1、2023年江苏省无锡市经开区中考二模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 5的倒数是( )A. B. C. 5D. 2. 在函数中，自变量的取值范围是（ ）A. B. C. D. 3. 一组数据：5、5、6、4，若添加一个数据5，则发生变化统计量是（ ）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差4. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 5. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）A B. C. D. 6. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ）A. B. C. D. 7. 在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A
2、、B、C上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是ABC的（）A. 三条高的交点B. 重心C. 内心D. 外心8. 已知直线与x轴所夹锐角的正弦值为，则k的值为（ ）A. B. C. D. 9. 如图，在等腰三角形中，过原点O，底边轴，双曲线过A，B两点，过点C作轴，交双曲线于点D若，则k的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 610. 如图，在中，点D的坐标是，将旋转到的位置，点C在上，则旋转中心的坐标为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分第17、18题第一空1分，第二空2分，不需写
3、出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11. 计算：=_12. 分解因式 _13. 世界卫生组织年月日公布的最新数据显示，全球累计新冠确诊病例约为例，数据“”可用科学记数法表示为_14. 请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为轴：_15. 命题“如果，那么”是_命题（填“真”或“假”）16. 已知圆锥的底面圆半径是3，高为4，则圆锥的侧面积是_17. 已知抛物线（m为常数）若该抛物线与x轴只有一个交点，则_；若该抛物线与直线有两个不同的交点，且这两个交点都在抛物线对称轴的同侧，则m的取值范围是_18. 如图，已知在四边形中，对角线与交于点M，且若，则_；若，则的面积最大值为_三
4、、解答题（本大题共10小题，共96分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出：文字说明、证明过程或演算步骤）19. （1）计算：；（2）化简：20. （1）解方程： （2）解不等式组：21. 如图，在四边形中，连接，点E在上，连接，若.（1）求证：（2）若，求的度数22. 已知电流在一定时间段内正常通过电子元件概率是（提示：在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能：通电、断开，并且这两种状态的可能性相等）（1）如图1，在一定时间段内， A、B之间电流能够正常通过的概率为 ；（2）如图2，求在一定时间段内，C、D之间电流能够正常通过的概率23. 学校为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每
5、天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：不完整的统计表：课外阅读时间x（min）等级DCBA人数3a8b不完整的统计图阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，45，55，45，40结合以上信息回答下列问题：（1）统计表中的_（2）统计图中B组对应扇形的圆心角为_（3）阅读时间在范围内的数据的众数是_，调查的20名同学课外阅读时间的中位数是_（4）根据调查结果，请你估计全校800名同学课外阅读时间不少于的人数24. 如图，在中，点D、E在上，过A，D，E三点作，连接并延长，交于点F （1）求证：；（2）若，求的半径长25. 今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游
6、玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：购票方式甲乙丙可游玩景点和门票价格100元/人80元/人160元/人据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？26.
