1、2023年河南省济源市中考二模数学试题一、选择题（每小题3分，共30分）1. 5的绝对值是（ ）A. 5B. 5C. D. 2. 纳米是长度的度量单位，21世纪纳米技术被广泛应用已知1纳米米，若一个肥皂泡膜的厚度为700纳米，则该数用科学记数法可记为（ ）A 米B. 米C. 米D. 米3. 数学无处不在，如图是一个螺栓的示意图，它的左视图是（ ）A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ）A 5m+2m=7m2B. 2m2m3=2m5C. （a2b）3=a6b3D. （b+2a）（2ab）=b24a25. 两个矩形的位置如图所示，若，则（ ）A. B. C. D. 6. 下列关于x的方
2、程一定有实数解的是（ ）A. B. C. (b为常数)D. (b为常数)7. 下表是某校合唱团成员的年龄分布：年龄/岁13141516频数515对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）A. 平均数中位数B. 中位数方差C. 平均数方差D. 众数中位数8. 四边形不具有稳定性四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（ ）A. 1B. C. D. 9. 下面的五个问题中都有两个变量：一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度与所用时间；汽车匀速行驶时，行驶的距离与行驶的时间；小
3、明打篮球投篮时，篮球离地面的高度与篮球离开手的时间；三角形面积一定时，它的底边长与底边上的高；矩形面积一定时，周长与一边长；其中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图像表示的是（ ）A. B. C. D. 10. 已知抛物线，若时，抛物线上一点满足：当时，则m的值是（ ）A. 0B. C. 0或D. 0或4二、填空题（每小题3分，共15分）11. 写出一个图像与直线平行的函数表达式_12. 如图，在中，点分别是的中点，连接，在区域内任取一点，则这一点落在区域内的概率为_13. 如图，面积为的正方形中，有一个小正方形，其中分别在上，连接，若，则的长度为_14. 如图，已知正六边形，是此正
4、六边形的外接圆，若，则阴影部分的面积是_ 15. 如图，已知：直角坐标系中两点，P为线段上一动点（不与点A、B重合），作点B关于射线的对称点C，则线段的取值范围是_ 三、解答题（共8小题，满分75分）16. （1）计算：（2）化简：17. 某中学开展了“爱祖国强体魄”的活动，以鼓励学生积极参与体育锻炼为了解学生每周体育锻炼时间，学校在活动之前对八年级同学进行了抽样调查，并根据调查结果将学生每周的体育锻炼时间分为3小时、4小时、5小时、6小时、7小时共五种情况小明根据调查结果制作了如图两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：【整理数据】活动之前部分同学体育锻炼时间条形统计图活动之前部分同学
5、体育锻炼时间的扇形统计图“爱祖国强体魄”的活动结束之后，再次抽查这部分学生的体育锻炼时间：活动之后部分学生体育锻炼时间的统计表一周体育锻炼时间（小时）34567人数（个）3515a11【分析数据】平均数中位数众数活动之前锻炼时间（小时）555活动之后锻炼时间（小时）5.546b请根据调查信息分析：（1）补全条形统计图，并计算_，_；（2）小李同学在活动之前与活动之后的这两次调查中，体育锻炼时间均为5小时，根据体育锻炼时间由多到少进行排名统计，小李同学在被调查同学中体育锻炼时间排名靠前的是_（填“活动之前”或“活动之后”），并说明理由；（3）已知八年级共2400名学生，请估算全年级学生在活动结束
6、后，每周体育锻炼时间至少有6小时的学生人数有多少人？18. 如图，点A在反比例函数的图像上，过点A作轴于点B，的面积为4（1）求k的值；（2）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）（3）设（2）中的角平分线与轴相交于点，延长到，使，连接并延长交轴于点求证：19. 如图，停车场有一处停车位，左侧靠近一面墙，王老师将车停下后，打开车门，发现车门只能到达处，从车上下不来，于是他将车重新调整，沿与墙面垂直方向向右移动了线段的长度，打开车门后，车门到达处，此时能够顺利下车，已知，求车向右移动的距离（结果精确到0.01m，） 20. 某书店在“读书节”之前，图书
7、按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划（1）“读书节”之前小明发现：购买5本图书和8本图书共花335元，购买10本图书比购买6本图书多花120元，请求出图书的标价；（2）“读书节”期间书店计划用不超过3720元购进图书共200本，且图书不少于40本，两种图书进价分别为20元、18元；销售时准备图书每本降价1.5元，图书价格不变，那么书店如何进货才能使利润最大？21. 阅读材料，解答问题：关于圆的引理古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是阿基米德全集的引理集中记载的一个命题：如图1，是的弦，点在上，于点，在弦上取点，使，点是上的一点，且，连接，则小颖对这个问题很感
