1、2023年吉林省松原市宁江区四校中考数学三模试卷一、选择题（本大题共6小题，共12分。）1. 下列四个实数中，最小的数是()A. -1B. -|-2|C. 0D. 2. 网络用语“6”是比较厉害的意思，且“6”本身是一个自然数.将数字0.000000006用科学记数法表示为()A. -6109B. -0.6108C. 0.610-8D. 610-93. 吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与中国四大名砚媲美如图是一款松花砚的示意图，其俯视图为()A. B. C. D. 4. 下列运算中正确的是()A. 2a3-a3=2B. 2a2a4=2a6C. (2a3)3=6a3D.
2、 a8a2=2a45. 不等式组x-10x+30中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是()A. B. C. D. 6. 九章算术是我国古代第一部自成体系的数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸(ED=2寸)，锯道长8寸”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是()A. 5寸B. 8寸C. 10寸D. 12寸二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）7. 已知直线a/b，一块直角三角板如图所示放置，若1=37，则2=_
3、8. 关于的一元二次方程x2-3x-k=0无实数解，则k的取值范围是_ 9. “把弯曲的公路改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是_ 10. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形ABCD，若点B的对应点B落在边CD上，则BC的长为_ 11. 如图，O的半径为4，直线AB与O相切于点A，AC平分OAB，交O于点C.则AC-的长为_12. 如图，已知在ABC中，AB=6.AC=10，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE.若DE=4，则ABC的面积是_13. 如图，以正六边形ABCDEF的边AB为直角边作等腰直角三角形ABG，使点G在其内部
4、，且BAG=90，连结FG，则EFG的大小是_度14. 如图，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A(-2,0)、点B(1,0)，抛物线y=x2-4x+m与正方形有两个交点时，则m的取值范围是_ 三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）15. 先化简再求值：(1x-1+1x+1)x23x2-3，其中：x= 2四、解答题（本大题共11小题，共79.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. (本小题5.0分)已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，ABBE，垂足为B，DEBE，垂足为E，且AB=DE，BF=CE求证：ABCDEF17. (本小题5.0分)从甲、乙、
5、丙、丁4名同学中随机抽取同学担任环保志愿者(1)若随机抽取1名，则恰巧是甲同学的概率是_；(2)若随机抽取2名，求甲同学在其中的概率(用画树状图法或列表法求解)18. (本小题5.0分)中国清代算书御制数理精蕴中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两问马、牛各价几何(马、牛单价各是多少两)？”19. (本小题7.0分)图、图2均是44的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上(1)在图中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；(2)在图中，以点A，B
6、，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形20. (本小题7.0分)为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛，并随机抽取了50名学生的竞赛成绩(竞赛成绩为百分制，本次竞赛没有满分)，经过整理数据得到以下信息：信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组(每组数据含左端点值，不含右端点值)信息二：第三组的成绩(单位：分)为747173747976777676737275根据信息解答下列问题：(1)第二组的学生人数是_ 人；(2)第三组竞赛成绩的众数是_ 分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是_ 分；(3)若该校共有1500名学生参赛，请估计该
7、校参赛学生成绩不低于80分的有多少人？21. (本小题7.0分)墙壁及淋浴花洒截面如图所示已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角CAD为43.求花洒顶端C到地面的距离CE(结果精确到1cm).(参考数据：sin43=0.68，cos43=0.73，tan43=0.93)22. (本小题7.0分)如图，在平面直角坐标系中，点A(3,2)在反比例函数y=kx(x0)的图象上，点B在OA的延长线上，BCx轴，垂足为C，BC与反比例函数的图象相交于点D，连接AC、AD(1)k= _ ；(2)若点B的纵坐标为4，求SABD23. (本小题8.0分)根据市卫生防疫
