）单价87元时有最大利润891元；（3）【解析】（1）依题意有，解得，即一次函数解析式为；（2） 销售利润=单个利润销售量，由此可得，化为顶点式，又商场最大利润不得高于45%，可知定价最高不超过元，即取值范围是，函数开口向下，在对称轴左侧函数单调递增，可知定价87元时，商场有最大利润元；（3）令，解得，函数开口方向向下，结合，可知利润不低于500的范围是【总结】根据题意列出相应的函数解析式，求最值时需要注意根据题目条件确定好相应自变量取值范围，适当结合函数增减性进行解题【例4】某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决
6、定采取适当的降价措施调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台（1） 假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润y元，请写出y与x之间的函 数关系式；（2） 商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应 降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？【难度】【答案】（1）；（2）降价200元；（3）降价250元时有最大利润5000元【解析】（1）销售利润=单个利润销售量，由此可得；（2） 商场要盈利4800元，则有，解得，要使百姓得到实惠，则冰箱降价尽可能高，取，即每台冰箱应降价200元；（3）
7、化为顶点式，即得，由此可知每台冰箱降价150元时，商场有最高利润，最高利润为5000元【总结】根据题意列出相应的函数解析式，化为顶点式即可求其相应最值【例5】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg，购进价格为30元/kg，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg，也不得低于30元/kg，市场调查发现：单价定于70元时，日均销售60kg，单价每降低1元，日均多售出2kg，在销售过程每天还要支出其它费用500元（不足一天时，按整天计算），设销售单价为x元，日均获利为y元（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；（2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，指出单价定为 多
8、少时日均获利最多，是多少？（3） 将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高，这两种销售方式，哪 一种获总利最多，多多少？【难度】【答案】（1）；（2）单价65元时日均获利最多是1950元；（3）销售单价最高时，获总利最多，多26500元【解析】（1）日均利润=单个利润销售量日支出，由此可得，依题意可知其定价不得高于70元/kg，也不得低于30元/kg，即其取值范围为；（2）化为顶点式，即得，由此可知单价定为65元时，日均获利最多，最高利润为1950元；（3）日均获利最多，单价65元，日销量，销售天数天，商场总获利为元；销售单价最高，日均销售60kg，则销售天数为天，商场总获利为元
9、；，可知销售单价最高时获总利最多，多元【总结】根据题意列出相应的函数解析式，化为顶点式即可求其相应最值【例6】某商场要经营一种文具，进价为20元，当售价为25元时，每天的销售量为250件， 售价每上涨1元，每天的销售量就减少10件（1） 写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函 数关系式；（2）商场提出了A、B两种营销方案 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由【难度】【答案】（1）；（2）方案A最大利润更高【解析】（1）日均利润=单个利润销售量，
10、由此可得；（2） 化为顶点式，即得，函数开口方向向下，在对称轴左侧函数递增，在对称轴右侧函数递减，在时函数取最大值，由此可确定相关方案最高利润：方案A：依题意有，根据函数增减性可知时函数取最大值，即有最大利润元；方案B：依题意有，可解得，根据函数增减性可知时函数取最大值，即有最大利润元；，可知方案A最大利润更高【总结】根据题意列出相应的函数解析式，化为顶点式即可求其相应最值，前提是确定相关自变量取值范围，再根据函数增减性进行求解模块二：二次函数与面积问题知识精讲1、知识点名称求解二次函数与面积结合的问题时，基本方法上与利润最大化是相同的，也是通过配方的方式求解相关面积的最值，当然也需要注意自变