8、兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程：证明：如图2，连接，于点，（依据），四边形内接于，（依据）（1）上述证明过程中的依据1为 ，依据2为 ；（2）将上述证明过程补充完整22. 火流星过山车是倍受人们喜爱的经典娱乐项目如图所示，为火流星过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线其中米，米（轨道厚度忽略不计） （1）直接写出抛物线函数关系式；（2）在轨道距离地面4.5米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了5米至K点，又进入下坡段（K接口处轨道忽略不计，点H为轨道与地面交点）已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，在G到Q的运动过程中，求OH的距离；（3）现需要在轨道下坡段进
9、行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架AM、CM、BN、DN，且要求已知这种材料的价格是80000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？23. 小波在复习时，遇到一个课本上问题，温故后进行了操作、推理与拓展（1）如图1，在中，于点D，正方形的边在上，顶点P，N分别在，上，则正方形的边长是_；（2）小波继续思考：如何在一个三角形内画出这个正方形呢？小波画出了，然后按数学家波利亚在怎样解题中的方法进行操作：如图2，在内，在上任取一点C，画正方形，使点D，E在边上，点F在内，连接并延长交于点N，画于点M，画交于点P，再画于点Q，则得到了正方形请你结合图2，依据小波的做法，证明四
10、边形是正方形；（3）如图3，在扇形中，小波类比（2）中的作法，又画出了正方形，若，扇形的半径是1，求正方形的面积2023年河南省济源市中考二模数学试题一、选择题（每小题3分，共30分）1. 5的绝对值是（ ）A. 5B. 5C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据绝对值的意义：数轴上一个数所对应的点与原点（O点）的距离叫做该数的绝对值，绝对值只能为非负数； 即可得解【详解】解：在数轴上，数5所表示的点到原点0的距离是5；故选A【点睛】本题考查了绝对值，解决本题的关键是一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是02. 纳米是长度的度量单位，21世纪纳米技术被广泛应用已
11、知1纳米米，若一个肥皂泡膜的厚度为700纳米，则该数用科学记数法可记为（ ）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】D【解析】【分析】用科学记数法表示较小的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可【详解】解：一个肥皂泡膜的厚度为700纳米米，根据科学记数法要求的小数点从原位置移动到7后面，动了有7位，从而用科学记数法表示为，故选：D【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定与的值是解决问题的关键3. 数学无处不在，如图是一个螺栓的示意图，它的左视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在左视图中，看得见
12、的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线【详解】解：从左面看，底层是两个长方形，上层的圆柱视图是一个长方形，故选：B【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图4. 下列运算正确的是（ ）A. 5m+2m=7m2B. 2m2m3=2m5C. （a2b）3=a6b3D. （b+2a）（2ab）=b24a2【答案】C【解析】【详解】试题分析：选项 A，根据合并同类项法则可得5m+2m=（5+2）m=7m，错误；选项B，依据单项式乘单项式法则可得2m2m3=2m5，错误；选项C，根据积的乘方法则可得（a2b）3=a6b3，正确；选项D，根据平方差公式可得（b+2a）（2ab）=（
13、2a+b）（2ab）=4a2b2，错误故答案选C考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；单项式乘单项式；平方差公式5. 两个矩形的位置如图所示，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】如图所示，根据矩形性质得到，则，再由矩形中内角均为，得到，从而得到【详解】解：如图所示：在矩形中，则，由矩形中内角均为，知，由矩形中内角均为，知，故选：C【点睛】本题考查矩形性质求角度，熟记矩形性质是解决问题的关键6. 下列关于x的方程一定有实数解的是（ ）A. B. C. (b为常数)D. (b为常数)【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式逐项判断即可【详解】解：A、的判别式为