8、部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放.在换水时需要经“排水一清洗一灌水”的过程.某游泳馆从早上7：00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的1.6倍，其中游泳池内剩余的水量y(m3)与换水时间上x(h)之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)该游泳池清洗需要_ 小时(2)求排水过程中的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围(3)若该游泳馆在换水结束30分钟后才能对外开放，判断游泳爱好者小致能否在中午12：30进入该游泳馆游泳，并说明理由24. (本小题8.0分)如图，在ABC中，AB=AC，ABC=，D是BC边上一点，以AD为边作ADE，使AE=
9、AD，DAE+BAC=180(1)直接用含的代数式表示ADE的度数为_ ；(2)以AB、AE为边作平行四边形ABFE如图，若点F恰好落在DE上，试判断线段BD与线段CD的长度是否相等，并说明理由；如图，若点F恰好落在BC上，且BC=4，DF=1时，直接写出线段CF的长25. (本小题10.0分)如图，等边ABC中，AB=6，CDAB，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿边AB向终点B运动，过点P作PQAC于点Q，过点P向上作PF/AC，且PF= 3PQ，以PF、PQ为边作矩形PQEF，设点P的运动时间为x(秒)，矩形PQEF与ABC的重叠部分图形的面积为y(1)PQ= _ (用含x的式子表示)
10、；(2)求当点F落在CD上时x的值；(3)求在运动过程中y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(4)直接写出运动过程中点F的运动路径长26. (本小题10.0分)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y=x2+bx+c经过点B，D(-4,5)两点，且与直线DC交于一点E(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为y轴上一点，探究EP+PB是否存在最小值若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点F为抛物线对称轴上一点，点Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形若存在，请求出点F的坐
11、标；若不存在，请说明理由答案和解析1.【答案】B【解析】解：-|-2|=-2，-|-2|-100负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小2.【答案】D【解析】解：0.000000006=610-9故选：D科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10时，n是正整数；当原数的绝对值1时，n是负整数此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|0得x-3，所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是：故选：A先分别解两个不等式得到-3
12、x1，然后利用数轴表示出-3x1，即可得到正确的选项本题考查了在数轴上表示不等式的解集：用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”6.【答案】C【解析】解：设O的半径为r在RtAEO中，AE=4，OE=r-2，OA=r，则有r2=42+(r-2)2，解得r=5，O的直径为10寸，故选：C设O的半径为r.在RtAEO中，AE=4，OE=r-2，OA=r，则有r2=42+(r-2)2，解方程即可本题考查垂径定理、勾股定理等
13、知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型7.【答案】53【解析】解：作直线AB/a，a/b，AB/a/b，AB/a，1=3，AB/b，2=4，3+4=90，1+2=90，1=37，2=90-37=53，故答案为53首先作平行线，然后根据平行线的性质可得到1+2=90，据此求出2的度数本题考查了平行线的性质，作辅助直线AB/a是解题的关键，熟练掌握两直线平行，内错角相等8.【答案】k-94【解析】解：根据题意得=(-3)2-4(-k)0，解得k-94，即m的取值范围为k-94故答案为：k-94先根据根的判别式的意义得到(-3)2-4(-k)0时，方程有两个不相等的实数根；
14、当=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根9.【答案】两点之间线段最短【解析】解：由线段的性质可知：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短故答案为：两点之间线段最短根据线段的性质：两点之间线段最短，解答即可本题主要考查了线段的性质，即两点之间线段最短10.【答案】1【解析】解：矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形ABCD，AB=AB=5，AB=CD=5，D=90，BD= BA2-AD2= 25-9=4，BC=CD-BD=1，故答案为：1由旋转的性质可得AB=AB=5，AB=CD=5，由勾股定理可求BD的长，即可求解本题考查了旋转
