1、2023年福建省莆田市中考二模数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1. 下列四个数中，最大的数是（ ）A. B. 0C. D. 22. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ）A. B. C. D. 3. 人工智能是推动全球数字化发展的重要赋能技术根据中国信通院发布的最新数据测算，预计年我国人工智能市场规模达到亿元其中用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 4. 达芬奇椭圆规是画椭圆的一种工具，如图所示，当滑标在滑槽内往复运动，滑标在滑槽内随之运动，将笔尖放置于处即可画出椭圆，则画出的椭圆是（ ）A. 是轴对称图形，也是中心对称图形B. 是轴对称图形，不是中心对
2、称图形C. 不是轴对称图形，但是中心对称图形D. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形5. 下列各式中，计算结果是的是（ ）A. B. C. D. 6. “谁知盘中果，荔荔皆幸福”，莆田市荔枝以色红、香艳甘美被誉为果中之王某超市货架上有一批大小不一的荔枝，小红从中选购了部分大小均匀的荔枝设货架上原有荔枝的质量（单位：）平均数和方差分别为，小红选购的荔枝的质量平均数和方差分别为，则下列结论一定成立的是（ ）A. B. C. D. 7. “曹冲称象”是流传很广的故事，参考他的方法：第一步先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出；第二步往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时
3、水位恰好到达标记位置；第三步往船上再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，发现水位也恰好到达标记位置已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是斤，根据以上方法可列出的方程是（ ）A. B. C. D. 8. 如图，在中，点在上，连接，过点作延长线于点，当点从点运动到点的过程中，的度数（ ）A. 先增大后减小B. 先减小后增大C. 保持不变D. 一直减小9. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上图2是一个根据某市地
4、理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭已知该市冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，若表的长为，则圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为（ ）A. B. C. D. 10. 如图，在中，点在直线上方，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别是，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，点的对应点是，连接，当的度数从逐渐增大到的过程中四边形的形状依次是：平行四边形_平行四边形画线处应填入（ ）A. 菱形矩形正方形B. 矩形菱形正方形C. 菱形平行四边形矩形D. 矩形平行四边形菱形二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11. 不等式的解集为_12. 投掷一枚六个面分别标有、的质地
5、均匀的正方体骰子，则向上一面是奇数的概率是_13. 如图，在中，为斜边的中点，则的度数为_14. 在平面直角坐标系中，若直线与双曲线相交，则实数的值可以是_（只需写出一个符合条件的实数）15. 阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题证明：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，使得，则_是2的倍数，_，可设（为正整数），则，_，即，_，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾因此假设不成立，即不有理数将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是_（填上序号）； ； 是2的倍数； 是2的倍数16. 已知二次函数，实数，当及时（其中），函数值均为5，当时，函数值为，当时，函数值为，则_三、解答题：
6、本大题共9小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 计算：18. 如图，点，分别在线段，上，求证：19. 先化简,后求值:,其中a=+1.20. 在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校在课后服务中开设了多门校本选修课为了了解全校学生对“莆田地方特色美食烹饪”，“中华传统文化美德讲习”，“莆田传统节日习俗赏析”和“莆田民俗体育项目传承”4门选修课的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：调查目的了解xx中学学生对4门选修课的喜爱情况调查方式抽样调查调查对象xx中学学生调查内容1你的性别是（ ）A男 B女2下列4门选修课中，你最喜欢的是（ ）（只能单选）
7、A莆田地方特色美食烹饪 B中华传统文化美德讲习C莆田传统节日习俗赏析 D莆田民俗体育项目传承填完后，请将问卷交给数学课代表数据的收集、整理与描述男生最喜欢选修课的人数统计图100名女生最喜欢选修课的人数统计图调查结论请根据以上调查报告，解答下列问题：（1）求参与本次抽样调查的男生人数及选择“莆田地方特色美食烹饪”选修课的男生人数；（2）国家提倡发展体育运动，该学校现有女生名，请估计全校女生选择“莆田民俗体育项目传承”的人数21. （1）如图1，中，平分交于点，以为半径作判断直线是否为的切线，并说明理由；（2）如图2，某湿地公园内有一条四边形型环湖路，现要修一条圆弧形水上栈道，要求该圆弧形水上栈