14、：，方程没有实数解，不符合题意；B、的判别式为：，方程没有实数解，不符合题意；C、 (b为常数)的判别式为：，方程不一定有实数解，不符合题意；D、 (b为常数)判别式为：，方程一定有实数解，符合题意；故选D【点睛】此题主要考查一元二次方程实数根的情况，正确利用根的判别式进行判断是解题关键7. 下表是某校合唱团成员的年龄分布：年龄/岁13141516频数515对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）A. 平均数中位数B. 中位数方差C. 平均数方差D. 众数中位数【答案】D【解析】【分析】由频数分布表可知后两组频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第1
15、5、16个数据的平均数，可得答案【详解】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10-x=10，则总人数为：5+15+10=30，故该组数据的众数为14岁，中位数为：=14岁，即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选：D【点睛】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键8. 四边形不具有稳定性四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（ ）A. 1B. C. D. 【答
16、案】C【解析】【分析】过作于，如图所示，设正方形边长为，求出，利用含直角三角形的三边关系，在中得到，从而，两个面积作比即可得到答案【详解】解：过作于，如图所示：设正方形边长为，在中，则，菱形与正方形ABCD的面积之比是，故选：C【点睛】本题考查正方形与菱形面积，涉及含直角三角形的三边关系，熟记正方形与菱形面积公式是解决问题的关键9. 下面的五个问题中都有两个变量：一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度与所用时间；汽车匀速行驶时，行驶的距离与行驶的时间；小明打篮球投篮时，篮球离地面的高度与篮球离开手的时间；三角形面积一定时，它的底边长与底边上的高；矩形面积一定时，周长与一边长；其中，
17、变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图像表示的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】题中变量与变量之间的函数关系如图所示的图像表示反比例函数，再由五个问题中的两个变量的函数关系逐一验证即可得到答案【详解】解：由题可知变量与变量之间的函数关系为反比例函数，一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度与所用时间，则注水量（定值），从而变量与变量之间的函数关系为反比例函数，符合题意；汽车匀速行驶时，行驶的距离与行驶的时间，则速度（定值），从而变量与变量之间的函数关系为正比例函数，不符合题意；小明打篮球投篮时，篮球离地面的高度与篮球离开手的时间，从而变量与变量之间的函数
18、关系为二次函数，不符合题意；三角形面积一定时，它的底边长与底边上的高，则三角形面积（定值），从而变量与变量之间的函数关系为反比例函数，符合题意；矩形面积一定时，周长与一边长，则矩形面积（定值），从而变量与变量之间的函数关系为，不符合题意；五个问题中变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图像表示的是，故选：C【点睛】本题考查函数图像，读懂题意，找到各个问题中变量之间的函数关系是解决问题的关键10. 已知抛物线，若时，抛物线上一点满足：当时，则m的值是（ ）A. 0B. C. 0或D. 0或4【答案】A【解析】【分析】由抛物线图像与性质得到对称轴为，根据，确定对称轴，从而当时，对称轴在这个范围
19、内，到对称轴距离，到对称轴距离，由抛物线开口向上，当时，得出抛物线在时有最小值为，即；在时有最大值为，即，联立方程组求解即可得到（舍）或【详解】解：抛物线的对称轴为，若时，对称轴，当时，对称轴在这个范围内，到对称轴距离，到对称轴距离，抛物线开口向上，当时，抛物线在时有最小值为，即；在时有最大值为，即，联立方程组，即，解得或，舍去，即，故选：A【点睛】本题考查二次函数图像与性质，根据二次函数最值列出方程组求解是解决问题的关键二、填空题（每小题3分，共15分）11. 写出一个图像与直线平行的函数表达式_【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据直线平行的特征，两条直线平行不变，即可得到答案【详解】