15、的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键11.【答案】2【解析】解：直线AB与O相切于点A，OAB=90AC平分OAB，OAC=12OAB=45OA=OC，OAC=OCA=45，AOC=90AC-的长为：904180=2故答案是：2由切线的性质和角平分线的定义得到OAC=45，则AOC=90，所以根据弧长公式解答即可本题主要考查的是圆切线的性质，由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系简记作：见切点，连半径，见垂直12.【答案】24【解析】解：D，E分别是AB，AC的中点，DE=4，BC=2DE=8，AB2+BC2=62+82=100，AC2
16、=102=100，AB2+BC2=AC2，ABC为直角三角形，SABC=12ACBC=1268=24，故答案为：24根据三角形中位线定理求出BC，根据勾股定理的逆定理得到ABC为直角三角形，根据三角形的面积公式计算，得到答案本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键13.【答案】45【解析】解：在正六边形ABCDEF中，AFE=BAF=(6-2)1806=120，BAG=90，FAG=120-90=30，又AF=AB=AG，AFG=180-302=75，EFG=AFE-AFG=120-75=45，故答案为：45依据正六边形AB
17、CDEF中，AFE=BAF=120，BAG=90，即可得出FAG=120-90=30，再根据AFG=75，即可得到EFG=45本题考查了多边形的内角与外角，等腰三角形的性质，熟记多边形的内角和公式是解题的关键14.【答案】-12m6【解析】解：A(-2,0)，B(1,0)，四边形ABCD是正方形，AB=BC=3，点C坐标(1,3)，当抛物线经过点C时，3=1-4+m，m=6，当抛物线经过点A时，4+8+m=0，m=-12，抛物线y=x2-4x+m与正方形有两个交点时，则m的取值范围是：-12m6故答案为-12m0)的图象上，k=32=6，故答案为：6；(2)过点A作AEx，垂足为E，BCx轴，
18、垂足为C，AE/BC，OEOC=AEBC，A(3,2)，OE=3，AE=2，3OC=24，OC=6，D点的横坐标是6，D在反比例函数的图象上，y=66=1，D(6,1)，BD=4-1=3，SABD=123(6-3)=92(1)把点A(3,2)代入反比例函数的解析式y=kx(x0)，即可求出k的值；(2)通过平行线分线段成比例定理求得D点的坐标，进而求得BD，根据三角形的面积公式即可求得结论本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积，将点的坐标转化为线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法23.【答案】1.2【解析】解：(1)
19、由题意可得，该游泳池清洗需要：2.7-1.5=1.2(小时)，故答案为：1.2；(2)设排水过程中的y(m3)与x(h)之间的函数关系式为：y=kx+b，由题，得b=12001.5k+b=0，解得k=-800b=1200，排水过程中的y与x之间的函数关系式为：y=-800x+1200(0x1.5)；(3)由题意可得，排水的速度为：12001.5=800(m3/h)，灌水的速度为：8001.6=500(m3/h)，灌水用的时间为：1200500=2.4(h)，对外开放的时间为：7+2.7+2.4+3060=12：3612：30，游泳爱好者小致不能在中午12：30进入该游泳馆游泳(1)根据函数图象
20、中的数据可以解答本题；(2)根据题意核函数图象中的数据可以求得排水过程中的y(m3)与x(h)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)根据题意可以求得下午几点开放，然后与12：30比较大小即可解答本题本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答24.【答案】90-【解析】解：(1)如图中， AB=AC，AD=AE，B=C，ADE=E，BAC+2B=180，DAE+2ADE=180，BAC+DAE=180，2B+2ADE=180，ADE=90-B=90-故答案为：90-(2)如图中，结论：BD=CD 理由：四边形ABFE是平行四边形，
21、AB/EF，CDE=ABC= 由(1)知ADE=90-，ADC=CDE+ADE=+(90-)=90，ADBC，AB=AC，BD=CD结论：CF的长为32理由：如图中， 由AB=AC知C=ABC=，由DAE+BAC=180，易证DAE=2，由四边形ABFE是平行四边形得AE/BF，AE=BF，CAE=C=，CAD=DAE-CAE=2-=，CAD=C，AD=CD，又AD=AE=BF，BF=CD，CF=BD=12(BC-DF)=12(4-1)=32(1)利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题(2)如图2中，结论：BD=CD.利用平行四边形的性质证明ADC=90，推出ADBC即可解决问题
22、想办法证明CAD=C，推出AD=CD，又AD=AE=BF，推出BF=CD可得结论本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型25.【答案】 3x【解析】解：(1)ABC是等边三角形，AB=6，CDAB于点D，A=60，AD=BD=12AB=3，PQAC于点Q，AP=2x，AQP=90，PQ=APsin60=2x 32= 3x，故答案为： 3x. (2)四边形PQEF是矩形，PF= 3PQ= 3 3x=3x，EF=PQ= 3x，EQ=PF=3x，EF/PQ，CEF=EQP=90，ADC=90，A=60