11、量的取值范围而与利润最大化问题不同的是，面积问题中可能会涉及到三角形、四边形或者圆等图形，也可能会出现动点与面积相结合的类型，变化较多例题解析【例7】在半径为4厘米的圆面上，从中挖去一个半径为x厘米的同心圆面，剩下一个圆环 的面积为y平方厘米，则y关于x的函数关系式为（ ）ABCD【难度】【答案】D【解析】，由此即可计算得，故选D【总结】考查圆环的面积计算，确定相关函数的求取【例8】一长方体的长和宽相等，高比长多0.5米，若长方体的长和宽用x（米）表示，则 长方体的表面积S（平方米）关于x的函数关系式为_【难度】【答案】【解析】长方体长和宽为，高为，根据长方体表面积计算公式，即得【总结】考查长
12、方体的表面积计算的知识回顾，同时结合函数内容进行相关解答【例9】如图，正方形ABCD的边长为4，P是BC上的一动点，若，交DC于Q，ABCDPQ 设PB = x，的面积为y，y与x的函数关系式为_【难度】【答案】【解析】由，易证得，可得，即，由此可得，则，即【总结】考查正方形的基本性质，同时应用“一线三直角”基本模型证明三角形的相似【例10】小智用总长为8厘米的铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（ ）平方厘米A4B8C16D32【难度】【答案】A【解析】设矩形一边长为，由此可得矩形面积，可知 时矩形面积有最大值，此时矩形恰为正方形【总结】周长一定的情况下，图形为圆形时面积最大，矩形为正方形时面积
13、最大，即在顶点 时函数取最大值【例11】如图所示，矩形花圃ABCD的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆 围成设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；ABCD（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值【难度】【答案】（1）；（2）时有最大值【解析】（1）边长为，四边形为矩形，且剩余三边长总和为32，由此可得边长为，根据矩形面积公式面积=长宽， ；（2） 函数化为顶点式，即得，可知时，有最大值【总结】根据简单等量关系解决问题，二次函数化为顶点式即可得到函数最值【例12】如图，在中，AC = 40 cm，BC =
14、30 cm，在内部作一个矩形DEFG，其中点D和点G分别在AC、BC上，点E、F在AB上设矩形的一边ABCDEFGEF = x cm，设矩形的面积为y cm2（1）写出y关于x的函数关系式及定义域；（2）求当x = 25 cm时，矩形DEFG的面积【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1），AC = 40 cm，BC = 30 cm，可得，四边形为矩形，可知，同时，由此，同时实际问题中各线段长度均大于零，可得函数定义域为；（2） x = 25时，代入即可得，即矩形面积为【总结】利用简单公式求解面积，过程中可结合运用锐角三角比和相似三角形等基本内容【例13】抛物线的对称轴是直线x = 1，它与
15、x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点 A、C的坐标分别是（，0）、（0，）（1）求此抛物线对应的函数的解析式；（2）若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求面积的最大值【难度】【答案】（1）；（2）4【解析】（1）设，抛物线过点， 代入即有， 解得，即得，整理得：；（2） 令，可得，则，面积最大，则最大，又P在抛物线上方，可知正好在顶点位置有最大值， 由此可得面积最大值为【总结】抛物线解析式的求法，本题中顶点式最合适，同时由顶点式可得函数最值解决问题ABCDEFNMGH【例14】如图，E、F分别是边长为的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE = 1，CF =，直线EF交AB的延长线于
16、G，过线段FG上的一个动点H作HMAG，HNAD，垂足分别为M、N，设HM = x，矩形AMHN的面积为y（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积为多少？【难度】【答案】（1）；（2），即点在点位置时，矩形有最大面积【解析】（1）四边形是正方形， ， ， ， ，则有， 故， ；（2）将化为顶点式，即为， 点H在线段FG上运动，易得函数定义域为， 故可知当，即点在点位置时，矩形有最大面积【总结】利用简单公式求解面积，过程中可结合运用锐角三角比和相似三角形等基本内容， 同时将函数化为顶点式即可求得函数最值解决问题【例15】如图，矩形ABCD中，AB =
