1、一分数加减法一、异分母分数的加法异分母分数的加法的计算法则:先通分,将分母不同的分数化成分母相同的分数,再按照同分母分数相加的方法进行计算。通分时,一般是用分母的最小公倍数作公分母。计算结果能约分的,要约成最简分数。13+19=39+19=4913+12=26+36=56二、异分母分数的减法异分母分数的减法的计算法则:先通分,将分母不同的分数化成分母相同的分数,再按照同分母分数相减的方法进行计算。计算结果能约分的,一定要约分。34-12=34-24=1434-110=1520-220=1320310-16=930-530=430=215三、分数加减混合运算的运算顺序分数加减混合运算的运算顺序与
2、整数加减混合运算的运算顺序一样:(1)有括号的,要先算括号里面的。(2)没有括号的,如果只有加减法,要按照从左往右的顺序进行算。13+19+12=49+12=171834-110+12=1320+12=232045-(12-13)=45-16=1930 四、分数加减法的简便算法1. 分数加减混合运算的运算顺序和整数加减混合运算的运算顺序相同,但为了计算简便,几个分数可以一次通分,然后按照顺序依次计算。 34-12+16=912-612+212=312+212=512 2. 整数加法的交换律、结合律和连减的性质对分数加法和分数减法同样适用。加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变。加法结合
3、律:三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。连减的性质:从一个数里连续减去两个数,等于减去这两个数的和。34+45+14=45+(34+14)=952-34-14=2-(34+14)=2-1=1五、分数与小数的互化1. 根据分数与除法的关系,把分数化成小数。分数的分子相当于除法中的被除数,分数的分数线相当于除法中的除号,分数的分母相当于除法中的除数,用分子除以分母得出小数。除不尽时,可按要求保留一定的位数。 45=45=0.8 14=14=0.25 16=160.1672. 根据小数的意义,可以把小数化成分数。(1)小数的意义:像0.1,0.23,0.059,这样表示十分之
4、几,百分之几,千分之几的数,叫作小数。一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几(2)把小数化成分数的方法:原来有几位小数,就在1的后面写几个0作分母,把原来的小数去掉小数点作分子,能约分的要约分。0.5=510=120.24=24100=625导学点睛要注意: 两个分数的分母,如果大数是小数的倍数,那么大数就是这两个分数的公分母。易错点:认为分子和分子相减的得数作分子,分母和分母相减的得数作分母。如34-12=3-14-2=22=1。易错点:认为只有加减法的算式,先算加法,再算减法。如34-110+12=34-35=320。小窍门:在计算过程中,一般先把分母相同的分数结
5、合在一起进行计算。要注意:正确使用括号,改变运算的顺序。要注意:把分数化成小数的方法:用分子除以分母。不能化成有限小数的,一般保留三位小数。牢记:12=0.5,14=0.25,34=0.75,15=0.2,18=0.125,为以后进一步学习分数、小数混合运算打下坚实的基础。二长 方 体 (一)一、长方体的认识1. 长方体的特征:长方体有6个面,8个顶点,12条棱。长方体的6个面是长方形(特殊情况下有两个相对的面是正方形),相对的面完全相同。2. 如下图:相交于同一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高。二、正方体的认识1. 正方体的特征:正方体有6个面,8个顶点,12条棱。正方体的6个