20、解：根据两条直线平行不变，可得与直线平行的函数表达式为（答案不唯一），故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题考查直线平行时表达式的特征，熟记两条直线平行不变是解决问题的关键12. 如图，在中，点分别是的中点，连接，在区域内任取一点，则这一点落在区域内的概率为_【答案】#0.25【解析】【分析】根据中位线定义可知是的三条中位线，再结合中位线性质及平行四边形判定与性质可得，从而利用几何概率模型即可求出这一点落在区域内的概率【详解】解：点分别是的中点，由中位线定义可知是的三条中位线，四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形，、，即，由几何概率模型可知这一点落在区域内的概率为，故答案为
21、：【点睛】本题考查几何概率模型求概率问题，涉及三角形中位线定义与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握几何概率模型求概率的方法是解决问题的关键13. 如图，面积为的正方形中，有一个小正方形，其中分别在上，连接，若，则的长度为_【答案】【解析】【分析】根据正方形面积得到其边长，由得到，在中，运用勾股定理得到，根据“一线三垂直”模型有，从而求出，在中，再次利用勾股定理即可得到【详解】解：正方形面积为，正方形的边长为，在正方形中，在中，则，小正方形中，即，解得，在中，则，故答案为：【点睛】本题考查正方形性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理求线段长，熟练运用相似三角形的判定与性质是解决问题的关
22、键14. 如图，已知正六边形，是此正六边形的外接圆，若，则阴影部分的面积是_ 【答案】【解析】【分析】如图，连接，交于G，由正六边形的性质可得出是等边三角形，进而可得阴影部分的面积=三角形的面积2+扇形的面积，然后根据三角形的面积和扇形的面积公式解答即可【详解】解：如图，连接，交于G，是正六边形的外接圆，是等边三角形，阴影部分面积=三角形的面积2+扇形的面积，在直角三角形中，阴影部分的面积=；故答案为： 【点睛】本题考查了正多边形和圆以及不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、熟练掌握正多边形和圆的相关知识是解题的关键15. 如图，已知：直角坐标系中两点，P为线段上一动点（不与点A、B重合），作
23、点B关于射线的对称点C，则线段的取值范围是_ 【答案】【解析】【分析】连接，如图，由B关于射线的对称点为C可得，得出，又P为线段上一动点（不与点A、B重合），可得，于是可得答案【详解】解：，连接，如图，B关于射线的对称点为C，的最小值为3（当A、O、C共线时取得最小值）；又P为线段上一动点（不与点A、B重合），线段的取值范围是；故答案为： 【点睛】本题考查了坐标与图形、勾股定理、对称的性质等知识，求得的最小值是解题的关键三、解答题（共8小题，满分75分）16. （1）计算：（2）化简：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂运算、算术平方根运算及零指数幂运算分别求解后，再根
24、据有理数加减运算法则求解即可得到答案；（2）根据分式化简运算法则，先对分式分子分母因式分解，再根据分式混合运算法则求解即可得到答案【详解】解：（1）；（2）【点睛】本题考查有理数混合运算与分式化简，涉及负整数指数幂运算、算术平方根运算、零指数幂运算、因式分解等知识，熟练掌握有理数加减运算法则与分式混合运算法则是解决问题的关键17. 某中学开展了“爱祖国强体魄”的活动，以鼓励学生积极参与体育锻炼为了解学生每周体育锻炼时间，学校在活动之前对八年级同学进行了抽样调查，并根据调查结果将学生每周的体育锻炼时间分为3小时、4小时、5小时、6小时、7小时共五种情况小明根据调查结果制作了如图两幅统计图，请你结
25、合图中所给信息解答下列问题：【整理数据】活动之前部分同学体育锻炼时间的条形统计图活动之前部分同学体育锻炼时间的扇形统计图“爱祖国强体魄”的活动结束之后，再次抽查这部分学生的体育锻炼时间：活动之后部分学生体育锻炼时间的统计表一周体育锻炼时间（小时）34567人数（个）3515a11【分析数据】平均数中位数众数活动之前锻炼时间（小时）555活动之后锻炼时间（小时）5.546b请根据调查信息分析：（1）补全条形统计图，并计算_，_；（2）小李同学在活动之前与活动之后的这两次调查中，体育锻炼时间均为5小时，根据体育锻炼时间由多到少进行排名统计，小李同学在被调查同学中体育锻炼时间排名靠前的是_（填“活动
26、之前”或“活动之后”），并说明理由；（3）已知八年级共2400名学生，请估算全年级学生在活动结束后，每周体育锻炼时间至少有6小时的学生人数有多少人？【答案】（1）16、6 （2）“活动之前” （3）1296【解析】【分析】（1）由“体育锻炼5小时”的有14人，占调查人数的，可求出调查人数，从而补全条形统计图；再根据活动结束后“活动之后部分学生体育锻炼时间的统计表”，可求出的值，进而再求出活动后体育锻炼时间的众数，确定的值；（2）得到“体育锻炼时间5小时”在活动前、活动后的排名，即可得出结论；（3）根据样本估计总体，样本中“每周体育锻炼时间至少6小时”占调查人数的，估计总体2400人的是“每周体
