1、上海市黄浦区2024年中考三模数学试题一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 下列计算正确的是（）A. （a2）3a5B. a2a3a6C. a5a3a2D. （a+2a）24a22. 下列各数中是无理数的是（ ）A. B. C. D. 3. 下列函数中，满足的值随的值增大而减小的是（ ）A. B. C. D. 4. 如果一组数据的众数为，那么这组数据的中位数为（ ）A. B. C. D. 5. 如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，1=120，2=45，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（）A. 15B. 30C. 45D. 606. 下列说法正确的
2、是（ ）A. 有一组邻边相等的梯形是等腰梯形B. 等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形C. 有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形D. 有一组对角互补的梯形是等腰梯形二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 计算：_8. 红细胞的直径约为，用科学记数法表示为_9 因式分解：_10 方程的根是_11. 不等式组的整数解是_12. 如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是_13. 在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形的张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是_14. 某班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数把参赛学生的成绩整理后分为6小组，画出竞赛成
3、绩的频数分布直方图（如图所示），根据图中的信息，可得成绩高于60分的学生占全班参赛人数的百分率是_15. 如果正n边形的内角是它中心角的两倍，那么边数n的值是_16. 如图，在梯形中，点、分别是边、的中点设，那么向量用向量表示是_17. 当相交两个圆中有一个圆的圆心在另一圆的圆内部时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”已知点O在线段AB上，的半径为1，如果以OB为半径的与“内相交”，且，那么的取值范围是_18. 如图，在中，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为_三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19. 先化简，再
4、求值：，其中.20. 解方程： 21. 如图，半径为的经过的顶点，与边相交于点，（1）求的长；（2）如果，判断直线与以点为圆心、为半径的圆的位置关系，并说明理由22. 在一条笔直的公路上有两地，小明骑自行车从地去地，小刚骑电动车从地去地，然后立即原路返回到地，如图是两人离地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数图像请根据图像回答下列问题：（1）求小明离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式；（2）若两人间距离不超过千米时，能够用无线对讲机保持联系，求两人从途中相遇后到地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间是多少小时？23. 如图，梯形中，与对角线交于点，且（1）求证：四边形是菱形；（2
5、）连接，如果，求证：24. 已知在直角坐标平面内，抛物线与轴交于点，顶点为点，点的坐标为，直线与轴交于点（1）求点的坐标；（2）当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求的面积；（3）如果，求抛物线的表达式25. 如图，已知圆的半径，是半径上的一个动点（点不与点、点重合），作线段的垂直平分线，分别交线段于点、交圆于点和点（点在点的上方）连接并延长，交圆于点（1）当点是线段中点时，求的值；（2）当时，如果，求的长；连接交于点，连接，如果为等腰三角形，求的长上海市黄浦区2024年中考三模数学试题一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 下列计算正确的是（）A. （a2）3a5B. a2a
6、3a6C. a5a3a2D. （a+2a）24a2【答案】C【解析】【分析】分别根据幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法和除法法则、合并同类项法则和积的乘方运算法则进行计算，即可得出答案.【详解】解：A、（a2）3a6，所以此选项不正确；B、a2a3a5，所以此选项不正确；C、a5a3a2，所以此选项正确；D、（a+2a）2（3a）29a2，所以此选项不正确；故选C【点睛】本题考查了幂的运算性质和合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键2. 下列各数中是无理数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义逐项判断即可求解，掌握无理数的定义是解题
7、的关键【详解】解：、，是分数，属于有理数，不合题意；、是有限小数，属于有理数，不合题意；、是整数，属于有理数，不合题意；、，是无理数，符合题意；故选：3. 下列函数中，满足的值随的值增大而减小的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的性质，根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质逐一判断即可求解，掌握一次函数、反比例函数及二次函数的性质是解题的关键【详解】解：、，的值随的值增大而增大，该选项不合题意；、，在同一个象限内，的值随的值增大而减小，该选项不合题意；、，的值随的值增大而减小，该选项符合题意；、，当时，的值随的值增大而增大；当时，的值随的值增