23、，ACD=30，当点F落在CD上，则CFE=60，CE=EFtan60= 3x 3=3x，AQ=APcos60=2x12=x，AC=AB=6，x+3x+3x=6，解得x=67，当点F落在CD上时x的值为67(3)ACB=60， 当F落在BC上时，CFE=30，CE=EFtan30= 3x 33=x，x+3x+x=6，解得x=65；当点E与点C重合，则x+3x=6，解得x=32；当点P与点B重合，则2x=6，解得x=3，当0x65时，如图1， S矩形PQEF=3x 3x=3 3x2，y=3 3x2；当65x32时，如图2，PF交BC于点I，EF交BC于点J，PF/AC，PIB=ACB=B=60，
24、BPF=A=60，PBI是等边三角形，PI=PB=6-2x，FI=3x-(6-2x)=5x-6，F=90，FIJ=PIB=60，FJ=FItan60= 3(5x-6)，S五四边形PQFJI=3 3x2-12 3(5x-6)2=-19 32x2+30 3x-18 3， y=-19 32x2+30 3x-18 3；当32x3时，如图3，CQ=6-x，S四边形PQCI=12 3x(6-2x+6-x)=-3 32x2+6 3x，y=-3 32x2+6 3x，综上所述，y=3 3x2(0x65)-19 32x2+30 3x-18 3(65x32)-3 32x2+6 3x(32x3)(4)如图3，连接AF
25、，E=90，AE=x+3x=4x，EF= 3x，tanEAF= 3x4x= 34，EAF为定值，AF= AE2+EF2= (4x)2+( 3x)2= 19x，当点P与点B重合时，x=3，当点P到达终点B时，AF= 193=3 19，点F的运动路径长为3 19(1)由ABC是等边三角形，AB=6，CDAB于点D，得A=60，AD=BD=12AB=3，而AQP=90，AP=2x，则PQ=APsin60= 3x；(2)由矩形的性质得EF=PQ= 3x，EQ=PF= 3PQ=3x，EF/PQ，则CEF=EQP=90，ACD=30，当点F落在CD上，则CFE=60，此时CE=EFtan60=3x，而AQ
26、=APcos60=x，则x+3x+3x=6，所以x=67；(3)当F落在BC上时，则x+3x+x=6，得x=65；当点E与点C重合，则x+3x=6，得x=32；当点P与点B重合，则2x=6，得x=3，再分三种情况讨论，一是当0x65时，y=S矩形PQEF=3x 3x=3 3x2；二是当65x32时，PF交BC于点I，EF交BC于点J，可证明PBI是等边三角形，则PI=PB=6-2x，FI=3x-(6-2x)=5x-6，FJ= 3(5x-6)，所以y=S五四边形PQFJI=3 3x2-12 3(5x-6)2=-19 32x2+30 3x-18 3；三是当32x3时，CQ=6-x，则y=S四边形P
27、QCI=12 3x(6-2x+6-x)=-3 32x2+6 3x；(4)连接AF，可求得tanEAF= 3x4x= 34，则EAF为定值，而AF= AE2+EF2= 19x，当点P与点B重合时，x=3，则当点P到达终点B时，AF=3 19，可知点F的运动路径长为3 19此题重点考查等边三角形的性质、矩形的性质、锐角三角函数与解直角三角形、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题26.【答案】解：(1)由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5，则OB=AB-AO=5-4=1，故点B的坐标为(1,0)，则1+b+c=016-4b+c=5， 解
28、得b=2c=-3，抛物线的表达式为y=x2+2x-3；(2)EP+PB存在最小值，理由如下：点E关于y轴对称点为E，且点E的坐标为(2,5)，点E坐标为(-2,5)连接BE，交y轴于点P，连接EP，则此时EP+PB=EP+PB=EB最小，由点B的坐标为(1,0)，点E坐标为(-2,5) 设直线BE的函数表达式为y=kx+d，则k+d=0-2k+d=5，解得：k=-53d=53， 直线BE的表达式为y=-53x+53，令x=0，得y=53，点P坐标为(0,53)在RtBCE中，BC=5，CE=1-(-2)=3，BE= BC2+CE2= 52+32= 34，则EP+PB的最小值=BE= 34(3)
29、y=x2+2x-3=(x+1)2-4，抛物线对称轴为直线x=-1，设点F的坐标为(-1,m)，在RtBCE中，BC=5，CE=1，BCE=90，BE2=BC2+CE2=52+12=26，以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，BE=BF或BE=EF， 当BE=BF时，如图2，设直线x=-1与x轴交于点H，则H(-1,0)，BH=1-(-1)=2，HF=|m|，BF2=BH2+HF2=22+|m|2=4+m2，4+m2=26，解得：m1= 22，m2=- 22；当EB=EF时，如图3，设直线x=-1与CD交于点K，则K(-1,5)，EK=2-(-1)=3，KF=|m-5|，在RtEK
30、F中，EF2=EK2+KF2=32+|m-5|2=m2-10m+34，m2-10m+34=26，解得：m3=5+ 17，m4=5- 17；故点F的坐标为(-1,5+ 17)或(-1,5- 17)或(-1, 22)或(-1,- 22)【解析】(1)运用待定系数法即可求得答案；(2)作点E关于y轴对称点为E，连接BE交y轴于点P，则EP+PB=EP+PB=EB= 34为最小值，利用待定系数法求得直线BE的表达式为y=-53x+53，令x=0，即可求得点P的坐标；(3)以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，则BE=BF或BE=EF，分两种情况分别建立方程求解即可得出答案本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，利用轴对称求最短路径，菱形的性质，勾股定理等，难度适中，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题关键