17、6厘米，BC = 12厘米点M从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度向点B移动，点N从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动若点M、N分别从A、B两点同时出发，设移动时间为t（），ABCDNM的面积为S（1）求S关于t的函数关系式，并求出S的最小值；（2）当为直角三角形时，求的面积【难度】【答案】（1），最小值为27；（2）【解析】（1）依题意可得，由此， ， 即 ， 将化为顶点式，即为， 可知时，有最小值；（2） ，可知不可能为直角，由此可进行以下分类讨论：，易证得，则有，即，整理即为 ，解得不合题意，应舍去；，易证得，则有，即，整理即为，解得符合题意；综上所述，此时【总结】（1）
18、不规则图形面积应用割补法进行求解，只需将相应长度表示出来即可；（2）主要应用“一线三直角”基本模型得到相似三角形转化求解模块三：二次函数与拱桥问题知识精讲1、知识点名称二次函数与拱桥问题的解题，依赖于合理的平面直角坐标系的建立，继而在平面直角坐标系中，利用二次函数的图像性质解答相关的问题例题解析【例16】如图，河上有一座抛物线形状的桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部4米时，水面 宽AB为12米，如图建立直角坐标系（1）求抛物线的函数解析式；（2）当水位上升1米时，水面宽为多少米？（答案保留整数，其中）ABCOxy【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意可知函数关于轴对称， 为其顶点， 可
19、设抛物线解析式为，则 ，且函数过点，代入可求得，即抛物线解析式为；（2）水位上升，即此时对应水面纵坐标为1，令，可得， 则水面宽度为【总结】拱桥问题转化为二次函数问题，一般可将抛物线解析式设为顶点式进行求解，根据 题目要求将文字语言转化为数学语言即可解决问题【例17】有一个横截面为抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为10 m， 则把它的横截面的图形放在如图所示的直角坐标系中时：（1）抛物线的顶点坐标为_，这条抛物线所对应的函数解析式为_；（2）如图，在对称轴右边3 m处，桥洞离水面的高度为_ mxyO3 m4 m10 m【难度】【答案】（1），；（2）【解析】（1）桥洞跨度
20、为，依题意可得抛物线 对称轴为直线，桥洞离水面最大高度为， 可知抛物线顶点坐标为， 可设抛物线解析式为， 抛物线过点，代入则有，解得，代入整理得；（2） 对称轴右边，即该点处横坐标为8，代入即得， 则桥洞离水面高度为【总结】拱桥问题转化为二次函数问题，一般可将抛物线解析式设为顶点式进行求解，根据 题目要求将文字语言转化为数学语言即可解决问题【例18】某农业合作社的蔬菜大棚的横截面为抛物线，尺寸如图所示：（1）根据图中的平面直角坐标系求该抛物线的解析式；（2）若菜农身高为1.6米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米？（精yxO2 m4 m 确到0.01米）【难度】【答案】（1）；（
21、2）【解析】（1）由题意可知函数关于轴对称，顶点为，可设抛物线解析式为，则函数过点， 代入可求得，即抛物线解析式为； （2）令，可得，则横向活动范围为【总结】拱桥问题转化为二次函数问题，一般可将抛物线解析式设为顶点式进行求解【例19】一条隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长OC为8米，宽OA为2米，隧道 最高点P位于AB的中央且距地面6米，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4米，宽2米，能否从该隧道内通过？请说明理由；（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过？请说明理由OPABCxy【难度】【答案】（1）；（2）能通过；（3）能通过【解析】（1）隧道跨
22、度，依题意得抛物线对称轴为直线，隧道最高点距地面， 可知抛物线顶点坐标为， 可设抛物线解析式为，抛物线过点，代入则有，解得，代入得，整理得；（2）能通过， 货车高4米，令， 解得， 说明允许通过的车最大宽度为， ，说明该车可顺利通过；（3）隧道设双行道，则车高4米时，可顺利通过的车最大宽度为， ，说明该车可顺利通过【总结】拱桥问题转化为二次函数问题，一般可将抛物线解析式设为顶点式进行求解，根据题目要求将文字语言转化为数学语言即可解决问题【例20】某工厂要赶制一批蒙古包如图，蒙古包横截面的形状是由矩形和抛物线的一部 分组成的，矩形长为12 m，抛物线拱高为5.6 m（1）在如图所示的平面直角坐标