8、大而减小，该选项不合题意；故选：4. 如果一组数据的众数为，那么这组数据的中位数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了众数和中位数，根据众数的定义可得为，再根据中位数的定义计算即可求解，掌握众数和中位数的定义是解题的关键【详解】解：数据的众数为，为，数据按从小到大排列为，这组数据的中位数为，故选：5. 如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，1=120，2=45，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（）A. 15B. 30C. 45D. 60【答案】A【解析】【详解】试题分析：先根据邻补角的定义得到3=60，根据平行线的判定当b与a的夹角为
9、45时，bc，由此得到直线b绕点A逆时针旋转6045=15解：1=120，3=60，2=45，当3=2=45时，bc，直线b绕点A逆时针旋转6045=15故选A点评：本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行6. 下列说法正确的是（ ）A. 有一组邻边相等的梯形是等腰梯形B. 等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形C. 有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形D. 有一组对角互补的梯形是等腰梯形【答案】D【解析】【分析】本题考查了等腰梯形的判定，根据等腰梯形的判定及三角形中位线的性质逐
10、一判断即可求解，掌握等腰梯形的判定是解题的关键【详解】解：、两腰相等的梯形是等腰梯形，该选项说法错误，不合题意；、等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形不一定是等腰梯形，该选项说法错误，不合题意；、有两个相邻内角相等的梯形不一定是等腰梯形，比如直角梯形，该选项说法错误，不合题意；、有一组对角互补的梯形是等腰梯形，该选项说法正确，符合题意；故选：二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 计算：_【答案】【解析】【分析】本题考查了实数运算，先根据零指数幂和算术平方根运算，然后进行减法运算即可，解题的关键是熟练掌握零指数幂和算术平方根运算法则【详解】解：原式，故答案为：8. 红细胞的
11、直径约为，用科学记数法表示为_【答案】【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数【详解】解：故答案为：9. 因式分解：_【答案】x(x-9)【解析】【分析】根据提取公因式法分解因式，即可【详解】x(x-9)，故答案是：x(x-9)【点睛】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法分解因式，是解题的关键10. 方程的根是_【答案】x1【解
12、析】【分析】先把方程两边同时平方转化为有理方程，然后解得有理方程的解，最后要进行检验，本题得以解决【详解】两边平方，得x243x，解得，x1或x4，检验：当x4不是原方程的根，故原无理方程的解是x1，故答案为x1【点睛】本题考查无理方程，解题的关键是明确无理方程的解法，注意解方程最后要检验11. 不等式组的整数解是_【答案】，【解析】【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再根据解集即可得到不等式组的整数解，正确求出不等式组的解集是解题的关键【详解】解：，由得，由得，不等式组的解集为，不等式组的整数解是，故答案为：，12. 如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是
13、_【答案】【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，是重要考点，掌握相关知识是解题关键【详解】解：方程没有实数根,故答案为：13. 在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形的张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是_【答案】#0.6【解析】【分析】本题考查了求简单事件的概率，求出张纸片中中心对称图形的个数，再利用概率公式计算即可求解，掌握中心对称图形的定义是解题的关键【详解】解：在等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形中，属于中心对称图形的有圆、矩形、菱形种，从张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是，故答案为：14. 某班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数把参赛学
14、生的成绩整理后分为6小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图（如图所示），根据图中的信息，可得成绩高于60分的学生占全班参赛人数的百分率是_【答案】80%【解析】【分析】根据频数分布直方图可得全班的总人数及成绩高于60分的学生，从而得出答案【详解】全班的总人数为3+6+12+11+7+645人，其中成绩高于60分的学生有12+11+7+636人，成绩高于60分的学生占全班参赛人数的百分率是，故答案为80%【点睛】本题主要考查频数分布直方图，根据频数分布直方图明确各分组人数是解题的关键15. 如果正n边形的内角是它中心角的两倍，那么边数n的值是_【答案】6【解析】【分析】根据正n边形的内角是它中心角的
15、两倍，列出方程求解即可【详解】依题意有2，解得n6故答案为：6【点睛】此题考查多边形内角与外角，此题比较简单，解题的关键是熟知正多边形的内角和公式及中心角的求法16. 如图，在梯形中，点、分别是边、的中点设，那么向量用向量表示是_【答案】【解析】【详解】分析：根据梯形的中位线等于上底与下底和的一半表示出EF，然后根据向量的三角形法则解答即可详解：点E、F分别是边AB、CD的中点，EF是梯形ABCD的中位线，FC=DC，EF=（AD+BC）BC=3AD，EF=（AD+3AD）=2AD，由三角形法则得，=+=2+=2+ 故答案2+点睛：本题考查了平面向量，平面向量的问题，熟练掌握三角形法则和平行四
16、边形法则是解题的关键，本题还考查了梯形的中位线等于上底与下底和的一半17. 当相交的两个圆中有一个圆的圆心在另一圆的圆内部时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”已知点O在线段AB上，的半径为1，如果以OB为半径的与“内相交”，且，那么的取值范围是_【答案】【解析】【分析】本题考查了新定义，圆与圆的位置关系，根据题意画出草图，确定临界点，即可求解【详解】解：如图所示，设为的中点，则当与重合时，如图所示，此时在上，则时，两圆“内相交”当时，两圆“内相交”故答案为：18. 如图，在中，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为_【答案】#【解析】【分析】本题考查了三角形的重心