27、育锻炼时间至少6小时”的人数【小问1详解】解：调查的总人数为（人，体育锻炼时间均为6小时的人数为（人），补全条形统计图如下：活动结束后，再抽查，由表可知（人），体育锻炼时间最多的是6小时，有16人，因此众数，故答案为：16、6；小问2详解】解：活动之前，体育锻炼为6小时的有人，小李同学5小时锻炼时间的并列排名为名；而活动之后，小李同学5小时锻炼时间的并列排名为名；活动之前小李同学5小时的体育锻炼时间并列排名19名，而活动之后则并列排名28名，小李同学在被调查同学中体育锻炼时间排名靠前的是“活动之前”，故答案为：“活动之前”；【小问3详解】解：（人，答：八年级2400名学生中，在活动结束后，每周
28、体育锻炼时间至少有6小时的学生大约有1296人【点睛】考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法18. 如图，点A在反比例函数的图像上，过点A作轴于点B，的面积为4（1）求k的值；（2）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）（3）设（2）中的角平分线与轴相交于点，延长到，使，连接并延长交轴于点求证：【答案】（1） （2）作图见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）由反比函数值的意义即可求解；（2）如图，以点为圆心，作弧交、于点、，分别以点、为圆心大于为半径作弧，
29、交于点，则为的平分线；（3）由为的平分线，根据等腰三角形“三线合一”可知是边的中垂线，利用中垂线性质及等腰三角形性质得到，再由轴，确定在中，根据对顶角，即可得到，从而得证【小问1详解】解：由反比函数值的意义知，图像在第二象限，；【小问2详解】解：以点为圆心，作弧交、于点、，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，交于点，连接，则为的平分线，如图所示：【小问3详解】证明：如图所示：为的平分线，也是边的中线，即是边的中垂线，在等腰中，则，轴，即，在中，【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到三角形高问题、反比例函数值的意义、几何作图、等腰三角形性质、中垂线判定与性质等，有一定的综合性，难度不大，掌
30、握基本几何性质及尺规作图是解决问题的关键19. 如图，停车场有一处停车位，左侧靠近一面墙，王老师将车停下后，打开车门，发现车门只能到达处，从车上下不来，于是他将车重新调整，沿与墙面垂直方向向右移动了线段的长度，打开车门后，车门到达处，此时能够顺利下车，已知，求车向右移动的距离（结果精确到0.01m，） 【答案】0.27m【解析】【分析】作，垂足分别是P、Q，分别交于点G、H，如图，可得m，设，通过解直角三角形，用x的代数式表示出，由它们相等得到关于x的方程，求出x后进一步即可求出结果【详解】解：作，垂足分别是P、Q，分别交于点G、H，如图，则四边形都是矩形，m，根据题意设，在直角三角形中，在直
31、角三角形中，解得，m答：车向右移动的距离为0.27m 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用和矩形的判定和性质等知识，正确理解题意、熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键20. 某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划（1）“读书节”之前小明发现：购买5本图书和8本图书共花335元，购买10本图书比购买6本图书多花120元，请求出图书的标价；（2）“读书节”期间书店计划用不超过3720元购进图书共200本，且图书不少于40本，两种图书进价分别为20元、18元；销售时准备图书每本降价1.5元，图书价格不变，那么书店如何进货才能使利润最大？【答案】（1）图书的标价为27
32、元，图书的标价为25元 （2）图书购进40本，图书购进160本时，利润最大【解析】【分析】（1）根据“购买5本图书和8本图书共花335元，购买10本图书比购买6本图书多花120元”列方程组解答即可；（2）设购进图书本，总利润为元，分别求出与的函数关系式以及的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可【小问1详解】解：设图书的标价为元，图书的标价为元，由据题意得，解得，答：图书的标价为27元，图书的标价为25元；【小问2详解】解：设购进图书本，总利润为元，由题意得，解不等式得，又，由一次函数性质知随的增大而减小，当时，有最大值，即图书购进40本，图书购进160本时，利润最大，答：图书购进,40本，图
33、书购进160本时，利润最大【点睛】本题考查了一次函数的应用，涉及了一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解21. 阅读材料，解答问题：关于圆的引理古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是阿基米德全集的引理集中记载的一个命题：如图1，是的弦，点在上，于点，在弦上取点，使，点是上的一点，且，连接，则小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程：证明：如图2，连接，于点，（依据），四边形内接于，（依据）（1）上述证明过程中的依据1为 ，依据2为 ；（2）将上述