6、面是正方形,6个面都相等,12条棱都相等。2. 如下图:正方体的每一条棱都叫作正方体的棱长。三、正方体与长方体的关系如下图:当长方体的长、宽、高都相等时,就是正方体。所以,正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。长方体 正方体正方体是特殊的长方体。四、展开与折叠长方体的展开图正方体的展开图:长方体和正方体的展开图的特点:相对的面完全相同,相邻的棱长相等。 利用长方体或正方体展开图的特点,把相等的邻边折叠在一起,就可以折叠成一个长方体或正方体。五、长方体的表面积1. 长方体的表面积的意义:长方体6个面的面积之和叫作它的表面积。2. 长方体的表面积的计算方法:长方体的表面积=(长宽+长高+宽高)
7、2或长方体的表面积=长宽2+长高2+宽高2六、正方体的表面积1. 正方体的表面积的意义:正方体6个面的面积之和叫作它的表面积。2. 正方体的表面积的计算方法:正方体的表面积=棱长棱长6七、露在外面的面数露在外面的面的方法:逐一观察每一个小正方体,把它们露出来的面的数量分别数出来,然后相加。1. n个小正方体平放一排的规律: 露在外面的面的个数=3n+22. n个小正方体竖放一排的规律: 露在外面的面的个数=4n+1导学点睛要注意: 当长方体有两个相对的面是正方形时,另外4个面是相同的长方形。牢记:长方体的棱可以分为3组,互相平行的棱长度相等。易错点:误认为有2个相对的面是正方形的长方体就是正体
8、。如下图就是有2个相对的面是正方形的长方体。长方体与正方体的关系图:小窍门:把长方体或正方体展开后,相对的面是隔开的。要注意:在用长方体和正方体的表面积公式解决实际问题时,要具体问题具体分析,看看所求物体有几个表面,不要一味地套公式,导致错误。例如:求通风管道的表面积时,只需求4个面的面积。计算玻璃鱼缸的表面积时,只需求5个面的面积。小提示:在数露在外面的面的时候,一定要按一定的顺序,做到不遗漏、不重复。三分 数 乘 法一、分数乘整数1. 分数乘整数的意义:分数乘整数就是求几个相同加数的和的简便运算。110+110+110=11032. 分数乘整数的计算方法:用分数的分子与整数的乘积作分子,分
9、母不变。计算结果能约分的要约分。125=152=52193=139=39=13 二、整数乘分数1. 整数乘分数的意义:整数乘分数就是求这个整数的几分之几是多少。612就是求6的12是多少。2. 整数乘分数的计算方法:用整数与分数的分子的乘积作分子,分母不变。计算结果能约分的要约分。534=534=1546110=6110=610=35三、分数乘分数1. 分数乘分数的意义:分数乘分数就是求这个分数的几分之几是多少。1219就是求12的19是多少。2. 分数乘分数的计算方法:用分子乘分子的积作分子,分母乘分母的积作分母。计算结果能约分的要约分。3512=3152=3103519=3159=345=
10、115四、分数乘法算式中的规律一个不为零的数乘一个小于1的分数,积就比这个数小;一个不为零的数乘一个大于1的分数,积就比这个数大。344534五、倒数1. 倒数的意义:乘积为1的两个数互为倒数。因为3553=1,所以35就是53的倒数,53就是35的倒数。2. 求倒数的方法:求一个分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母调换位置。3. 因为0不能作除数,所以0没有倒数。1的倒数是1。导学点睛要注意: 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,只是这里的相同加数是一个分数。易错点:计算结果没有约分。要注意:能约分的可以先约分再计算。要记住:0乘任何数都等于0;1乘任何数都等于这个数本身。易错点:结果是
11、1的两个数就认为是互为倒数。如:0.2+0.8=1,0.2和0.8不是互为倒数。四长 方 体 (二)一、体积的意义物体所占空间的大小,是物体的体积。二、容积的意义容器所能容纳物体的体积,是容器的容积。三、体积单位1. 常见的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米。2. 棱长为1厘米的正方体,体积是1立方厘米,记作 1 厘米3( cm3 )。1粒花生米约1立方厘米。棱长为1分米的正方体,体积是1立方分米,记作1分米3(dm3)。1个粉笔盒约1立方分米。棱长为1米的正方体,体积是1立方米,记作1米3(m3)。1个洗衣机包装箱约1立方米。四、容积单位1. 容器内盛放液体的量一般用升(L)、毫升(mL)