8、道所在的，圆心在上且与，相切求作（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）22. 如图，内接于，的延长线交于点，交于点，过点作交于点，连接，（1）若，求证：；（2）求证：点到的距离等于的长23. 根据以下思考，探索完成任务曼哈顿距离的思考问题背景很多城市街道交织成格，行人和车辆沿网格线行走，城市街道的抽象涵义是直角坐标系内平行于两条数轴的条条直线定义城市内街道上两点，之间的距离为，称为曼哈顿距离（简称为曼距），曼哈顿距离也叫出租车几何，是在19世纪由赫尔曼闵可夫斯基提出来的素材1如图，在平面直角坐标系中，点与点之间曼距，可得矩形上及内部的任意格点（坐标为整数的点）为，都有素材2在城市里有一个社
9、区，其中的相邻道路恰可以近似地用过直角坐标系内格点的平行线表示（如图）该社区内有数个火警高危点，为了消防安全，拟在某个格点位置设立消防站，其中格点位置四通八达任务1探求消防站位置若火警高危点，消防站的坐标为，且与点的曼距，请求出消防站的位置；任务2选择最适合位置若火警高危点，按设计要求最小，则下列5个点中最适合设为消防站的是_；（写出所有正确的序号）A B C D E任务3拟定最短曼距方案如图，一条笔直的公路起点为，点为公路上一点若消防站在原点处，请探究消防站到公路（即射线）上一点的曼距的最小值24. 在矩形中，点为线段上一动点，将沿折叠得到，点的对应点是，连接（1）如图1，若点为的中点时，过
10、点作于点，分别交，于点，给出下列结论：；为等边三角形，请任意选择一个你认为正确的结论加以证明；（2）如图2，若，在点运动过程中，当取得最小值时，求的长；设，为，求关于的函数关系式25. 已知抛物线，其中是实数（1）已知三个点，其中有一个点可以是拋物线的顶点，请选出该点并求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，点在抛物线上且其横坐标为4，过点作轴于点点为抛物线的顶点，连接点为抛物线对称轴左侧上一点，延长线交轴于点，延长线交延长线于点，连接若平分时，求点的坐标；设，判断是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由2023年福建省莆田市中考二模数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，
11、共40分 1. 下列四个数中，最大的数是（ ）A. B. 0C. D. 2【答案】C【解析】【分析】根据正数大于0，0大于负数，以及无理数的大小比较方法即可判断【详解】解：，即，故最大的数是故选：C【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键2. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据主视图的定义即可直接选出答案【详解】解：圆柱的主视图是长方形，故A选项不合题意圆锥的主视图是三角形，故B选项合题意；三棱柱的主视图是长方形（长方形部分有一条纵向的实线），故C选项不符合题意，球的主视图是圆，故D选项不合题意，故选：
12、B【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，牢记常见的几何体的三视图是解答本题的关键3. 人工智能是推动全球数字化发展的重要赋能技术根据中国信通院发布的最新数据测算，预计年我国人工智能市场规模达到亿元其中用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案【详解】解：，故选C【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义
13、4. 达芬奇椭圆规是画椭圆的一种工具，如图所示，当滑标在滑槽内往复运动，滑标在滑槽内随之运动，将笔尖放置于处即可画出椭圆，则画出的椭圆是（ ）A. 是轴对称图形，也是中心对称图形B. 是轴对称图形，不是中心对称图形C. 不是轴对称图形，但是中心对称图形D. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可解答【详解】解： 椭圆是轴对称图形，是中心对称图形故选A【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能与自身重合是关键5. 下列各
14、式中，计算结果是的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项计算即可求解【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键6. “谁知盘中果，荔荔皆幸福”，莆田市荔枝以色红、香艳甘美被誉为果中之王某超市货架上有一批大小不一的荔枝，小红从中选购了部分大小均匀的荔枝设货架上原有荔枝的质量（单位：）平均数和方
15、差分别为，小红选购的荔枝的质量平均数和方差分别为，则下列结论一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据平均值、方差的意义求解，方差越大，稳定性也越小；反之，方差越小，稳定性越小【详解】解：某超市货架上有一批大小不一的荔枝，小红从中选购了部分大小均匀的荔枝，货架上原有荔枝的质量（单位：）平均数和方差分别为，小红选购的荔枝的质量平均数和方差分别为，与的大小关系不确定，故选：D【点睛】本题考查实际问题中的统计量，读懂题意，掌握个头大且均匀表示的平均值与方差的情况是解决问题的关键7. “曹冲称象”是流传很广的故事，参考他的方法：第一步先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，