23、系中，求抛物线的表达式；（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5 m， 高1.6 m，相邻窗户之间的间距均为0.8 m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的 水平距离至少为0.8 m请计算最多可安装几扇这样的窗户？OABxy12 m5.6 m【难度】【答案】（1）；（2）4【解析】（1）蒙古包跨度为，依题意可得： 抛物线对称轴为轴，抛物线顶点坐标为， 由，抛物线拱高5.6 m，可得， 可设抛物线解析式为， 抛物线过点，代入则有， 解得，代入得；（2） 窗高1.6 m，则对应窗上角纵坐标为，令， 解得，可知可放窗户最大长度为， 设最多可安装扇窗户，由植树
24、问题基本原理可知， 保留一位小数取近似值可得，取整得，即最多装4扇这样的窗户【总结】拱桥问题转化为二次函数问题，一般可将抛物线解析式设为顶点式进行求解，根据题目要求将文字语言转化为数学语言即可解决问题【例21】如图有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面AB的宽为米，如果水位上升 米时，水面CD的宽是米（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥千米（桥长忽略不计）货车正以每小时千米的速度开往乙地，当行驶小时后，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时米的速度持续上涨（货车接到通知时，水位在CD处，当
25、水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行），试问：如果货车按原来速度行驶，能否完全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通ABOCDxy过此桥，速度应超过每小时多少千米？【难度】【答案】（1）； （2）不能通过，速度应超过【解析】（1）水面跨度为，依题意可得抛物线 对称轴为轴，抛物线顶点坐标为， 由，可设，依题意水位上升，水面宽度变为， 可知，可设抛物线解析式为， 则有，解得，代入得：；（2）不能通过，若要安全通过速度应超过 CD处水位高为，水位上升到点O所需时间为， 货车原速行驶，到达此桥所需时间为， ，说明货车不能通过此桥， 若要货车安全通过，则货车速度应超过【总结】拱桥问题转化为二
26、次函数问题，一般可将抛物线解析式设为顶点式进行求解，根据题目要求将文字语言转化为数学语言即可解决问题【例22】如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米， 现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系 （1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”ADDCCB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面xyABCDOPM OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 【难度】【答案】（1），； （2）； （3）15【解析】（1）由，可得抛物线对称轴为 直线，抛物线最大高度为6米， 即抛物线顶点纵坐标为6，由此可得点
27、， 抛物线顶点坐标；（2）可设抛物线解析式为，抛物线过点， 则有，解得，代入得，整理得； 设，则，即， 根据抛物线的对称性可知，则，“支撑架”总长为， 即为， 化为顶点式，为，可知时，“支撑架”总长有最大值15【总结】拱桥问题转化为二次函数问题，一般可将抛物线解析式设为顶点式进行求解，根据 题目要求将文字语言转化为数学语言即可解决问题，同时注意函数的最值在顶点处取得，将解析式化为顶点式即可求最值模块四：二次函数与运行轨迹知识精讲1、知识点名称与拱桥问题相同，也需要借助建立平面直角坐标系，利用二次函数的图像性质解答二次函数与运行轨迹的问题例题解析【例23】若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的
28、关系式为，则t = 5秒时， 该物体所经过的路程为_【难度】【答案】【解析】t = 5时，即物体经过路程为【总结】考查二次函数解析式的意义，代值计算即可【例24】如图，是一个运动员投掷铅球的抛物线图，解析式为（单位： 米），其中点A为出手点，点C为铅球运行中的最高点，点B为铅球落地点，求：OABCxy（1）出手点A离地面的高度；（2）最高点C离地面的高度；（3）该运动员的成绩是多少米？【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）出手点，即出手点离地 面高度为；（2）化为顶点式，即，可知最高点离地面高度为；（3） 令，解得，即，由此可知该运动员成 绩为【总结】考查二次函数解决运动问题，弄