7、 （1）已知点P是内一点，请在图中用无刻度的直尺和圆规作一条弦，使得经过点P，且（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）已知点P是内一点，请在图中用无刻度的直尺和圆规作一条弦，使得经过点P，且（要求：保留作图痕迹，不写作法） （3）在（2）的条件下，若且，则的半径_27. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与y轴交于点，与x轴交于和C（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，如果一次函数过点A，且与抛物线交于另一点，如果，且和，求k的值；（3）如图2，若点P在抛物线的对称轴上，使得，请直接写出所有满足条件的点P的坐标28. 已知，在矩形中，为矩形的中心，在中，将绕点按顺时针方向旋转一周，（1）如
8、图1，当直角边，分别在，边上时，连接，求面积；（2）设斜边与矩形的交点为，当，三点在一条直线时，求的值；（3）如图2，连接，取中点，连接，请直接写出的取值范围2023年江苏省无锡市经开区中考二模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 5的倒数是( )A. B. C. 5D. 【答案】A【解析】【分析】根据倒数的意义可直接进行求解【详解】解：5的倒数是；故选A【点睛】本题主要考查倒数，熟练掌握求一个数的倒数是解题的关键2. 在函数中，自变量的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据被开方数大于等于列式计算即可得解【详解】解：由题意得，解得：
9、，故选：【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，解决本题的关键是掌握二次根式被开方数是非负数3. 一组数据：5、5、6、4，若添加一个数据5，则发生变化的统计量是（ ）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差【答案】D【解析】【分析】分别按照平均数，中位数，众数，方差的求解方法，去求发生变化前后的数值【详解】解：A、发生变化前的平均数：，发生变化后的平均数：，故平均数没有变化，不符合题意；B、发生变化前的中位数：，发生变化前的中位数：5，故中位数没有变化，不符合题意；C、发生变化前的众数：5，发生变化前的众数：5，故众数没有变化，不符合题意；D、发生变化前的方差：，发生变化后的方差：，故方
10、差发生变化，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，熟记概念和公式是解题的关键4. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用完全平方公式、同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方等运算法则逐一进行计算即可【详解】解：、，本选项不符合题意；、，本选项不符合题意；、，本选项符合题意；、，本选项不符合题意故选：【点睛】本题考查了完全平方公式、同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方等运算法则，熟练掌握这些运算法则是解答本题的关键5. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形和中
11、心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形【详解】解：A选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；B选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合题意；C选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；D选项：不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键6. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内
12、角和为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出它的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可【详解】解：正多边形的一个外角是，正多边形的边数为，该正多边形的内角和为，故选：【点睛】此题主要考查了正多边形外角和与内角和等知识，根据正多边形的一个外角度数求出边数是解题的关键7. 在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是ABC的（）A. 三条高的交点B. 重心C. 内心D. 外心【答案】D【解析】【
13、分析】根据题意凳子的位置要到三个点的距离相等，那应该是三条垂直平分线的交点，也就是外心【详解】三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，凳子应放在ABC的三条垂直平分线的交点最适当，也就是放在外心处故选：D【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键8. 已知直线与x轴所夹锐角的正弦值为，则k的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】如图，设直线与轴、轴分别交于点、，令可求出的长，令可用表示点坐标，可表示出的长，根据的正弦值及勾股定理可求出的长，列方程即可得