16、再将象牵出；第二步往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置；第三步往船上再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，发现水位也恰好到达标记位置已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是斤，根据以上方法可列出的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设每块条形石的重量是斤，利用题意找出等量关系：块等重的条形石的重量个搬运工的体重块等重的条形石的重量个搬运工的体重，列出方程即可【详解】解：设每块条形石的重量是斤，由题意可得：，故选：A【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，利用题意正确找出等量关系是解题的关键8. 如图，
17、在中，点在上，连接，过点作的延长线于点，当点从点运动到点的过程中，的度数（ ）A. 先增大后减小B. 先减小后增大C. 保持不变D. 一直减小【答案】C【解析】【分析】在优弧上取一点，连接，根据圆内接四边形对角互补，得出，进而即可求解【详解】解：如图所示，在优弧上取一点，连接，四边形是圆内接四边形，,又，当点从点运动到点的过程中，的大小不变，则的度数也不变，故选：C【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，根据题意得出是解题关键9. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（
18、称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭已知该市冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，若表的长为，则圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别解和，求出和的长度，然后利用线段的和差关系求解即可【详解】解：在中，在中，故选：B【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键10. 如图，在中，点在直线上方，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别是，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，点的对应点是，连接，当的度数从逐渐增大
19、到的过程中四边形的形状依次是：平行四边形_平行四边形画线处应填入（ ）A. 菱形矩形正方形B. 矩形菱形正方形C. 菱形平行四边形矩形D. 矩形平行四边形菱形【答案】D【解析】【分析】分逐渐变大，B、D、E三点共线之前；B、D、E三点共线时；B、D、E三点共线，后，之前；时；后，讨论即可详解】解：旋转，当逐渐变大，B、D、E三点共线之前时，如图，又，又，四边形是平行四边形；当B、D、E三点共线且D在B、E之间时，又，又，四边形是平行四边形，又四边形是矩形；当逐渐变大，B、D、E三点共线，之前时，又，四边形是平行四边形，当时，又，由同理可证，又，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形；当后时，由同
20、理可证，又，四边形是平行四边形当的度数从逐渐增大到的过程中四边形的形状依次是：平行四边形矩形平行四边形菱形平行四边形故选：D【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定等知识，明确题意，合理分类讨论，找出所求问题需要的条件是解题的关键二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11. 不等式的解集为_【答案】#【解析】【分析】按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可【详解】解：移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，故答案为：【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键12. 投掷一枚六个面分别标有、的质地均匀的正方体骰子
21、，则向上一面是奇数的概率是_【答案】#0.5【解析】【分析】根据概率公式直接求解即可【详解】解：投掷一枚六个面分别标有、的质地均匀的正方体骰子，奇数有3个，则向上一面是奇数的概率是，故答案为：【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键13. 如图，在中，为斜边的中点，则的度数为_【答案】#度【解析】【分析】先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，进而得到，则由三角形外角的性质可得【详解】解：在中，为斜边的中点，故答案为：【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键14. 在平面直角
22、坐标系中，若直线与双曲线相交，则实数的值可以是_（只需写出一个符合条件的实数）【答案】1（答案不唯一）【解析】【分析】根据反比例函数的性质可知其图象在一、三象限，即可求解【详解】解： ，经过一、三象限，直线与双曲线相交，双曲线，在一、三象限，即，故答案为：1（答案不唯一）【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键15. 阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题证明：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，使得，则_是2的倍数，_，可设（为正整数），则，_，即，_，都是2倍数，不互质，与假设矛盾因此假设不成立，即不有理数将下列选项依次填入