12、作单位。2. 棱长为 1 dm 的正方体的容积是 1 L。这个饭盒大约装 1 L的水。棱长为 1 cm 的正方体的容积是 1 mL。1 mL的水大约有20 滴。3. 1升=1000毫升五、长方体的体积1. 长方体的体积的计算公式:长方体的体积=长宽高。2. 长方体的体积的字母公式:V=abh。六、正方体的体积1. 正方体的体积的计算公式:正方体的体积 = 棱长棱长棱长。2. 正方体的体积的字母公式:V = a a a=a3,a3读作a 的立方。七、体积单位的换算1 m3=1000 dm31 dm3=1000 cm31 L=1000 mL1 L=1 dm31 mL=1 cm3八、有趣的测量不规则
13、物体的体积的测量方法:把不规则物体的体积转化成可测量计算的水的体积,水面上升、下降或溢出的水的体积,就是浸入水中物体的体积。导学点睛易错点:容积就是体积。体积与容积的区别:1. 意义不同;2. 度量方法不同;3. 计量单位不同。要注意:要对1立方厘米、1立方分米、1立方米建立起表象的认识,培养自己的空间感。要注意:要建立1升、1毫升的表象。要注意:计算长方体、正方体容器的容积也要使用长体、正方体的体积的计算公式。只不过数据要从容器的里面测量。巧记:两个相邻的体积单位之间的进率是1000。例如:一个杯子里原有300mL的水,在杯子中放入了一块石头后水面上升到500 mL,水未溢出,这块石头的体积
14、是多少立方厘米?500-300=200(mL)200 mL=200 cm3五分 数 除 法一、分数除以整数1. 分数除以整数的意义:分数除以整数就是把这个分数平均分成若干份,求一份是多少。135也可以表示求13的15是多少。2. 分数除以整数的计算方法:分数除以一个不为零的整数,相当于乘这个整数的倒数。193=1913=127二、整数除以分数整数除以分数的计算方法:整数除以一个不为零的数,等于乘这个数的倒数。534=543=203三、分数除以分数分数除以分数的计算方法:分数除以一个不为零的数,等于乘这个数的倒数。计算结果能约分的要约分。3567=3576=710四、分数除法算式中的规律一个不为
15、零的数除以一个小于1的分数,商就比这个数大;一个不为零的数除以一个大于1的分数,商就比这个数小。34453434434五、用方程解决问题用方程解答应用题的步骤:第一步:弄清题意,确定未知数,并用x(或y)表示;第二步:找出题中的数量之间的等量关系;第三步:列方程;第四步:解方程;第五步:检验;第六步:写出答语。用方程解决问题的关键是找到等量关系。例:小明今年12 岁,是妈妈年龄的13,妈妈今年多少岁?等量关系式:妈妈今年的年龄13=小明今年的年龄解:设妈妈今年x岁。13x=1213x13=1213x=123x=36答:妈妈今年36岁。六、打折打几折就是按原价的十分之几出售。打八折就是按原价的8
16、10出售。如:一件上衣原价200元,如果打八折出售,现在的售价是多少元?200810=160(元)答:现在的售价是160元。导学点睛要注意: 分数除以整数的意义与整数除法的意义相同。易错点:计算结果不约分。要注意:能约分的可以先约分再计算。要记住:0除以任何不为零数都等于0;任何不为零的数除以1都等于这个数本身。易错点:在方程的解的后面写上单位。易错点:认为打几折就是便宜十分之几。六确 定 位 置一、根据方向和距离确定位置根据方向和距离确定物体的位置的方法:先确定一个原点和一个基本方向,然后从原点画一条射线并使其通过要确定位置的物体所在的点,测量物体所在的点到原点的距离和射线与基本方向线的夹角