14、答案【详解】如图，设直线与轴、轴分别交于点、，当时，当时，的正弦值为，设，解得：，故选：A【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理及三角函数的定义，正确表示出点坐标，熟练掌握正弦的定义是解题关键9. 如图，在等腰三角形中，过原点O，底边轴，双曲线过A，B两点，过点C作轴，交双曲线于点D若，则k的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】过点A作于点E，设点，则点，根据ABC是等腰三角形，可得BC=4a，从而得到点C的坐标为，点D的纵坐标为，进而得到，再由，即可求解【详解】解：如图，过点A作于点E，设点，则点，等腰三角形， ，底边轴，点C的坐标为，轴，点D的
15、横坐标为，点D的纵坐标为，解得：故选A【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，能够利用k表示出和的长度是解决本题的关键10. 如图，在中，点D的坐标是，将旋转到的位置，点C在上，则旋转中心的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设旋转中心为点P，连接，过点P作轴于点F，过点P作于H，并延长交x轴于G，如图，根据题意得：的垂直平分线的交点即为旋转中心点P，再由点在上，可得，并求出的长，解直角三角形求出的长，进而利用勾股定理求出的长，再求出的长即可得到答案【详解】解：设旋转中心为点P，连接，过点P作轴于点F，过点P作于H，并延长交x轴于G，如图，根
16、据题意得：的垂直平分线的交点即为旋转中心点P，点在上，点P到的距离相等，都是，即，设，则，由勾股定理得，解得，即，点P的坐标为故选 D【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转，解直角三角形，勾股定理等等，熟练掌握旋转的性质确定出旋转中心的位置是解题的关键二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分第17、18题第一空1分，第二空2分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11. 计算：=_【答案】2【解析】【分析】根据立方根的定义进行计算【详解】解：23=8，故答案为：212. 分解因式 _【答案】【解析】【分析】用提取公因式的方法进行分解因式即可【详解】解：，故答案为：【
17、点睛】本题考查了分解因式的提公因式法，熟练掌握分解因式的方法是解答本题的关键13. 世界卫生组织年月日公布的最新数据显示，全球累计新冠确诊病例约为例，数据“”可用科学记数法表示为_【答案】【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数，当原数的绝对值时，是负整数【详解】解：，故答案为：【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键14. 请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为轴：_【答案】（答案不唯一）【
18、解析】【分析】根据二次函数的图象和性质，对称轴为轴，即b=0，写出满足条件的函数解析式即可.【详解】解：设函数的表达式为y=ax2+bx+c，图象的对称轴为y轴，对称轴为x=0，b=0，满足条件的函数可以是：.（答案不唯一）故答案是：y=x2（答案不唯一）【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.15. 命题“如果，那么”是_命题（填“真”或“假”）【答案】真【解析】【分析】根据不等式的性质进行求解即可【详解】解：若，那么，命题“如果，那么”是真命题，故答案为：真【点睛】本题主要考查了不等式的性质和判断命题真假，熟知不等式的性质是解题的关键16. 已知圆锥
19、的底面圆半径是3，高为4，则圆锥的侧面积是_【答案】【解析】【分析】根据勾股定理求得圆锥的母线长，即为圆锥侧面展开图的扇形的半径，再利用扇形面积公式求解【详解】解：圆锥底面圆半径是3，高为4，圆锥的母线长为，又圆锥底面周长为，圆锥的侧面积为，故答案为：【点睛】本题考查勾股定理、圆锥侧面展开图、扇形面积公式，熟练掌握圆锥侧面展开图和勾股定理是解答的关键17. 已知抛物线（m为常数）若该抛物线与x轴只有一个交点，则_；若该抛物线与直线有两个不同的交点，且这两个交点都在抛物线对称轴的同侧，则m的取值范围是_【答案】 . . 【解析】【分析】抛物线与x轴只有一个交点，那么对应的一元二次方程只有一个实数
20、根，利用根的判别式即可求出m的值；抛物线与直线有两个不同的交点，且这两个交点都在抛物线对称轴的同侧，那么在对称轴出抛物线的函数值一定要大于一次函数的函数值，且对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此列出不等式求解即可【详解】解：抛物线与x轴只有一个交点，解得；抛物线解析式为，抛物线对称轴为直线，该抛物线与直线有两个不同的交点，且这两个交点都在抛物线对称轴的同侧，当时，即，且方程有两个不相等的实数根，故答案为：，【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程之间的关系，灵活运用所学知识是解题的关键18. 如图，已知在四边形中，对角线与交于点M，且若，则_；若，则的面积最大值为_【答案】 . .
21、【解析】【分析】利用勾股定理求得，则可得到，作于点E，再根据勾股定理可求得的长；若，如图，作轴于点F，轴于点G，证明以及三角函数求得，利用三角形的面积构造二次函数，利用二次函数的性质求解即可【详解】解：若，则，作于点E，则，；若，如图，作轴于点F，轴于点G，设，同理，当时，有最大值，最大值为，故答案为：，【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，二次函数的应用，解题的关键是学会利用参数构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题三、解答题（本大题共10小题，共96分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出：文字说明、证明过程或演算步骤）19. （1）计算：；（2）化简：【答案】（1）；