23、材料中的画线处，正确的顺序是_（填上序号）； ； 是2的倍数； 是2的倍数【答案】【解析】【分析】根据反证法的证明步骤以及立方根的定义补全证明过程即可求解【详解】证明：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，使得，则是2的倍数，是2的倍数，可设（为正整数），则，即，是2的倍数，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾因此假设不成立，即不是有理数故答案为：【点睛】本题考查了立方根的定义，反证法，熟练掌握反证法证明方法是解题的关键16. 已知二次函数，为实数，当及时（其中），函数值均为5，当时，函数值为，当时，函数值为，则_【答案】0【解析】【分析】先根据题意得到二次函数对称轴为直线，进而得到点和都在二次
24、函数图像上，由于点和的中点坐标为，即可证明点和关于对称轴对称，则，即可得到【详解】解：当及时（其中），函数值均为5，二次函数对称轴为直线，当时，函数值为，当时，函数值为，点和都在二次函数图像上，点和的中点坐标为，点和的中点在二次函数的对称轴上，点和关于对称轴对称，故答案为：0【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确推出点和关于对称轴对称是解题的关键三、解答题：本大题共9小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 计算：【答案】【解析】【分析】先计算特殊角三角函数值和计算负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可【详解】解：原式 【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角
25、三角函数值，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键18. 如图，点，分别在线段，上，求证：【答案】见解析【解析】【分析】直接证明，得出，根据即可求解【详解】证明：在与中，【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键19. 先化简,后求值:,其中a=+1.【答案】，【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值.【详解】原式=.当a=+1时,原式=.【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值在化简的过程中要注意运算顺序和
26、分式的化简化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式20. 在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校在课后服务中开设了多门校本选修课为了了解全校学生对“莆田地方特色美食烹饪”，“中华传统文化美德讲习”，“莆田传统节日习俗赏析”和“莆田民俗体育项目传承”4门选修课的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：调查目的了解xx中学学生对4门选修课的喜爱情况调查方式抽样调查调查对象xx中学学生调查内容1你的性别是（ ）A男 B女2下列4门选修课中，你最喜欢的是（ ）（只能单选）A莆田地方特色美食烹饪 B中华传统文化美德讲习C莆田传统节日习俗赏析 D莆
27、田民俗体育项目传承填完后，请将问卷交给数学课代表数据的收集、整理与描述男生最喜欢选修课的人数统计图100名女生最喜欢选修课的人数统计图调查结论请根据以上调查报告，解答下列问题：（1）求参与本次抽样调查的男生人数及选择“莆田地方特色美食烹饪”选修课的男生人数；（2）国家提倡发展体育运动，该学校现有女生名，请估计全校女生选择“莆田民俗体育项目传承”的人数【答案】（1）参与本次抽样调查的男生人数为人，选择“莆田地方特色美食烹饪”选修课的男生人数为人 （2）人【解析】【分析】（1）用男生统计图中B选项的人数除以其人数占比求出参与调查的男生人数，进而求出选择A选项的男生人数；（2）用乘以女生样本中选择D
28、选项的人数占比即可得到答案【小问1详解】解：人，参与本次抽样调查的男生人数为人，选择“莆田地方特色美食烹饪”选修课的男生人数为人；【小问2详解】解：人，估计全校女生选择“莆田民俗体育项目传承”的人数为人【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计整体，正确读懂统计图是解题关键21. （1）如图1，中，平分交于点，以为半径作判断直线是否为的切线，并说明理由；（2）如图2，某湿地公园内有一条四边形型环湖路，现要修一条圆弧形水上栈道，要求该圆弧形水上栈道所在的，圆心在上且与，相切求作（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【答案】（1）直线是的切线，理由见解析；（2）见解析【
29、解析】【分析】（1）过点O作与点D，利用角平分线的性质可得，（2）延长，相交于点E，作的平分线交于点O，以O为圆心，为半径画圆即可【详解】解：（1）直线是的切线，理由：过点O作与点D，平分，直线是的切线；（2）如图所示，即为所求【点睛】本题考查了角平分线的性质，切线的判定等知识，掌握切线的判定定理是解题的关键22. 如图，内接于，的延长线交于点，交于点，过点作交于点，连接，（1）若，求证：；（2）求证：点到的距离等于的长【答案】（1）见详解； （2）见详解.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的定义可判定四边形是平行四边形，由平行线的性质可得.根据“同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等”可得，