17、,用这个距离和角度确定物体的位置。1. 学校在区政府北面600 m处。2. 医院在区政府西面400 m处。3. 商场在区政府东面800 m处。4. 少儿活动中心在区政府南面600 m处。5. 公交站在区政府北偏东45方向800 m处。二、用方向和距离描述行走的路线准确地描述行走路线要做到三看:一看起点,找准观察点;二看方向,向哪里偏;三看路程,走了多远。下面是3号台风的移动路线图。3号台风生成以后,先是向正东方向移动了300 km,然后改变了方向,向南偏东70的方向移动了300 km,接着台风又改变了方向,向北偏东38的方向移动了200 km,到达了甲市。三、根据平面图确定图中任意两地的相对位
18、置根据平面图确定图中任意两地的相对位置要具备两个条件:方向和距离。学校在奇思家北偏东45方向400 m处,也就是奇思家在学校的南偏西45方向400 m处。导学点睛要注意: 在地图上,看方向上面是北,下面是南,左面是西,右面是东。要注意:描述路线时,一般描述成南偏什么方向,北偏什么方向。要知道:根据平面图确定图中任意两地的相对位置时,两地的方向是相反的,但是距离是相等的。七用方程解决问题 一、用方程解答应用题的步骤第一步:弄清题意,确定未知数,并用x(或y)等字母表示;第二步:找出题中的数量之间的等量关系;第三步:列方程;第四步:解方程;第五步:检验;第六步:写出答语。果园里有100棵梨树,梨树
19、的数量比苹果树的2倍少10棵。果园里有多少棵苹果树?第一步:求果园里有多少棵苹果树,就设果园里有x棵苹果树。第二步:找出题中的数量之间的等量关系。等量关系式:苹果树的数量2-10棵=梨树的数量。第三步:列方程。解:设果园里有x棵苹果树。2x-10=100第四步:解方程。2x=100+10x=1102x=55第五步:检验。把x=55代入原方程,左边=255-10=100右边=100左边=右边所以x=55是原方程的解。第六步:写答语。答:果园里有55棵苹果树。二、用方程解答和倍问题例:“爱科学”夏令营共有160人,其中男生的人数是女生的3倍,男生、女生各有多少人?第一步:要求男生、女生各有多少人,
20、设女生有x人。第二步:找出题中的数量之间的等量关系。等量关系式:女生的人数+男生的人数=160人。第三步:列方程。解:设女生有x人,则男生有3x人。x+3x=160第四步:解方程。4x=160x=403x=340=120第五步:检验。把x=40代入原方程,左边=40+340=40+120=160右边=160左边=右边所以x=40是原方程的解。第六步:写答语。答:男生有120人,女生有40人。三、用方程解答差倍问题例:“爱科学”夏令营的男生比女生多80人,其中男生的人数是女生的3倍,男生、女生各有多少人?第一步:要求男生、女生各有多少人,设女生有x人。第二步:找出题中的数量之间的等量关系。等量关
21、系式:男生的人数-女生的人数=80人第三步:列方程。解:设女生有x人,则男生有3x人。3x-x=80第四步:解方程。2x=80x=403x=340=120第五步:检验,可以进行口头检验。第六步:写答语。答:男生有120人,女生有40人。四、用方程解答相遇问题例:甲、乙两地相距300 km,货车每时行驶30 km,客车每时行驶45 km,几时后相遇?第一步:要求几时后相遇,设x时后相遇。第二步:找出题中的数量之间的等量关系。等量关系式:(货车的速度+客车的速度)时间=距离第三步:列方程。解:设x时相遇。(30+45)x=300第四步:解方程。75x=300x=4第五步:检验,可以进行口头检验。第
22、六步:写答语。答:4时后相遇。导学点睛巧记:用方程解答应用题的步骤1. 设2. 找(找等量关系)3. 列(列方程)4. 解(解方程)5. 检验6. 答要注意:设一份数为x。要注意:x=40后面不要写单位。要记住:如果问题要求两个数,写答语时,中间要用逗号隔开。列方程解应用题的方法:综合法:先把应用题中的已知数(量)和所设的未知数(量)列成有关的代数式,再找出它们之间的等量关系,进而列出方程。这是从部分到整体的一种思维过程,其思考方向是从已知到未知。 分析法:先找出等量关系,再根据具体建立等量关系的需要,把应用题中的已知数(量)和所设的未知数(量)列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的