22、（2）【解析】【分析】（1）利用乘方、特殊角三角函数值，算术平方根计算各项，即可求解；（2）利用分式的加法和除法法则直接计算即可求解【详解】解：（1）；（2）【点睛】本题考查实数的运算、分式的运算，掌握乘方、特殊角三角函数值，算术平方根以及分式的运算法则是解题的关键20. （1）解方程： （2）解不等式组：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；（2）先求出每个不等式的解集，再取公共部分求出不等式组的解集即可【详解】解：（1）去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，经检验，是原方程的解，原方程的解为；（2）解不等式
23、得：，解不等式得：，不等式组的解集为【点睛】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键21. 如图，在四边形中，连接，点E在上，连接，若.（1）求证：（2）若，求的度数【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用平行线的性质求得，即可证明；（2）利用相似三角形的性质求得，再利用三角形的外角性质求解即可.【小问1详解】证明：，又，；【小问2详解】解：，【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的外角性质及等边对等角等，理解题意，熟练掌握运用各个知识点是解题关键22. 已知电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是（提示：在一次试验中，每个电
24、子元件的状态有两种可能：通电、断开，并且这两种状态的可能性相等）（1）如图1，在一定时间段内， A、B之间电流能够正常通过的概率为 ；（2）如图2，求在一定时间段内，C、D之间电流能够正常通过的概率【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）画树状图，共有4种等可能的结果，、之间电流能够正常通过的结果有1种，再由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有4种等可能的结果，、之间电流能够正常通过的结果有3种，再由概率公式求解即可【小问1详解】解：（1）画树状图如下：共有4种等可能的结果，、之间电流能够正常通过的结果有1种，、之间电流能够正常通过的概率为，故答案为：；【小问2详解】画树状图如下：共有4
25、种等可能的结果，在一定时间段内、之间电流能够正常通过的结果有3种，在一定时间段内、之间电流能够正常通过的概率为【点睛】此题考查了树状图法求概率树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；正确画出树状图是解题的关键，注意概率=所求情况数与总情况数之比23. 学校为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：不完整的统计表：课外阅读时间x（min）等级DCBA人数3a8b不完整的统计图阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，45，55，45，40结合以上信息回答下列问题：（1）统计表中的_（2）统计图中
26、B组对应扇形的圆心角为_（3）阅读时间在范围内的数据的众数是_，调查的20名同学课外阅读时间的中位数是_（4）根据调查结果，请你估计全校800名同学课外阅读时间不少于的人数【答案】（1）5 （2）144 （3）45； （4）480人【解析】【分析】（1）用样本容量乘可得a的值，再用样本容量分别减去其他等级的频数可得b的值；（2）用乘B等级所占比例即可；（3）分别根据众数和中位数的定义解答即可；（4）用800乘样本中课外阅读时间不少于的人数所占比例即可【小问1详解】解：由题意得，故答案为：5；【小问2详解】解：统计图中B组对应扇形的圆心角为，故答案为：144；【小问3详解】解：由题意可知，阅读时
27、间在范围内的数据的众数是45，调查的20名同学课外阅读时间的中位数是故答案为：45，；【小问4详解】解：（名），答：估计全校800名同学课外阅读时间不少于的人数大约为480名【点睛】本题考查了频数分布表、中位数、众数、扇形统计图以及用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键24. 如图，在中，点D、E在上，过A，D，E三点作，连接并延长，交于点F （1）求证：；（2）若，求的半径长【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）如图所示，连接，先证明得到，再由得到垂直平分，即可证明；（2）利用三线合一定理得到 则求出设半径为r，则在中，利用勾股定理建立方程求解即可【小问1详解】证
28、明：如图所示，连接，又，又垂直平分， 【小问2详解】 设半径为r，则在中，解得的半径长为【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质和判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键25. 今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：购票方式甲乙丙可游玩景点和门票价格100元/人80元/人160元/人据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万并且当甲、乙两
29、种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？【答案】（1）20%；（2）798万元，当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，为817.6万元【解析】【分析】（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为，则四月份的游客为人，五月份的游客为人，再列方程，解方程可得答案；（2）分别计算购买甲，乙，丙种门票的人数，再计算门票收入即可得到答案；设丙种门票