34、证明过程补充完整【答案】（1）在同圆中相等的弧所对的弦相等，圆内接四边形的对角互补 （2）见解析【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的判定和圆内接四边形的性质解答即可；（2）在原题的基础上利用全等三角形的判定与性质解答即可得出结论【小问1详解】解：上述证明过程中的依据1为：在同圆中相等的弧所对的弦相等，依据2为：圆内接四边形的对角互补故答案为：在同圆中相等的弧所对的弦相等，圆内接四边形的对角互补；【小问2详解】解：证明：如图2，连接，于点，四边形内接于，在和中，(AAS),【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆心角、弦、弧之间的关系定理、三角形全等的判定和性质以及线段垂直平分线的判定和性质，
35、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质22. 火流星过山车是倍受人们喜爱的经典娱乐项目如图所示，为火流星过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线其中米，米（轨道厚度忽略不计） （1）直接写出抛物线的函数关系式；（2）在轨道距离地面4.5米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了5米至K点，又进入下坡段（K接口处轨道忽略不计，点H为轨道与地面交点）已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，在G到Q的运动过程中，求OH的距离；（3）现需要在轨道下坡段进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架AM、CM、BN、DN，且要求已知这种材料的价格是80000元/米，如
36、何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？【答案】（1）抛物线的函数关系式为 （2）OH的距离为米 （3）当时，造价最低，最低造价为元【解析】【分析】（1）根据题意，由，得到，用待定系数法求函数解析式即可；（2）先求出，坐标，再求出长度，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了5米至点，即可知，再通过抛物线的形状与抛物线完全相同，即可得结论；（3）先设出，横坐标，再代入解析式，分别求出，的纵坐标，然后求出，之和的最小值，从而求出最低造价【小问1详解】解：，由图像可设抛物线解析式为，把代入得，解得，抛物线的函数关系式为；【小问2详解】解：当时，解得，即，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运
37、动了5米至K点，抛物线的形状与抛物线完全相同，如图所示： ，即在G到Q的运动过程中，求OH的距离15米；【小问3详解】解：设，则，开口向上，当时，最短，最短为，（元，当时，造价最低，最低造价为元【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数表达式、函数求值及求二次函数最值等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键23. 小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展（1）如图1，在中，于点D，正方形的边在上，顶点P，N分别在，上，则正方形的边长是_；（2）小波继续思考：如何在一个三角形内画出这个正方形呢？小波画出了，然后按数学家波利亚在怎样解题中的方法进行操
38、作：如图2，在内，在上任取一点C，画正方形，使点D，E在边上，点F在内，连接并延长交于点N，画于点M，画交于点P，再画于点Q，则得到了正方形请你结合图2，依据小波的做法，证明四边形是正方形；（3）如图3，在扇形中，小波类比（2）中的作法，又画出了正方形，若，扇形的半径是1，求正方形的面积【答案】（1）； （2）见详解； （3）；【解析】【分析】（1）利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题（2）首先根据相似三角形的性质，证明四边形是矩形，再证明即可（3）设再用的式子表示出的长，再根据，得到，得到，再代入解方程即可解决问题【小问1详解】解：如图1中，即，解得故答案为：【小问2详解】证明：如图2中，由画图可知，四边形是矩形，再四边形是正方形，可得，同理可得：，四边形是正方形【小问3详解】设在中，四边形是正方形，在中，解得：，正方形的面积为【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题