29、清楚函数表示各点的实际意义，可将实际问题转化为对点坐标的求解【例25】在距离地面2米高的某处把一物体以初速度v0（米/秒）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度h（米）与抛出的时间t（秒）满足（其中g是常数，取g = 10 米/秒2）若v0 = 10 米/秒，则该物体在运动过程中，最高点距离地面_米【难度】【答案】5【解析】代入数值，即得，化为顶点式，即为，时函数有最大值5，由此可知最高点离地面距离为【总结】考查二次函数解决运动问题，弄清楚函数表示各点的实际意义，可将实际问题转化为对函数最值的求解，化为顶点式即可【例26】顽皮的小明，从10米高的窗口A用水枪向外喷水，喷出的水流呈抛物
30、线状（抛物线所在平面与墙面垂直）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流落地点B离墙的距离OB是（ ）A2米B3米C4米D5米【难度】【答案】B【解析】可设，抛物线过点，代入得，则，整理得，令，解得，则，即，故选B【总结】考查二次函数解决运动问题中点的实际意义，可将实际问题转化为求方程解的问题【例27】如图所示，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，然后准确 落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为米（1）球在空中运行的最大高度为多少米？（2）如果该运动员跳投时球出手离地面的高度为米，请问他距离篮筐中心的水平距离Oyx 是多少米？【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1），球运行高度
31、最大，即为函数取得最大值，可知球在空中运行最大高度为；（2） 令，解得，可知运动员与最高点水平距离为；令，解得，可知篮筐中心与最高点水平距离为，由此运动员与篮筐中心水平距离为【总结】考查二次函数解决运动问题，函数表示各点的实际意义的理解，可将实际问题转化为求方程解的问题【例28】足球比赛中，某足球运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图1中的抛物线是足球的飞行高度y（m）关于飞行时间x（s）的函数图像（不考虑空气的阻力），已知足球飞出1 s时，足球的飞行高度是2.44 m，足球从飞出到落地共用3 s（1）求y关于x的函数关系式；（2）足球的飞行高度能否达到4.88 m？请说明理由；（3）假设没有
32、拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为2.44 m（如图2所示， 足球的大小忽略不计）为了能及时将足球扑出，那么足球踢出时，距离球门左门柱 12 m处的守门员至少要以多大的平均速度到球门的左门柱？【难度】【答案】（1）；（2）不能；（3）【解析】（1）可设函数，则函数过点，代入得，解得， 由此y关于x的函数解析式为，整理得；（2） 令，化简即为，方程无解，即足球飞行高度不 能达到4.88 m；（3） 根据抛物线的对称性，可求得足球到达球门左上角所需时间为，守门员要扑出足球， 则速度至少为【总结】考查二次函数解决运动问题，可根据实际问题设为二根式，函数表示各点的实际意义的理解，可将实际问
33、题转化为求方程解的问题xyO12.443随堂检测【习题1】军事演习中，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足经过_秒时间炮弹到达它的最高点，最高点的高度是_米，经过_秒时间，炮弹落到地上爆炸（假设地面是平坦的）【难度】【答案】20，100，40【解析】将解析式化为顶点式，即得，时，y有最大值，由此可 知炮弹经过到达最高点，最高点高度是；炮弹落到地面上，可令，解得，由此可知炮弹落地时间为【总结】考查二次函数解决运动问题，弄清楚函数表示各点的实际意义，可将实际问题转化为对函数最值的求解，化为顶点式即可，同时求跨度即可转化为方程根的求解【习题2】如图，点C是线段AB上
34、的一个动点，AB = 1，分别以AC、CB为边作正方形， 用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（ ）ABCA当C是AB的中点时，S最小B当C是AB的中点时，S最大C当C为AB的三等分点时，S最小D当C为AB的三等分点时，S最大【难度】【答案】A【解析】设，则，化为顶点式， 即为，由此可知，即是中点时，最小【总结】本题考查将实际问题转化为二次函数最值问题，化为顶点式即可求解，注意把握题目中保持不变的量，同时要注意好函数定义域【习题3】某民俗旅游村为了接待游客的需要开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可以全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则相应地减少了10张