23、一种思维过程,其思考方向是从未知到已知。数 学 好 玩一、“象征性”长跑1. 明确活动任务。2. 设计方案。3. 动手实验。4. 交流反思。如:为增强同学们的体质,学校拟举行五年级学生“跑向北京”的象征性长跑活动。1. 活动任务:设计一个从学校“跑向北京”的象征性长跑活动方案。2. 设计方案。(1)调查学校所在城市到北京的距离大约有多少千米。(象征性长跑的总路程)(2)调查学校所在城市到北京途经的主要城市和城市之间的路程。(3)确定每人每天跑的路程,如果全班用接力方式跑完全程,怎样设计活动方案?3. 动手实验。4. 交流反思。(1)在设计方案中,一般需要考虑哪些问题?(2)我们收集和记录了哪些
24、数据?是用什么方法得到这些数据的?(3)在活动中用到了哪些数学知识和方法?我们对这些知识和方法有了哪些新的认识?(4)整个活动中,我们得到了什么有益的启示?遇到了哪些困难?是如何解决的?二、有趣的折叠平面图立体图平面展开图通过折叠得到一个简单立体图形的方法:测量计算虚线折叠三、包装的学问两盒糖果包成一包,有三种不同的方案,如下图。(单位:cm)用包装纸:20152+20(5+5)2+15(5+5)2=600+400+300=1300(cm2)用包装纸:(15+15)202+2052+(15+15)52 =1200+200+300 =1700(cm2)用包装纸:(20+20)152+1552+(
25、20+20)52 =1200+150+400 =1750(cm2)导学点睛要注意:长跑活动需要确定一个主题。要注意:活动开始前向大家征集活动主题,确定一个最受欢迎的长跑活动主题。要注意:对身体确有不适的学生可以免跑。当出现雾霾等恶劣天气条件时必须及时停止长跑活动,保证学生的身体健康。要注意:把平面图折叠成立体图时,要沿着虚线,把相邻的等边折叠在一起。要牢记:要节约包装纸就要使包装后的表面积最小。八数据的表示和分析 一、复式条形统计图1. 复式条形统计图的意义。用不同颜色的直条表示两种或两种以上的数量的条形统计图,叫作复式条形统计图。如下图:第一活动小组同学的投球情况统计图2. 一幅完整的复式条
26、形统计图都有哪些部分。标题、单位、横轴(项目)、纵轴(数量)、单位的大小、图例、不同的直条。3. 复式条形统计图的优点。用直条的长短表示数量的大小,能很直观地看出各种数量的多少。4. 如何绘制复式条形统计图。(1)根据图纸的大小,画出两条互相垂直的射线,作为纵轴和横轴。(2)在横轴上适当分配条形的位置,确定直条的宽度和间隔。 (3)在纵轴上确定单位长度,并标出数量的标记和计量单位。 (4)根据数据的大小,画出长短不同的直条。(5)写出标题、图例和制图日期。5. 根据复式条形统计图回答问题。从上面的复式条形统计图中你知道投球距离最近是多少米?最远是多少米?在大多数情况下,哪种情形投球距离远一些?
27、 从上面的复式条形统计图中可以知道投球距离最近是9米,最远是13米。在大多数情况下,单手投球距离远一些。二、复式折线统计图1. 复式折线统计图的意义。在一幅统计图中表示两组不同数量的折线统计图,数学上我们把它叫作复式折线统计图。如下图:2012年“国庆”小长假期间北京市最高和最低气温统计图2. 一幅完整的复式折线统计图包括:标题、单位、横轴(项目)、纵轴(数量)、单位的大小、图例、不同的折线。3. 复式折线统计图的优点。不仅可以表示数量的多少,还能反映数量的增减变化情况。4.折线统计图的绘制方法。(1)整理数据。(2)画出纵轴和横轴,用一个单位长度表示一定的数量。(3)根据数据的大小描出各点,再把各点用线段顺次连接起来。(4)写出统计图的名称和制图时间,并标出图例。三、平均数的再认识1. 平均数的意义。一组数据中所有数据之和除以数据的个数。它是反映数据集中趋势的一项指标,具有代表性。2. 求平均数的方法。总数量总份数=平均数。导学点睛要注意:复式条形统计图和单式条形统计图相比的优点,便于比较多个项目的数据。要注意:图例和直条要一致。要注意:复式条形统计图和单式条形统计图相比的优点,便于比较分析。要注意:图例和折线要一致。要注意:平均数只是这组数的平均水平,它易受极大数和极小数的影响。