17、的性质，相似三角形的性质与判定，根据题意得出，进而证明，根据向上三角形的性质得出，结合直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解【详解】解：如图所示，为的中点，为的重心，在中，旋转，设，则，故答案为：三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19. 先化简，再求值：，其中.【答案】,【解析】【详解】先把分母因式分解、通分化成同分母，然后进行加减运算算，最后把x的值代入进行求值即可解： 当时，原式=.“点睛”本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意把分式化为最简形式，再代入求值20. 解方程： 【答案】，【解析】【分析】先把方程组化成两
18、个二元一次方程组，再解这两个二元一次方程组即可【详解】解：，或，解得，【点睛】此题主要考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握二元二次方程组的解法是解题的关键21. 如图，半径为的经过的顶点，与边相交于点，（1）求的长；（2）如果，判断直线与以点为圆心、为半径的圆的位置关系，并说明理由【答案】（1）； （2）直线与相交，理由见解析【解析】【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角函数，三角形的面积，直线和圆的位置关系，正确作出辅助线是解题的关键（）连接并延长交于点，连接，由可得，进而得，利用勾股定理得，得到，再由勾股定理即可得到的长；（）直线与相交过点作于，由三角函数得，得到，进而得，再根据三角形
19、的面积得，即可求证小问1详解】解：连接并延长交于点，连接，；【小问2详解】解：直线与相交，理由如下：过点作于，直线与相交22. 在一条笔直的公路上有两地，小明骑自行车从地去地，小刚骑电动车从地去地，然后立即原路返回到地，如图是两人离地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数图像请根据图像回答下列问题：（1）求小明离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式；（2）若两人间的距离不超过千米时，能够用无线对讲机保持联系，求两人从途中相遇后到地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间是多少小时？【答案】（1）； （2）小时【解析】【分析】（）根据题意列出函数解析式即可；（）求出两人途中相遇的时间，可求
20、出小刚此时距地的距离，再算出相遇后两人相距千米的时间，求出此时小刚距的距离，进而求出小刚到达地的时间，然后求出小刚从地返回地与小明相距的时间，把两个时间相加即为两人无法用无线对讲机保持联系的总时间；本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，看懂函数图象是解题的关键【小问1详解】解：由图可得，小明骑自行车的速度为千米小时，小明离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式为；【小问2详解】解：由图可得，小刚骑电动车的速度为千米小时，当两人在途中相遇时，有，此时，小刚距地千米，相遇后设小时两人相距千米，则，此时，小刚距地千米，到达需要的时间为，设小刚从地返回地小时与小明相距千米，则，解得，两人从途中相遇
21、后到地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间为小时23. 如图，在梯形中，与对角线交于点，且（1）求证：四边形菱形；（2）连接，如果，求证：【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析【解析】【分析】（）由，得四边形是平行四边形，由得，得到，同理得，进而由得到，即可求证；（）连接，与交于点，证明得到，进而由，可得，据此即可求证；本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键【小问1详解】证明：，四边形是平行四边形，同理可得，四边形是菱形；【小问2详解】证明：连接，与交于点，如图，四边形是菱形，又，即24. 已知在直角坐标平面内，抛物线与轴交
22、于点，顶点为点，点的坐标为，直线与轴交于点（1）求点的坐标；（2）当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求的面积；（3）如果，求抛物线的表达式【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求得，令得到，求得直线的解析式为，进而即可求解；（2）根据题意，分两种情况讨论，与轴只有1个交点；过原点，根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解；（3）根据题意，过点作轴的垂线，垂足为，进而得出是等腰直角三角形，结合的坐标，建立方程，解方程，得出，进而求得抛物线解析式【小问1详解】解：令，则，则，又，设直线的解析式为，代入，解得：直线的解析式为，令，则，；【小问2
23、详解】当抛物线与轴只有一个交点与轴有一个交点时，当时，即抛物线与坐标轴共有两个不同的交点解得，当抛物线过原点时，且与轴有2个交点时，将代入解析式即此情况不存在，综上所述，【小问3详解】解：如图所示，过点作轴的垂线，垂足为，是等腰直角三角形，又是等腰直角三角形，解得：（舍去）或25. 如图，已知圆的半径，是半径上的一个动点（点不与点、点重合），作线段的垂直平分线，分别交线段于点、交圆于点和点（点在点的上方）连接并延长，交圆于点（1）当点是线段中点时，求的值；（2）当时，如果，求的长；连接交于点，连接，如果为等腰三角形，求的长【答案】（1）； （2）；或【解析】【分析】（）利用线段垂直平分线和线段中点性质可得，利用勾股定理可求出，即可求解；（）延长交圆于点，连接，可证，得到，据此即可求解；分三种情况讨论：，和，进行解答即可求解【小问1详解】解：是的垂直平分线，点是线段中点时，在中，在中，；【小问2详解】解：延长交圆于点，连接，则，即，是的垂直平分线，；如图，分三种情况讨论：当时，是的垂直平分线，即，即，；当时，设，则，由（）知，即，解得或（不合，舍去），；当时，即，为圆直径的，不合题意，故此种情况不存在；综上，的长为或【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，正确作出辅助线是解题的关键