30、价格降低元，景区六月份的门票总收入为万元，再列出与的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大利润即可得到答案【详解】解：（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得 解这个方程，得（舍去）答：四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长20%（2）由题意，丙种门票价格下降10元，得：购买丙种门票的人数增加：（万人），购买甲种门票的人数为：（万人），购买乙种门票的人数为：（万人），所以：门票收入问；（万元）答：景区六月份的门票总收入为798万元设丙种门票价格降低元，景区六月份的门票总收入为万元，由题意，得化简，得， ，当时，取最大值，为817.6万元 答：当丙种
31、门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，为817.6万元【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，掌握利用二次函数的性质求解利润的最大值是解题的关键26. （1）已知点P是内一点，请在图中用无刻度的直尺和圆规作一条弦，使得经过点P，且（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）已知点P是内一点，请在图中用无刻度的直尺和圆规作一条弦，使得经过点P，且（要求：保留作图痕迹，不写作法） （3）在（2）的条件下，若且，则的半径_【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；【解析】【分析】（1）作射线，过点P作射线的垂线交于A、B，即为所求；（2）如图2-1所示，同（1）作出
32、满足，以点P为圆心，以 的长为半径画弧，交射线于M、N，连接，作的垂直平分线交于Q，以P为圆心，以的长为半径画弧交圆O于D，连接并延长交圆O于C，则即为所求；（3）如图所示，过点D作交延长线于E，连接，证明，利用相似三角形的性质得到，则，设，则，在中，由勾股定理得，解得（负值舍去），则【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）如图2-1所示，同（1）作出满足，以点P为圆心，以 的长为半径画弧，交射线于M、N，连接，作的垂直平分线交于Q，以P为圆心，以的长为半径画弧交圆O于D，连接并延长交圆O于C，则即为所求；如图2-1所示，由作图方法可知，即；如图2-2所示，即为所求； （3）如图所示，过
33、点D作交延长线于E，连接，又，设，则，在中，由勾股定理得，解得（负值舍去），故答案为： 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，垂径定理，勾股定理，垂线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键27. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与y轴交于点，与x轴交于和C（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，如果一次函数过点A，且与抛物线交于另一点，如果，且和，求k的值；（3）如图2，若点P在抛物线的对称轴上，使得，请直接写出所有满足条件的点P的坐标【答案】（1） （2） （3）或【解析】【分析】（1）用待定系数法求解函数解析式即可；（2）由一次函数过点A得到，则，由题意可得，即，则，由和，则，
34、即，得到，则，则，则，解方程即可；（3）先求出对称轴为直线，设点P的坐标为，再求点C，则，连接，过点A作交于点H,设直线与直线相交于点Q,当时，则，求直线AC的解析式为，得Q,则，求出，由得,解方程即可得到答案【小问1详解】抛物线与y轴交于点，与x轴交于，解得该抛物线的函数表达式为；【小问2详解】一次函数过点A，由一次函数过点A，且与抛物线交于另一点得，即，即，和，即，即，整理得，解得；小问3详解】解：，抛物线的对称轴为直线，设点P的坐标为，当时，解得点C的坐标是，连接，过点A作交于点H,则，设直线与直线相交于点Q,当时，则，设直线的解析式为,则，解得，直线AC的解析式为，当x=3时，点Q的坐
35、标是,，即则,解得，或【点睛】此题考查了锐角三角函数、二次函数的图象和性质、勾股定理、一元二次方程、待定系数法、无理方程的求解等知识，数形结合和准确计算是解题的关键28. 已知，在矩形中，为矩形的中心，在中，将绕点按顺时针方向旋转一周，（1）如图1，当直角边，分别在，边上时，连接，求的面积；（2）设斜边与矩形的交点为，当，三点在一条直线时，求的值；（3）如图2，连接，取中点，连接，请直接写出的取值范围【答案】（1） （2）或 （3）【解析】【分析】（1）连接，利用三角形面积关系进行求解即可；（2）绕点按顺时针方向旋转一周，根据点位置分两种情况进行求解，画出两种情况的图，利用相似三角形的判定和性质求出结果即可；（3）延长至，使，连接，作于，求出，长度，利用点在以为圆心，为半径的圆上运动，表示出的最大值和最小值，根据表示出的取值范围即可【小问1详解】解：如图1，连接，为矩形的中心，到的距离为，到的距离为的距离为，的面积为；【小问2详解】如图，连接、，在中，在和中，；如图，当旋转到点位于中时，同理可证，综上所述的值为或；【小问3详解】如图，延长至，使，连接，作于， ，在中，由勾股定理得，点在以为圆心，为半径的圆上运动，的最大值，的最小值，是的中点，【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质，通过添加辅助线构造相似三角形是解题关键