35、床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少？【难度】【答案】16元【解析】设床位收费元，租金为元， 则，整理得，即，可知时函数有最大值，根据题意床位收费以2元为单位提高收费，故只能取偶数，结合函数对称性和增减性，可知或时函数有最大值，租出床位少，则床位收费应尽可能高，故应取【总结】根据题意列出相应的函数解析式，求最值时需要注意根据题目条件确定好相应自变量取值范围，适当结合函数增减性进行解题【习题4】如图所示，有长24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为10米），围成中间 隔有一道篱笆的长方形花圃设花圃的边AB的长为，花圃的面积为
36、S平方米（1）请求出S与x的函数关系式（2）按照题中要求，所围的花圃面积能否是48 m2若能，求出的x值；若不能，请说明理 由ABCD【难度】【答案】（1）；（2）不能【解析】（1），依题意可得，由此可求得S与x的函数关系式为：；（2） 令，解得，此时边长为，不合题意，即花圃面积不能为48 m2【总结】根据题意列出相应的函数解析式，解决实际问题时需要根据题目条件确定好相应函数的定义域进行解题【习题5】已知一隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为，一辆卡车高3 米，宽4米，该车_（选填“能”或“不能”）通过隧道【难度】【答案】能【解析】令，解得，则允许通过的最大车宽为，说明该车能通过隧道【总结】
37、固定车高或车宽，可将问题转化为求方程解的问题，根据题目要求即可解决问题【习题6】一男生在校运会的比赛中推铅球，铅球的行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系用如图所示的二次函数图象表示（铅球从点被推出，实线部分表示铅球所经过的路线）（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求出铅球被推出的距离；（3）若铅球到达的最大高度的位置为点B，落地点为C，求四边形OABC的面积ABCOx2y【难度】【答案】（1）；（2）；（3）M【解析】（1）设函数解析式为，则函数过点，代入可解得，即y与x函数关系式为；（2） 令，解得，即，由此可知该运动员成绩为；（3） 化顶点式，得，作轴交轴于点，则，【总结】考查二
38、次函数解决运动问题，弄清楚函数表示各点的实际意义，可将实际问题转化为点坐标的求解，面积用割补法即可求得【习题7】如图，一座拱桥的轮廓是抛物线形，拱高6 m，跨度20 m，相邻两支柱间的距离 均为5 m（1）将抛物线放在如图的平面直角坐标系中，求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2 m的隔离带），其中的一条行车道能否EF10 m20 mABCOxy6 m 并排行驶宽2 m、高3 m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明理由【难度】【答案】（1）；（2）；（3）不能【解析】（1）由题意可知函数关于轴对称，为其顶点， 可设抛物线解析式为，则函数
39、过点，代入可求得， 即抛物线解析式为；（2） 在平面直角坐标系中，依题意点横坐标为5，令，则， 由此可得；（3） 令，解得，又中间有一条隔离带，可知可一条车道可并排通过的最大长度为，可知不能并排行驶三辆这样的汽车【总结】拱桥问题转化为二次函数问题，一般可将抛物线解析式设为顶点式进行求解，根据题目要求将文字语言转化为数学语言即可解决问题，将题目要求化为点坐标的求解课后作业【作业1】某商品的进货单价为40元，售价为60元时，能售出100个，如果这种商品涨价1元，其销售量就减少3个，则销售量y与售价x的关系式为_，利润W与售价x的关系式为_，x的取值范围为_【难度】【答案】，【解析】依题意可知，利润
40、=单个利润销售量， 则，依据题意商品涨价， 且销量必大于零，则有，求得x取值范围为【总结】利润问题，找准题目中的等量关系，根据题目条件建立相关的二次函数模型【作业2】一场足球比赛，一球员在球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，若球门高2.44米，则_（填“能”或“不能”）射中球门【难度】【答案】能【解析】以起脚点为坐标原点建立平面直角坐标系，依题意可设，函数过原点，则有，解得，则，整理得， 令，则，知能射中球门【总结】利用平面直角坐标系建立二次函数模型，根据题目条件解决问题，将实际问题转化求解点坐标的问题【作业3】用12米长的木条做一个如图所示的矩形窗子，为使透进的光线最多，则窗子的 长为_米，宽为_米【难度】【答案】3，2【解析】设矩形宽为，则矩形长为，透进光线最多，则窗户面积最大，窗户面积， 化为顶点式，即为，此时矩形宽为，长为【总结】考查利用二次函数建立模型解决函数问题，根据顶点式求最