30、进一步可得，因此可得（2）过点作于，连接，根据垂径定理可得，再由可得是的中位线，根据中位线的性质可得根据平行线的性质可得，则，从而得到，因此可得【小问1详解】，四边形是平行四边形，【小问2详解】如图，过点作于，连接，又，是的中位线， ，点到的距离等于的长【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理的推论，三角形中位线定理，熟练掌握以上知识并且能正确的作出辅助线是解题的关键23. 根据以下思考，探索完成任务曼哈顿距离的思考问题背景很多城市街道交织成格，行人和车辆沿网格线行走，城市街道的抽象涵义是直角坐标系内平行于两条数轴的条条直线定义城市内街道上两点，之间的距离为，称为曼哈
31、顿距离（简称为曼距），曼哈顿距离也叫出租车几何，是在19世纪由赫尔曼闵可夫斯基提出来的素材1如图，在平面直角坐标系中，点与点之间的曼距，可得矩形上及内部的任意格点（坐标为整数的点）为，都有素材2在城市里有一个社区，其中的相邻道路恰可以近似地用过直角坐标系内格点的平行线表示（如图）该社区内有数个火警高危点，为了消防安全，拟在某个格点位置设立消防站，其中格点位置四通八达任务1探求消防站位置若火警高危点，消防站的坐标为，且与点的曼距，请求出消防站的位置；任务2选择最适合位置若火警高危点，按设计要求最小，则下列5个点中最适合设为消防站的是_；（写出所有正确的序号）A B C D E任务3拟定最短曼距方
32、案如图，一条笔直的公路起点为，点为公路上一点若消防站在原点处，请探究消防站到公路（即射线）上一点的曼距的最小值【答案】任务1：或；任务2：ABE；任务3：【解析】【分析】（1）根据曼哈顿距离的定义进行求解即可；（2）分别算出五个点作为D点时的值即可得到答案；（3）先求出直线的解析式为，设，则，再分当时， 当时，两种情况求出的最值情况即可得到答案.【详解】解：任务1：，消防站的位置为或；任务2：当选作为D点时，；同理当作为D点时，；当作为D点时，；当作为D点时，；当作为D点时，；当选则或或时最小，故答案为：ABE；任务3：设直线的解析式为，直线的解析式为，设，当时，此时当时，有最小值；当时，此时
33、，综上所述，得到最小值【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，正确理解题意是解题的关键24. 在矩形中，点为线段上一动点，将沿折叠得到，点的对应点是，连接（1）如图1，若点为的中点时，过点作于点，分别交，于点，给出下列结论：；为等边三角形，请任意选择一个你认为正确的结论加以证明；（2）如图2，若，在点运动过程中，当取得最小值时，求的长；设，为，求关于的函数关系式【答案】（1）结论正确，证明见解析 （2）；【解析】【分析】（1）选择：先证明，由折叠的性质可知，则，即可得到，再利用三角形外角的性质证明，即可证明；选择：先证明四边形是矩形，得到，则，由折叠的性质可知，则，即可证明，进而
34、推出；根据现有条件无法证明；（2）由折叠的性质可得，则点F在以B为圆心，3为半径的一段圆弧上运动，故当三点共线时，取得最小值，设，则，求出，则，在中利用勾股定理建立方程，解方程即可求出；分图2-1，图2-1两种情况，分别用x、y表示出的长，再在中利用勾股定理求出对应的函数关系式即可【小问1详解】解：选，证明如下：E为的中点，由折叠的性质可知，即，；选，证明如下：，四边形是矩形，由折叠的性质可知，；根据现有条件无法证明；【小问2详解】解：由折叠的性质可得，点F在以B为圆心，3为半径的一段圆弧上运动，当三点共线时，取得最小值，设，则，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，解得，；如图2-1所示，
35、当时，过点E作，交于G，交于H，则四边形是矩形，由折叠的性质可得， ，在中，；，在中，由勾股定理得，；如图2-2所示，当时，过点E作交延长线于G，交于H，同理可得，则，在中，由勾股定理得，；综上所述，关于的函数关系式为【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，圆外一点到圆上一点距离的最值问题等等，灵活运用所学知识并利用分类讨论的思想求解是解题的关键25. 已知抛物线，其中是实数（1）已知三个点，其中有一个点可以是拋物线的顶点，请选出该点并求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，点在抛物线上且其横坐标为4，过点作轴于点点为抛物线的顶点，连接点为抛物线
36、对称轴左侧上一点，延长线交轴于点，延长线交延长线于点，连接若平分时，求点的坐标；设，判断是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由【答案】（1）点是抛物线的顶点 （2）；是定值，理由见解析【解析】【分析】（1）由可知，顶点坐标为，顶点坐标在直线上，然后将三个点的横坐标代入进行验证即可求解；（2）由（1）可得抛物线解析式为，根据题意画出图形，设到的距离为，则，设，根据平分，由角平分线的定义，以及等面积法可得，进而求得的值，得出，求得直线的解析式为进而联立抛物线解析式得出，即可求解设，则，得出，进而求得直线的解析式，联立抛物线求得点的坐标，进而求得直线的解析式，令，求得点的坐标，求得，即可求
37、解【小问1详解】解：由可知，顶点坐标为顶点坐标在直线上，已知三个点，其中有一个点可以是拋物线的顶点，当时，则点不是顶点，当时，则点是抛物线的顶点，不是顶点，点是抛物线的顶点【小问2详解】由（1）可知点是抛物线的顶点抛物线解析式为点在抛物线上且其横坐标为4，时，即，如图所示，则，平分，设到的距离为，则，设，解得：，设直线的解析式为直线的解析式为联立解得：或是定值，理由如下，设，则，；设直线的解析式为，则解得：直线的解析式为联立解得：或设直线解析式为则解得：直线的解析式为当时，即是定值【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数求解析式，角度问题，面积问题，熟练掌握二次函数的性质，以及一次函数的性质是解题的关键
